傅里叶变换的对称性证明

一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性

已知：

[()]()j DTFT x n X e ω=

**[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出)

共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：

()()()()()()()()()

**12

12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ⎧⎡⎤=+-⎣⎦⎪⎪=+⎨

⎪⎡⎤=--⎣

⎦⎪⎩

()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω

ωωωωωωωω--⎧⎡⎤=+⎪⎣

⎦⎪=+⎨

⎪⎡⎤=-⎣

⎦⎪⎩

求证：

[Re(())]()

[Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω

⎧=⎨=⎩ or [()]Re(())

[()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω

⎧=⎨=⎩ [()]Re(())

[()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω

⎧=⎨=⎩

or [Re(())]()

[Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω

⎧=⎨=⎩

证明：

()()()[][]

**

1

21()()21

2Re(())2

Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-⎡⎤

=

+⎣

⎦⎡⎤=

+⎣⎦== ()()(

)[][]*

*

121()()2

1

2I m (())2

I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x

n ωω

ω-

⎡⎤=

-⎣

⎦

⎡⎤=

-⎣⎦==

()()()()()()()()()**121212Re 2Re e j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT X e IDTFT X e ωω

ωω⎡⎤=

+-⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦ ()()()()()()()

()()

**121212I m 2

Im o j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT j X e IDTFT j X e ωωωω⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=-⎣⎦⎡⎤

=⎣⎦⎡⎤

=⎣⎦

对实数序列()x n

()()

()Re[]Im[]0

x n x n x n =⎧⎪

⎨=⎪⎩

则：[Re(())]()()[Im(())]()0

j j e j o DTFT x n X e X e DTFT j x n X e ωωω

⎧==⎨==⎩ 即：实数序列的傅里叶变换具有共轭对称性（是共轭对称序列）

()()()()()*12

12e x n x n x n x n x n ⎡⎤=

+-⎣⎦=+-⎡⎤⎣

⎦ 共轭对称序列变成偶对称序列

()()()()()*

1212o x n x n x n x n x n ⎡⎤=

--⎣

⎦=--⎡⎤⎣

⎦共轭反对称序列变成奇对称序列

二． 离散傅里叶变换（DFT ）的对称性

已知：

()()()()()()*

ep N N N x n x n x N n R n ⎡⎤=+-⎣⎦ ()()()()()()*op N N N x n x n x N n R n ⎡⎤=--⎣⎦

()()()*

1Re 2x n x n x n ⎡⎤=

+⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()*

1Im 2j x n x n x n ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦

()()()()()()()()()()()()()()

*

1

1**00*

1*

0*N N kn kn N N N N n n N N k n N N

N N n N N DFT x n x n W R k x n W R k X k R k x n W R k X N k R k ---==--=⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎣⎦

⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦

=-∑∑∑

有时习惯上()()

()*

N N

X N k R k - 可写成()*X N k -，但应该指出，当0k =时，

()*X N k -可得到()*X N ，但由于DFT 的取值区间为01k N ≤≤-，已超出该区间，因

而应当理解为()()**0X N X =。

()()

()()()()()()()()()()()()1

*

*0

*

*

1

001*

1*0N kn

N N N N

N n N kn kn

N N N N n n N N kn N N n DFT x

n R n x n R n W x n W x n W x n W X k -=--==---=⎡⎤-=-⎣⎦

⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

∑∑∑∑ 证明：

复序列实部的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭对称分量：

(){}()(){}

()()()()()()()()()()

***1

Re 2

1212

N N N N N ep DFT x n DFT x n DFT x n X k X N k R k X k X N k R k X k ⎡⎤=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=

复序列虚部乘以j 的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭反对称分量：

(){}

()(){}

()()()()()()()()()()

*

**1Im 2

1

212

N N N N N op DFT j x n DFT x n DFT x n X k X N k R k X k X N k R k X k ⎡⎤=

-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤

=

--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=

复序列的圆周共轭对称分量的DFT 等于序列DFT 的实部：