高三数学一轮复习阶段知能检测(一) 理 (广东专用)

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广东省佛山市顺德区2024届高三上学期教学质量检测(一)数学参考答案

2023学年顺德区普通高中教学质量检测（一）高三数学参考答案2023．11一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 【解析】因为全集{||4|5}{1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U x Z x =∈-≤=-，所以{1,0,2,4,6}U C A =-，故答案选C ．2．D 【解析】因为z 是纯虚数，故设(0)z bi b R b =∈≠且，又因为22(2)84(48)z i b b i +-=-+-是纯虚数，所以240b -=且480b -≠，解得：2b =-，所以2z i =-，故答案选D ．3．C 【解析】因为()f x ax b '=+，所以(1)f a b '=+．因为函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y +-=垂直，所以(1)1f '=，即1a b +=，所以21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时等号成立，故答案选C ．4．A 【解析】因为1126AE AC AB =+ ，所以2221114366AE AC AB AB AC =++⋅ 1119934366=⨯+⨯+⨯3=，所以||AE = ，故答案选A ．5．B 【解析】联立22226406280x y x x y y ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩，解得：13x y =-⎧⎨=⎩或62x y =-⎧⎨=-⎩，所以圆M 的半径为：5=，所以M 的面积为25π，故答案选B ．6．A 【解析】由题意可知(F，准线l的方程为：x =)b A a ，)b B a-，因为ABF ∆是正三角形，ABF ∆的高为焦点(F 到准线l 的距离，即ABF ∆的边长为4，所以||4AB =，所以4a =，即3b a =，所以双曲线Γ的离心率ce a ====3=，故答案选A ．7．A 【解析】因为4tan 23α=，所以22tan 41tan 3αα=-，解得1tan 2α=或者tan 2α=-，因为(,)2παπ∈，所以tan 2α=-，所以3cos()4sin()4αππα+=-cos()4sin()4ππαπα+--cos(4sin()4παπα--=-1tan(4πα=--1tan tan 1αα+=--13=-，故答案选A ．8．D 【解析】由(1)2f x +-为奇函数得：(1)(1)4f x f x ++-+=，即()(2)4f x f x +-=，又因为(1)=(3)f x f x +-，所以(2)=(2)f x f x +-，所以()(2)4f x f x ++=，所以(+2)(4f x f x ++）=4，两式相减得：()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期4T =，所以(2023)(3)f f =，因为(1)2f x +-为奇函数，所以(01)2=0f +-，即(1)=2f ，在(1)(3)0f x f x +--=中，令0x =得：(3)(1)2f f ==，所以(2023)(3)2f f ==，故答案选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ABC 【解析】甲机床次品数据的平均数为0102041x ++++==甲，方差为2221[(02)(22)(42)]10 1.6D =-+-++=- 甲；乙机床次品数据的平均数为111310y +++== 乙，方差为2221[(11)(31)(11)]0.810D =-+-++-= 乙．比较发现乙机床次品数据的平均数较小而且方差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机床生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好，故答案ABC 正确，D 错误．10．AD 【解析】因为3214416S S S =-=，4324432S S S =-=，故A 正确；因为32322122()0a a S S S S -=---=，故B 错误；因为1144(2)n n n S S S n +-=+≥，即1144(2)n n n S S S n +-=-≥，所以112122(2)2(2)0n n n n S S S S S S +--=-==-= ，所以120n n S S +-=，即12n n S S +=，又因为21824S S ==，所以{}n S 是以2为公比的等比数列，所以11422n n n S -+=⨯=，所以4,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩，故D 正确．11．AC 【解析】在同一坐标系中作出函数2log s t =，3log s t =，5log s t =的图象，从图中可以看出，当,,x y z 均在区间(0,1)时，有01z y x <<<<，当,,x y z 均在区间(1)+∞，时，有1x y z <<<，故A 正确，B 错误；由于224log log x x =，所以有2345log log log y x z ==，作出函数4log s t =，3log s t =，5log s t =的图象，类似地可以得出C 正确，D 不正确，故答案选AC .12．BD 【解析】建立如图坐标系，则(0,0,2)A 、(1,0,0)B 、(1,0,0)C -、3,0)D ，因为BP BC BA λμ=+ ，所以(21,0,)P λμ--+．当21=λ时，(,0,)P μ-为动点，CDP ∆的面积不是定值，故A 错误；当0=μ时，(12,0,0)P λ-，()3122+-=λDP ，又因为10≤≤λ，所以 2]DP ∈，，故B 正确；当21=μ时，1(22P λ-，所以1(22BP λ=- ，1(2,2DP λ=- ，0=⋅DP BP ，所以21(2)202λ-+=无解，所以不存在这样的点，故C 错误；当12=+μλ时，(0,0,)P ，即P 在y 轴上，只有P 与原点重合时，DP ⊥平面ABC ，故D 正确．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．81【解析】把甲乙看成一个同学，则不同选择的种数是4381=．14．【解析】设圆台12O O 的高为h ，球心O 到圆台上底面的距离为a ，球O 的半径为R ，因为球O 的表面积为40π，所以2440R ππ=，R =．因为球O 的球心在圆台12O O 的轴12O O 上，所以有22222()8a R h a R⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：h =1(28143ππ++⨯．15．1523(,]44【解析】因为()sin 1f x x x ωω=+-2sin()1(0)3x πωω=+->，令3x t πω+=，则()2sin 1f t t =-，因为2(0,)3x π∈，21(,)33t πωπ+∈，令()0f t =得：1sin 2t =，由题意可知函数()f t 在区间21(,)33πωπ+上有且仅有3个零点，所以213172566πωππ≤+<，所以152344ω<≤．16．《孙子算经》，《夏侯阳算经》【解析】如下表．评分说明：第一名和第五名要同时答对且顺序正确才能得分。

高三数学一轮复习阶段知能检测十理广东专用试题

阶段知能检测(十)创作人：历恰面日期：2020年1月1日本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷一、选择题(本大题一一共8小题，每一小题5分，满分是40分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，那么互斥而不对立的两个事件为( )A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红黑球各一个【解析】红黑球各取一个，那么一定取不到白球，故“至少有一个白球〞，“红黑球各一个〞为互斥事件．又任取两球还包含“两个红球〞等，故不是对立事件．【答案】D2．直线y＝x＋b，b∈[－2,3]，那么直线在y轴上的截距大于1的概率是( )A.15B.25C.35D.45【解析】试验的全部结果构成的区域是[－2,3]，所求事件构成的区域为(1,3]，故所求概率为P＝3－13－－2＝25.【答案】B3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝15(k ＝2,4,6,8,10)，那么D(ξ)等于( )A ．5B ．8C ．10D ．16【解析】 ∵E(ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D(ξ)＝15(42＋22＋02＋22＋42)＝8.【答案】 B4．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，假设X 在(0,2)内取值的概率为0.4，那么X 在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8 D【解析】由对称性知P(X ＜4)＝P(X≤2)＋P(2＜X ＜4) ＝P(X≤2)＋P(0＜X ＜2)＝0.5＋0.4＝0.9. 【答案】 D5．在4次HY 重复试验中，事件A 出现的概率一样，假设事件A 至少发生一次的概率为6581，那么事件A 在一次试验中出现的概率为( ) A .13B .25C .56D ．以上都不对【解析】设事件A 在一次试验中出现的概率为p ，那么4次HY 重复试验中，A 至少发生一次的概率为1－C 04(1－p)4，由1－C 04(1－p)4＝6581得(1－p)4＝1681，∴1－p ＝23，∴p＝13.【答案】 A图10－16．在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x(0≤x≤π)与x 轴围成如图10－1所示的阴影局部，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是( )A .π4B .1π C .2πD .3π【解析】所投的点落在阴影局部的概率是P ＝S 阴影S 矩形，又S 阴影＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x | π0＝2，故所求概率为P ＝22π＝1π.【答案】 B7．(2021·高考)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，那么以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A .110B .18C .16D .15【解析】如下图，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，一共有C 46＝15(种)选法，其中可以构成矩形的有FECB 、AFDC 、ABDE 三种选法．∴所求事件的概率P ＝315＝15.【答案】 D8．某街头小摊，在不下雨的日子，一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，假设该地区每年下雨的日子约为130天，那么此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)( )A ．60.82元 BC ．58.82元D【解析】设小摊每天获得ξ元，那么P(ξ＝100)＝235365，P(ξ＝－10)＝130365，∴E(ξ)＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.【答案】 A第二卷二、填空题(本大题一一共6小题，每一小题5分，满分是30分)9．(2021·高考)x(x －2x )7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字答题)．【解析】在(x －2x )7的展开式中，T r ＋1＝C r 7x7－r·(－2x)r ＝(－2)r C r 7x 7－2r，令7－2r ＝3，得r ＝2.∴x(x－2x )7的展开式中x 4的系数为(－2)2C 27＝84.【答案】 8410．抛掷3个骰子，当至少有一个5点或者一个6点出现时，就说这次试验成功，那么在54次试验中成功次数n 的期望为________．【解析】一次试验成功的概率为P ＝1－4×4×46×6×6＝1927，那么n ～B(54，1927)，∴E(n)＝54×1927＝38.【答案】3811．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序一共有________种．【解析】假设甲乙同时参加，先从剩余的5人中选出2人，先排这两人，再将甲乙两人插入其中，那么有C25A22A23种不同的发言顺序．假设甲乙只有一人参加，那么有C12C35A44种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为C25A22A23＋C12C35A44＝600种．【答案】60012．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：ξ200 300 400 500P假设进这种鲜花500束，那么期望利润是________元．【解析】依题意，假设进这种鲜花500束，利润应为η＝(5－2.5)ξ－(2.5－1.5)×(500－ξ)＝3.5ξ－500.因E(ξ)＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340束，所以E(η)＝E(3.5ξ－500)＝3.5E(ξ)－500＝3.5×340－500＝690元．【答案】69013．(2021·模拟)平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，假设向区域U内随机投一点P，那么点P落在区域A内的概率为________．【解析】作出可行域知，平面区域U 为△OAB 及其内部，平面区域A 为△ODC 及其内部．又S △OAB ＝12×6×6＝18，S △ODC ＝12×4×2＝4，故所求事件的概率P ＝S △ODC S △OAB ＝418＝29.【答案】 2914．A ，B 两工人在同样条件下每天消费的产品个数一样，而两人消费的次品个数的分布列分别如下表所示：AB根据优胜劣汰，你认为应该是________．【解析】 E(ξA )＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.1＋4×0.1＝1.3， E(ξB )＝1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3. D(ξA22222＝0.676＋0.018＋0.098＋0.289＋0.729＝1.81, D(ξB2222＝0.507＋0.027＋0.098＋0.578＝1.21，因此E(ξA )＝E(ξB )，D(ξA )＞D(ξB )， ∴A 应该待岗．【答案】 A三、解答题(本大题一一共6小题，满分是80分．解答时需写出文字说明、证明过程和演算步骤)15．(本小题满分是12分)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或者6〞，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8〞．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当蓝色骰子的点数为3或者6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【解】 (1)①P(A)＝26＝13.②∵两个骰子的点数之和一共有36个等可能的结果，点数之和大于8的结果一共有10个．∴P(B)＝1036＝518.③当蓝色骰子的点数为3或者6时，两颗骰子的点数之和大于8的结果有5个，故P(AB)＝536.(2)由(1)知P(B|A)＝P ABP A ＝53613＝512.16．(本小题满分是13分)甲、乙等五名2021年世界大运会志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位效劳，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位效劳的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位效劳的人数，求X 的分布列．【解】 (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位效劳为事件E A ，那么P(E A )＝A 33C 25A 44＝140.∴甲、乙两人同时参加A 岗位效劳的概率是140.(2)记甲、乙两人同时参加同一岗位效劳为事件E ，那么P(E)＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、乙两人不在同一个岗位效劳的概率是 P(E )＝1－P(E)＝910.(3)随机变量X 可能取的值是1,2，事件{X ＝2}是指有两人同时参加A 岗位效劳，那么P(X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P(X ＝1)＝1－P(X ＝2)＝34，X 的分布列是17.(本小题满分是13某地车主购置甲种保险的概率为0.5，购置乙种保险但不购置甲种保险的概率为0.3.设各车主购置保险互相HY ．(1)求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数，求X 的期望．【解】设A 表示事件：该地的1位车主购置甲种保险； B 表示事件：该地的1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险； C 表示事件：该地的1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种； D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购置． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C ＝A ＋B ， P(C)＝P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8. (2)D ＝C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2， X ～B(100,0.2), 即X 服从二项分布，所以期望 EX ＝100×0.2＝20.18．(本小题满分是14分)(2021·调研)如图10－2所示，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落到A 或者B 或者C.小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．图10－2某商家按上述投球方式进展促销活动，假设投入的小球落到A，B，C，那么分别设为1,2,3等奖．(1)获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望E(ξ)；(2)假设有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或者2等奖的人次，求P(η＝2)．【解】(1)由题意得ξ的分布列为ξ50% 70% 90%P 31638716那么E(ξ)＝316×50%＋8×70%＋16×90%＝4.(2)由(1)知，获得1等奖或者2等奖的概率为316＋38＝916.由题意得η～B(3，916 )，那么P(η＝2)＝C23(916)2(1－916)＝1 7014 096.19．(本小题满分是14分)(2021·课标全国卷)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或者等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各消费了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果．A 配方的频数分布表(2)用B 配方消费的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，t ＜94，2，94≤t＜102，4，t≥102.从用B 配方消费的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)．【解】 (1)由试验结果知，用A 配方消费的产品中优质品的频率为22＋8100＝0.3.所以用A 配方消费的产品的优质品率的估计值为0.3.由试验结果知，用B 配方消费的产品中优质品的频率为32＋10100＝0.42.所以用B 配方消费的产品的优质品率的估计值为0.42.(2)用B 配方消费的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42.那么P(X ＝－2)＝0.04，P(X ＝2)＝0.54，P(X ＝4)＝0.42. 所以X 的分布列为X 的数学期望EX 20．(本小题满分是14分)某举行知识竞赛，第一轮选拔一共设有A ，B ，C ，D 四个问题，规那么如下： ①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A ，B ，C ，D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每答复一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题完毕，淘汰出局；当累计分数大于或者等于14分时，答题完毕，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍缺乏14分时，答题完毕，淘汰出局；③每位参加者按问题A ，B ，C ，D 顺序答题，直至答题完毕．假设甲同学对问题A ，B ，C ，D 答复正确的概率依次为34，12，13，14，且各题答复正确与否互相之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题完毕时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．【解】设A 、B 、C 、D 分别为第一、二、三、四个问题．用M i (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题答复正确，用N i (i ＝1,2,3,4)表示甲同学第i 个问题答复错误．那么M i 与N i (i ＝1,2,3,4)互为对立事件．由题意得P(M 1)＝34，P(M 2)＝12，P(M 3)＝13， P(M 4)＝14，所以P(N 1)＝14，P(N 2)＝12，P(N 3)＝23. (1)记“甲同学能进入下一轮〞为事件Q ，Q ＝M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4，由于每一小题答题结果互相HY ，因此P(Q)＝P(M 1M 2M 3＋N 1M 2M 3M 4＋M 1N 2M 3M 4＋M 1M 2N 3M 4＋N 1M 2N 3M 4)＝P(M 1M 2M 3)＋P(N 1M 2M 3M 4)＋P(M 1N 2M 3M 4)＋P(M 1M 2N 3M 4)＋P(N 1M 2N 3M 4)＝34×12×13＋14×12×13×14＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×23×14＝14. (2)由题意，随机变量ξ可能取值为2,3,4，由于每一小题答题结果互相HY ，因此P(ξ＝2)＝P(N 1N 2)＝P(N 1)P(N 2)＝14×12＝18； P(ξ＝3)＝P(M 1M 2M 3)＋P(M 1N 2N 3)＝P(M 1)P(M 2)P(M 3)＋P(M 1)P(N 2)P(N 3)＝34×12×13＋34×12×23＝38； P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－18－38＝12. 所以ξ的分布列为数学期望E(ξ)＝2×18＋3×8＋4×2＝8.。

高三数学【理】一轮复习考点专练 (全书完整版)

