课时跟踪检测(五十五) 直线与圆锥曲线
2016届高考数学理课时跟踪检测(58)直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)
课时跟踪检测(五十八) 直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．02．(2015·舟山三模)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 33．(2015·四川雅安月考)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．84．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若·＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．25．(2015·丽水一模)斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.81056．(2015·大连双基测试)过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，＝2，则|BC |＝( )A.92 B ．6 C.132D ．8二、填空题7．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．8．(2015·贵州安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M 、N 的坐标分别为________________________________________________________________________．9．(2015·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|PA |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈__________________________.10．(2015·北京石景山期末)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE ⊥l 于点E ，若直线EF 的倾斜角为150°，则|PF |＝________.三、解答题11．(2015·山西模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM ―→＝2，求直线l 的方程．12．(2015·广东肇庆二模)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．答案1．选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．选B 根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m >0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.3．选C ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.4.选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由·＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2.5．选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.6．选A 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π2，点B (x 1，y 1)，C (x 2y 2)，则点B 在x 轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，|AF ||AB |＝p|BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2＝4x ，焦点F (1，0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ ＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x消去y ，得2x 2－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92，选A.7．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝43(x －5)，即4x －3y －20＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：32158．解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中， 整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1.答案：(－2,4)、(1,1)9．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)10．解析：由抛物线方程y 2＝4x 可知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1.直线EF 的斜率为k ＝tan 150°＝－33， 所以直线EF 的方程为y ＝－33(x －1)， 与准线方程联立可得点E ⎝⎛⎭⎪⎫－1，233，故可设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，233，将其代入抛物线方程y 2＝4x ，解得x ＝13.所以|PE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－－＝43， 由抛物线的定义可知|PE |＝|PF |，故|PF |＝43.答案：4311．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由＝2，得x 1＝－2x 2， 又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得⎝⎛⎭⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.12．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长a ＝1，焦半距c ＝2， 所以其虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 3. 又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为x 2－y 23＝1.(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3，两式相减，得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 因为M (2,1)为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，所以|DF 1|＋|DG |＝|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2， 当且仅当G ，D ，F 2三点共线时取等号． 因为|GF 2|＝－2＋22＝5，所以|DF 2|＋|DG |＋2≥|GF 2|＋2＝5＋2. 故|DF 1|＋|DG |的最小值为5＋2.。
同步北师大版高中数学必修二课时跟踪检测(十五) 直线方程的点斜式
课时跟踪检测（十五） 直线方程的点斜式 一、基本能力达标1．若直线l 的倾斜角为45°，且经过点(2,0)，则直线l 的方程是( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －2C ．y ＝33x －233D ．y ＝3x －2 3解析：选B 由题得直线l 的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l 的方程为y －0＝x －2，即y ＝x －2.故选B.2．经过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( )A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3解析：选C 过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程可以设为y －4＝k (x ＋1)．令y ＝0，得x ＝－4k －1＝3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3.3．方程y ＝k (x ＋4)表示( )A ．过点(－4,0)的所有直线B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线解析：选C 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．4．如果方程为y ＝kx ＋b 的直线经过二、三、四象限，那么有( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0解析：选D 因为直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y 轴上的截距为负，因此k ＜0，b ＜0，故选D.5．直线y ＝ax －1a 的图像可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a 可知，斜率和在y 轴上的截距必须异号，故B 正确．6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________．解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4. 答案：－47．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．解析：y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 答案：－128．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：直线的斜率与y ＝2x ＋3的斜率相同，故k ＝2，又过P (1,2)，∴直线的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)． 即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝3 3，(1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为3 3，∴所求直线方程是y＋1＝33(x－3)，即3x－3y－6＝0.(2)∵所求直线的斜率是33，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝33x－5.二、综合能力提升1．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是()A．x＝－1B．y＝1C．y－1＝2(x＋1) D．y－1＝22(x＋1)解析：选C由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝2(x＋1)．2．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有()A．k1＜k2且b1＜b2B．k1＜k2且b1＞b2C．k1＞k2且b1＞b2D．k1＞k2且b1＜b2解析：选A设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k1＜k2.又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A.3．在等腰△ABO中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，而点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为()A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)解析：选D如图，由几何性质知，OA与AB的倾斜角互补，k OA＝3，k AB＝－3，∴直线AB的方程为y－3＝－3(x－1)．4．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(2,1)解析：选B ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]，∴直线恒过定点(－2,1)．5．已知直线l ：y ＝k (x －1)＋2不经过第二象限，则k 的取值范围是________． 解析：由l 的方程知l 过定点A (1,2)，斜率为k ，则k OA ＝2(O 为坐标原点)，如图所示，则由数形结合可得，k ≥2时满足条件．答案：[2，＋∞)6．给出下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y －2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立． 答案：②③7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线l 的方程． 解：设所求的直线l 的方程为y ＝6x ＋b ，令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－b 6， ∴l 与x ，y 轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫－b 6，0，(0，b )． 由题意，得⎝⎛⎭⎫－b 62＋b 2＝37，得b ＝±6. ∴直线l 的方程为y ＝6x ±6.探究应用题8．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程． 解：设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ； 令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得|b |＋34|b |＋b 2＋⎝⎛⎭⎫34b 2＝9.∴|b|＋34|b|＋54|b|＝9，∴b＝±3.∴所求直线方程为y＝－43x＋3或y＝－43x－3.由Ruize收集整理。
高考数学专题辅导专题五第3讲直线与圆锥曲线课时训练提能
