基于VaR的证券投资组合优化方法

基于V a R的证券投资组合优化方法Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998基于VaR的证券投资组合优化方法内容提要本文深入研究了基于VaR的最优投资决策问题，给出了在VaR约束下的投资组合优化模型。

该模型在Markowitz均值-方差模型的基础上，加入了VaR约束，保证了其风险度量手段与我国金融机构现有投资选择方法在技术上的一致性。

针对约束条件过于复杂的情况，我们还给出了一种几何求解方法，巧妙地解决了传统Laganerge 乘子法无法处理上述模型的问题。

在本文的实证分析部分，我们以我国资本市场三种最基本的金融资产——股票、基金、债券以及三只具有不同风险收益特征的蓝筹股为例，研究了在引入VaR的约束条件下的最优投资组合的确定问题。

目录1、理论综述2、VaR约束下的投资组合优化模型VaR的基本原理与分析引入VaR约束的马柯维茨均值—方差模型模型的几何求解方法3、实证分析：最优资产及股票配置决策股票、基金、债券资产组合的最优配置股票投资组合的最优配置4、基本结论1．理论综述在丰富的金融投资理论中，组合投资理论占有非常重要的地位，投资决策也是金融机构经营活动中最基本的决策之一。

现代投资组合理论试图解释获得最大投资收益与避免过分风险之间的基本权衡关系，也就是说投资者将不同的投资品种按一定的比例组合在一起作为投资对象，以达到在保证预定收益率的前提下把风险降到最小或者在一定风险的前提下使收益率最大。

从历史发展看，投资者很早就认识到了分散地将资金进行投资可以降低投资风险，扩大投资收益。

但是第一个对此问题做出实质性分析的是美国经济学家马柯维茨(Markowitz)以及它所创立的马柯维茨的资产组合理论。

1952年马柯维茨发表了《证券组合选择》，标志着证券组合理论的正式诞生。

马柯维茨根据每一种证券的预期收益率、方差和所有证券间的协方差矩阵，得到证券组合的有效边界，再根据投资者的效用无差异曲线，确定最佳投资组合。

马柯维茨的证券组合理论在计算投资组合的收益和方差时十分精确，但是在处理含有许多证券的组合时，计算量很大。

马柯维茨的后继者致力于简化投资组合模型。

在一系列的假设条件下，威廉·夏普(William F. Sharp)等学者推导出了资本资产定价模型，并以此简化了马柯维茨的资产组合模型。

由于夏普简化模型的计算量相对于马柯维茨资产组合模型大大减少，并且有效程度并没有降低，所以得到了广泛应用。

夏普的资产优化组合模型对马柯维茨模型进行了简化和扩展，但是仍然继承了马柯维茨对风险的定义。

最近国外一些学者认为马柯维茨对风险的定义具有一定的缺陷，从而提出了一些新的投资组合优化模型，其中较有影响的是使用VaR来定义风险，并以此推导出建立在VaR基础上的投资组合优化模型，如Gaivoronski A, Pflug G. (2000)。

国内学者对马柯维茨模型的研究较为充分，并给出了一些程序化的求解方法，如屠新署、王春峰等(2002)、宁云才、王红卫(2003)等；对VaR方法的研究也逐渐深入，但大多将重点放在投资组合市场风险的度量上，如邵欣炜、张屹山(2003)。

偶有少数研究报告对二者进行过综合分析，但其最终得出的投资组合有效前沿也值得商榷。

鉴于此，本文第二部分在马柯维茨均值-方差模型的基础上，提出了一个基于VaR约束的投资组合优化模型，并给出了对于该模型的几何求解方法；第三部分以我国资本市场三种最基本的金融资产——股票基金债券以及三只具有不同风险收益特征的蓝筹股为例进行了实证分析，研究了它们最优组合的确定问题；第四部分为本文的结论。

2．VaR约束下的投资组合优化模型VaR的基本原理与分析投资决策的数学本质是一个带有约束的最优化问题，其中优化目标选择的不同导致投资决策方法的不同。

在金融领域，通常的投资决策目标是对风险和收益的综合考虑。

在经典的马柯维茨证券组合理论中，用均值描述期望收益，用方差描述风险，投资决策的目标函数是均值和方差，即选择最小的风险和最大的收益。

事实上，马柯维茨的均值—方差模型给出了投资决策的最基本也是最完整的框架，是当今投资理论和投资实践的主流方法。

VaR，即风险价值(Value at Risk)，是指市场正常波动下，在一定的概率水平下，某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。

由于VaR值可以用来简明地表示市场风险的大小，因此没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值对金融风险进行评判。

并且VaR方法可以事前计算风险，它不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小。

另外，VaR方法还可以衡量全部投资组合的整体风险，这也是传统金融风险管理所不能做到的。

VaR方法的这些特点使得它逐渐成了度量金融风险的主流方法，越来越多的金融机构采用VaR测量市场风险，使用VaR 作为风险限额，特别是监管当局也在使用VaR确定风险资本金，这使得许多金融机构及其业务部门在投资选择时，往往需要满足VaR约束。