高三数学（理）一轮复习考点专练汇总单元质检一集合与常用逻辑用语(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2016湖南长沙二模)若集合A={x|,x∈R},B={1,m},且A⊆B,则m的值为()A.2B.-1C.-1或2D.2或2.命题“若α=,则sin α=”的逆否命题是()A.若α≠,则sin α≠B.若α=,则sin α≠C.若sin α≠,则α≠D.若sin α≠,则α=3.(2016内蒙古包头一模)已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0}4.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A. p:∃x0∈A,2x0∈BB. p:∃x0∉A,2x0∈BC. p:∃x0∈A,2x0∉BD. p:∀x∉A,2x∉B5.“p∨q是真命题”是“ p为假命题”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2016山西太原五中二模)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是()A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.[1,+∞)D.(-∞,-1)7.(2016百校联盟押题卷)已知直线y=kx+3与圆x2+(y+3)2=16相交于A,B两点,则“k=2”是“|AB|=4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2016内蒙古赤峰模拟)不等式x2-2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是()A.m>2B.0<m<1C.m>0D.m>19.(2016河南新乡名校联考押题)已知集合A=,B={y|y=},则A∩(∁R B)等于()A.[-3,5]B.(-3,1)C.(-3,1]D.(-3,+∞)10.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于()A.-3B.1C.-1D.311.已知命题p:∃x∈R,x-2>lg x,命题q:∀x∈R,e x>1,则()A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题C.命题p∧( q)是真命题D.命题p∨( q)是假命题12.(2016山西太原一模)对于下列四个命题:p1:∃x0∈(0,+∞),;p2:∃x0∈(0,1),lo x0>lo x0;p3:∀x∈(0,+∞),<lo x;p4:∀x∈<lo x.其中的真命题是()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.(2016山东青岛一模改编)已知全集U=,集合A={-1,1},B={1,4},则A∩(∁U B)=.14.已知全集U=R,集合A={x|2x2-x-6≥0},B=,则A∪B=.15.若在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,则a的取值范围是.16.设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,则使p ∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是.参考答案单元质检一集合与常用逻辑用语1.A解析因为集合A={x|,x∈R}={2},B={1,m},且A⊆B,所以m=2,故选A.2.C3.B解析∵x2-2x-3<0,∴(x-3)(x+1)<0,即-1<x<3.故B={x|-1<x<3}.又A={-2,-1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2},故选B.4.C5.A解析若 p为假命题,则p为真命题,故p∨q是真命题;若p∨q是真命题,则p可以为假命题,q为真命题,从而 p为真命题.故选A.6.B解析∵<1,∴-1=<0.∴x>2或x<-1.又p是q的充分不必要条件,∴k>2,故选B.7.A解析易得圆心为(0,-3),半径为4,而圆心(0,-3)到直线y=kx+3的距离d=,弦长的一半为=2,故d==2=,解得k2=8,可得k=2或k=-2,故“k=2”是“|AB|=4”的充分不必要条件,故选A. 8.C解析当不等式x2-2x+m>0在R上恒成立时,Δ=4-4m<0,解得m>1;故m>1是不等式恒成立的充要条件;m>2是不等式成立的充分不必要条件;0<m<1是不等式成立的既不充分也不必要条件;m>0是不等式成立的必要不充分条件.故选C.9.C解析由≤0,解得-3<x≤5.故A={x|-3<x≤5}.∵y=,∴y>1.∴B={y|y>1}.∴∁R B={y|y≤1}.∴A∩(∁R B)={x|-3<x≤1},故选C.10.A解析由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},故A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,故a+b=-3,故选A.11.C解析因为命题p:∃x∈R,x-2>lg x是真命题,命题q:∀x∈R,e x>1是假命题,所以命题p∧( q)是真命题,故选C.12.D解析由,可知当x>0时,有>1,故可知对∀x∈(0,+∞),有,故p1是假命题;当0<a<1,可知y=log a x在(0,+∞)上是减函数.故对∀x0∈(0,1),有0<lo<lo,即lo x0>lo x0.故∃x0∈(0,1),lo x0>lo x0,即p2是真命题.当x=1时,,lo x=lo1=0,此时>lo x,故p3是假命题;因为y1=内是减函数,所以=1.又因为y2=lo x在内是减函数,所以lo x>lo=1.所以对∀x∈,有lo x>,故p4是真命题.13.{-1}解析由全集U中y=log2x,x∈,得到y∈{-1,0,1,4},即全集U={-1,0,1,4}.∵A={-1,1},B={1,4},∴∁U B={-1,0}.∴A∩(∁U B)={-1}.14.解析由2x2-x-6≥0,得(x-2)(2x+3)≥0,故A=.由≥0,得≤0,故B={x|1≤x<3}.因此A∪B=.15.(-∞,1)解析由2x(3x+a)<1可得a<-3x.故在区间[0,1]上存在实数x使2x(3x+a)<1成立,等价于a<(-3x)max,其中x∈[0,1].令y=2-x-3x,则函数y在[0,1]上单调递减.故y=2-x-3x的最大值为20-0=1.因此a<1.故a的取值范围是(-∞,1).16.(-∞,-2]∪[-1,3)解析设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,则得m<-1,故p为真时,m<-1.由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可知Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,得-2<m<3,故q为真时,-2<m<3.由p∨q为真,p∧q为假,可知命题p,q一真一假.当p真q假时,此时m≤-2;当p假q真时,此时-1≤m<3,故所求实数m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3.考点规范练2不等关系及简单不等式的解法1.已知a>b,c>d,且c,d都不为0,则下列不等式成立的是()A.ad>bcB.ac>bdC.a-c>b-dD.a+c>b+d2.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|0<a<4}B.{a|0≤a<4}C.{a|0<a≤4}D.{a|0≤a≤4}3.设a,b∈[0,+∞),A=,B=,则A,B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.A<BD.A>B4.(2016河北保定一模)已知集合A={x|(1-x)(1+x)≥0},集合B={y|y=2x,x<0},则A∩B=()A.(-1,1]B.[-1,1]C.(0,1)D.[-1,+∞)5.已知α∈,β∈,则2α-的取值范围是()A. B.C.(0,π)D.6.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B7.不等式<0的解集为()A.{x|1<x<2}B.{x|x<2,且x≠1}C.{x|-1<x<2,且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}8.若不等式mx2+2mx-4<2x2+4x对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪[2,+∞)D.(-∞,2]9.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为()10.函数y=的定义域是.11.已知关于x的不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,则a2+b2-2b的取值范围是.12.对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则k的取值范围是.〚导学号37270405〛13.已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3),那么不等式f(-2x)<0的解集是()A.B.C.D.14.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是()A.∪(1,+∞)B.C. D. 〚导学号37270406〛15.若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a等于()A. B. C. D.16.若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为.17.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是.〚导学号37270407〛高考预测18.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是()A.-1<b<0B.b>2C.b<-1或b>2D.不能确定〚导学号37270408〛参考答案考点规范练2不等关系及简单不等式的解法1.D解析由不等式的同向可加性得a+c>b+d.2.D解析当a=0时,满足条件.当a≠0时,由集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,可知得0<a≤4.综上,可知0≤a≤4.3.B解析由题意知B2-A2=-20,且A≥0,B≥0,可得A≥B,故选B.4.C解析由题意得,A={x|-1≤x≤1}=[-1,1],B={y|0<y<1}=(0,1).因此A∩B=(0,1),故选C.5.D解析由题意得0<2α<π,0,∴--0,∴-<2α-<π.6.B解析∵x(x-2)>0,∴x<0或x>2.∴集合A与B可用数轴表示为:由图象可以看出A∪B=R,故选B.7.D解析因为不等式<0等价于(x+1)·(x-1)(x-2)<0,所以该不等式的解集是{x|x<-1或1<x<2}.故选D.8.A解析原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,①当m=2时,对任意x∈R,不等式都成立;②当m≠2时,由不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0在x∈R上恒成立,可知解得-2<m<2.综上①②,得m∈(-2,2].9.B解析(方法一)由根与系数的关系知=-2+1,-=-2,解得a=-1,c=-2.所以f(x)=-x2-x+2.所以f(-x)=-x2+x+2=-(x+1)(x-2),图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.(方法二)由题意可画出函数f(x)的大致图象,如图.又因为y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称,所以y=f(-x)的图象如图.10.(-∞,-4]∪[3,+∞)解析由x2+x-12≥0得(x-3)(x+4)≥0,故x≤-4或x≥3.11解析∵不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集,∴a>0,b>0,且Δ=b2-4a2≤0.∴b2≤4a2.∴a2+b2-2b+b2-2b=-∴a2+b2-2b的取值范围是12.(-∞,1)解析函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k图象的对称轴为x=-①当<-1,即k>6时,f(x)的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)×(-1)+4-2k>0,解得k<3,故k不存在.②当-11,即2≤k≤6时,f(x)的值恒大于零等价于f+4-2k>0,即k2<0,故k不存在.③当>1,即k<2时,f(x)的值恒大于零等价于f(1)=1+(k-4)+4-2k>0,即k<1.综上可知,当k<1时,对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零.13.A解析由题意可知方程f(x)=0的两个解是x1=-1,x2=3,且a<0.由f(-2x)<0得-2x>3或-2x<-1,解得x<-或x>14.D解析当a=1时,满足题意;当a=-1时,不满足题意;当a≠±1时,由(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,可知解得-<a<1.综上可知-<a≤1.15.A解析(方法一)∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.由根与系数的关系知∴x2-x1==15.又a>0,∴a=故选A.(方法二)由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0.∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a).又不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1=-2a,x2=4a.∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=故选A.16解析x2+ax-2>0在[1,5]上有解可转化为a>-x在[1,5]上有解.令f(x)=-x,可得f'(x)=--1.当x∈[1,5]时,f'(x)<0,即f(x)在[1,5]上是减函数.所以f(x)在[1,5]上的最小值为f(5)=-5=-所以a>-17解析∵x∈(0,2],∴a2-a要使a2-a在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a由基本不等式得x+2,当且仅当x=1时,等号成立,即,故a2-a,解得a或a18.C解析由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象的对称轴为直线x=1,即=1,故a=2.又可知f(x)在[-1,1]上为增函数,故当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立等价于b2-b-2>0,解得b<-1或b>2.考点规范练3命题及其关系、充要条件基础巩固1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是()A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=32.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是()A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”3.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题4.(2016山东,理6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中为真命题的是()A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题6. (2016河南中原联盟高考仿真)已知条件p:a<0,条件q:a2>a,则 p是 q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设x∈R,则“1<x<2”是“|x-2|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列结论错误的是()A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要条件C.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”9.设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.(2016天津耀华中学一模)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是()A.b≥B.b<C.a≤D.a>〚导学号37270260〛11.有下列几个命题:①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-2<x<2”的逆否命题.其中真命题的序号是.12.若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.能力提升13.已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是()A.否命题是“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是减函数,则m>1”,是真命题B.逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内不是增函数”,是真命题〚导学号37270261〛14.下列命题中是真命题的是()①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;②“正多边形都相似”的逆命题;③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题.A.①②B.①③C.②③D.①②③15.(2016湖北武昌区五月调考)下列关于公差d>0的等差数列{a n}的四个命题:p1:数列{a n}是递增数列;p2:数列{na n}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{a n+3nd}是递增数列.其中真命题是()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4〚导学号37270262〛16.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,其中a≠0,q:实数x满足若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.17.已知条件p:x∈A,且A={x|a-1<x<a+1},条件q:x∈B,且B={x|y=}.若p是q的充分条件,则实数a的取值范围是.高考预测18.设a,b∈R,则“a>b”是“a(e a+e-a)>b(e b+e-b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案考点规范练3命题及其关系、充要条件1.A解析a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<3.2.B解析将原命题的条件与结论互换即得逆命题,故原命题的逆命题为“若一个数的平方是正数,则它是负数”.3.A解析原命题的逆否命题:若a,b都小于1,则a+b<2.显然为真.故原命题为真.原命题的逆命题:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2.因为a=1.2,b=0.2,有a+b<2,所以其逆命题为假.4.A解析若直线a,b相交,设交点为P,则P∈a,P∈b.又因为a⊆α,b⊆β,所以P∈α,P∈β.故α,β相交.反之,若α,β相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,则有a∥b.显然a,b可能相交,也可能异面、平行.综上,“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.5.A解析对于A,逆命题是:若x>|y|,则x>y.因为x>|y|≥y,必有x>y,所以逆命题是真命题;对于B,否命题是:若x≤1,则x2≤1.因为x=-5,有x2=25>1,所以否命题是假命题;对于C,否命题是:若x≠1,则x2+x-2≠0.因为x=-2,有x2+x-2=0,所以否命题是假命题;对于D,若x2>0,则x≠0,不一定有x>1,因此逆否命题是假命题.6.B解析因为 p:a≥0, q:0≤a≤1,所以 p是 q的必要不充分条件.7.A解析由|x-2|<1,解得1<x<3.因为“1<x<2”能推出“1<x<3”,“1<x<3”推不出“1<x<2”,所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分不必要条件.8.C解析若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则Δ=1+4m≥0,即m≥-,不能推出m>0.所以“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题不是真命题,故选C.9.B解析∵3a>3b>3,∴a>b>1.∴log3a>log3b>0.,即log a3<log b3.∴“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分条件.当0<a<1,b>1时,满足log a3<log b3.而由3a>3b>3,得a>b>1,∴由log a3<log b3不能推出3a>3b>3,∴“3a>3b>3”不是“log a3<log b3”的必要条件.∴“3a>3b>3”是“log a3<log b3”的充分不必要条件,故选B.10.A解析∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|<a,∴|2x+2|<a.∴-a<2x+2<a.<x<∵|x+1|<b,∴-b<x+1<b.∴-b-1<x<b-1.∵|f(x)-1|<a的必要条件是|x+1|<b(a,b>0),(-b-1,b-1).∴-b-1,b-1,解得b故选A.11.②③解析①原命题的否命题为“若a≤b,则a2≤b2”,是假命题;②原命题的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,是真命题;③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤-2,则x2≥4”,是真命题.12.1解析由题意知m≥(tan x)max.∵x,∴tan x∈[0,1].∴m≥1.故m的最小值为1.13.D解析由f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数,可知f'(x)=e x-m≥0在(0,+∞)内恒成立,故m≤1.因此命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)内不是增函数”是真命题.14.B解析对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.15.D解析∵等差数列a n+1-a n=d>0,∴数列{a n}是递增数列,故p1是真命题;对于数列{na n},(n+1)a n+1-na n=(n+1)d+a n,不一定是正实数,故p2是假命题;对于数列,不一定是正实数,故p3是假命题;对于数列{a n+3nd},第n+1项与第n项的差等于a n+1+3(n+1)d-a n-3nd=4d>0,故p4是真命题.故选D.16.(1,2]解析∵p是q的必要不充分条件,∴q⇒p,且p q.设A={x|p(x)},B={x|q(x)},则B⫋A.