专题五 第3讲 直线与圆锥曲线课时训练提能[限时45分钟，满分75分]一、选择题(每小题4分，共24分)1．设椭圆C 1的离心率为513，核心在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个核心的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为－y 232＝1 －y 252＝1 －y 242＝1－y 2122＝1解析 对于椭圆C 1，a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，c ＝5，a ＝4，b ＝3， 故标准方程为x 242－y 232＝1.故选A.答案 A2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为B ．5解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2－4＝0，所以b a ＝2，e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝5，故选D. 答案 D3．(2012·惠州模拟)已知双曲线x 2－y 22＝1的核心为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为解析 设|MF 1→|＝m ，|MF 2→|＝n ，由⎩⎨⎧m 2＋n 2＝|F 1F 2→|2＝12|m －n |＝2，得m ·n ＝4，由S △F 1MF 2＝12m ·n ＝12|F 1F 2|·d ，解得d ＝233.故选B.答案 B4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的核心为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝C ．－35D ．－45解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x －4消去y ，得x 2－5x ＋4＝0，x ＝1或x ＝4，因为点A (1，－2)、B (4,4)，FA →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)， cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝0×3＋－2×42×5＝－45，故选D.答案 D5．(2012·课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右核心，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为解析 利用椭圆的离心率概念结合图形求解． 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝3a －2c .∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ， ∴e ＝c a ＝34.答案 C6．在△ABC 中，已知A (－4,0)，B (4,0)，且sin A －sin B ＝12sin C ，则C 的轨迹方程是＋y 212＝1 －y 212＝1(x ＜－2) －y 24＝1－y 214＝1(y ≠1) 解析 在△ABC 中，由正弦定理可得： sin A －sin B ＝12sin C ⇔a －b ＝12c ，即|CB |－|CA |＝4，故C 点的轨迹为双曲线的一支， 由A (－4,0)，B (4,0)为核心，2a ＝4可得 其方程为x 24－y 212＝1(x ＜－2)． 答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·武汉模拟)已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 29＝1的核心，PQ 是过核心F 1的弦，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值是________．解析 因为双曲线方程为x 216－y 29＝1，所以2a ＝8.由双曲线的概念得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，① |QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，② ①＋②，得|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝16. 所以|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16. 答案 168．设已知抛物线C 的极点在座标原点，核心为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析 由已知，得抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，按照抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程是y －2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程联立，消掉x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎪⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，又y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .答案 y ＝x9．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程是________．解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )， 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 化简，得y 2＝4x .故填y 2＝4x . 答案 y 2＝4x三、解答题(每小题12分，共36分)10．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右核心别离为F 1、F 2，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝60°，设|PF 1||PF 2|＝λ. (1)当λ＝2时，求椭圆离心率；(2)当椭圆离心率最小时，PQ 为过椭圆右核心F 2的弦，且|PQ |＝165，求椭圆的方程．解析 (1)∵|PF 1||PF 2|＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝43a ，|PF 2|＝23a ，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|＋|PF 2|2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝12，∴4a 2－4c 22·89a 2＝32，∴c 2a 2＝13，∴e ＝33.(2)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝λ|PF 2||PF 1|＋|PF 2|＝2a⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝λ1＋λ·2a |PF 2|＝11＋λ·2a ，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|＋|PF 2|2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1||PF 2|＝12，∴4a 2－4c 24a 2λ1＋λ2＝3，∴1－e 2＝3λ1＋λ2，∴e 2＝1－3λ1＋2λ＋λ2＝1－31λ＋2＋λ≥1－34＝14，当λ＝1时，上式取等号，|PF 2|＝11＋λ·2a ＝a ，∴P (0，b )，(或P (0，－b )，由对称性可知仅研究其一即可) ∴当e ＝12时，PQ 所在直线的斜率k ＝－bc ＝－3，∴PQ 所在直线的方程是y ＝－3(x －c )． 设Q (x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24c 2＋y 23c 2＝1y ＝－3x －c⇒5x 2－8cx ＝0，∴x 1＝8c 5，y 1＝－33c 5，|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8c 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋33c 52＝165，∴c ＝1，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.11．(2012·福州模拟)已知椭圆G 的中心在座标原点，核心在x 轴上，一个极点为A (0，－1)，离心率为63. (1)求椭圆G 的方程．(2)设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于不同的两点M ，N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解析 (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1，则离心率e ＝c a ＝63，故c 2a 2＝23，而b 2＝1，解得a 2＝3， 故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y P )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，∵直线与椭圆相交，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0 ⇒m 2＜3k 2＋1，①∴x P ＝x M ＋x N2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，当k ≠0时，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk(m ＝0不知足题目条件)∵|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2， 由②得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12.故12＜m ＜2. 当k ＝0时，∵直线y ＝m 是平行于x 轴的一条直线， ∴－1＜m ＜1，综上，求得m 的取值范围是－1＜m ＜2.12．(2012·西城一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为53，定点M (2,0)，椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2.(1)求椭圆C 的方程．(2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是不是存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析 (1)由59＝e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2，得b a ＝23.依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b ＝2， 故a ＝3.所以椭圆C 的方程是x 29＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋2.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得(4m 2＋9)y 2＋16my －20＝0. 所以y 1＋y 2＝－16m 4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9.若PF 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA ＋k PB ＝0. 设P (a,0)，则有y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0.将x 1＝my 1＋2，x 2＝my 2＋2代入上式， 整理得2my 1y 2＋2－a y 1＋y 2my 1＋2－a my 2＋2－a＝0，所以2my 1y 2＋(2－a )(y 1＋y 2)＝0. 将y 1＋y 2＝－16m 4m 2＋9，y 1y 2＝－204m 2＋9代入上式， 整理得(－2a ＋9)·m ＝0.由于上式对任意实数m 都成立， 所以a ＝92.综上，存在定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0，使PM 平分∠APB .。
课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系
课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线有________条．解析：∵通径2p ＝2，又|AB |＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝3>2p ，故这样的直线有且只有2条． 答案：22．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则a b ＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，结合题意，由点差法得，y 2－y 1x 2－x 1＝－a b ·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－a b ·x 0y 0＝－a b ·23＝－1，∴a b ＝32.答案：323．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则 OA ·OB ＝________.解析：依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13，∴ OA ·OB ＝－13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得 OA ·OB ＝－13. 答案：－134．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝15．双曲线x 216－y 29＝1的左右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线的右支存在点P ，使|PF 1|＝3|PF 2|.则P 点坐标为________．解析：设点P (x 0，y 0)，P 到左、右准线的距离分别为d 1，d 2.则|PF 1|＝ed 1，|PF 2|＝ed 2.因为|PF 1|＝3|PF 2|，所以d 1＝3d 2，即x 0＋a 2c ＝3⎝⎛⎭⎫x 0－a 2c ，所以x 0＝2a 2c ＝325.再将x 0＝325代入双曲线方程，得y 0＝±3539.所以所求点P 坐标为⎝⎛⎭⎫325，±3539. 答案：⎝⎛⎭⎫325，±3539二保高考，全练题型做到高考达标1．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，一条准线为x ＝185的双曲线的标准方程为________．解析：由题设可设所求双曲线方程为x 29λ－y 216λ＝1(λ>0)．该双曲线的右准线方程为：x ＝9λ5λ＝185，所以λ＝4，所以所求的双曲线方程为x 236－y 264＝1.答案：x 236－y 264＝12．