为此，本文将研究一个在马柯维茨均值—方差模型的基础上加入VaR约束的投资组合优化模型。

根据VaR的定义，可以表示为：∆1)Pr(>=VaRcPob-其中，P∆为证券组合在持有期t∆内的损失，VaR为置信水平c下处于风险中的价值。

从上面的定义中我们可以看出，VaR有两个重要的参数：资产组合的持有期及置信水平。

这两个参数对VaR的计算及应用都起着重要的作用。

1．资产组合的持有期从投资者的角度来说，资产组合的持有期应由资产组合自身的特点来决定。

资产的流动性越强，相应的持有期越短；反之，流动性越差，持有期则越长。

国外商业银行由于其资产的高流动性，一般选择持有期为一个交易日；而各种养老基金所选择的持有期则较长，一般为一个月。

在应用正态假设时，持有期选择得越短越好，因为资产组合的收益率不一定服从正态分布，但在持有期非常短的情形下，收益率渐进服从正态分布，这时的持有期一般选为一天。

另外，持有期越短，得到大量样本数据的可能性越大。

Basle委员会选择10个交易日作为资产组合的持有期，这反映了其对监控成本及实际监管效果的一种折衷。

持有期太短则监控成本过高；持有期太长则不利于及早发现潜在的风险。

本文主要对股票投资组合进行分析，持有期选为一个交易日。

2．置信水平置信水平的选取反映了投资主体对风险的厌恶程度，置信水平越高，厌恶风险的程度越大。

由前面所述VaR的定义我们可以看出，置信水平的选取对VaR值有很大影响。

同样的资产组合，由于选取的置信水平不同计算出的VaR值也不同。

由于国外已将VaR值作为衡量风险的一个指标对外公布，因此各金融机构有选取不同的置信水平以影响VaR值的内在动力。

例如，国外各银行选取的置信水平就不尽相同，美洲银行和银行选择95%，花旗银行选择%，大通曼哈顿银行(Chemical and Chase)选择%，信孚银行(Bankers Trust)选择99%。

由VaR的定义可知，置信水平越高，资产组合的损失小于其VaR值的概率越大，也就是说，VaR模型对于极端事件的发生进行预测时失败的可能性越小。

因此，Basle委员会要求采用99%的置信水平。

为了更好地理解VaR 的概念，下面我们将推导其数学表达式。

设资产组合的初始价值为W ，持有期末的期望收益为R ，R 的数学期望和标准差分别为μ和σ，在给定的置信水平c 下，期末资产组合的最低值为)1(**+=R W W ，其中*R 为相应的最低收益率(一般为负值)，则：Value at risk )(W E =*-W )(μ--=*R W (1)VaR 也可由资产组合值的概率分布推导而得。

由VaR 的定义，⎰+∞*=W dW W f c )(该式等价于：⎰*∞-=-W dW W f c )(1即组合价值低于*W 的概率为c -1。

设资产组合的价值W 服从正态分布，α为标准正态分布相应的分位数，则：⎰⎰⎰**∞--∞-∞-===-W R d dr r f dW W f c αεεϕ)()()(1其中)(εϕ为标准正态分布密度函数。

又由c R R P R R P -=-<-=<**1)()(σμσμ可知：ασμασμ+=⇒=-**R R (2)将(2)式代入(1)式可得：W W W W E VaR ασμασμ-=-+-=-=*)()( (3)这就是正态分布假设下VaR 的一般表达式。

以上为计算VaR 的一般方法，在实际应用中，根据对市场因子波动性预测方法的不同，VaR 的求解方法可分为方差—协方差法、历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法。

方差—协方差法的基本思想是对组合内资产收益率的分布做出假设，并且令投资组合收益率是各资产收益率的线性组合，(3)式便是该方法在正态分布假设下得到的结果。

应用历史模拟法计算VaR 不需要对资产组合收益的分布作出假设。

这种方法是借助于过去一段时间内的资产组合收益的频度分布，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及既定置信区间下的最低收益水平来推断VaR 的值。

该方法的本质是用收益率的历史分布来代替收益率的真实分布，以此来求得资产组合的VaR 值。

Monte Carlo 模拟法最早于1942年由研制原子弹的科学家研制并加以应用，其名称Monte Carlo 来自法国南部着名的赌城。

在金融市场上，Monte Carlo 模拟法用来模拟确定时期不同情形下的资产组合值。

Monte Carlo 模拟法是计算VaR 的各种方法中最为有效的方法。

对于资产组合的不同分布状况以及各种非线性的情形，Monte Carlo 模拟法都可以得到令人满意的结果。

引入VaR 约束的马柯维茨均值—方差模型经典马柯维茨均值-方差模型为：模型（I ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∑=n i i p p x t s r E 11..)(max min R X ΣX X T T σ其中，T n R R R ),...,,(21=R ；)(i i r E R =是第i 种资产的预期回报率；T n x x x ),...,,(21=X 是投资组合的权重向量；n n ij ⨯∑=)(σ是n 种资产间的协方差矩阵；)(p p r E R =和2p σ分别是投资组合的期望回报率和回报率的方差。

该模型的解在p p R -σ空间是图1中的抛物线，即投资组合的有效前沿。

马柯维茨均值-方差模型利用方差度量了资产组合的市场风险，但该方法主要存在两个缺点：①方差只描述了收益的偏离程度，却没有描述偏离的方向。

而实际中最关心的是负偏离(损失)；②方差并没反映证券组合的损失到底是多大。

因此对于随机变量统计特征的完整描述需要引入概率分布，而不仅仅是方差。

鉴于前述VaR 方法在风险度量与管理领域中的主流地位，现在我们考虑在模型中加入VaR 约束。