又B={x|2<x≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a};当a<0时,A={x|3a<x<a}.故当a>0时,有解得1<a≤2;当a<0时,显然A∩B=⌀,不合题意.综上所述,实数a的取值范围是(1,2].17.(-∞,0]∪[3,+∞)解析易得B={x|x≤1或x≥2},且A={x|a-1<x<a+1},由p是q的充分条件,可知A⊆B,故a+1≤1或a-1≥2,即a≤0或a≥3.即所求实数a的取值范围是(-∞,0]∪[3,+∞).18.C解析设f(x)=e x+e-x,则f'(x)=e x-e-x=当x>0时,e x>1,∴(e x)2-1>0.∴f'(x)>0,∴当x>0时,f(x)是增函数;∵a>b>0,∴f(a)>f(b).∴e a+e-a>e b+e-b.∴a(e a+e-a)>b(e b+e-b).当x<0时,0<e x<1,∴(e x)2-1<0.∴f'(x)<0,∴当x<0时,f(x)是减函数;∵b<a<0,∴f(a)<f(b).∴e a+e-a<e b+e-b.∴a(e a+e-a)>b(e b+e-b).当a>0>b时,a(e a+e-a)>b(e b+e-b)显然成立,综上所述,当a>b时,a(e a+e-a)>b(e b+e-b)恒成立,故充分性成立;反之也成立,故必要性成立;故“a>b”是“a(e a+e-a)>b(e b+e-b)”的充要条件,故选C.考点规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固1.下列命题中的假命题是()A.任意x∈R,>0B.任意x∈N,x2>0C.存在x∈R,ln x<1D.存在x∈N*,sin=12.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题中一定为真命题的是()A.∀x∈R,f(-x)≠f(x)B.∀x∈R,f(-x)=-f(x)C.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0)D.∃x0∈R,f(-x0)=-f(x0)3.“对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A.∃x0∈R,使得f(x0)>0成立B.∃x0∈R,使得f(x0)≤0成立C.∀x∈R,f(x)>0成立D.∀x∈R,f(x)≤0成立4.(2016湖南永州二模)已知p:|x|≥1,q:-1≤x<3,则 p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中,正确的是()A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,-x0≥0”B.命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件C.“若am2≤bm2,则a≤b”的否命题为真D.若实数x,y∈[-1,1],则满足x2+y2≥1的概率为6.(2016广西来宾高级中学适应卷)以下四个命题中,为真命题的是()A.∃x∈(0,π),使sin x=tan xB.“对任意的x∈R,x2+x+1>0”的否定是“存在x0∈R,+x0+1<0”C.∀θ∈R,函数f(x)=sin(2x+θ)都不是偶函数D.△ABC中,“sin A+sin B=cos A+cos B”是“C=”的充要条件7.已知p:x2+2x-3>0;q:x>a,且 q的一个充分不必要条件是 p,则a的取值范围是()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[-1,+∞)D.(-∞,-3]8.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x0∈R,+2x0+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R,sin2x+cos2x=19.已知命题p:∀x∈R,x3<x4;命题q:∃x0∈R,sin x0-cos x0=-.则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.( p)∧qC.p∧( q)D.( p)∧( q)10.(2016辽宁沈阳三模)若命题“∀x∈,不等式e x sin x≥kx”是真命题,则实数k的取值范围是()A.(-∞,1]B.C.D.11.下列结论:①若命题p:∃x0∈R,tan x0=2;命题q:∀x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧( q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.(把你认为正确结论的序号都填上)能力提升12.(2016河南新乡名校联盟押题)已知命题p:若不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,则实数a∈(0,4);命题q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是()A.p∧qB.p∧( q)C.( p)∧qD.( p)∧( q)13.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1,其中的真命题是()A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p314.(2016湖北武昌区五月调考)已知命题p1:设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),且f(1)=-a,则f(x)在[0,2]上必有零点;p2:设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的充分不必要条件.则在命题q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( p1)∨p2,q4:p1∧( p2)中,真命题是()A.q1,q3B.q2,q3C.q1,q4D.q2,q415.已知命题p:“∀x∈R,∃m∈R,4x-+m=0”,若命题 p是假命题,则实数m的取值范围是.〚导学号37270409〛16.已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+m>0对任意x恒成立.若命题q∨(p∧q)为真, p为真,则实数m的取值范围是.高考预测17.下列说法正确的是()A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B.若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则 p:∀x∈R,x2-x-1<0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.“若α=,则sin α=”的否命题是“若α≠,则sin α≠”参考答案考点规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.B解析对于B,当x=0时,x2=0,因此B中命题是假命题.2.C解析不是偶函数是对偶函数的否定,定义域为R的偶函数的定义:∀x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,故它的否定为特称命题:∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0),故选C.3.A解析对x∈R,关于x的不等式f(x)>0有解,即不等式f(x)>0在实数范围内有解,故与命题“∃x0∈R,使得f(x0)>0成立”等价.4.A解析∵p:|x|≥1,∴ p:|x|<1,即 p:-1<x<1.又q:-1≤x<3,∴ p能推出q,但q推不出 p,即 p是q的充分不必要条件.故选A.5.C解析A项中的否定是“∃x0∈R,-x0>0”故A错误;B项中命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件,故B错误;D项中概率为,故D错误;故选C.6.D解析A项中,若sin x=tan x,则sin x=tan x=∵x∈(0,π),∴sin x≠0.∴1=,即cos x=1.∵x∈(0,π),∴cos x=1不成立,故A错误;B项中的否定是“存在x0∈R,+x0+1≤0”,故B错误;C项中,当θ=时,f(x)=sin(2x+θ)=sin=cos 2x为偶函数,故C错误;故选D.7.A解析由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1.由 q的一个充分不必要条件是 p,可知 p是 q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.8.D解析选项A中,命题的否定是“∀x∈R,x2+2x+2>0”.由于x2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x∈R恒成立,故为真命题;选项B,C中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;而选项D中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D.9.B解析若x3<x4,则x<0或x>1,故命题p为假命题;若sin x-cos x=sin=-,则x-+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),故命题q为真命题;因此( p)∧q为真命题.10.A解析令f(x)=e x sin x-kx.∵“∀x,不等式e x sin x≥kx”是真命题,且f(0)=0,∴f'(x)=e x(sin x+cos x)-k≥0在x上恒成立.∴k≤e x(sin x+cos x)对x上恒成立.令g(x)=e x(sin x+cos x),则g'(x)=2e x cos x≥0.故函数g(x)在上单调递增,因此g(x)≥g(0)=1,即k≤1.故选A.11.①③解析在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧( q)”为假命题是正确的.在②中,l1⊥l2⇔a+3b=0,而=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出=-3,故②不正确.在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,正确.12.C解析当a=0时,不等式ax2+ax+1>0化为1>0,满足条件.当a≠0时,由不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,可得解得0<a<4.综上可知实数0≤a<4,因此命题p是假命题.由x2-3x>0解得x>3或x<0.故“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,因此命题q是真命题.综上可得,( p)∧q是真命题.故选C.13.B解析画出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.14.C解析p1:因为f(1)=-a,所以a+b+c=-a,即c=-b-2a.又因为f(0)=c=-b-2a,f(2)=4a+2b+c=4a+2b-b-2a=2a+b,所以f(0)f(2)=(-b-2a)(2a+b)=-(b+2a)2≤0.所以f(x)在[0,2]上必有零点,故命题p1为真命题.p2:设f(x)=x|x|=画出f(x)的图象(图象略)可知函数f(x)在R上为增函数.所以当a>b时,有f(a)>f(b),即a|a|>b|b|.反之也成立.故“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件,故命题p2为假命题.则q1:p1∨p2为真命题.q2:p1∧p2为假命题.q3:( p1)∨p2为假命题.q4:p1∧( p2)为真命题.故选C.15.(-∞,1]解析若 p是假命题,则p是真命题,即关于x的方程4x-2·2x+m=0有实数解.因此m=-(4x-2·2x)=-(2x-1)2+1≤1,即m≤1.16.(1,2)解析因为 p为真,所以p为假.所以p∧q为假.又q∨(p∧q)为真,所以q为真,即命题p为假、q为真.命题p为假,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-4<0,解得-2<m<2;命题q为真,则4-4m<0,解得m>1.故所求的m的取值范围是1<m<2.17.D解析对于A,函数f(x)=是定义域上的奇函数,但f(0)不存在,故A不正确;对于B,若p:∃x0∈R,-x0-1>0,则 p:∀x∈R,x2-x-1≤0,故B不正确;对于C,若p∧q为假命题,则p,q至少有一个假命题,故C不正确;对于D,“若α=,则sin α=的否命题是“若,则sin ,故D正确.单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合M={x|2x-1<1,x∈R},N={x|lo x<1,x∈R},则M∩N等于()A. B.(0,1)C. D.(-∞,1)2.(2016东北三省四市二模)已知函数f(x)=则f(f(1))=()A.2B.0C.-4D.-63.(2016河北唐山一模)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)内单调递增的是()A.y=-B.y=-x2C.y=e-x+e xD.y=|x+1|4.(2016山东,理9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>时,f=f,则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2 〚导学号37270551〛5.(2016河北邯郸一模)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),若f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f,f(1),f的大小关系为()A.f<f(1)<fB.f(1)<f<fC.f<f<f(1)D.f<f(1)<f6.若方程lo(a-2x)=2+x有解,则a的最小值为()A.2B.1C.D.7.已知函数f(x)=-sin x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为()A.1B.2C.3D.48.(2016湖北八校三月联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则f(31)=()A.0B.1C.-1D.29.(2016山东淄博二模)当a>0时,函数f(x)=(x2-ax)e x的图象大致是()10.(2016湖北优质高中联考)已知g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(1,2)D.(-2,1) 〚导学号37270552〛11.某公司租地建仓库,已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.据测算,如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站()A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处〚导学号37270553〛12.(2016广西来宾高级中学适应卷)定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2(x1≠x2)都有<0,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)成中心对称,若s,t满足不等式f(s2-2s)≤-f(2t-t2),则当1≤s≤4时,的取值范围是()A. B.C. D. 〚导学号37270554〛二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知p:函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)内是单调函数,q:函数g(x)=log a(x+1)(a>0,且a≠1)在(-1,+∞)内是增函数,则 p是q的.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)14.(2016山东潍坊二模)已知奇函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)成立,且f(1)=1,则f(2 015)+f(2 016)=.15.已知函数f(x)=的图象关于原点对称,g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,则a+b=.〚导学号37270555〛16.(2016河北衡水中学一模)已知直线y=mx与函数f(x)=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.〚导学号37270556〛三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=m+log a x(a>0,且a≠1)的图象过点(8,2)和(1, -1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.19.(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x(x∈N*)千件,需另投入成本为C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=x2+10x(万元);当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+-1 450(万元).通过市场分析,当每件售价为500元时,该厂年内生产的商品能全部销售完.(1)写出年利润L(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t≠0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式;(2)若函数y=f(x)在区间上的最小值为-5,求此时t的值.21.(12分)已知函数f(x)=lg,其中x>0,a>0.(1)求函数f(x)的定义域;(2)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.〚导学号37270557〛22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.〚导学号37270558〛参考答案单元质检二函数1.A解析∵M={x|x<1},N=,∴M∩N=,故选A.2.C解析函数f(x)=则f(f(1))=f(2-4)=f(-2)=-4.故选C.3.C解析选项A中函数是奇函数,不合题意;选项B中函数在区间(0,+∞)内单调递减,不合题意;选项D中函数为非奇非偶函数,不合题意;故选C.4.D解析由题意可知,当-1≤x≤1时,f(x)为奇函数;当x>时,由f=f可得f(x+1)=f(x).所以f(6)=f(5×1+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2.所以f(6)=2.故选D.5.C解析∵定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),∴f(x+2)=f(x).∴f=f=f,f=f=f=f.∵f(x)在[0,1]上单调递增,∴f<f<f(1).∴f<f<f(1),故选C.6.B解析若方程lo(a-2x)=2+x有解,则=a-2x有解,即+2x=a有解.又+2x≥1,当且仅当=2x,即x=-1时,等号成立,故a的最小值为1,故选B.7.B解析函数f(x)=-sin x在[0,2π]上的零点个数为函数y=的图象与函数y=sin x的图象在[0,2π]上的交点个数,在同一坐标系内画出两个函数的图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间[0,2π]内有两个不同的交点,故选B.8.C解析∵函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x),∴函数f(x)是奇函数.∴f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的函数.∵当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),∴f(31)=f(32-1)=f(-1)=-f(1)=-log22=-1,故选C.9.B解析由f(x)=0,可知x2-ax=0,即x=0或x=a.故函数f(x)有两个零点,因此选项A,C不正确.∵a>0,可设a=1,则f(x)=(x2-x)e x,∴f'(x)=(x2+x-1)e x.由f'(x)=(x2+x-1)e x>0,解得x>或x<.即f(x)在内是增函数,即选项D错误,故选B.10.D解析由题意,当x>0时,g(x)=-g(-x)= ln(1+x),故函数f(x)=因此当x≤0时,f(x)=x3为单调递增函数,值域为(-∞,0].当x>0时,f(x)=ln(1+x)为单调递增函数,值域为(0,+∞).所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.因为f(2-x2)>f(x),所以2-x2>x,解得-2<x<1.故选D.11.A解析设仓库到车站的距离为x千米,由题意得,y1=,y2=k2x,其中x>0,当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=,故y1+y2=x≥2=8,当且仅当x,即x=5时取等号,故选A.12.D解析由已知条件知f(x)在R上单调递减,且关于原点对称.又f(s2-2s)≤-f(2t-t2),∴s2-2s≥t2-2t.∴(s-t)(s+t-2)≥0.以s为横坐标,t为纵坐标建立平面直角坐标系;不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示,且C(4,-2).设=z,整理得;又k OC=-,k AB=1,∴-≤1,解得-5≤z≤-.∴的取值范围是.故选D.13.充要条件解析由p成立,得a≤1,由q成立,得a>1,故 p成立时a>1,即 p是q的充要条件.14.-1解析由f(x+6)=f(x),知函数f(x)是周期为6的函数.又函数f(x)是奇函数,所以f(2 015)=f(6×336-1)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2 016)=f(6×336+0)=f(0)=0,所以f(2 015)+f(2 016)=-1.15.解析∵f(x)=的图象关于原点对称,∴函数f(x)是奇函数,∴f(0)=0,得a=1.∵g(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数,∴g(-x)=g(x)对任意的x都成立,∴lg(10-x+1)-bx=lg(10x+1)+bx,∴lg=lg(10x+1)+2bx,∴-x=2bx对一切x恒成立,∴b=-,∴a+b=.16.(,+∞)解析作出函数f(x)=的图象,如图所示.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线,当斜率m≤0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx始终与函数y=2-(x≤0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=x2+1(x>0)的图象有两个公共点,即方程mx=x2+1在x>0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式Δ=4m2-4×2>0,且2m>0,解得m>.故所求实数m的取值范围是(,+∞).17.解(1)由得解得故函数解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-[-1+log2(x-1)]=log2-1(x>1).又=(x-1)++2≥2+2=4,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.函数y=log2x在(0,+∞)内单调递增,故log2-1≥log24-1=1,。