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且两点在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1， ①y 22＝2px 2， ② ①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)， 又线段AB 的中点的纵坐标为2，∴y 1＋y 2＝4， 又直线的斜率为1，∴y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴2p ＝4，p ＝2，∴抛物线的准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：x ＝－13．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2，由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短， 即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案： 34．(2016·淮安模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是________．解析：∵y 2＝4x ，∴F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.答案：4 35．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________． 解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0， 设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12(a 2－50)10a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12(a 2－50)10a 2－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝16．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率e＝32，P ⎝⎛⎭⎫－283，m 是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，PF 1，PF 2成等差数列．则此双曲线方程为________．解析：由双曲线的第二定义知：d ＝23PF 1，又PF 1＝－(ex 0＋a )＝14－a ，|PF 2|＝－(ex 0－a )＝14＋a ，由已知得：d ＋|PF 2|＝2|PF 1|，即23(14－a )＋(14＋a )＝28－2a ，得a ＝2，c ＝3，b ＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝17．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)＞0，即t 2＜5.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－85t ，x 1·x 2＝4(t 2－1)5，则弦长|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝42×5－t 25≤4105.答案：41058．(2016·金陵中学模拟)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y－1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ·DC＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ＝(1,0)，DC ＝(－1,0)，所以AB ·DC＝－1. 答案：－19．(2016·南京师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形．(1)求椭圆方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连结CM ，交椭圆于点P ，证明： OM ·OP为定值．解：(1)由题意知a ＝2，b ＝c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝2. ∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：由题意知C (－2,0)，D (2,0)， 设M (2，y 0)，P (x 1，y 1)，则OP ＝(x 1，y 1)，OM ＝(2，y 0)．直线CM ：x －24＝y －y 0y 0，即y ＝y 04x ＋12y 0. 代入椭圆x 2＋2y 2＝4， 得⎝⎛⎭⎫1＋y 208x 2＋12y 20x ＋12y 20－4＝0. ∵x 1·(－2)＝4(y 20－8)y 20＋8，∴x 1＝－2(y 20－8)y 20＋8，∴y 1＝8y 0y 20＋8.∴OP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2(y 20－8)y 20＋8，8y 0y 20＋8. ∴OP ·OM ＝－4(y 20－8)y 20＋8＋8y 20y 20＋8＝4y 20＋32y 20＋8＝4(定值)． 10．(2016·无锡一中检测)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2(k 2－1)1＋2k 2.所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.因为OM ⊥ON ，所以 OM · ON ＝0，所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，所以k ＝±2，即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是________________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y －12＝k (x －1)(k 为切线的斜率)，即2kx －2y－2k ＋1＝0，由|－2k ＋1|4k 2＋4＝1，解得k ＝－34，所以圆x 2＋y 2＝1的一条切线的方程为3x ＋4y －5＝0， 可求得切点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45， 易知另一切点的坐标为(1,0)， 则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2， 令y ＝0得右焦点为(1,0)， 令x ＝0得上顶点为(0,2)， 故a 2＝b 2＋c 2＝5，所以所求椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：x 25＋y 24＝12．如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2. 试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由．解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14.解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3.设D 点坐标为(x D,0)． 因为DG ⊥AB ，所以3k 4k 2＋3－4k 24k 2＋3－x D×k ＝－1，解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0. 因为△GFD ∽△OED ， 所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝⎛⎭⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3，整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1＝S2.。
课时跟踪检测(四十七) 直线与圆锥曲线的位置关系
课时跟踪检测（四十七） 直线与圆锥曲线的位置关系一、综合练——练思维敏锐度1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )A.133 B ．143 C ．5D ．163解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163. 3．(2021·佛山模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．32C. 3D ． 2解析：选D ∵过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y ＝ba x 平行，∴b a ＝1，由e ＝c a＝1＋b 2a2＝ 2. 4．已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.5．(多选)设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是( )A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点M 坐标为⎝⎛⎭⎫13，43 D ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423解析：选BD 对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A 项不正确；对于B 项，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为y ＝x ＋1，点M ⎝⎛⎭⎫13，43，则k AB ·k OM ＝1·4＝4≠－2，所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立，得到2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理得：3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43，所以|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪－43－0＝423，所以D 项正确．6.如图，过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13<k <12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，34 B ．⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎝⎛⎭⎫0，12解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a (a ＋c ).又13<k <12，所以13<a 2－c 2a (a ＋c )<12，化简可得13<1－e 21＋e <12，从而可得12<e <23，选C. 7．(2021·漳州质检)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－1，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2. 又线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝2×12＝1，y 1＋y 2＝(－1)×2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋8y ＋7＝0.8．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，且直线l 不与x 轴垂直，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5，0)，O 为坐标原点，则 S △AOB ＝( )A ．2 2B ． 3 C. 6D ．3 6解析：选A 由题意知抛物线的焦点为F (1,0)，设直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝2k ＋4k －2k ＝4k ，所以线段AB 的中点为⎝⎛⎭⎫1＋2k 2，2k ，线段AB 的垂直平分线的方程为y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －1－2k 2.因为线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点T (5,0)，所以0－2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫5－1－2k 2，解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0或x ＋y －1＝0，所以点O 到直线AB 的距离d ＝|－1|1＋1＝22.又|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×36－4＝8，所以S △AOB ＝12×22×8＝22，故选A.9．已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．解析：如图，记椭圆的右焦点为F ′，取PF 的中点为M ， 由题意知，a ＝3，b ＝5，∴c ＝2， 连接OM ，PF ′， 则|OM |＝|OF |＝2，又∵M 为PF 中点，O 为FF ′中点， ∴|PF ′|＝2|OM |，PF ′∥OM ，∴|PF ′|＝4， 又∵P 在椭圆上，∴|PF ′|＋|PF |＝6，∴|PF |＝2， 在△PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|＝4，|PF |＝2， 连接F ′M ，则F ′M ⊥PF ， ∴|F ′M |＝|FF ′|2－|PM |2＝16－1＝15，∴k PF ＝tan ∠PFF ′＝|F ′M ||FM |＝151＝15.答案：1510．已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：由题意知，椭圆的右焦点F 1的坐标为(1,0)，直线AB 的方程为y ＝2(x －1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，x 25＋y 24＝1，消去y ，整理得3x 2－5x ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0.则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫532－4×0＝553. 答案：55311．已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是______________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则y 1＋y 2＝2，又点A ，B 在抛物线y 2＝4x上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，则y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，即直线AB 的斜率k ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝012．