傅里叶变换的对称性证明

一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性
已知：
[()]()j DTFT x n X e ω=
**[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出)
共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：
()()()()()()()()()
**12
12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ⎧⎡⎤=+-⎣⎦⎪⎪=+⎨
⎪⎡⎤=--⎣
⎦⎪⎩
()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω
ωωωωωωωω--⎧⎡⎤=+⎪⎣
⎦⎪=+⎨
⎪⎡⎤=-⎣
⎦⎪⎩
求证：
[Re(())]()
[Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω
⎧=⎨=⎩ or [()]Re(())
[()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω
⎧=⎨=⎩ [()]Re(())
[()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω
⎧=⎨=⎩
or [Re(())]()
[Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω
⎧=⎨=⎩
证明：
()()()[][]
**
1
21()()21
2Re(())2
Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-⎡⎤
=
+⎣
⎦⎡⎤=
+⎣⎦== ()()(
)[][]*
*
121()()2
1
2I m (())2
I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x
n ωω
ω-
⎡⎤=
-⎣
⎦
⎡⎤=
-⎣⎦==
()()()()()()()()()**121212Re 2Re e j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT X e IDTFT X e ωω
ωω⎡⎤=
+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦ ()()()()()()()
()()
**121212I m 2
Im o j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT j X e IDTFT j X e ωωωω⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤
=⎣⎦⎡⎤
=⎣⎦
对实数序列()x n
()()
()Re[]Im[]0
x n x n x n =⎧⎪
⎨=⎪⎩
则：[Re(())]()()[Im(())]()0
j j e j o DTFT x n X e X e DTFT j x n X e ωωω
⎧==⎨==⎩ 即：实数序列的傅里叶变换具有共轭对称性（是共轭对称序列）
()()()()()*12
12e x n x n x n x n x n ⎡⎤=
+-⎣⎦=+-⎡⎤⎣
⎦ 共轭对称序列变成偶对称序列
()()()()()*
1212o x n x n x n x n x n ⎡⎤=
--⎣
⎦=--⎡⎤⎣
⎦共轭反对称序列变成奇对称序列
二． 离散傅里叶变换（DFT ）的对称性
已知：
()()()()()()*
ep N N N x n x n x N n R n ⎡⎤=+-⎣⎦ ()()()()()()*op N N N x n x n x N n R n ⎡⎤=--⎣⎦
()()()*
1Re 2x n x n x n ⎡⎤=
+⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()*
1Im 2j x n x n x n ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()()()()()()()()()()()
*
1
1**00*
1*
0*N N kn kn N N N N n n N N k n N N
N N n N N DFT x n x n W R k x n W R k X k R k x n W R k X N k R k ---==--=⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦
=-∑∑∑
有时习惯上()()
()*
N N
X N k R k - 可写成()*X N k -，但应该指出，当0k =时，
()*X N k -可得到()*X N ，但由于DFT 的取值区间为01k N ≤≤-，已超出该区间，因
而应当理解为()()**0X N X =。

()()
()()()()()()()()()()()()1
*
*0
*
*
1
001*
1*0N kn
N N N N
N n N kn kn
N N N N n n N N kn N N n DFT x
n R n x n R n W x n W x n W x n W X k -=--==---=⎡⎤-=-⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑ 证明：
复序列实部的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭对称分量：
(){}()(){}
()()()()()()()()()()
***1
Re 2
1212
N N N N N ep DFT x n DFT x n DFT x n X k X N k R k X k X N k R k X k ⎡⎤=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=
复序列虚部乘以j 的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭反对称分量：
(){}
()(){}
()()()()()()()()()()
*
**1Im 2
1
212
N N N N N op DFT j x n DFT x n DFT x n X k X N k R k X k X N k R k X k ⎡⎤=
-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤
=
--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=
复序列的圆周共轭对称分量的DFT 等于序列DFT 的实部：
()()()()()(){}
()()()(){}
()()()*
*121
*212Re ep N N N N N DFT x n DFT x n x N n R n DFT x n DFT x n R n X k X k X k ⎡⎤⎡⎤=
+-⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=⎡⎤⎣⎦
or
()()(){}
()()()()()()()()()()
*
**1Re 2
1
212N N N N N ep IDFT X k IDFT X k IDFT X k x n x n R N x n x N n R N x n ⎡⎤⎡⎤=
+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤
=
+-⎣
⎦⎡⎤=+-⎣⎦=
复序列的圆周共轭反对称分量的DFT 等于序列DFT 的虚部乘以j ：
()()()()()(){}
()()()(){}
()()()*
*121
*212Im op N N N N N DFT x n DFT x n x N n R n DFT x n DFT x n R n X k X k j X k ⎡⎤⎡⎤=
--⎣⎦⎣⎦⎡⎤=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦=⎡⎤⎣⎦
or
()()(){}
()()()()()()()()()()
*
**1Im 2
1
212
N N N N N op IDFT j X k IDFT X k IDFT X k x n x n R N x n x N n R N x n ⎡⎤⎡⎤=
-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤
=
--⎣
⎦⎡⎤=--⎣⎦=
()()()()()()()()()()()()()()
*
1
1**00*
1*
0*N N kn kn N N N N n n N N k n N N
N N n N N DFT x n x n W R k x n W R k X k R k x n W R k X N k R k ---==--=⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦
=-∑∑∑
根据频域抽样理论，对信号的连续频谱抽样，必然伴随着信号在时域的周期性延拓。

为了使频域的样本能完全代表时域的信号，则必须要求信号是时限的，而且在周期延拓时不发x n是一个长度为M的有限长序列，当我们对它的频谱在一个周期内等生重叠。

如果信号()
x n在时域将以N为周期延拓。

间隔抽样N点时，伴随着()
,也就是说至少要在一个周期内抽样M点。

为了避免信号的重叠，显然必须有N M
x n是一个无限长序列（非时限），则无论对其频谱在一个周期内怎样抽样，都将如果()
不可避免地发生时域内信号的重叠，因而也不可能从周期延拓的信号中恢复出原信号。

这就是为什么DFT只对有限长序列而言的本质原因。