广东省佛山市顺德区普通高中2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题一含答案

2024学年顺德区普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（答案在最后）2024.11本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足3i1z -=，则z =（）A.2 B.1C.D.【答案】B 【解析】【分析】依题意可得z =，再根据复数代数形式的除法运算化简，最后再计算其模.【详解】因为i1z-=+，所以i 1i z --==-，所以1z =.故选：B2.已知集合{}Z |13A x x =∈-<，{}03B xx =≤≤∣，则A B = （）A.{}0,1,2,3 B.{}1,0,1,2- C.{}03xx ≤≤∣ D.{24}xx -<<∣【答案】A 【解析】【分析】首先解绝对值不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由13x -<，即313x -<-<，解得24-<<x ，所以{}{}{}Z |13Z |241,0,1,2,3A x x x x =∈-<=∈-<<=-，又{}03B xx =≤≤∣，所以{}0,1,2,3A B = .故选：A3.“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义及指数函数、对数函数的性质判断即可.【详解】由21a >可得0a >，由2log 1b >可得2b >，由24a b +>可得2a b +>，所以由“21a >，2log 1b >”推得出“24a b +>”，故充分性成立；由“24a b +>”推不出“21a >，2log 1b >”，如0a =，3b =，满足24a b +>，但是21a =，故必要性不成立；所以“21a >，2log 1b >”是“24a b +>”的充分不必要条件.故选：A4.已知单位向量a，b 满足1a b += ，则下列说法正确的是（）A.,150a b =B.3a b -= C.向量a b +在向量a上的投影向量为2a D.12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，即可求出,a b ，从而判断A ，再根据a b -=判断B ，根据投影向量的定义判断C ，计算12b a b ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭ ，即可判断D.【详解】单位向量a，b 满足1a b += ，则()22221a ba ab b ++⋅==+ ，所以12a b ⋅=-r r ，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-⋅，又0,180a b ≤≤ ，所以,120a b = ，故A 错误；a b -====，故B 错误；因为()2211122a b a a b a ⎛⎫+⋅=+⋅=+-= ⎪⎝⎭ ，所以向量a b + 在向量a 上的投影向量为()212a a b a a a+⋅⋅=，故C 错误；因为221111102222b a b b a b ⎛⎫⋅+=⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以12b a b ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭ ，故D 正确.故选：D5.函数()cos2cos f x x x =-是（）A.偶函数，且最小值为－2B.偶函数，且最大值为2C.周期函数，且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D.非周期函数，且在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判定方式以及函数的最值判断A ，B ；根据周期性判断，结合复合函数的单调性判断C ，D.【详解】()cos2cos f x x x =-定义域为R ，关于原点对称，()()()()cos 2cos cos 2cos f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 为偶函数，又()2cos2cos 2cos cos 1f x x x x x =-=--，令cos x t =，11t -≤≤，()221f t t t =--，当14t =时，即1cos 4x =，()f x 有最小值，最小值为98-，当1t =-时，即cos 1x =-时，()f x 有最大值，最大值为2，故A 错误，故B 正确；因为()()()()2πcos22πcos 2πcos 2cos f x x x x x f x +=+-+=-=，所以()f x 为周期函数，因为cos y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，01t <<，()221f t t t =--，()f t 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()22cos cos 1f x x x =--，令cos x t =，10t -<<，()221f t t t =--，()f t 在()1,0-单调递减，由复合函数的单调性知，()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先减后增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；故C ，D 错误，故选：B.6.印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现302555+=，2553025=，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（）A.815B.35C.13D.0【答案】C 【解析】【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.【详解】因为()2281981+==，所以81是雷劈数.其余的不是雷劈数.记：“从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件A ，则()1526C 51C 153P A ===.故选：C7.已知函数()()21,1,ax x af x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(],1-∞- C.[]1,1- D.[)1,0-【答案】D 【解析】【分析】分段求函数值域，根据原函数值域为R ，求实数a 的取值范围.【详解】若0a <，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递增，所以()2,1y a∈-∞-；此时，函数()21y x =-在[],1a 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；因为函数()f x 的值域为R ，所以210a -≥，结合0a <得10a -≤<.若0a =，则()()21,01,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩的值域为[)0,+∞；若01a <<，在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a ->）；在[],1a 上，函数()21y x =-单调递减，在()1,+∞上单调递增，无最大值，所以[)0,y ∈+∞；所以函数()f x 的值域不可能为R ；若1a ≥，则函数在(),a -∞上，函数1y ax =-+单调递减，所以()21,y a ∈-+∞（210a -≤）；在[),a +∞上，函数()21y x =-单调递增，())21,y a ⎡∈-+∞⎣，此时函数()f x 的值域不可能为R .综上可知：当10a -≤<时，函数()f x 的值域为R .故选：D8.记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，已知()12n n n a T a -=，若10011000n a <，则n 的最小值是（）A.999B.1000C.1001D.1002【答案】C 【解析】【分析】由数列的前项积满足()12n n n a T a -=，可求得{}n T 是等差数列，并求得n T 的通项，进而得到{}n a 的通项，再由10011000n a <，即可求得正整数n 的最小值.【详解】∵n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，()12n n n a T a -=，∴当1n =时，()11112T T T -=，113a T ==2n ≥时，1nn n T a T -=，又()12n n n a T a -=，∴11122211n nn nn n n n n n T T T T a T a T T T -----=-==，即12n n T T --=，∴{}n T 是首项为3，公差为2的等差数列，且32(1)21n T n n =+-=+.由()2n n n T a T -=，得21221n n n T n a T n +==--若10011000n a <，则211001211000n n +<-，∴2001,2n >所以，正整数n 的最小值为1001.故选：C.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.现有甲、乙两组数据，甲组数据为：1216,,,x x x ；乙组数据为：121639,39,,39x x x --- ，若甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则下列说法一定正确的是（）A.乙组数据的平均数为39m -B.乙组数据的极差为3aC.乙组数据的第60百分位数为39b -D.乙组数据的标准差为n【答案】ABC 【解析】【分析】根据平均数、极差、标准差的性质及百分位数的定义判断即可.【详解】不妨设甲组数据从小到大排列为：1216,,,x x x ，则乙组数据从小到大排列为：121639,39,,39x x x --- ，因为甲组数据的平均数为m ，标准差为n ，极差为a ，第60百分位数为b ，则161a x x =-，又1660%9.6⨯=，所以10b x =，所以乙组数据的平均数为39m -，故A 正确；乙组数据的极差为()()161161393933a x x x x ----==，故B 正确；乙组数据的第60百分位数为109393b x -=-，故C 正确；乙组数据的标准差为3n ，故D 错误.故选：ABC10.在三棱台111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是等腰梯形且与底面垂直，111A C =，1AA =，3AC BC ==，AB =）A.1A A BC ⊥B.11119A ABC B A B C V V --=C.1112A ABC B A CC V V --= D.三棱台111ABC A B C -的体积为136【答案】ABD 【解析】【分析】根据面面垂直证明线面垂直，再证线线垂直，可判断A 的真假；根据两个同高的三棱锥的体积之比等于它们的底面积之比，可判断BC 的真假；根据台体的体积公式求出台体体积，判断D 的真假.【详解】如图：对于A ：在ABC V 中，3AC BC ==,AB =，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥.由平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，⊂BC 平面ABC ，所以⊥BC 平面11ACC A ，又1A A ⊂平面11ACC A ，所以1BC A A ⊥，故A 正确；对于B ：因为111A C =，3AC =，且111A B C △∽ABC V ，所以11119A B C ABC S S =.又三棱锥1A ABC -和111B A B C -的高相同，所以11119A ABC B A B C V V --=，故B 正确；对于C ：因为113AC A C =，所以1113A AC A C C S S = ，所以1113B A AC B A C C V V --=，即1113A ABC B A CC V V --=，故C 错误；对于D ：因为三棱台的高为1，所以三棱台111ABC A B C -的体积为：119133226V ⎛=⋅++= ⎝，故D 正确.故选：ABD11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若()()22f x f x +-=，()1g x -为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A.()()()0123f f f ++= B.()()4g x g x +=C.()()4f x f x += D.1322g g ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】对A ：令1x =，则()()112f f +=⇒()11f =；令0x =，则()()022f f +=.所以()()()0123f f f ++=，故A 正确；对B ：因为()()22f x f x +-=，两边求导，得()()20g x g x --=即()()2g x g x =-；因数()1g x -为偶函数，所以()()11g x g x -+=--⇒()()24g x g x -=-+，所以()()4g x g x =-+，故()()4g x g x +=成立，故B 正确；对C ：因为()()4g x g x +=，所以()()124f x c f x c ++=+⇒()()4f x f x c +=+，c 未必为0，故C 错误；对D ：因为()()2g x g x =-，令12x =，则1322g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：若()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()g x f x '=，则：（1）若()f x 为奇函数，则()g x 为偶函数；若()f x 为偶函数，则()g x 为奇函数.反之也成立.（2）若()f x 为周期函数，则()g x 也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.第II 卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3cos 4sin 5αα+=，则tan α=_____________．【答案】43【解析】【分析】由已知条件结合同角三角函数间的平方关系，求得sin cos αα，，进而可得解.【详解】联立223cos 4sin 5cos sin 1αααα+=⎧⎨+=⎩，得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此sin 4tan cos 3ααα==．故答案为：4313.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AF B ∆为等边三角形，则椭圆C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知及1AF B ∆是等边三角形即可求得：23AF c =,13AF =，利用椭圆定义列方程可得：21233AF AF a +=+=a =，问题得解．【详解】如图，依据题意作出图形，由题可得：122F F c =，又1AF B ∆为等边三角形，由椭圆的对称性可得：126AF F π∠=，又12AB F F ⊥计算可得：2233AF c =,1433AF c =由椭圆定义可得：2133233AF AF a +=+=整理得：3c a =所以33c e a ==【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了三角形中的边、角计算，还考查了椭圆的定义应用，考查方程思想及计算能力，属于中档题．14.现有甲、乙、丙等7位同学，各自写了一封信，然后都投到同一个邮箱里.若甲、乙、丙3位同学分别从邮箱里随机抽取一封信，则这3位同学抽到的都不是自己写的信的不同取法种数是__________（用数字作答）.【答案】134【解析】【分析】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，对A 、B 、C 取到的个数分四种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.【详解】设甲、乙、丙3位同学的信件分别为A 、B 、C ，若A 、B 、C 都没有取到，则有34A 24=种不同的取法；若A 、B 、C 取到一个，则有112324C A A 72=种不同的取法；若A 、B 、C 取到两个，则有()21113244C A A C 36+=种不同的取法；若A 、B 、C 取到三个，则有12C 2=种不同的取法；综上可得一共有2472362134+++=种不同的取法.故答案为：134四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin B C A ⋅=，2a =.（1）求ABC V 的面积S ；（2）若2212b c +=，求A .【答案】（1）2（2）π4【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到sin 2b C a ⋅==，从而得到2sin C b=，再由面积公式计算可得；（2）由余弦定理得到cos 4bc A =，从而得到2cos bc A a =，再由正弦定理将边化角，即可求出tan A ，从而得解.【小问1详解】因为sin sin sin B C A ⋅=，2a =，由正弦定理可得sin 2b C a ⋅==，所以2sin C b=，所以112sin 2222ABC S ab C b b==⨯⨯= ；【小问2详解】因为2222cos a b c bc A =+-，又2212b c +=，2a =，所以4122cos bc A =-，所以cos 4bc A =，则2cos bc A a =，由正弦定理可得2sin sin co s s in A B C A =，又sin sin sin B C A ⋅=，所以2sin cos sin A A A =，显然sin 0A >，所以cos sin A A =，则tan 1A =，又()0,πA ∈，所以π4A =.16.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，且2AB =，PA PB ⊥.四棱锥P ABCD -的体积为43.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，即可得到1PO =，设P 到平面ABCD 的距离为h ，根据锥体的体积公式求出1h =，即可得到⊥PO 平面ABCD ，从而得证；（2）取CD 的中点，连接OE ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接OP ，因为2AB =，PA PB ⊥，所以112PO AB ==，又四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以224ABCD S ==，设P 到平面ABCD 的距离为h ，则1144333AB P ABCD CD V hS h -==⨯⨯=，所以1h =，所以PO h =，即⊥PO 平面ABCD ，又PO ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABCD；【小问2详解】取CD 的中点，连接OE ，则//OE BC ，即OE AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则0,0,1，()1,2,0C ，()1,2,0D -，所以()2,0,0DC = ，()1,2,1PC =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2020n DC x n PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取()0,1,2n = ，又平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =，设平面PAB 与平面PCD 夹角为θ，则cos 5m n m n θ⋅===⋅ ，所以平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为5.17.已知函数()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>.（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 存在两个零点1x ，2x ，且120x x +>，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0y =（2）答案见解析（3）()1,+∞【解析】【分析】（1）求出()0f ，再求出导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；（2）由（1）可得()()()12e exxf x a=--'，再分1a =、1a >、01a <<三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（3）由()00f =，可得()f x 必有一个零点为0，再结合（2）讨论可得.【小问1详解】因为()()()2e21e 2210xx f x a ax a a =-++++>，所以()00f =，()()22e21e 2xx f x a a '=-++，则()00f '=，所以函数()f x 在0x =处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()()()2e 21e 2210xx f x a ax a a =-++++>的定义域为R ，且()()()()22e21e 22e e 1xx x x f x a a a '=--+=-+，当1a =时，()()22e 10x f x '=-≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；当1a >时，则当ln x a >或0x <时()0f x '>，当0ln x a <<时()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，则当0x >或ln x a <时()0f x '>，当ln 0a x <<时()0f x '<，所以()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减；综上可得，当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减.【小问3详解】因为()00f =，()f x 必有一个零点为0，由（1）可得，当1a =时()f x 只有一个零点，不符合题意；当1a >时，()f x 在(),0-∞，()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减，显然()()ln 00f a f <=，当()ln 21x a >+⎡⎤⎣⎦时()e 21x a >+，则()e 210xa -+>，e 0x>，20ax >，所以()()()2e21e 221e 21e 2210xx x xf x a ax a a ax a ⎡⎤=-++++=-++++>⎣⎦，所以()f x 在()ln ,a +∞上存在一个零点，此时()f x 有两个零点1x ，2x （不妨令12x x <），且10x =，()2ln ,x a ∈+∞，即20x >，满足120x x +>；当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞，()0,∞+上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，所以()f x 在()0,∞+不存在零点，且一个零点为0，则另一零点不可能大于0，此时不满足120x x +>，故舍去；综上可得实数a 的取值范围为()1,+∞.18.密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.（1）在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为12；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为13，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；（2）甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为()1,2X X =，求X 的分布列.【答案】（1）542（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可；（2）设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出135P =，从而得到()315P X ==和()225P X ==，得到分布列.【小问1详解】7人中随机选择2人，共有27C 21=种情况，其中含甲的情况有16C 6=种，6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为31121321⨯=，和同级的玩家对抗并获胜的概率为31321242⨯=，故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为135214242+=；【小问2详解】设1P 为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，2P 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，考虑1P ，需考虑甲直接从a 号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，故121122P P =+①，考虑2P ，则甲从b 号门进行密室①，且从密室①走出密室，故2113P P =②，联立①②，可得135P =，所以()1315P X P ===，故()322155P X ==-=，故分布列如下：X12P352519.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a n =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11,12,11k n n k k k n a b b k a n a -+=-⎧=⎨+-<<-⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，求证：()11n k n b a b -≥-⋅；（ii ）求1n S nii b -=∑.【答案】（1）121n n a -=+（2）（i ）证明见解析；（ii ）114399n n ⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据数列的前n 项和，可构造数列的递推公式，再构造等比数列，可求数列的通项公式.（2）先利用等差数列的前n 项和公式求12121k k i i b --=+∑，因为1n S ni i b -=∑()11141n nk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑，再利用错位相减法求和.【小问1详解】当1n =时，11213=+-a a ⇒12a =.当2n ≥时，23n n S a n =+-，1124n n S a n --=+-，两式相减得：1221n n n a a a -=-+⇒121n n a a -=-⇒()1121n n a a --=-.所以{}1n a -是以111a -=为首项，以2为公比的等比数列，所以112n n a --=⇒121n n a -=+.当1n =时，上式也成立.所以数列{}n a 的通项公式为：121n n a -=+【小问2详解】由题意：111,22,22k n k kn k n b b k n ---⎧==⎨+<<⎩，*N k ∈（i ）当2k ≥，11k n a +=-时，1n b k =+，112k k a --=，()111221222k k k n b k k k k ---=+--⨯=⨯-.因为()11n k n b a b ---⋅()112212k k k k k --=⨯--+⋅()112k k k -=-⋅-，因为2k ≥，所以()()1122120k k k k k k --⋅-≥--=-≥，所以：()11n k n b a b -≥-⋅.（ii ）因为()111222112nni n n i S n n n -=-=+=+=+--∑，所以21n n S n -=-.()()()()11121121212221222k k k k k i i b k k k -----=+--=-++⨯∑()141k k -=-，所以1n S ni i b -=∑()11141nnk i k i k -===+-∑∑114nk k k -==⋅∑设01211424344n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅ ，则()12141424144n nn T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ 两式相减得：01134444n n n T n --=+++-⋅ 11433n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，所以114399n n n T ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.即1n S ni i b -=∑114399n n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：（1）当122k k n -<<时，数列{}n b 是首项为2k k +，公差为2k 的等差数列，项数为：1122121k k k ----=-.（2）当数列是“等差⨯等比”形式时，其前n 项和用“错位相减法”求和.。

2024年广东省深圳市高三一模数学试题及答案

2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分。

二、选择题：每小题6分，共18分。

说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，每选对1个得2分，有选错得0分．三、填空题：每小题5分，共15分。