已知过抛物线y 2＝42x 焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，AF ―→＝3FB ―→，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM ⊥l 于点M ，则四边形AMCF 的面积为________．解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋2， x ＝my ＋2与y 2＝42x 联立可得 y 2－42my －8＝0，y A y B ＝－8，∵AF ―→＝3FB ―→，∴y B ＝－13y A ，y 2A ＝24⇒y A ＝±26， 则24＝42x A ，可得x A ＝32，AM ＝x A ＋p2＝32＋2＝42，四边形AMCF 的面积为12(CF ＋AM )×|y A |＝12×(22＋42)×26＝12 3.答案：12 313．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. ③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 14．(2020·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC ―→＝OF ―→，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可得b ＝3.记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3.又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18.所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1，消去y ，可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝12k 2k 2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1.因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为()0，－3，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1.由3OC ―→＝OF ―→，得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1.又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1.所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3.二、自选练——练高考区分度1.(多选)如图，过点P (2,0)作两条直线x ＝2和l ：x ＝my ＋2(m >0)分别交抛物线y 2＝2x 于A ，B 和C ，D (其中A ，C 位于x 轴上方)，直线AC ，BD 交于点Q .则下列说法正确的是( )A ．C ，D 两点的纵坐标之积为－4B ．点Q 在定直线x ＝－2上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PA 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有∠CQP ＝∠BQP解析：选AB 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，将直线l 的方程x ＝my ＋2代入抛物线方程y 2＝2x 得：y 2－2my －4＝0.则y 1y 2＝－4，故A 正确； 由题得A (2,2)，B (2，－2)，直线AC 的方程为y －2＝2y 1＋2(x －2)，直线BD 的方程为y ＋2＝2y 2－2(x －2)，消去y 得x ＝2(y 1y 2－y 1＋y 2)y 1－y 2＋4，将y 1y 2＝－4代入上式得x ＝－2，故点Q 在直线x ＝－2上，故B 正确； 设抛物线y 2＝2x的任一点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a22，a ， 则MP ＝⎝⎛⎭⎫a 22－22＋a 2＝ 14(a 2－2)2＋3. 当a 2＝2时，MP 取得最小值3，又PA ＝2>3，故C 错误； 因为PA ＝PB ，但QA ≠QB ，所以D 错误．2．过抛物线y 2＝mx (m >0)的焦点F 作斜率为22的直线交抛物线于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与准线l 有公共点M ，若|MF |＝2，则|AB |＝________.解析：不妨设A 在x 轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB 为直径的圆与准线l 有公共点M ，∴MA ⊥MB ，取AB 中点C ，连接MC ，如图． 根据抛物线性质，∴MC 平行于x 轴，且MF ⊥AB ， ∴|MF |2＝|AF |·|BF |，∵直线AB 过抛物线y 2＝mx (m ＞0)的焦点F 且斜率为22， 根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF |＝2|BF |， ∵|MF |＝2，∴(2)2＝2|BF |2， ∴|BF |＝1，|AF |＝2，∴|AB |＝3. 答案：33．(2020·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (－2，－1)，且a ＝2b .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点B (－4,0)的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝－4于点P ，Q ，求|PB ||BQ |的值．解：(1)因为a ＝2b ，所以椭圆的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，又因为椭圆过点A (－2，－1)，所以有44b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)由题意知直线MN 的斜率存在．当直线MN 的斜率为0时，不妨设M (－22，0)，N (22，0)， 则直线MA ：y ＝－1－2＋22(x ＋22)，直线NA ：y ＝－1－2－22(x －22)，则y P ＝2，y Q ＝－2，|PB ||BQ |＝1.当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN ：x ＝my －4(m ≠0)，与椭圆方程x 28＋y 22＝1联立，化简得(m 2＋4)y 2－8my ＋8＝0，Δ＝64m 2－32(m 2＋4)＝32(m 2－4)>0，解得m 2>4. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1y 2＝8m 2＋4，y 1＋y 2＝8m m 2＋4.直线MA 的方程为y ＋1＝y 1＋1x 1＋2(x ＋2)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2(y 1＋1)x 1＋2－1，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－(m ＋2)y 1my 1－2.直线NA 的方程为y ＋1＝y 2＋1x 2＋2(x ＋2)，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－2(y 2＋1)x 2＋2－1，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－(m ＋2)y 2my 2－2.所以|PB ||BQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(m ＋2)y 1my 1－2⎪⎪⎪⎪⎪⎪my 2－2(m ＋2)y 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪my 1y 2－2y 1my 1y 2－2y 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8mm 2＋4－2y 18m m 2＋4－2y 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 2－2y 1y 1＋y 2－2y 2＝1. 综上，|PB ||BQ |＝1.。
高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十一)直线与圆锥曲线理苏教版
课时跟踪检测（五十一） 直线与圆锥曲线一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·徐州第一中学检测)若双曲线x 29－y 24＝1与直线y ＝kx －1有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．解析：把直线y ＝kx －1代入双曲线x 29－y 24＝1中，消去y ，得(4－9k 2)x 2＋18kx －45＝0，当4－9k 2＝0，即k ＝±23时，直线与双曲线相交，有一个交点；当4－9k 2≠0，即k ≠±23时，令Δ＝0，得182k 2＋4(4－9k 2)×45＝0，解得k ＝±53，此时直线与双曲线相切，有一个交点． 综上，k 的值有4个，即这样的直线有4条． 答案：42．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN＝3. 答案：33．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则点A 的横坐标为________．解析：16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由AK ＝2AF 得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3.答案：－34．(2019·江都中学检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线的离心率为2，O 为坐标原点，△AOB 的面积为33，则p ＝________. 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，∴A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb2a ，∵双曲线的离心率为2，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，则ba＝3， ∴A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a ＝±3p 2，又△AOB 的面积为33， ∴12×3p ×p 2＝33，解得p ＝233. 答案：2335．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．(2018·海门中学检测)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－17．(2019·宁海中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：根据题意得，直线AB 2的方程为：y ＝b ax ＋b ， 直线B 1F 的方程为：y ＝b cx －b ， 联立两直线方程解得x ＝2aca －c. 又由题意可得2ac a －c ＝a2c ，化简得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0， 又0＜e ＜1，解得e ＝12.答案：128．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB ＝12，若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为________．解析：由题意知，抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，对称轴为x 轴，准线为x ＝－p2.因为直线l 与x 轴垂直，所以AB ＝2p ＝12，p ＝6，又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直线AB 的距离为6，所以△ABM 的面积S ＝12×6×12＝36.答案：369．(2018·镇江期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段P Q 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△PO Q 面积的最大值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1消去x ，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，故y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，x 1＋x 22＝my 1＋y 2＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝＋m 2216＋m2， 则S △PO Q ＝12OD |y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.令T ＝n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝＋m2＋m22，设t ＝4＋m 2(t ≥4)，则4＋m2＋m22＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤12t ·144t＋24＝148， 当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，S △PO Q ＝1，所以△PO Q 面积的最大值为1.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q.(1)若AP ＝P Q ，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M ，N ，求证：AP ·A QMN 2为定值． 解：(1)依题意，椭圆C 的左顶点A (－2,0)， 设直线l 的斜率为k (k ＞0)，点P 的横坐标为x P ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2·x P ＝16k 2－44k 2＋1，从而x P ＝2－8k21＋4k 2.因为AP ＝P Q ，所以x P ＝－1.所以2－8k 21＋4k 2＝－1，解得k ＝32(负值舍去)． (2)证明：设点N 的横坐标为x N .结合(1)知，直线MN 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得x 2N ＝41＋4k2. 