4镜像法和电轴法精品PPT课件

b) b
y
6
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
一、推导： （仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）
拉普拉斯方程：▽
2
1
1
2
2 2
=0
1. 假定待求的位函数为试探解：
( , )= R( )Q( )
2. 把试探解代入，将偏微分方程转化为常微分方程：
1
1
2
2 2
Q
d
d
dR
d
R
2
dQ 2
d 2
n1
n1
b
na
0 Bn Dn sh b
BnDn sh (na/b ) =
na ny
b sin b V0
sin ny sin my dy
b
b
4V0/ n n为奇数
0
n为偶数
b
my
0 V0 sin b dy
(x,y)
=
n 1, 3 , 5 ,
4V0
n
sh (nx sh (na
b) sin n
3. 解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数
a. 若=kn2：
当kn=0时：常微分方程的解为：X(x)=A0x+B0
当kn 0时：常微分方程的解为：
Y(y)=C0y+D0
X(x)=Anch(knx)+Bn sh( knx) Y(y)=Cncos(kny)+Dn sin( kny)
得电位函数的一般解：
解：
▽
2
2
x 2
2
y 2
=0
金属槽内
|(x=0,0<y<b) =0
|(y=0,0<x<a)= 0
y =0
b
|(y=b,0<x<a)= 0
|(x=a,0<y<b) = V0
n
n
(x,y) = Bnsh
n1
b
x Dn sin
b
y
=0
0
=0
=V0
x a
由边界条件4 ：
Bn Dn sh
数学处理：
0 D0x
n1
Bn shk
n
x
C
0
n
由边界条件3 ： 0 = A0x0C0b0n1
0 Bnshkn x Dn sin knb
kn =n/b
nn1
n
(x,y) = Bnsh
n1
b
x Dn sin
b
y
5
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.
n1
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布.
解： ▽
2
2
x 2
2
y 2
=0
金属槽内
|(x=0,0<y<b) =0
|(y=0,0<x<a)= 0
|(y=b,0<x<a)= 0
|(x=a,0<y<b) = V0
由方程：
(x,y)
=(
(x,y)
=
X(x)Y(y)=(
A0x+B0
)
(C0y+D0
)
( Anchkn x Bnshkn x)(Cn cos kn y Dn sin kn y)
n1
b. 若= - kn2：
(x,y)
=
X(x)Y(y)=(
A0x+B0
)源自文库
(C0y+D0
)
( An cos kn x Bn sin kn x)(Cnchkn y Dnshkn y4 )
§1-5 分离变量法
1
分离变量法综述
一、应用场合：
场域的分界面与正交坐标系的坐标面重合
二、基本思想：
1. 假定待求的位函数由两个或三个仅含有一个坐标变量 2. 的函数的乘积表示； 2. 把假定的函数（试探解）代入偏微分方程， 借助于“分 3. 离变量”，将偏微分方程转化为两个或三个常微分方程； 3. 解这些常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数； 4. 得到位函数的解。
外加场均匀
2 |( =0) = 0
0
由方程：
(
,
)=
(A0 ln + B0 ) (C0 +D0) ( An n Bn n )(Cn cos n
0 Dn sin
n
)
由对称性 ：
n1
( , ) = A0 ln + B0 ( An n Bn n ) cos n 9
2
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
一、推导： （仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）
拉普拉斯方程：
▽
2
2
x 2
2
y 2
=0
1. 假定待求的位函数为试探解： (x,y) = X(x)Y(y)
2. 把试探解代入，将偏微分方程
3.
转化为常微分方程：
2 2
dX 2
dY 2
x2 y2 Y ( y) dx2 X ( x) dy2 0
0
同乘以 2/RQ：
R
d
d
dR
d
1 Q
dQ 2
d 2
0
R
d
d
dR
d
1 Q
dQ 2
d 2
=
得两个常微分方程：
R
d
d
dR
d
2
R
d2R
d 2
R
dR
d
dQ 2
d 2
Q
0
2
d2R
d 2
dR
d
R
0
7
1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法
一、推导： （仅讨论二维拉普拉斯方程的解法）
常微分方程:
2
d2R
d 2
m =整数= n
( , ) = R( )Q( ) =(A0 ln + B0 ) (C0 +D0)
( An n Bn n )(Cn cos n Dn sin n ) n1
b. 若= - m2 ：不满足周期性，舍去。
8
1.5.2 圆柱坐标系中的分离变量法
例一、长直介质圆柱体放在均匀的外电场中，如图。
求圆柱体放入后场中的电位分布。
y
解：▽
21
1
1
2
2 2
=0
圆柱体外
▽
22
1
1
2
2 2
=0
圆柱体内
E0
2 1
a
2 1
0
x
1 |( =a) = 2 |( =a)
1
1
a
2
2
a
分界面条件
( , ) = ( , -) ( , ) = ( , +2k) 对称性
1 |( ) = - E0 cos
dR
d
R
0
dQ 2
d 2
Q
0
3. 解常微分方程并根据边界条件确定待定常数和函数
a. 若=m2：
当m=0时：常微分方程的解为：R()=A0 ln +B0 Q()=C0 +D0
当m 0时：常微分方程的解为：
R()= Amm+Bm - m
Q()=Cm cos(m) + Dm sin( m)
要满足周期性： Q()= Q(+2) Q(m)= Q(m+2m)
A0x+B0
)
(C0y+D0
)
y =0
b
=0 =0
0
=V0
x a
( Anchkn x Bnshkn x)(Cn cos kn y Dn sin kn y)
n10
由边界条件1 ： 0 =B0 (C0y+D0 )
An (0Cn cos kn y Dn sin kn y)
由边界条件2
：
0
=
A0
设X(x)、Y(y)均不为0：
1 X
dX 2 dx 2
1 Y
dY 2 dy 2
0
1 dX 2
1 dY 2
X
dx 2
Y
dy 2
=
得两个常微分方程：
dX 2 dx 2
X
0
dY 2 dy 2
Y
0
3
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
一、推导：
常微分方程:
dX 2 dx 2
X
0
dY 2 dy 2
Y
0