12．； 13 14．18．四、解答题：15．（13分）证明：（1）设等差数列{}n S n 的公差为d ，则41341S S d =+，即135S d +=，①………………1分因为21214S a a S =+=+，所以由2121S S d =+，得124S d +=．②…………………………2分由①、②解得12S =，1d =，所以1n S n n=+，即(1)n S n n =+，……………………………3分当2n …时，1(1)(1)2n n n a S S n n n n n −=−=+−−=，当时，112a S ==，上式也成立，所以*2()n a n n =∈N ，………………………………5分因为当2n …时，12n n a a −−=，所以数列{}n a 是等差数列．…………………………………6分解：（2）由（1）可知+122242n n n n b a n n b a n n +===++，…………………………………………………7分当2n …时，12112112112=613(1)n n n n n b b b n n b b b b b n n n n −−−−−⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=++……， π3−1n =因为16b =满足上式，所以*12()(1)n b n n n =∈+N ． ……………………………………………9分 1111111212[(1)()()]12(1)12223111n T n n n n =−+−++−=⨯−=−+++， ……………………11分因为当*121n ∈+N 时，，，3，5，11，所以{6,8,9,10,11}M =． …………………13分 16．（15分）证明：（1）不妨设3AD AP ==， ∵120PAD ∠=︒，2DM MP =，∴33DP =，23DM =，3PM =， ………………………………………………………1分由余弦定理得222cos303AM AP MP AP MP =+−⋅︒=，在ADM △中，222AD AM DM +=，∴MA AD ⊥， …………………………………………2分 ∵平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD平面PAD AD =，MA ⊂平面PAD ， ∴MA ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴MA BD ⊥，……………………………………………………………4分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，…………………………………………………………5分又∵AC MA A =，且AC ⊂平面ACM ，MA ⊂平面ACM ，∴BD ⊥平面ACM ． ……6分解：（2）在平面ABCD 内，过点B 作AD 的垂线，垂足为N ， ∵平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD 平面PAD AD =， ∴BN ⊥平面ADP ，…………………………………………7分又∵四边形ABCD 是菱形，60ADC ∠=︒，∴30BDA ∠=︒， ∴ACD △,ABC △均为等边三角形，………………………8分以点A 为坐标原点，AD ，AM 及过点A 平行于NB 的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系（如图），则(0,0,0)A ，333(,0,)22B −，(3,0,0)D ，333(,,0)22P −，……………………………9分由（1）BD ⊥平面ACM ，∴933(,0,)22BD =−为平面ACM 的一个法向量， …………………………………………10分设平面ABP 的法向量为(,,)x y z =m ，1n =2x P BCMDzy AN则0,0,AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即30,230,2x x y ⎧−+=⎪⎪⎨⎪−+=⎪⎩……………………………………………………………11分令x ==m ， ………………………………………………………………12分∵|cos ,|BD <>==m …………………………………………………………14分 ∴平面ACM 与平面ABP．……………………………………………15分 17．（15分）解：（1）由题可知332211()(1)3313()24f αααααα=+−=−+=−+， …………………………2分因为01α<<，所以当12α=时，()f α的最小值为14． ……………………………………4分（2）由题设知，X 的可能取值为1，2，3，4．………………………………………………5分①当1X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，212112128(1)3333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，……………………………………………………6分 ②当2X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，222221212112364(2)()2()2()()433333333819P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==，………………………8分③当3X =时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此， 33121220(3)()2()2333381P X ==⨯⨯+⨯⨯=，……………………………………………………10分 ④当4X =时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，441217(4)()()3381P X ==+=．……………………………………………………………………12分所以X 的分布列为…………………………………………………13分因此，X 的数学期望832017208()1234818818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………15分 18．（17分）解：（1）当0a =时，2()2ln f x x x x =−−，则1()2(1ln )22(ln 1)f x x x x x x x'=−⋅+⋅−=−++，……………………………………………1分令()()g x f x '=，则1()2(1)g x x'=−+，因为2[e ,1]x −∈，所以()0g x '<．则()g x 在2[e ,1]−上单调递减，……………………………2分又因为22(e )2(1e )0f −−'=−>，(1)40f '=−<，所以20(e ,1)x −∃∈使得0()0f x '=，()f x 在20(e ,)x −上单调递增，在0(,1)x 上单调递减．因此，()f x 在2[e ,1]−上的最小值是2(e )f −与(1)f 两者中的最小者．…………………………3分因为22422(e )4e e e (4e )0f −−−−−=−=−>，(1)1f =−，所以函数()f x 在2[e ,1]−上的最小值为1−．………………………………………………………4分（2）111()[1e (1)e ]2(1ln )2x x f x a x x x x x++'=⋅+−−⋅+⋅−1e 2(ln 1)x ax x x +=−++，由()0f x '=，解得1ln 12(ln 1)2(ln 1)e e x x x x x x x a x +++++++==，…………………………………………6分易知函数ln 1y x x =++在(0,)+∞上单调递增，且值域为R ，令ln 1x x t ++=，由()0f x '=，解得2et t a =，设2()et t h t =，则2(1)()e t t h t −'=，因为当1t <时，()0h t '>，当1t >时，()0h t '<，所以函数()h t在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．根据2(1)eh =，t →−∞时，()h x →−∞，2lim ()lim 0e t t t h t →+∞→+∞==, 得()h t 的大致图像如图所示． ………………………………………………………………………7分因此有：（ⅰ）当2ea >时，方程()h t a =无解，即()f x '无零点，()f x 没有极值点；………………8分（ⅱ）当2ea =时，ln ()2e 2(ln 1)x x f x x x +'=−++，利用e 1x x +…，得()2(ln 1)2(ln 1)0f x x x x x '++−++=…，此时()f x 没有极值点； ……9分（ⅲ）当20ea <<时，方程()h t a =有两个解，即()f x '有两个零点，()f x 有两个极值点；（ⅳ）当0a …时，方程()h t a =有一个解，即()f x '有一个零点，()f x 有一个极值点．综上，当0a …时，()f x 有一个极值点；当20ea <<时，()f x 有两个极值点；当2e a …时，()f x 没有极值点．……………………………………………………………………………………………11分（3）先证明当π(0,)4x ∈时，sin πx x >．设sin π()((0,))4x n x x x =∈，则2(cos )sin ()x x x n x x ⋅−'=，记π()cos sin ((0,))4p x x x x x =−∈，则()1cos (sin )cos sin 0p x x x x x x x '=⋅+⋅−−=−<， ()p x 在π(0,)4上单调递减， ……………………………………………………………………13分当π(0,)4x ∈时，()(0)0p x p <=，()0n x '<，则()n x 在π(0,)4上单调递减，π()()4n x n >=，即当π(0,)4x ∈时，不等式sin x x > …………………………………………………14分由（2）知，当函数()f x 无极值点时，2ea ≥，则1e π0244a <≤<，…………………………15分在不等式sin x x >12x a =，则有12sin 2a a >，即不等式1sin 2πa a >……………………………………………………………………17分 19．（17分）解：（1）设点(,)P x y||m n x m =−，……………………………………2分即222()()m x m y x n n−+=−，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=−，………………………………………………………3分当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线． ………………………………………………4分（2）设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−，(i)由（1）可知C 的方程为221168x y +=，A，(B −，因为//AM BN===，因此，M ，A ，M '三点共线，且||||BN AM '==，…………………………………5分（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C的方程，得22(2)80t y ++−=，则13y y +=，13282y y t =−+， ………………………………………………………6分由（1）可知11||4AM x x ==，3||4BN AM x '==，所以11||||||||||||AM BN AM BN AM BN ++=⋅1313(4)(4)(2)(2)++= 13213134(4()2114()2y y y y ty y−⋅+===++（定值）．………8分（法二）设MAx θ∠=，解得AM =，4=，解得AM '=，所以11111||||||||AM BN AM AM+=+=='（定值）.………………8分由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =−−，//AM BN ，∴8||||||||BQ AM AM QM BN BQ BQ −−==，解得(8||)||||||||AM BN BQ AM BN −⋅=+，同理可得(8||)||||||||BN AM AQ AM BN −⋅=+， ……………………………………………………………10分所以(8||)||(8||)||8(||||)2||||||||||||||||||||BN AM AM BN AM BN AM BN AQ BQ AM BN AM BN AM BN −⋅−⋅+−⋅+=+=+++2882611||||AM BN =−=−=+．因为AB =ABQ △的周长为6+． …………………………………12分(ii) 当m n >时，曲线C 的方程为222221x y n m n−=−，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得M ，A ，M '三点共线，且||||BN AM '=，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得2222222222[()]2()()0m n s n y sm m n y m n −−+−+−=， ∴221322222()()sm m n y y m n s n −+=−−−，222132222()()m n y y m n s n −=−−，（*） ………………………………13分因为211||()m n m AM x x n n m n=−=−，3||||m BN AM x n n '==−，所以1111||||||||||||||||AM AM AM BN AM AM AM AM '++=+=''⋅2222131322221313()()()()()()()()m m sm m n sm m n x n x n y y n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n n n n n−−−+−+++==−−−−++2213222222213132222()()()()()sm m n y y n n m s m n ms m n y y y y n n n −++=−−+++，将（*）代入上式，化简得22112||||n AM BN m n +=−，…………………………………………15分（法二）设MAx θ∠=，依条件有2()cos AMm n n m AM m θ=−+，解得22cos m n AM n m θ−=−，同理由2()cos AM m n n m AM m θ'='−−，解得22cos m n AM n m θ−'=+，所以2222221111cos cos 2||||||||n m n m n AM BN AM AM m n m n m n θθ−++=+=+='−−−.…………………15分由双曲线的定义2BQ QM MA n +−=，得2QM n AM BQ =+−，根据||||||||AM QM BN BQ =，解得(2||)||||||||n AM BN BQ AM BN +⋅=+，同理根据||||||||AM AQ BN QN =，解得(2||)||||||||n BN AM AQ AM BN +⋅=+，所以(2||)||(2||)||2||||||||2||||||||||||n BN AM n AM BN AM BN AQ BQ n AM BN AM BN AM BN +⋅+⋅⋅+=+=++++222222211||||m n m n n n n n AM BN −+=+=+=+，……………………………16分由内切圆性质可知，1(||||||)2S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，2221()(||||||)222m n m n AB AQ BQ m n nλ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n n λ+=．……………………………………17分。

广东省2025届高三上学期毕业班调研考试(一) 数学试卷(含解析)