从而AP ·A QMN 2＝x P ＋x N2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋24×41＋4k2＝12(定值)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上的动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．解：(1)由题意得ca ＝22，故a ＝2c . 又椭圆上的动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)， 所以a －c ＝3(2－1)，所以c ＝3，a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝9， 所以椭圆C 的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，对于x 218＋y 29＝1，令y ＝－1，得x ＝±4，此时以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.当直线l 的斜率不存在时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＋2＝16，x 2＋y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，即两圆的交点为(0,3)，记T (0,3)．猜想以线段AB 为直径的圆恒过定点T (0,3)．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 218＋y29＝1，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，所以Δ＝(－4k )2＋64(1＋2k 2)＝144k 2＋64＞0，x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k2. 因为TA ―→·TB ―→＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16＝－k 2＋1＋2k2－16k 21＋2k 2＋16＝－＋2k 21＋2k2＋16＝0，所以TA ⊥TB ，故以线段AB 为直径的圆过点T (0,3)．综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(0,3)．2．(2019·盐城模拟)如图，已知F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，点P (－2,3)是椭圆C 上一点，且PF 1⊥x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)设圆M ：(x －m )2＋y 2＝r 2(r ＞0)．①设圆M 与线段PF 2交于A ，B 两点，若MA ―→＋MB ―→＝MP ―→＋MF 2―→，且AB ＝2，求r 的值；②设m ＝－2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点(均异于点P )．试问：是否存在这样的正数r ，使得G ，H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P (－2,3)是椭圆C 上一点，且PF 1⊥x 轴， 所以椭圆的半焦距c ＝2，由c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以b 2a ＝a 2－4a＝3， 化简得a 2－3a －4＝0，解得a ＝4，所以b 2＝12， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①因为MA ―→＋MB ―→＝MP ―→＋MF 2―→， 所以MA ―→－MP ―→＝MF 2―→－MB ―→，即PA ―→＝BF 2―→. 所以线段PF 2与线段AB 的中点重合(记为点Q)，由(1)知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 因为圆M 与线段PF 2交于A ，B 两点， 所以k M Q ·k AB ＝k M Q ·kPF 2＝－1， 即0－32m ·3－0－2－2＝－1，解得m ＝－98， 所以M Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－98－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＝158，又AB ＝2，所以r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＋12＝178.②假设存在正数r 满足题意．由G ，H 两点恰好关于原点对称，设G (x 0，y 0)，则H (－x 0，－y 0)，不妨设x 0＜0. 因为P (－2,3)，m ＝－2，所以两条切线的斜率均存在， 设过点P 与圆M 相切的直线的斜率为k ，则切线方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 由该直线与圆M 相切，得r ＝31＋k2，即k ＝±9－r2r 2，所以两条切线的斜率互为相反数，即k PG ＝－k PH ， 所以y 0－3x 0＋2＝－－y 0－3－x 0＋2，化简得x 0y 0＝－6，即y 0＝－6x 0， 代入x 2016＋y 2012＝1，化简得x 40－16x 20＋48＝0， 解得x 0＝－2(舍去)或x 0＝－23， 所以y 0＝3，所以G (－23，3)，H (23，－3)， 所以k PG ＝3－3－2＋23＝32，所以r ＝31＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝677. 故存在满足条件的正数r ，且r ＝677.。
2021版高考数学一轮复习直线与圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线的位置关系课时跟踪检测理新人教A版
第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届厦门模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．23C ．233D ．33解析：选D ∵|PF 1|＝|PQ |，且∠F 1PQ ＝60°，∴△F 1PQ 为等边三角形，又周长为4a ，∴△F 1PQ 的边长为4a 3，在△PF 1F 2中，|PF 1|＝4a 3，|PF 2|＝2a 3，|F 1F 1|＝2c ，∴利用余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32－2×4a 3×2a 3×cos 60°＝(2c )2，即a 2＝3c 2，∴e 2＝c 2a 2＝13，∴e ＝33.2．已知椭圆C ：x 29＋y 25＝1，若直线l 经过M (0，1)，与椭圆交于A ，B 两点，且MA →＝－23MB →，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±12x ＋1B ．y ＝±13x ＋1C ．y ＝±x ＋1D ．y ＝±23x ＋1解析：选B 依题意，知斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋1，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 25＝1，消去y ，整理得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0，Δ＝(18k )2＋4×36×(9k 2＋5)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－18k9k 2＋5，x 1x 2＝－369k 2＋5，x 1＝－23x 2，解得k ＝±13，即直线l 的方程为y ＝±13x ＋1，故选B ．3．如图，F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，若双曲线C 的离心率为7，|AB |＝|AF 2|，则直线l 的斜率为( )A ．12B ．33C ．22D ．32解析：选D 由题意及双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|AB |＝|AF 2|，则|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，故|BF 2|＝|BF 1|＋2a ＝4a .在△BF 1F 2中，由余弦定理可得16a 2＝4a 2＋4c 2－2×2a ×2c cos ∠BF 1F 2，即3a 2＝c 2－2ac cos ∠BF 1F 2，又e ＝c a＝7，所以cos ∠BF 1F 2＝27，所以sin ∠BF 1F 2＝37，则直线l 的斜率k ＝tan ∠BF 1F 2＝32，故选D ．4．(2019届湖北武汉4月调研)过点P (4，2)作直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1交于A ，B两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4 3解析：选D 由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）＋2，x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2. 因为P (4，2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ>0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝4 3.故选D ．5．(2019届湖南长沙二模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，a (a >0)在抛物线C 上，|AF |＝3.若直线AF 与抛物线C 交于另一点B ，则|AB |＝( )A ．12B ．10C ．9D ．4.5解析：选C 由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，又A (1，a )(a >0)在抛物线C 上，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22)．又焦点为F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，所以|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C ．6．(2019届湖南百所名校4月大联考)已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，作倾斜角为3π4的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，OM →与MA →的夹角为θ，且|tanθ|＝3，则b ＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．62解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 21b2＝1，x 224＋y 22b 2＝1，两式作差得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）4＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0.由题意知y 1－y 2x 1－x 2＝－1，x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，∴x 04－y 0b 2＝0，即y 0x 0＝b 24.设直线OM 的倾斜角为α，则θ＝α＋π4或θ＝3π4－α，tan θ＝±tan α＋11－tan α，又tanα＝y 0x 0＝b 24，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 24＋1⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－b 24＝3，结合0<b <2，得b 2＝2，即b ＝2，故选B ．7．(2019届辽宁五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为b .(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个顶点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解：(1)由题意得F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，B (0，b )，则由题意得 2a ＋2c ＝6， ①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即b 2＝3c 2. ② 又a 2＝b 2＋c 2， ③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，设P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，y 0x 0＋2（m ＋2）. 又点P 在椭圆C 上，所以y 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204， 若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，即A 2M →·A 2P →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2，y 0x 0＋2（m ＋2）(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14m －72＝0.又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2，所以14m －72＝0，所以m ＝14.8．(2019届成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1，0)，E (5，0)，M (3，0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. ∵y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k （x 1－1）x 1－3－k (x 2－1) ＝3k （x 1＋x 2）－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .B 级·素养提升 |练能力|9.(2019届湖北武汉4月调研)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 C ．⎝⎛⎭⎪⎫－52，52 D ．⎝⎛⎭⎪⎫1，52 解析：选D 由题意知k >0，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0 ①，因为直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，所以方程①有两个不同的正实数根，设为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4k 2＋20（1－k 2）>0，x 1＋x 2＝－2k 1－k 2>0，x 1x 2＝－51－k 2>0，解得1<k <52，即k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，52，故选D ． 