2025届广东省高三毕业班调研考试（一）数学试卷及答案一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合2{|8150},{|5}A x x x B x x =∈-+≤=<Z ，则A B ⋂=（）A．{}3B．{}3,4C．{}4,5D．{}3,4,52．已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a和b 的夹角为150︒，且2,a b == ()2a b b +⋅= （）A．9-B．3-C．3D．94．已知π2sin sin 33αα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．59-B．19-C．19D．595．已知等比数列{}n a 为递增数列，n nnb a=.记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和，若2133312a a a S T =+=，，则n S =（）A．141n --B．()11414n --C．()14112n-D．24n -6．已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是（）A．B．C．D．7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波那契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为n n n a ⎡⎤⎛=-⎥ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log 1(14(x x x ⎡⎤⎣⎦+-<+的正整数解，则n 的最大值为（）A．5B．6C．7D．88．函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（）A．21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B．21,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．210,e ⎛⎫⎪⎝⎭D．210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共3小题）9．现有十个点的坐标为()()()121000,x x x ,,,,,，它们分别与()()()1210101010y y y ,,,,,,关于点(3,5)对称已知1210,,,x x x 的平均数为a ，中位数为b ，方差为c ，极差为d ，则1210,,,y y y 这组数满足（）A．平均数为6a -B．中位数为6b -C．方差为cD．极差为d10．设123,,z z z 是非零复数，则下列选项正确的是（）A． 2211z z =B．1212z z z z +=+C．若122i 2z --=，则116i z +-的最小值为3D．若22i i 4z z ++-=，则2z的最小值为11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当()()0e e e 0x f x f x ≥+--=，，且当>0时，()()e e 0f x f x ''++->，则下列说法正确的是（）A．()e 0f =B．()f x 在(),e -∞上单调递增，在()e,+∞上单调递减C．若()()1212,x x f x f x <>，则212ex x +<D．若12,x x 是()()()2e 2g xf x x =+--在()0,2e 内的两个零点，且12x x <，则()()211ef x f x <<三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差3d =，求第10项10a 的值为.13．若()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++.14．如图，在矩形ABCD 中，8,6,,,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，点Q 在直线HF 上，点N 在直线BC 上，,,OQ kOH CN kCF k ==∈R，直线EQ 与直线GN 相交于点R ，则点R 的轨迹方程为.四、解答题（本大题共5小题）15．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C-=-(1)求A ；(2)若23b c P Q ==，，，分别为边a b ，上的中点，G 为ABC 的重心，求PGQ ∠的余弦值.16．设A B ，两点的坐标分别为())3,0,3,0.直线AH BH ，相交于点H ，且它们的斜率之积是13-.设点H 的轨迹方程为C .(1)求C ;(2)不经过点A 的直线l 与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线AE 与直线AF 的斜率之积是13-，求证：直线l 恒过定点.17．如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与B 的交点，608AB AD BAD AC ∠=== ，，.(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值为1313，求k 的值.18．已知函数()()1ln f x x x =-，(1)已知函数()()1ln f x x x =-的图象与函数()g x 的图象关于直线=−1对称，试求()g x ；(2)证明()0f x ≥；(3)设0x 是()1f x x =+的根，则证明：曲线ln y x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19．如果函数()F x 的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x =⎰，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线()y f x =，直线x a x b ==，()a b ＜以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C =+⎰，其中C 为常数；()()222204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x C ===+及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e1d 02xf x x f =+=⎰，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,x f x mx x =--∈+∞，，其中m ∈R ，对[)0,a b ∀∈+∞，，若a b >，都满足()()0d d a b f x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.参考答案1．【答案】B【分析】先解不等式求得集合A ，进而求得A B ⋂.【详解】集合()(){}2{|8150}{|350}3,4,5A x x x x x x =∈-+≤=∈--≤=Z Z .而{|5}B x x =<，故{}3,4A B ⋂=.故选B.2．【答案】A【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==∈且,0)b c ≠,可得12z z ∈R ，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,z b z c b c ==∈R 且,0)b c ≠,则12i i z b b z c c ==∈R ，所以“12,z z 均为纯虚数”是12zz 是实数的充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选A.3．【答案】C【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b+⋅=⋅+ 2cos1502a b b=⋅⋅︒+2223⎛=+⋅= ⎝⎭.故选C.4．【答案】B【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得2π1sin sin sin cos sin 332ααααα⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭1πsin cos 26ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以22ππ21cos 22cos 1213639αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B.5．【答案】C【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解q 的值，再由数列的单调性进一步判断即可.【详解】2131133141122312a a a a q a S T q q q=⇒=⇒=+=⇒++=，则()()2121294214042q q q q q q -+=--=⇒==，.由于{}n a 为递增数列，则1144q a ==，，所以{}n a 的通项公式为24n n a -=所以()()11414411412nn n S -==--.故选C.6．【答案】A【分析】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，取CD 的中点F ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，利用∽ POQ PFH 求出球心到四棱锥顶点的距离h ，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，由体积为34π3R得R =，连接PH ，PH ⊥平面ABCD ，球心O 在PH 上，OH R =，取CD 的中点F ，连接,HF PF ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，且OQ PF ⊥，∽ POQ PFH ，球心到四棱锥顶点的距离为h ，所以=PQ PH OQ FH，h ，所以1181283333==ABCD V S PH .故选A.7．【答案】A【分析】利用给定条件结合对数的性质构造42n a <，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n是2log 1(14(xx x ⎡⎤⎣⎦-<+的正整数解，故2log (1(14n nn ⎡⎤⎣⎦-<+，取指数得((4112n n n +--<，同除2n得，42n n -<⎝⎭⎝⎭，故42n n ⎡⎤⎫-⨯⎥⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即42n a <，根据{}n a 是递增数列可以得到{}2n a 也是递增数列，于是原不等式转化为2812525n a <⨯<.而565,8a a ==可以得到满足要求的n 的最大值为5，故A 正确.故选A.8．【答案】D【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，由导数求得ℎ的单调性并求得最大值即可得出结论.【详解】由()21ln 02mx x x +=>得22ln 1m x x -=，则问题转化为y m =和()21ln 2x h x x-=的图象有两个交点，而()()()2232112ln 21ln 2x x x x x h x x x ⎛⎫⋅-- ⎪-'⎝⎭==，令ℎ'>0，解得0e x <<，令ℎ'<0，解得e x >，故ℎ在()0,e 上单调递增，在()e,+∞单调递减，则()()2max 1e 2e h x h ==，ℎ大致图象如下所示：结合图象可知，m 的取值范围是210,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选D.9．【答案】ABCD【分析】根据对称知识可得()6110i i y x i i =-∈≤≤Z ，，结合平均数、中位数、方差、极差的性质，即可判断出答案.【详解】由于()()()121,0,,0,,,0x x x ，它们分别与()()()1210,10,,10,,,10y y y 关于点(3,5)对称，则有()6110i i x y i i +=∈≤≤Z ，，即有()6110i i y x i i =-∈≤≤Z ，.则由平均数的性质可得1210,,,y y y 这组数的平均数为6a -，结合中位数性质可知中位数为6b -，结合方差性质可得方差为c ，极差非负，所以极差为d .故选ABCD.10．【答案】CD【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A，举反例判断B，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断C，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D 即可.【详解】对于A.，设1i z a b =+，则1i z a b =-，所以22221(i)2i z a b a b ab =+=-+，2221(i)2i z a b a b ab =-=--，当,a b 有1个为0或全为0时， 2211z z =，当,a b 均不为0时，2211,z z 无法比较大小，故A 错误，对于B，当1i z =，2i z =-时，120z z +=，此时120z z +=，122z z +=，故1212z z z z +=+不成立，故B 错误，对于C，设1i z a b =+，因为122i 2z --=，所以i 22i 2a b +--=，故有2(2)i 2a b -+-=，可得22(2)(2)4a b -+-=,所以1z 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，而116i i 16i 1(6)i z a b a b +-=++-=++-=，故116i z +-表示点(),a b 到定点()1,6-的距离，由圆的性质可知，1min 16i 23z +-==，故C 正确，对于D，设2z a bi =+，所以2i i i (1)i z a b a b +=++=++=，2i i i (1)i z a b a b -=+-=+-=，而22i i 4z z ++-=，故4，所以得到点(),a b 到两定点()0,1-，()0,1的距离之和为4，故2z 的轨迹是以()0,1-，()0,1为焦点的椭圆，故轨迹方程为22143y x +=，而2z 表示(),a b 到原点的距离，由椭圆的几何性质可得当点B 在椭圆的左右顶点时，2z 取得最小值，此时2z =2min z =D 正确.故选CD .11．【答案】ACD【分析】A 选项，令=0，可求()e f ；B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，结合()()e e 0f x f x ''++->得()e 0f x '-<，()e 0f x '+>，可判断()f x 单调性；C 选项，12e x x ,,的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D 选项，证明212e x x +<，利用函数单调性，证明()()12f x f x <且()()21e f x f x <，可得结论.【详解】A 选项，令=0，则有()()()()e e e 1e e 0f f f -=-=，所以()e 0f =，故A 正确.B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，得()()e e e 0f x f x '++-='，所以()()e e e f x f x +=-'-'，代入()()e e 0f x f x ''++->，得当>0时，()()1e e 0f x '-->，所以()e 0f x '-<.又因为()()e e 0f x f x ''++->，所以，()e 0f x '+>.因此，当e x <时，()0f x '<，()f x 在(),e -∞上单调递减；当e x >时，()0f x '>，()f x 在()e,+∞上单调递增.故B 错误.C 选项，对12e x x ,,的大小关系进行分类讨论：①当12e x x <≤时，()f x 在(),e -∞上单调递减，所以()()12f x f x >，显然有212e x x +<；②当12e x x ≤<时，()f x 在()e,+∞上单调递增，不符合题意；③当12e x x <<时，当0x ≥时，()()e e e f x f x +=-.令()()()()()()122e e,e 2e e 2e t x f t f t f x f x f x ∞=+∈+=->=-，，，又因为()()e 0f x f ≥=，所以()22e 0f x ->，因此()()()()1222e 2e 2e f x f x f x f x >=->-.因为12e 2e e x x <-<，，由()f x 的单调性得，212e x x +<.故C 正确.D 选项，因为()()()()()()2200e 202e 2e e 20e e 220g f g f g f =+->=+->=-=-<，，，所以120e 2e x x <<<<.先证212e x x +<，即证122e x x ->，即()12e 0g x ->，只需证()2112e (2e e)20f x x -+--->，即证()211e (e )20f x x +-->.事实上，()()()()()2211111e e 2e 20f x x f x x g x +-->+--==，因此212e x x +<得证.此时有1210e 2e 2e x x x <<<<-<.因为()()()()()22211122e 22e e 2e 2f x x x x f x =--+=---+<--+=，又()10f x ≠，所以()()211f x f x <，因为()()()2112e e f x f x f x <-=，又()10f x ≠，所以()()21e f x f x <.综上，()()211e f x f x <<，故D 正确.故选ACD.【方法总结】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.12．【答案】29【分析】根据等差数列的通项公式求得正确答案.【详解】依题意101922729a a d =+=+=.故答案为：29.13．【答案】121122【分析】利用赋值法令1x =，1x =-，联立方程组求解即可.【详解】令1x =，得()554321012243a a a a a a +==+++++，令1x =-，得()5543210121a a a a a a -+==-+-+-+，则()()543210543210531243112122a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+-+-++===，且()()543210543210420243112222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-++++===，故531420121122a a a a a a ++=++.故答案为：121122.14．【答案】()221,3916y x y -=≠-【分析】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线EQ 的方程与直线GN 的方程，联立求解即可.【详解】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为8,6AB BC ==，所以()()()()()()0,0,4,0,4,0,0,3,0,3,4,3O H F E G C --，所以()4,0OH =- ()()0,3,4,3CF OC =-= ，又因为,OQ kOH CN kCF == ，所以()()4,0,0,3OQ k CN k =-=-，所以()()4,0,4,33Q k N k --.因为()()0,3,4,0E Q k --，所以直线EQ 的方程为334y x k=--①，因为()()0,3,4,33G N k -，所以直线GN 的方程为334ky x =-+②.由①可得()()3043xk x y =-≠+，代入②化简可得()2210916y x x -=≠，，结合图象易知点R 可到达()0,3G ，但不可到达()0,3E -，所以点R 的轨迹方程为()221,3916y x y -=≠-，故答案为：()221,3916y x y -=≠-.15．【答案】(1)π3；(2)133266-.【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦定理即可求得；(2)根据已知设AB c AC b ==，，表达出AP BQ ，，再根据余弦定理可求得结果.【详解】（1）因为2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-，所以()()22212sin 12sin 2sin 2sin sin B A C B C ---=-，即222sin sin sin sin sin A B C B C =+-，由正弦定理得222a c b bc =+-，由余弦定理得1cos 2A =，因为()π0π3A A ∈=，，；（2）设AB c AC b== ，，1cos 2332b c b c A ⋅=⋅=⨯⨯= ，依题意可得()1122AP b c BC b c BQ b c =+=-=- ，，，所以AP===，BQ===()221111143917224424424AP BQ b c b c b b c c⎛⎫⋅=+-=-⋅-=--=-⎪⎝⎭，所以cosAP BQPGQAP BQ⋅∠==-⋅.16．【答案】(1)(2213x y x+=≠；(2)证明见解析.【分析】（1）设点H的坐标为(),x y，然后表示出直线,AH BH的斜率，再由它们的斜率之积是13-，列方程化简可得点H的轨迹方程；（2）设()()1122,,,E x yF x y，当直线l斜率不存在时，求得直线l为x=0，当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx b=+，由13AE AFk k⋅=-得2213=-，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得20b=，从而可求得直线恒过的定点.【详解】（1）设点H的坐标为(),x y，因为点A的坐标是()，所以直线AH的斜率AHk x=≠，同理，直线BH的斜率BHk x=，由已知，有(13x-≠±，化简，得点H的轨迹方程为(2213x y x+=≠，即点H的轨迹是除去()),两点的椭圆.（2）证明：设()()1122,,,E x yF x y①当直线l斜率不存在时，可知1221,x x y y==-，且有22111313AE AFx yk k⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得1101x y==±，，此时直线l为x=0，②当直线l斜率存在时，设直线:l y kxb=+，则此时有：2213AE AFk k+++++⋅==-联立直线方程与椭圆方程2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222316310kx kbx b +++-=，根据韦达定理可得：122631kb x x k -+=+，21223331b x x k -=+，所以2222222233613131336333131b kbk kb b k k b kb k k --⋅+⋅+++=---++++，所以222222(33)63113k b k b b k --++=-，所以221=-所以20b =，则0b =或b=，当b=时，则直线(:l y k x =+恒过A 点与题意不符，舍去，故0b =，直线l 恒过原点()0,0，结合①，②可知，直线l 恒过原点()0,0，原命题得证.【关键点拨】此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力.17；(2)4k =.【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值，即可求得答案.【详解】（1）在底面ABCD 中，因为AC 是底面直径，所以90ABC ADC ∠=∠=，又AB AD =，故ACB ≌ACD，所以13042BAC DAC BAD BC CD AB AD ∠∠∠=======,,因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以211π()16π2V AC PC PC ==⨯，211112243232V AB BC PC PC=⨯⨯⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=,因此12VV=；（2）以C为坐标原点，以,CA CP为,x z轴正方向，在底面ABCD内过点C作平面PAC的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为30BAC DAC AB AD∠∠===，，所以ABE≌ADEV，故90AEB AED∠∠== ，所以1622BE DE AB AE CE AC AE=====-=，，2PC kCE k==，因此()()()()()() 0,0,0,8,0,0,2,,0,0,2,2,,0,0,2C AD P k CD CP k==，()8,0,2PA k=-，因为PA kPF=，所以18,0,2PF PAk k⎛⎫==-⎪⎝⎭，则88,0,22,,0,22F k CF kk k⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面FCD和平面PCD的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z==，则有:()1111822020n CF x k zkn CD x⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，2222020m CP kzm CD x⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取())()221,,1,3,4n k k k k m⎛⎫=----=-⎪⎪⎝⎭，设平面FCD与平面PCD的夹角为θ，则sinθ=所以有：2cos cos,13m nθ==，整理得2120k k--=，2120k k-+=（无解，舍），由于k为正整数，解得4k=.18．【答案】(1)()()()3ln2,(2)g x x x x=----<-；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由()()11f x g x --=-+，得()()()12ln 1g x x x -+=----，再利用换元法求()g x ；（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；（3）取曲线e x y =上的一点()11e ,xB x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是()ex h x =在B 处的切线，证明直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率即可.【详解】（1）因为()f x 的图象与()g x 的图象关于直线=−1对称，所以()()11f x g x --=-+.又因为()()()()()111ln 12ln 1f x x x x x ⎡⎤--=-----=----⎣⎦，所以()()()12ln 1g x x x -+=----，令1t x =-+，则1x t =+，所以()()][()()()21ln 113ln 2g t t t t t ⎡⎤=--+--+=----⎣⎦，因此()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-.（2）证明：解法1：当1x ≥时，10x -≥且ln 0x ≥，此时()()1ln 0f x x x =-≥；当01x <<时，10x -<且ln 0x <，此时()()1ln 0f x x x =->，故综上()0f x ≥.解法2：()1ln 1f x x x +'=-，令()1ln 1x x xϕ=+-，()2110x x x ϕ'=+>在()0,+∞上恒成立，故()x ϕ在()0,+∞上单调递增，即()f x '在()0,+∞上单调递增，因此当01x <<时，()()10f x f ''<=；当()()110x f x f ''≥≥=，；因此()f x 在()0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增，故()()10f x f ≥=.（3）证明：不妨取曲线e x y =上的一点()11e ,xB x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是()e xh x =在B 处的切线，则()()10101e x g x h x x ''===，得101ln x x =，则B 的坐标0011ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由于()0001ln 1x x x -=+，所以0001ln 1x xx +=-，则有()()2000000000002000000000011111ln ln 111111ln ln 11ABx x x x x x x x x x k g x x x x x x x x x x x ++-----======++--'++-，综上可知，直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率，所以直线AB 既是曲线ln y x =在点()00n ,l A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19．【答案】(1)()e 1xf x x =++；(2)1256；(3)12m ≤.【分析】（1）根据新定义及()02f =计算得解；（2）根据新定义，构造函数()26g x x x =-+-即可得出面积；（3）根据所给条件可得()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，转化为()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，分离参数后利用导数求出函数最值即可得解.【详解】（1）()()e 1d e x xf x x x C =+=++⎰，其中C 为常数.而()02f =，即102C ++=，所以1=C ，所以()e 1xf x x =++.（2）联立26y x y x ⎧=⎨=-+⎩，解得123,2x x =-=，当32x -<<时，26x x -+>，令()26,g x x x =-+-()()2311d 623F x g x x x x x C ==-+-+⎰，则围成的面积()()()2389125d 23212189326S g x x F F -⎛⎫⎛⎫==--=-+----+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰.（3）令()()d F x f x x =⎰，由题意可知，[)0,a b a b ∀∈+∞>，，，满足()()()()00F a F F b F ->-，即()()F a F b >，即()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，进而()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，e 120x mx --≥在()0,+∞恒成立.由于>0，即e 12x m x -≥，令()e 12x g x x-=，则()22e 2e 24x x x g x x -+'=，令()()2e 2e 22e 0x x xh x x h x x '=-+=≥，，所以ℎ在[)0,+∞上单调递增，所以()()00h x h ≥=，即()0g x '≥，进而()g x 在()0,+∞单调递增，而()000e 1e 1lim lim lim 222x x x x x g x x →+→+→+-===，所以()12g x ≥，所以12m ≤.【关键点拨】本题第三步关键在于利用a b >，都满足()()0d d abf x x f x x >⎰⎰，得出函数()()d F x f x x =⎰在[)0,+∞上单调递增，再转化为()0f x ≥在[)0,+∞恒成立，分离参数求解.。

2024-2025学年广东省清远市高三上学期一模数学试题及答案

2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）高三数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