10．(2019届河北石家庄二模)已知倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A ．32 B ．23 C ．22D ．33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c 与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y2＋2b 2cy －b 4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2ca 2＋b 2，y 1y 2＝－b 4a 2＋b2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，－2y 22＝－b4a 2＋b 2，∴12＝4c2a 2＋b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴e ＝23，故选B ． 11．(2019届河北石家庄4月模拟)已知双曲线C ：x 2－4y 2＝1，过点P (2，0)的直线l 与双曲线C 有唯一公共点，则直线l 的方程为________．解析：由题意知，点P (2，0)在双曲线内，故满足条件的直线l 只能是与双曲线的两条渐近线y ＝±12x 平行的直线．又该直线过点P (2，0)，因此该直线l 的方程为y ＝±12(x －2)．答案：y ＝±12(x －2)12．(2020届贵阳摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，椭圆C 的左焦点F 1到双曲线x 22－y 2＝1的渐近线的距离为33.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0)与椭圆C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆经过点F 2，且原点O 到直线l 的距离为255，求直线l 的方程． 解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，∴ca ＝22. 又双曲线x 22－y 2＝1的其中一条渐近线方程为x －2y ＝0，椭圆C 的左焦点F 1(－c ，0)，∴由题意知，|－c |1＋2＝33，解得c ＝1， ∴a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 2(1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m (k ＜0)的距离为255，得|m |1＋k 2＝255，即m 2＝45(1＋k 2)． ① 将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∴Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝8(2k 2－m 2＋1)＞0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2.又以线段AB 为直径的圆经过点F 2，∴F 2A →·F 2B →＝0， 即(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋(km －1)(x 1＋x 2)＋m 2＋1＝0， ∴(1＋k 2)·2m 2－21＋2k 2＋(km －1)·－4km 1＋2k2＋m 2＋1＝0，化简得3m 2＋4km －1＝0. ②由①②，得11m 4－10m 2－1＝0，∴m 2＝1.又k ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，k ＝－12，满足Δ＝8(2k 2－m 2＋1)＞0，∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋1.。
高三数学一轮复习课时作业53 直线与圆锥曲线的位置关系B 文 北师大版
[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．双曲线x 29－y 216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．52．斜率为1的直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长的最大值为( )A.255 B.4105 C.455 D.21053．过抛物线y 2＝4x 的焦点作倾斜角为135°的弦AB ，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 24．设抛物线C 的顶点为原点，焦点F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点(2,2)，则直线l 的方程为________．能力提升5．动圆M 的圆心M 在抛物线y 2＝4x 上移动，且动圆恒与直线l ：x ＝－1相切，则动圆M 恒过点( )A ．(－1,0)B ．(－2,0)C ．(1,0)D ．(2,0)6．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个7．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M 点，若MF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 5C. 3D. 28．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为( )A.32 B.233 C.932 D.23279．过原点的直线l 被双曲线y 2－x 2＝1截得的弦长为22，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30°或150° B．45°或135° C ．60°或120° D．75°或105°10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个顶点分别为A 1、A 2，一个虚轴端点为B ，若它的焦距为4，则△A 1A 2B 面积的最大值为________．11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy 中，点A 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点，B ，C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于________．图K53－112．抛物线y 2＝4x 过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．[2011·连云港调研] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴，证明：直线AC 经过原点O .15．(13分)已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1,0)，动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与(1)中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．难点突破16．(12分)[2011·天津卷] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．课时作业(五十三)B【基础热身】1．A [解析] 双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B [解析] 当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y ＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M 25，25，于是弦长为2|OM |＝4105.故选B.3．C [解析] 抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB 所在的直线方程为y ＝－x ＋1代入抛物线方程，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，由弦长公式，得|AB |＝2×62－4×1＝8.故选C.4．y ＝x [解析] 由题意知，抛物线C 的方程y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1， l ：y －2＝x －2，即y ＝x .【能力提升】5．C [解析] 因为直线l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M 到F 的距离等于M 到抛物线准线l 的距离．所以动圆M 恒过抛物线的焦点F (1,0)．故选C.6．B [解析] 依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m 2＋n 2>2，所以m 2＋n 2<4，该不等式表明点(m ，n )在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x 29＋y 24＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C [解析] 由题意知△F 1MF 2是直角三角形，且|F 1F 2|＝2c ，∠MF 2F 1＝30°，所以|MF 1|＝2c 3，于是点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2c 3.所以c 2a 2－4c 23b 2＝1，即c 2a 2－4c 23c 2－a 2＝1，将e ＝c a 代入，化简整理，得3e 4－10e 2＋3＝0，解得e 2＝13(舍去)，或e 2＝3，所以e ＝ 3.故选C.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝1－x 代入椭圆方程，得(a ＋b )x 2－2bx＋b －1＝0，则x 1＋x 22＝b a ＋b ，即线段AB 中点的横坐标为ba ＋b，代入直线方程y ＝1－x 得纵坐标为aa ＋b，所以过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ab ＝32.故选A. 9．C [解析] 设直线l 方程为y ＝kx ，代入双曲线方程得(k 2－1)x 2＝1，∴x ＝±1k 2－1，y ＝±kk 2－1， ∴两交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－1，k k 2－1， B ⎝⎛⎭⎪⎫－1k 2－1，－k k 2－1，由两点间距离公式得，|AB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k k 2－12＝(22)2，解得k ＝±3，∴倾斜角为60°或120°.10．2 [解析] 依题意，S △A 1A 2B ＝ab ≤a 2＋b 22＝c 22＝2，所以△A 1A 2B 面积的最大值为2.11.223[解析] 设椭圆的半焦距为c .因为四边形OABC 为平行四边形，∵BC ∥OA ，|BC |＝|OA |，所以点C 的横坐标为a 2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB ＝30°，所以3b 2＝33×a 2，即a ＝3b ，a 2＝9a 2－9c 2， 所以8a 2＝9c 2，所以离心率e ＝223.12．y 2＝2(x －1) [解析] 抛物线焦点为F (1,0)，设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点P (x ，y )，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，作差得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)①.将y 1＋y 2＝2y ，y 1－y 2x 1－x 2＝y x －1代入①式，得2y ·yx －1＝4， 即y 2＝2(x －1)．13．(1，5) [解析] 双曲线的渐近线为bx ±ay ＝0，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＋2a >0，b －2a <0，即b <2a ，所以c 2－a 2<4a 2，那么e ＝ca< 5.又e >1，所以e ∈(1，5)．14．[解答] 证明：设过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2pmy －p 2＝0，∴y 1y 2＝－p 2.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，y 2.k CO ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1＝k OA ，故AC 过原点O .15．[解答] (1)设圆M 的半径为r ， 因为圆M 与圆F 1内切，所以MF 2＝r ， 所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝ 3.所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S △AOF 1.因为S △ABF 1＝32，所以S △AOF 1＝34.不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S △AOF 1＝12·OF 1·y 1＝34，所以y 1＝32，x 1＝±3， 即A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32， 所以直线l 的斜率为±12，故所求直线方程为x ±2y ＝0. 【难点突破】 16．[解答] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c ，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16，整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.。
课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系
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课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的 结束 位置关系
x2 y2 11．解：(1)设椭圆方程为a2＋b2＝1(a>0，b>0)， c 1 因为 c＝1，a＝2，所以 a＝2，b＝ 3， x2 y2 所以椭圆方程为 4 ＋ 3 ＝1. (2)由题意得直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y＝kx＋1， kx＋1， y＝ 联立方程x2 y2 ＋ ＝1， 4 3 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且 Δ>0.