1．若集合110,122A x x B x x ⎧⎫⎧⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，则A B = （）A ．1322xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．302x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．12x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．∅2．已知i 是虚数单位，若5ii iz -+-=，则复数z 的虚部为（）A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．已知向量()()2,3,,4a b k ==-，且a b ⊥ ，则k 的值为（）A ．6-B ．6C ．83-D ．834．函数()41f x x x =+-在区间()1,+∞上的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．55．下列函数中，是偶函数且在()0,+∞上单调递增的是（）A ．()23f x x =-+B ．()lg f x x =C ．()sin f x x =D ．()3f x x=6．设函数()1f x ax ax=+在区间()2,3上单调递减，则正数a 的取值范围为（）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．()2,3D ．[]2,37．记函数()f x =+，设π3π,22α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，甲：π,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；乙：()2sin 2f αα=，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知1lg2lg62e ,,lge lg8a b c -===，则A ．c b a<<B ．c a b<<C ．b a c<<D ．b c a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2023-2024学年广东省广州市高三上册第一次调研数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年广东省广州市高三上学期第一次调研数学模拟试题本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈=N AB ⋃=A ．B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2{}0,1{}12．复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（）z ()1i i z +=i A ．B ．在复平面内对应的点位于第二象限1z =z C ．的实部为D ．的虚部为z 12z 1i 23．在中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三ABC 等分点，则（）AE =A ．B ．C ．D ．2133CA CB-+1526CA CB - 1233CA CB-+5162CA CB-+4．函数的部分图像如图所示，则，的值分()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<ωϕ别是（）A ．2，B ．2，C ．2，D ．4，π6-π3-π35π6-5．在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为{}n a n a ()*1n a n +∈N 1n a n -的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和1n -n {}n b 21na n =+{}nb 为（）A ．B ．-13C ．D ．-14252-272-6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔0R 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型T 来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t ，（单位：天）的变()2rtW t =()W t Z t ∈化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T 之间的关系近似满足r 0R ，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病01R rT =+04R =12T =毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（）()0W lg 20.301≈lg 30.477≈A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天7．如图，在长方形ABCD 中，，，为的中点，为线段（端2AB =1BC =E DC F EC 点除外）上的动点．现将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD AFD △ABD ⊥内过点D 作，K 为垂足．设，则t 的取值范围是（）DK AB ⊥AK t =A ．B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭8．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点xOy 22:(2)(2)1C x y -+-=:0l x y m ++=顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（）O 90 C mA ．B ．⎡⎣44⎡--+⎣C ．D ．22⎡--⎣22⎡-⎣二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.810．下列说法正确的是（）A ．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件α2αB ．“，”是“”的充要条件π2π6k α=+Z k ∈1sin 2α=C ．设，，则“”是“”的ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭M θ∈N θ∈充分不必要条件D ．“”是“”的必要不充分条件sin 0θ>θtan2>11．椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，C 22121,,82x y F F +=点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，()2,1P 12PF F △(),I I I x y 1212,,PF PF F F ,,D E H 则（）A ．B ．12PF F S =△1x =C ．D ．13y =PD PE ==12．已知函数，，则下列说法正确的是（）()()e x f x a x=+()()ln g x x a x =+A ．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为()y f x =a 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当时，函数在上单调递增1a =()y g x =(0,)+∞C ．当时，若存在，使不等式成立，则实数的1a =1x ≥()()2()ln f mx fxx x≥+m 最小值为0D ．当时，若，则的最小值为1a =()()12(0)f xg x t t ==>()121ln x x t +⋅1e三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中的系数为．（用数字作答）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭42x y14．设数列满足，，且，若表示不超过的最{}n a 12a =26a =2122n n n a a a ++-+=[]x x 大整数，则．122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ 15．已知椭圆的左右焦点为．直线与椭圆相交22221(0)x y C a b a b +=>>：12,F F y kx =C 于两点，若，且，则椭圆的离心率为．,P Q 112PF QF =12π3PF Q ∠=C 16．已知A ，M ，N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是 ·AM AN ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题10分）如图，在中，，点是边上一点，且ABC 6AB AC ==D BC,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB= (1)求的面积；BCE (2)求线段的长.AD 18．（本题12分）已知数列的前项和为，，且满足{}n a n n S 11a =.()()11112n n n S nS n n ++=-+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.()23cos πn a n n b a n =+⋅{}n b n nT19．（本题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，P ABCD -PAD AD CD ⊥，且，，为中点．//AD BC 22AD BC ==CD =PB =E AD(1)求证：平面平面；PAD ⊥ABCD(2)若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值．PC Q Q BE C --60︒CQCP 20．（本题12分）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复10%赛的成绩（记为）.K21．（本题12分）已知椭圆，斜率为2的直线2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O重合时，面积为．ABD △169(1)求C 的方程；(2)当M 异于O 点时，记直线与y 轴交于点N ，求周长的最小值．BD OMN 22．（本题12分）已知函数．21()ln 2f x x x ax =+-(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；12a =()y f x =(1,(1))f (2)讨论函数的单调性；()f x (3)若有两个极值点，，证明：．()f x 1x 2x ()()121222f x f x ax x -<--数学试卷答案解析本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答；2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈=N AB ⋃=A ．B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2{}0,1{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性、一元二次不等式的解法，结合并集的定义进行求解即可.【详解】由，(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由，{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以，A B ⋃={}0,1故选：C2．复数满足，为虚数单位，则下列说法正确的是（）z ()1i i z +=i A ．B ．在复平面内对应的点位于第二象限1z =z C ．的实部为D ．的虚部为z 12z 1i2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可求得其模以及实部和虚部，以及对应的点所在象限，一一判断各选项，即得答案.【详解】因为，故，()1i i z +=i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-，A 错误；=在复平面内对应的点为，位于第一象限，B 错误；z 11(,)22的实部为，C 正确；z 12的虚部为，D 错误，z 12故选：C ．3．在中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三ABC 等分点，则（）AE =A ．B ．C ．D ．2133CA CB-+1526CA CB - 1233CA CB-+5162CA CB-+【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点ABC 4CA CB ==的坐标，设，从而得到方程组，求出答案.m A CA nCB E =+【详解】方法一：如图，由题意得，，23CE CD = 34AD AB=故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD=+=+=+-=+ ；()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设是等腰直角三角形，且，ABC 4CA CB ==以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()()0,4,4,0CA CB ==设，m A CA nCB E =+ 故，()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以，解得，1042,43n m ==-51,62m n =-=故．5162CA C A BE -=+故选：D ．4．函数的部分图像如图所示，则，的值分()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<ωϕ别是（）A ．2，B ．2，C ．2，D ．4，π6-π3-π35π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求，的值即可.ωϕ【详解】设的周期为，()f x T 则由图像知，35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以，则，2π2T ω==()()2sin 2f x x ϕ=+因为在处取得最大值，()f x 5π12x =所以，5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈得，π2π,Z3k k ϕ=-+∈因为，ππϕ-<<所以.π0,3k ϕ==-故选：B5．在数列中的相邻两项与之间插入一个首项为，公差为{}n a n a ()*1n a n +∈N 1n a n -的等差数列的前项，记构成的新数列为，若，则前65项的和1n -n {}n b 21na n =+{}nb 为（）A ．B ．-13C ．D ．-14252-272-【答案】A【分析】根据题意，得到数列中及其后面项的和为，{}n b n a n n S 求解.()()1112n n n n S n a n +=+-⨯【详解】解：数列为：{}n b ，1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n -------，1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n n n +-----设及其后面项的和为，则，n a n n S ()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=-所以数列是以1为首项，公差为的等差数列.{}n S 12-所以前65项的和为，{}n b 1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==- 故选：A.6．冬季是流感高发期，其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数与世代间隔0R 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析，可以用函数模型T 来描述累计感染甲型流感病毒的人数随时间t ，（单位：天）的变()2rtW t =()W t Z t ∈化规律，其中指数增长率与基本再生数和世代间隔T 之间的关系近似满足r 0R ，根据已有数据估计出时，．据此回答，累计感染甲型流感病01R rT =+04R =12T =毒的人数增加至的3倍至少需要（参考数据：，）（）()0W lg 20.301≈lg 30.477≈A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得，然后根据“的3倍”列方程，化简求得需要的时间.r ()0W【详解】依题意，，且时，，01R rT =+04R =12T =即，所以，，14112,4r r =+⨯=()142t W t =()10W =令，两边取以为底的对数得，()1423t W t ==1014lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈所以至少需要天.7故选：B7．如图，在长方形ABCD 中，，，为的中点，为线段（端2AB =1BC =E DC F EC 点除外）上的动点．现将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD AFD △ABD ⊥内过点D 作，K 为垂足．设，则t 的取值范围是（）DK AB ⊥AK t =A ．B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设，求得关于的表达式，根据的取值范围求得的取值范围.DF x =x t x t 【详解】如图，在平面ADF 内过点D 作，垂足为，连接．DH AF ⊥H HK 过点作，交于点．F //FP BC AB P设，．FAB θ∠=AE AC ==cos θ∈设，则．DF x =12x <<因为平面平面ABC ，平面平面，ABD ⊥ABD ⋂ABC AB =，平面ABD ，所以平面ABC ，DK AB ⊥DK ⊂DK ⊥又平面，所以．AF ⊂ABC DK AF ⊥又因为，，，平面DKH ，所以平面，所DH AF ⊥DK DH D = DK DH ⊂AF ⊥DKH 以，即．AF HK ⊥AH HK ⊥在中，，Rt ADFAF =DH =因为和都是直角三角形，，ADF △APF PF AD =所以，．Rt Rt ADF FPA ≌△△AP DF x ==因为，AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AHAD DF ===所以，得．cos AH AP AK AF θ===1x t =因为，所以，所以．12x <<112t <<112t <<故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直、面面垂直转化的过程中，要从线面垂直得到面面垂直，需要“经过一个平面的垂线”；要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内，垂直于交线”，在答题过程中，要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系内，圆，若直线绕原点xOy 22:(2)(2)1C x y -+-=:0l x ym ++=顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（）O 90 C m A ．B．⎡⎣44⎡--+⎣C ．D．22⎡--⎣22⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为，然后由直线与圆的位置关系1:0l x y m -+=列出不等式即可求解.【详解】连接，设（即以轴正方向为始边，为终边的角），OP POx θ∠=x OP 由题意对于直线上任意一点，存在，使得:0l x y m ++=(),P x y R a θ=∈，()cos ,sin P a a θθ则直线绕原点顺时针旋转后，点对应点为:0l x y m ++=O 90()cos ,sin P a a θθ，即，1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1sin ,cos P a a θθ-因为在直线上，所以满足()cos ,sin P a a θθ:0l x y m ++=cos sin 0a a m θθ++=设，所以，11sin ,cos x a y a θθ==-110y x m -++=即所在直线方程为，()1sin ,cos P a a θθ-1:0l x y m -+=而圆的圆心，半径分别为，22:(2)(2)1C x y -+-=()2,2,1r =若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，:0l x y m ++=O 90C所以圆心到直线的距离，解得()2,2C 1:0l x y m -+=1d r =m ≤≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线，从而即可顺利得解.二、多选题9．某校举行演讲比赛，6位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0则下列说法正确的是（）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8【答案】ACD【分析】由平均数、方差、百分位数、众数的概念及求法分别求解判断即可.【详解】选项A ，评委对甲评分的平均数，7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数，7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以，故A 正确；x x <甲乙选项B ，由A 知，两组数据平均数均约为，7.8且纵向看，甲组数据与乙组数据仅一组数据不同，其余数据相同，7.5,7.8又甲组数据与平均数的差明显大于乙组数据与平均数的差，且差距较大，7.57.8故与平均数比较，甲组数据波动程度明显大些，即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差，故B 错误；选项C ，由不是整数，640% 2.4⨯=则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第个数据，即：，故C 正确；37.8选项D ，评委对乙评分中最多的数据，即众数为，故D 正确.7.8故选：ACD.10．下列说法正确的是（）A ．“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件α2αB ．“，”是“”的充要条件π2π6k α=+Z k ∈1sin 2α=C ．设，，则“”是“”的ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭M θ∈N θ∈充分不必要条件D ．“”是“”的必要不充分条件sin 0θ>θtan02>【答案】AC【分析】对于A ，利用象限角，求得角的范围，可判定充分性，取，验证必要απ3α=性即可；对于B ，考查时，的取值范围，可判定必要性不成立；对于C ，1sin 2α=α根据集合，的关系即可判定；对于D ，根据条件求得的取值范围即可判断.M N α【详解】对于A,因为为第一象限角，α所以，π2π2π,Z 2k k k α<<+∈则,πππ,Z 4k k k α<<+∈当为偶数时，为第一象限角，k α当为奇数时，为第三象限角，k α所以充分性成立；当时，为第一象限角，则，为第二象限角，π3α=α2π23α=即必要性不成立，故A 正确；对于B ，当，时，π2π6k α=+Z k ∈成立，则充分性成立；1sin 2α=当时，或，,1sin 2α=π2π6k α=+5π2π6k α=+Z k ∈故必要性不成立，则B 错误；对于C ，，()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭ 而，π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则，故则“”是“”的充分不必要条件，故C 正确；M N M θ∈N θ∈对于D,当时，,sin 0θ>2π2ππ,Z k k k θ<<+∈则，πππ,Z 22k k k θ<<+∈则，故充分性成立，θtan02>当时，，θtan 02>πππ,Z 22k k k θ<<+∈则，2π2ππ,Z k k k θ<<+∈则成立，sin 0θ>所以“”是“”的充要条件，故D 错误，sin 0θ>θtan02>故选：AC.11．椭圆的标准方程为为椭圆的左、右焦点，C 22121,,82x y F F +=点．的内切圆圆心为，与分别相切于点，()2,1P 12PF F △(),I I I x y 1212,,PF PF F F ,,D E H 则（）A ．B．12PF F S =△1x =C ．D．13y =PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解，再结合三角形内切圆的几何性质逐12PF F S 项判断即可得结论.【详解】椭圆：，则C 22182x y +=a b c ====，())12,F F 又，所以点再椭圆上，()2,1P P 连接，12,,,,,ID IE IH IP IF IF则A 不正确；121211122PF F p S F F y =⋅=⨯=由椭圆的定义可得，122PF PF a +==又的内切圆圆心为，所以内切圆半径，12PF F △(),I I I x y I r y =由于，121212PF F IF F IF P IF PS S S S =++ 所以()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅，故，故C 正确；3I r y ===又，1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=，则，所以，故D 正确；2PD =PD PE ==又2PF ===222HF EF PF PE ==-=又B 正确.H I x x =I x =1x =故选：BCD.12．已知函数，，则下列说法正确的是（）()()e x f x a x=+()()ln g x x a x =+A ．若函数存在两个极值，则实数的取值范围为()y f x =a 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当时，函数在上单调递增1a =()y g x =(0,)+∞C ．当时，若存在，使不等式成立，则实数的1a =1x ≥()()2()ln f mx fxx x≥+m最小值为0D ．当时，若，则的最小值为1a =()()12(0)f xg x t t ==>()121ln x x t +⋅1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B 选项：结合导数讨论单调性即可得；对C 选项：结合单调性，可转化为当时，有()f x 1x ≥成立，求出最小值即可得；对D 选项：采用同构法可确定()1ln m x x≥+()1ln x x +，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.12e x x =【详解】对A 选项：，()()()e e 1e x x x f x x a x a+=+'=++若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，()y f x =()f x '令，则，()()1e 0x f x x a =++='()1e xa x =-+令，则，()()1e xh x x =-+()()2e x h x x +'=-则当时，，当时，，2x >-()0h x '<<2x -()0h x '>故在上单调递增，在上单调递减，()h x (),2∞--()2,∞-+故，()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当时，恒成立，1x >-()()1e 0x h x x =-+<当时，，x →-∞()0h x →故当，函数有两个变号零点，210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x '即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，()y f x =a 210,e ⎛⎫⎪⎝⎭故A 错误；对B 选项：当时，，1a =()(1)ln g x x x =+，()11ln ln 1x g x x x x x ='+=+++令，则，()()x g x μ='()22111x x x x x μ'-=-=则当时，，当时，；()0,1x ∈()0x μ'<()1,x ∞∈+()0x μ'>故在上单调递减，在上单调递增，()x μ()0,1()1,∞+故，故函数在上单调递增；()()120g x g '='≥>()y g x =(0,)+∞故B 正确；对C 选项：当时，，1a =()()e 1x f x x =+，()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令，则，()()m x f x ='()()2e xm x x +'=则当时，；当时，；<2x -()0m x '<2x >-()0m x '>故在上单调递减，在上单调递增，()m x (),2∞--()2,∞-+故，故在上单调递增，()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>'()f x R 则存在，使不等式成立，1x ≥()()2()ln f mx fxx x≥+等价于存在，使不等式成立，1x ≥()2ln mx x x x ≥+则当时，有成立，1x ≥()1ln m x x≥+由当时，，且在上单调递增，1a =()(1)ln g x x x =+()y g x =(0,)+∞故，即实数的最小值为，故C 正确；()11ln10m ≥+=m 0对D 选项：当时，由B 、C 可知，、均为定义域上的增函数，1a =()f x ()g x 由，，故有，，()00f =()10g =1>0x 21x >由，则，()()12f x g x =()()1122e 11ln x x x x +=+即，故，()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+12e x x =又，故，()()111e 10x f x t x ==+>()121ln ln x x t t t+⋅=令，则，令，()ln n x x x=()1ln n x x x ='+()()1ln p x n x x x ==+'则，()22111x p x x x x ='-=-则当时，，当时，；()0,1x ∈()0p x '<()1,x ∞∈+()0p x '>故在上单调递减，在上单调递增，()p x ()0,1()1,∞+即，故在上单调递增，()()10n x n ''≥=()n x ()0,∞+故无最小值，即无最小值，()n x ()121ln x x t+⋅故D 错误.故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D 选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三、填空题13．的展开式中的系数为．（用数字作答）()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭42x y 【答案】40-【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到()62x y -2xy +34,T T 的系数.42x y 【详解】的通项公式为，()62x y -()()66166C 2C 2r rr r rr rr T x y x y --+=-=-令得，，此时，2r =()22424236C 260T x y x y =-=4242602120x y x y ⋅=令得，，此时，3r =()33333346C 2160T x y x y=-=-3342160160xx y x y y -⋅=-故的系数为42x y 12016040-=-故答案为：40-14．设数列满足，，且，若表示不超过的最{}n a 12a =26a =2122n n n a a a ++-+=[]x x 大整数，则．122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ 【答案】2020【分析】根据题意，得到，得到为等差数列，求得()()2112n n n n a a a a +++---={}1n n aa +-其通项公式，结合累加法，得到，求得，再利用裂项(1)n a n n =+2021112021()1n a n n =-+求和，求得，即可求解.12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 【详解】因为，可得，2122n n n a a a ++-+=()()2112n n n n a a a a +++---=又因为，，可得，12a =26a =214a a -=所以数列是首项为，公差为的等差数列，{}1n n aa +-42所以，14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+当时，2n ≥112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+，(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当时，也成立，所以，1n =12a =()1n a n n =+所以，202111120212021((1)1n a n n n n =⨯=-++所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- ，120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以.1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ 故答案为：.202015．已知椭圆的左右焦点为．直线与椭圆相交22221(0)x y C a b a b +=>>：12,F F y kx =C 于两点，若，且，则椭圆的离心率为．,P Q 112PF QF =12π3PF Q ∠=C 【分析】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再根据椭圆的定义求出12PFQF ，再在中，利用余弦定理求出的关系即可得解.12,PF PF 12PF F △,a c 【详解】由椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，则，12PFQF 21PF QF =由，得，12π3PF Q ∠=12π3F PF ∠=因为，所以，112PF QF =122PF PF =又，所以，122PF PF a+=1242,33a aPF PF ==在中，由余弦定理得，12PF F △222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠即，2222164421442993323a a a a a c =+-⨯⨯⨯=所以c a=即椭圆的离心率c e a ==16．已知A ，M ，N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是 ·AM AN．【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得结合夹角的定义可得，·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 3a ≤可得其最大值；根据数量积的运算可知，可得其最小值.24≥-MN a【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d ==则，故，,AM AN d ≤ ·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而，故，[]cos ,1,1AM AN ∈-3a ≤如图建立空间直角坐标系，取，重合为时，()0,0,0A ,M N ()1,1,1则，取得最大值；()()1,1,11,1,13a =⋅=3由对称性，设在下底面，，，A (),,AM x y z =(),,AN a b c =由在下底面知，当且仅当也在下底面时取等，A 0,0,0z c zc ≥≥≥,M N 此时共面时，设中点为，则，,,A M N MN E EM EN =-，()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AEENEN==++=-≥-=-当且仅当重合时取等，,A E 又因为，MN ≤2142-≥-≥a MN 例如，，则；11,,022A ⎛⎫⎪⎝⎭()()1,0,0,0,1,0M N 11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以的取值范围是.·AM AN 1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、解答题（共70分）17．（本题10分）如图，在中，，点是边上一点，且ABC 6AB AC ==D BC ,cos AD AB CAD∠⊥=2AE EB=(1)求的面积；BCE (2)求线段的长.AD 【答案】(1)(2)=AD 【分析】（1）根据求解即可；13BCE ABC S S =△△（2）解法1：在中根据余弦定理求出，结合等腰三角形的性质求，在ABC BC cos B 中勾股定理求即可；ABD △AD 解法2：由求得.A BC ABD ACD S S S =+ AD 【详解】（1），12,3BCE ABCAE EB S S =∴= 而11πsin 66sin 222ABCS AB AC BAC CAD⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠==13BCE ABC S S ∴== （2）解法1：，()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠∠∈∴∠=== ，π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=-⎪⎝⎭在中，，ABC 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭在等腰中，BC ∴=∴ABC 12cos BCB BA ===Rt 中，，∴ABD△6cos ,BA B BDBD BD ===∴=AD∴===解法2：，()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠===由得，A BC ABD ACD S S S =+ ,1166sin 22AD AD CAD=⨯⨯+⨯⨯⋅∠即，()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD 18．（本题12分）已知数列的前项和为，，且满足{}n a n n S 11a =.()()11112n n n S nS n n ++=-+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和.()23cos πn a n n b a n =+⋅{}n b n nT【答案】(1)n a n=(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合()12n n n S +=即可求解；1n n n a S S -=-（2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解.()()213nnn b n =-+-【详解】（1）根据题意，，所以，()()11112n n n S nS n n ++=-+1112n n S S n n +-=+由于，则是以首项为1，公差为的等差数列，1111S a ==n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12所以，所以，()111122n S n n n +=+-⨯=()12n n n S +=当时，.2n ≥1(1)(1)22n n n n n n na S S n-+-=-=-=验证时满足通项公式，故数列的通项公式为.1n =11a ={}n a n a n =（2）由（1）知.()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-设的前项和为，则当为偶数时，()21nn -n n A n ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦.()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=当为奇数时，，n ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设的前项和为，则.()3n-n n B ()()()131333134nn n B +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+因为，所以=+n n n T A B ()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数19．（本题12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，P ABCD -PAD AD CD ⊥，且，，为中点．//ADBC 22AD BC ==CD =PB =E AD(1)求证：平面平面；PAD ⊥ABCD(2)若线段上存在点，使得二面角的大小为，求的值．PC Q Q BE C --60︒CQCP 【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）首先连接，根据线面垂直的判定定理证明平面，再利用PE PE ⊥ABCD 面面垂直的判定定理证明平面平面.PAD ⊥ABCD （2）设,再利用向量法求二面角的平面角，再列方程得到()01CQCP λλ=≤≤Q BE C --，即得的值．12λ=CQCP 【详解】（1）证明：连接，PE是边长为的等边三角形，是的中点，PAD QV 2E AD，PE AD ⊥∴PE =，，，//DE BC DE BC =AD CD ⊥四边形是矩形，∴BCDE BE CD ∴==，，222PE BE PB ∴+=PE BE ∴⊥又，，平面，AD BE E = AD BE ⊂ABCD 平面，PE ∴⊥ABCD 又平面，PE ⊂PAD 平面平面．∴PAD ⊥ABCD （2）以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：E EA EB EP则，，，(00P ()C -()0B ()0,0,0E，，，()0EB ∴= ()100BC =-，，(1CP = 设，()01CQCP λλ=≤≤则，()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=-设平面的法向量为，QBE (),,m x y z =则，即00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令，得，1z=)01m λ=-，，又平面，PE ⊥ABCD 为平面的一个法向量，()001n ∴=，，BECcos m n m n m n ⋅∴==，二面角的大小为，Q BE C --60︒，12=解得．12λ=．12CQ CP ∴=20．（本题12分）2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数；(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；(3)首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复10%赛的成绩（记为）.K 【答案】(1)人2(2)71(3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可；（2）利用平均数公式求解即可；（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则[)80,90K ∈，求出的值即可.()900.0250.050.1K -⨯+=K 【详解】（1）成绩在的人数为（人），[)40,500.011020020⨯⨯=成绩在的人数为（人），[)50,600.0151020030⨯⨯=则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人，成绩低于50分的人数为（人）.20522030⨯=+故5人中成绩低于50分的人数为2人；（2）由，得，()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯=0.030a =则平均数，450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分；71（3）根据频率分布直方图可知：的频率为，的频率为，[]90,1000.005100.05⨯=[)80,900.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在，[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为，[)80,90K ∈则，解得，()900.0250.050.1K -⨯+=88K =故估计入围复赛的成绩为分.88K ≥21．（本题12分）已知椭圆，斜率为2的直线2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与x 轴交于点M ，l 与C 交于A ，B 两点，D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O重合时，面积为．ABD △169(1)求C 的方程；(2)当M 异于O 点时，记直线与y 轴交于点N ，求周长的最小值．BD OMN 【答案】(1)22142x y +=(2)2【分析】（1）设出各点坐标，表示出面积后，结合面积与离心率计算即可得；（2）要求的周长，则需把各边长一一算出，即需把、算出，设出直线方OMN M x N y 程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示出、，可得M x N y 各边边长，结合基本不等式即可求得最值.OMN 【详解】（1）当M 与原点O 重合时，可设，则有、，()00,A x y ()00,B x y --()00,D x y -且，即有,002y x =AD BD ⊥则，()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++= 即，又，故，则，201649x =00x >023x =043y =即有，即22416199a b +=c a 则，故，即有，22222a c b c ==+222a b =224161189b b+=解得，故，即C 的方程为；22b =24a =22142x y +=（2）设直线方程为，令，有，即，l 2y x t =+0y =2tx =-2M t x =-设点、，则，()11,A x y ()22,B x y ()11,D x y -联立直线与椭圆方程：，消去有，222142y x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2298240x tx t ++-=，即，()222Δ64362414480t t t =--=->t -<<有，，1289t x x -+=212249t x x -=为，BD l ()122212y yy x x y x x -=-+--令，故，0x =21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x yy y x x x x x x -+-+++=+==--++由，故，2y x t =+()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x tx x x x x x ++++==++++其中，即，2121224198429t x x t t x x t -==-+-+12442N t y tt t ⎛⎫=-++=⎪⎝⎭则OMNC，2≥=当且仅当时等号成立，2t =±故周长的最小值为.OMN 2【点睛】本题考查了椭圆的方程，在求解直线与椭圆的位置关系问题时，常用方法是设而不求，借助韦达定理等手段，将多变量问题转变为单变量问题，再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数．21()ln 2f x x x ax =+-(1)当时，求在曲线上的点处的切线方程；12a =()y f x =(1,(1))f (2)讨论函数的单调性；()f x (3)若有两个极值点，，证明：．()f x 1x 2x ()()121222f x f x ax x -<--【答案】(1)；3230x y --=(2)详见解析；(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出；（2）求出导函数，在定义域内分类讨论解含参不等式即()1(0)f x x a x x '=+->()0,∞+可求出；（3）由题意得，，，而，只2a >12x x a +=121=x x ()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x ax x -=--需证明，即证：，即证：对任意的1212ln ln 2x x x x -<-11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭1111ln x x x <-恒成立即可．1(1,)x ∈+∞【详解】（1）由题可知，当时，，12a =211()ln 22f x x x x=+-()112f x x x ∴=+-'，，切点为，切线的斜率为，∴(1)0f =3(1)2f '=∴(1,0)32切线方程为：，即；∴30(1)2y x -=-3230x y --=（2）对函数求导可得，．()f x ()1(0)f x x a x x '=+->当时，．则在上单调递增．2a ≤()120f x x a a x =+-≥-≥'()f x (0,)+∞当时，．则，2a >()2110x ax f x x a x x -+=+-=='1x 2x =令，则，或．，则，()0f x '>10x x <<2x x >()0f x '<12x x x <<综上：当时，在上单调递增，2a ≤()f x (0,)+∞当时，在和上单调递增，2a >()f x⎛⎝∞⎫+⎪⎪⎭在上单调递减．()f x （3）有两个极值，，()f x 1x 2x ，是方程的两个不等实根，1x ∴2x 210x ax -+=则，，，2a >12x x a +=121=x x ()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=--()()()121212121212121ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a ax x x x -+-+---==+---．1212ln ln 12x x ax x -=--要证：．即证：．()()121222f x f x ax x -<--1212ln ln 2x x x x -<-不妨设，即证：．1210x x >>>11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭即证：对任意的恒成立．1111ln x x x <-1(1,)x ∈+∞令，．则．1()ln f x x x x =-+(1)x >()22211110x x f x x x x -+=--=-<'从而在上单调递减，故．()f x (1,)+∞()(1)0f x f <=所以．()()121222f x f x ax x -<--【点睛】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，训练了构造函数法证明不等式的成立，属难题.。