数学
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课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的 结束 位置关系
10．解析：由抛物线方程 y2＝4x 可知焦点 F(1,0)，准线为 x＝－1.直 3 线 EF 的斜率为 k＝tan 150° ＝－ 3 ， 3 所以直线 EF 的方程为 y＝－ 3 (x－1)， 2 3 与准线方程联立可得点 E－1， ， 3 2 3 故可设 Px， ， 3 1 2 将其代入抛物线方程 y ＝4x，解得 x＝3. 1 4 所以|PE|＝3－－1＝3， 4 由抛物线的定义可知|PE|＝|PF|，故|PF|＝3. 4 答案：3
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课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的 结束 位置关系
课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系 b b 1．解析：因为直线y＝ a x＋3与双曲线的渐近线y＝ a x平行，所以 它与双曲线只有1个交点． 答案：A 2．解析：根据已知条件得c＝ 16－m2，则点
2 2 x y 2 16－m2， 16－m2在椭圆16＋m2＝1(m>0)上， 2
16－m2 16－m2 ∴ ＋ ＝1，可得m＝2 2. 16 2m2 答案：B
高中数学课时跟踪训练十三直线与圆锥曲线新人教B版选修1
高中数学课时跟踪训练十三直线与圆锥曲线新人教B版选修11.直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )A．2或－2B．－1D．3C．2 2．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( )A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )D．5A. B．4C．3 4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )A.B. C.D.223 5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．6．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．7.如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求抛物线x2＝4y上到直线y＝x－3距离最短的点及最短距离．8．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦的长度．答案1．选C 由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则＝4，解得k＝2(k＝－1舍去)．2．选B 因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．3．选A ∵抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为＝.4．选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4.①∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2.②由①②得x2＝1，∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.。
2021届高考数学一轮温习 课时跟踪检测52 直线与圆锥曲线的位置关系 文 湘教版(1)
课时跟踪检测(五十二) 直线与圆锥曲线的位置关系(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右核心，若△F 1PF 2 为直角三角形，那么如此的点P 有 ( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个2. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，那么此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝03．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的核心F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．44．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右核心别离为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，假设|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．15．(2021·兰州名校检测) 已知椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右核心别离为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴别离交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，那么该椭圆的离心率e ＝________.6．(2021·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 知足|PA |－|PB |＝2，那么动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________. 7. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右核心，且AF ·FB ＝1，|OF |＝1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上极点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是不是存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．8．(2021·郑州模拟)已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程． 第Ⅱ卷：提能增分卷1. 已知中心在座标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的核心，且椭圆E 的离心率是63.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆E 相交于A ，B 两点．假设线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程． 2．已知椭圆C ：y 2a2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到核心的距离为2.(1)求椭圆C 的方程； (2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是不是存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点O ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，请说明理由．3. (2021·广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2＝4y有一个相同的核心F1，直线l：y＝2x＋m与抛物线C2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)假设椭圆C 1通过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C 当∠PF 1F 2为直角时，依照椭圆的对称性知，如此的点P 有2个，同应当 ∠PF 2F 1为直角时，如此的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，现在如此的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2．选B 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，因此所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 3．选B 依照题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝λFB 得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2， 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，y 1＋y 22y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94， 即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.4．选D 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的概念，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，因此|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆核心的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝3.5．解析：因为点A ，B 别离是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，因此点A ，B 的坐标别离是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |, 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e e －1，y 0＝ea .(*)因为点M 在椭圆上，因此x 20a2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得e －12e 2＋e 2a 2b 2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0, 解得e ＝5－12.答案：5－126．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，那么b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x .假设P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，那么需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 7．解：(1)设椭圆方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，那么c ＝1，又∵AF ·FB ＝(a ＋c )·(a－c )＝a 2－c 2＝1.∴a 2＝2，b 2＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)，∴直线l 的斜率k ＝1. 于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x22＋y 2＝1.得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， x 1＋x 2＝－43m ，①x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP ·FQ ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经查验m ＝－43符合条件．故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.8．解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，因此轨迹E 是以A ，C 为核心，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由题意，直线AB 的斜率不可能为0， 而直线x ＝1也不知足条件， 故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0， 因此⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4.由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1， 即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题知椭圆E 的核心在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303，故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53， 故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5.(2)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 2＋3y 2＝5，消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A ，B 两点坐标别离为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－43k 2＋13k 2－5＞0，*，x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1.由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，符合(*)式．因此直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.2．解：(1)设椭圆的焦半距为c ，那么由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3，故所求C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点O .理由如下： 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1并整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0. (*)则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4.因为以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点O ，因此OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3， 即y 1y 2＝－k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝－4k 2＋12k 2＋4，于是有－1k 2＋4＋－4k 2＋12k 2＋4＝0，解得k ＝±112.经查验知：现在(*)的判别式Δ＞0，适合题意． 即(*)的判别式Δ＞0恒成立．因此当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好通过坐标原点O . 3．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y .消去y ，得x 2－8x －4m ＝0，∵ 直线l 与抛物线C 2只有一个公共点，∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4.∴直线l 的方程为y ＝2x －4.(2)∵抛物线C 2的核心为F 1(0,1)，依题意知椭圆C 1的两个核心的坐标为F 1(0,1)，F 2(0，－1)设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a ＞1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2a 2＋x 2a 2－1＝1.消去y, 得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*)由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∵a ＞1，∴a ≥2，∴e ＝1a ≤12， 当a ＝2时，e max ＝12，现在椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1. 把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32. 又y ＝2x －4，∴y ＝－1，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.。
高中数学 课时跟踪检测(十五)直线方程的点斜式 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题
课时跟踪检测（十五） 直线方程的点斜式一、基本能力达标1．若直线l 的倾斜角为45°，且经过点(2,0)，则直线l 的方程是( )A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －2C ．y ＝33x －233D ．y ＝3x －2 3解析：选B 由题得直线l 的斜率等于tan 45°＝1，由点斜式求得直线l 的方程为y －0＝x －2，即y ＝x －2.故选B.2．经过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程是( )A ．y ＝－x －3B ．y ＝x ＋3C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝x －3解析：选C 过点A (－1,4)且在x 轴上的截距为3的直线方程可以设为y －4＝k (x ＋1)．令y ＝0，得x ＝－4k－1＝3，解得k ＝－1，即所求直线方程为y ＝－x ＋3. 3．方程y ＝k (x ＋4)表示( )A ．过点(－4,0)的所有直线B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线解析：选C 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．4．如果方程为y ＝kx ＋b 的直线经过二、三、四象限，那么有( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 解析：选D 因为直线y ＝kx ＋b 经过二、三、四象限，所以直线的斜率为负值，在y 轴上的截距为负，因此k ＜0，b ＜0，故选D.5．直线y ＝ax －1a的图像可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和在y 轴上的截距必须异号，故B 正确． 6．直线y ＝43x －4在y 轴上的截距是________． 解析：由y ＝43x －4，令x ＝0，得y ＝－4. 答案：－47．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．解析：y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 答案：－128．已知一条直线经过点P (1,2)，且其斜率与直线y ＝2x ＋3的斜率相同，则该直线的方程是________．解析：直线的斜率与y ＝2x ＋3的斜率相同，故k ＝2，又过P (1,2)，∴直线的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.答案：2x －y ＝09．直线l 1过点P (－1,2)，斜率为－33，把l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°角得直线l 2，求直线l 1和l 2的方程．解：直线l 1的方程是y －2＝－33(x ＋1)． 即3x ＋3y －6＋3＝0.∵k 1＝－33＝tan α1，∴α1＝150°.如图，l 1绕点P 按顺时针方向旋转30°，得到直线l 2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k 2＝tan 120°＝－3，∴l 2的方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y －2＋3＝0.10．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程． (1)经过点(3，－1)；(2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°， 故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33， (1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为33， ∴所求直线方程是y ＋1＝33(x －3)， 即3x －3y －6＝0.(2)∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5. 二、综合能力提升1．经过点(－1,1)，斜率是直线y ＝22x －2的斜率的2倍的直线方程是( ) A ．x ＝－1B ．y ＝1C ．y －1＝2(x ＋1)D ．y －1＝22(x ＋1)解析：选C 由方程知，已知直线的斜率为22，所以所求直线的斜率是 2.由直线的点斜式方程可得方程为y －1＝2(x ＋1)．2．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系如图所示，则有( )A ．k 1＜k 2且b 1＜b 2B ．k 1＜k 2且b 1＞b 2C ．k 1＞k 2且b 1＞b 2D ．k 1＞k 2且b 1＜b 2解析：选A 设直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知90°＜α1＜α2＜180°，所以k 1＜k 2.又b 1＜0，b 2＞0，所以b 1＜b 2.故选A.3．在等腰△ABO 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，而点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 如图，由几何性质知，OA 与AB 的倾斜角互补，k OA ＝3，k AB ＝－3，∴直线AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(2,1)解析：选B ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]，∴直线恒过定点(－2,1)．5．已知直线l ：y ＝k (x －1)＋2不经过第二象限，则k 的取值X 围是________． 解析：由l 的方程知l 过定点A (1,2)，斜率为k ，则k OA ＝2(O 为坐标原点)，如图所示，则由数形结合可得，k ≥2时满足条件．答案：[2，＋∞)6．给出下列四个结论：①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1；④所有的直线都有点斜式和斜截式方程．其中正确结论的序号为________．解析：①不正确．方程k ＝y －2x ＋1不含点(－1,2)；②正确；③正确；④只有k 存在时成立． 答案：②③7．已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线l 的方程． 解：设所求的直线l 的方程为y ＝6x ＋b ，令x ＝0，y ＝b ，令y ＝0，x ＝－b 6， ∴l 与x ，y 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 6，0，(0，b )． 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 62＋b 2＝37，得b ＝±6. ∴直线l 的方程为y ＝6x ±6.探究应用题8．求与两坐标轴围成的三角形的周长为9，且斜率为－43的直线方程． 解：设直线l 的方程为y ＝－43x ＋b .令x ＝0，得y ＝b ； 令y ＝0，得x ＝34b . 由题意，得|b |＋34|b |＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b 2＝9. ∴|b |＋34|b |＋54|b |＝9， ∴b ＝±3.∴所求直线方程为y ＝－43x ＋3或y ＝－43x －3.。
高中数学课时跟踪训练十三直线与圆锥曲线新人教B版选修144
课时跟踪训练(十三) 直线与圆锥曲线1.直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3 2．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 3．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. 5 B ．4 2 C ．3D ．5 4．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2235．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 6．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．7.如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求抛物线x 2＝4y 上到直线y ＝x －3距离最短的点及最短距离．8．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦的长度．答 案1．选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝8x ，y ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0， 则4k ＋2k 2＝4，解得k ＝2(k ＝－1舍去)． 2．选B 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．3．选A ∵抛物线y 2＝12x 的焦点为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ， ∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.4．选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4.①∵|FA |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|FA |＝2|FB |，∴x 1＝2x 2＋2.②由①②得x 2＝1，∴B (1,22)， 代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223. 5．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 544＋24＝35.答案：356．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12×1×23＝ 3. 答案： 37．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0，(*) 因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0.解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0，解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1，故点A (2,1)．则抛物线x 2＝4y 上A 到直线y ＝x －3的距离最短，最短距离为|2－1－3|2＝ 2. 8．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 消去y ，整理得 5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. (1)∵直线与椭圆有公共点， ∴Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2≥0，解之，得－52≤m ≤52. 故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52 (2)设弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝m 2－15， 则弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 2x 1] ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－4m 2－15＝2510－8m 2. 当m ＝0时，l 取得最大值为2105.。
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课时跟踪检测（五十五） 直线与圆锥曲线1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( ) A.133 B.143 C ．5D.163解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l 与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D 直线l 的方程为y ＝33()x ＋13，代入C ：x 24－y 29＝1，整理得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所以AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3 2.6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －p 2，x 2＝2py 得x 2－2pkx ＋p 2＝0，由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ⎝⎛⎭⎫p ，p 2，P ⎝⎛⎭⎫－p ，p2， ∴△AP Q 的面积为12×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，∴双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝32. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2. 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p 2，可得x 2－3px ＋p 24＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，∴M ⎝⎛⎭⎫3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p2. ∴C ⎝⎛⎭⎫5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝⎝⎛⎭⎫3p 2＋5p 2·p 2－12·p2·p ＝7p 24＝7， 又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.9．(2018·湖北十堰二模)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A ，B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.7 C.233D. 3解析：选B ∵△ABF 2为等边三角形， ∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a . ∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°， ∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×12，即c 2＝7a 2，∴e ＝c a＝c 2a 2＝7.故选B. 10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：选A ∵l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k 2＝1， ∴m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk1－k 2， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k 2， ∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.11．(2019·安庆模拟)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且满足AF ―→＝λFB ―→，若|AF ―→|＝32，则λ的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线x 2＝4y 得焦点F 的坐标为(0,1)， 准线方程为y ＝－1，∵|AF ―→|＝32，∴y 1＋1＝32，解得y 1＝12，∴x 1＝±2，由抛物线的对称性取x 1＝2， ∴A ⎝⎛⎭⎫2，12，∴直线AF 的方程为y ＝－24x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－24x ＋1，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，∴B (－22，2)，∴|FB ―→|＝2＋1＝3，∵AF ―→＝λFB ―→，∴|AF ―→|＝λ|FB ―→|，∴32＝3λ，解得λ＝12.答案：1212．(2019·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线P Q 过原点O 且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P ，Q 两点，则|P Q |2|MN |＝________.解析：法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，则直线P Q 的方程为x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|P Q |＝1＋m 2|y3－y 4|＝22m 2＋1m 2＋2. 故|P Q |2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|P Q |＝2b ＝2，则|P Q |2|MN |＝2 2. 答案：2 213．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线l ：y ＝3(x －1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则p ＝________. 解析：由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3(x －1)，消去y ，得3x 2－(2p ＋6)x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2p ＋63，x 1x 2＝1，所以|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2 (2p ＋6)29－4＝163，所以p ＝2. 答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p ＞0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p ＞0)的另一个交点为Q ，则S △AB QS △ABO ＝________.解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝⎛⎭⎫8p k 2，8p k ， ∴|OP |＝ 4p 2k 4＋4p 2k 2＝2p 1＋k 2k 2， |P Q |＝ 36p 2k 4＋36p 2k 2＝6p 1＋k 2k 2， ∴S △AB Q S △ABO ＝|P Q ||OP |＝3. 答案：315．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝⎛⎭⎫－p2 ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4(－1)×2＝－2， ∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m 2＝－1，解得m ＝－12， ∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0.16．(2019·佛山模拟)已知直线l 过点P (2,0)且与抛物线E ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点．(1)当A 是PC 中点时，求直线l 的方程；(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D ，求|OB |·|OD |的值． 解：(1)∵A 是PC 的中点，P (2,0)，C 在y 轴上， ∴A 点的横坐标为1，又A 在第四象限，∴A (1，－2)． ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)显然直线l 的斜率不为0，设l 的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －8＝0，∴y 1y 2＝－8，故x 1x 2＝y 214·y 224＝4，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在直线OB 上，∴AD ―→⊥OD ―→， 设OD ―→＝λOB ―→＝(λx 2，λy 2)，则AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝(λx 2－x 1，λy 2－y 1)， ∴AD ―→·OD ―→＝(λx 2－x 1)λx 2＋(λy 2－y 1)λy 2＝0，即λ2x 22－4λ＋λ2y 22＋8λ＝0，易知λ≠0， ∴λ(x 22＋y 22)＝－4.∴|OB |·|OD |＝x 22＋y 22·λ2x 22＋λ2y 22 ＝|λ|(x 22＋y 22)＝4.17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎫1，263. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ―→·F 1H ―→＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a 2＝1.把点⎝⎛⎭⎫1，263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y 24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0. 设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，－6k 2＋83k 2＋4. 设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k ， 即M ⎝⎛⎭⎫－1k ，1.设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ， 所以k MH ＝－1k，即1－1k－x H＝－1k .所以x H ＝k －1k，即H ⎝⎛⎭⎫k －1k ，0. 又F 1(0,1)，所以F 1B ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H ―→＝⎝⎛⎭⎫k －1k ，－1. 因为F 1B ―→·F 1H ―→＝0，所以－12k 3k 2＋4·⎝⎛⎭⎫k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。