2024届广东省广州市高三上学期调研测试数学试题及答案

2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=-，则z =（）A 1B. 2C.D. 2 已知集合(){ln 12M x y x ==-，{}exN y y ==，则M N ⋂=（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. ∅3. 已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A. jB. j -C. 2jD. 2j- 4. 已知函数()()031xbf x a ab =+≠-是奇函数，则（）A. 20a b += B. 20a b -= C. 0a b += D. 0a b -=5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列{}n a ，且{}1n n a a +-为等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（）..A.99100B.100101C.9950D.2001016. 直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于A ，B 两点，则AB 的取值范围为（）A. 4⎤⎦B. ⎡⎤⎣⎦C. 4⎤⎦D. ⎡⎤⎣⎦7. 已知π02βα<<<，()1cos 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A12B.35C.53D. 28. 若函数()32113f x x ax x =-++在区间()0,2上存在极小值点，则a 的取值范围为（）A. 51,4⎛⎫⎪⎝⎭ B. 51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ()1,+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h ），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A. 图中a 的值为0.015B. 样本的第25百分位数约为217C. 样本平均数约为198.4.D. 在被调查的用户中，用电量落在[)170,230内的户数为10810. 已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A. 若E的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若EE 的实轴长为1C 若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D. 当a 变化时，1F PQ周长的最小值为11. 已知点3π,18P ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，则（）A. 3π18f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是奇函数B.23ω=-，*k ∈N C. 若()f x 在区间3π11π,88⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2条对称轴，则2ω=D. 若()f x 在区间π2π,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2ω=或143ω=12. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则（）A. 1DB ⊥平面PMN.B. 平面PMN截正方体所得的截面面积为C. 点Q 的轨迹长度为πD. 能放入由平面PMN分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，MF x ⊥轴，若OFM △（O 为坐标原点）的面积为2，则p =______.14. ()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为______（用数字作答）.15. 已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一球面上，PC ⊥平面ABC，PC BC ==，AB =，且PA 与平面ABC______.16. 已知函数()()()222e22e 0xx f x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a ______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n n a n b a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//CD AB ，90ABC ∠=︒，224AB BC CD ===，三棱锥B PAD -.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）若PA PD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，点N 在线段AP 上，2AN NP =，求平面NCD 与平面ABCD 夹角余弦值.的19. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.20. 已知函数()()()2ln 1f x x x ax =++-.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当10x -<<时，()0f x <，求a 的取值范围.21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X 表示甲购买的次数，求X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥22. 在平面直角坐标系xOy 中，点()F ，点(),P x y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆22:4O x y +=内切，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点()0,1A ，(),0M t ，()()4,02N t t -≠，直线AM ，AN 分别与曲线E 交于点S ，T （S ，T 异于A ），AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．2024届广州市高三年级调研测试数学本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足2z z +=，4i z z -=-，则z =（）A. 1B. 2C.D. 【答案】C 【解析】【分析】由条件求得z ，即可计算模长.【详解】∵2z z +=，4i z z -=-，∴224i z =-，12z i =-，∴z ==故选：C.2. 已知集合(){}ln 12M x y x ==-，{}e xN y y ==，则M N ⋂=（）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. ∅【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得,M N ，进而求得M N ⋂.【详解】由120x ->，解得12x <，所以1|2M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，而e 0x >y=，所以{}|0N y y =>，所以10,2M N ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：A3. 已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A. jB. j -C. 2jD. 2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4. 已知函数()()031xbf x a ab =+≠-是奇函数，则（）A. 20a b += B. 20a b -= C. 0a b += D. 0a b -=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性列方程，从而求得正确答案.【详解】()f x 的定义域为{}|0x x ≠，由于()f x 是奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以3231313131x x x x xb b b ba a a -⋅+++=-+----()1322031x xb a a b -=+=-=-.故选：B5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列{}n a ，且{}1n n a a +-为等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（）A.99100B.100101C.9950D.200101【答案】D 【解析】【分析】根据累加法求得n a ，利用裂项求和法求得正确答案.【详解】1231,3,6a a a ===，21322,3a a a a -=-=，由于{}1n n a a +-为等差数列，所以()12111n n a a n n +-=+-⨯=+，所以()()()121321nn n a a a a a a a a -=+-+-++- 11232nn n +=++++=，1a 也符合，所以()()11211,2211n n n n a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为1111112002121223100101101101⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D6. 直线:2l y kx =-与圆22:670C x y x +--=交于A ，B 两点，则AB的取值范围为（）A. 4⎤⎦B. ⎡⎤⎣⎦C. 4⎤⎦D. ⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出AB 的取值范围.【详解】由题易知直线:2l y kx =-恒过()0,2M -，圆22:670C x y x +--=化为标准方程得()22:316C x y -+=，即圆心为()3,0C ，半径4r =，圆心到()0,2M -距离4CM ==<，所以()0,2M -在圆C 内，则直线l 与圆C 交点弦AB 最大值为直径即8，AB 最小时即为圆心到直线距离最大，即CM l ⊥时，此时AB ==所以AB 的取值范围为⎡⎤⎣⎦.故选：D7. 已知π02βα<<<，()1cos 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A.12B.35C.53D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案.【详解】()1cos cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，()3sin sin cos cos sin 5αβαβαβ-=-=，1si cos cos sin si n cos cos sin 3n ααβααβββ=--，分子分母同时除以cos cos αβ得：1tan tan 1tan tan 3ααββ=--①，由于π02βα<<<，所以0π02π02αββα⎧⎪->⎪⎪-<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，所以π02αβ<-<，所以()4cos 5αβ-==，所以()()()sin 3tan cos 4αβαβαβ--==-，即tan tan 333,tan tan tan tan 1tan tan 444αβαβαβαβ-=-=++，代入①得：1333tan tan 441tan tan ααββ=+-，解得3tan tan 5αβ=.故选：B8. 若函数()32113f x x ax x =-++在区间()0,2上存在极小值点，则a 的取值范围为（）A. 51,4⎛⎫⎪⎝⎭ B. 51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据()f x '的零点、()f x 的极值点的情况列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】()32113f x x ax x =-++，()221f x x ax '=-+，()221f x x ax '=-+的开口向上，对称轴为x a =，与y 轴的交点为()0,1，当0a ≤时，在区间()0,∞+上，()0f x ¢>，()f x 单调递增，没有极值点，所以0a >，要使()f x 在区间()0,2上存在极小值点，则()2210f x x ax '=-+=在()0,2有两个不等的正根，则需()20Δ440022540a a a f a '>⎧⎪=->⎪⎨<<⎪⎪=->⎩，解得514a <<，所以a 的取值范围是51,4⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A【点睛】求解函数极值点的步骤：（1）确定()f x 的定义域；（2）计算导数()f x '；（3）求出()0f x '=的根；（4）用()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内()f x '的符号，进而确定()f x 的单调区间；（5）根据单调区间求得()f x 的极值点.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9. 某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排．现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量（单位：kW·h ），将数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，则（）A. 图中a 的值为0.015B. 样本的第25百分位数约为217C. 样本平均数约为198.4D. 在被调查的用户中，用电量落在[)170,230内的户数为108【答案】AC【解析】【分析】根据频率直方图，结合各个统计量的含义，逐项分析判断即可.【详解】对A ，20(0.0060.0070.010.012)1a ++++=，所以0.015a =，故A 正确；对B 设样本的第25百分位数约为b ，，则200.0070.140.25⨯=<20(0.0070.012)0.380.25+=>，所以[]170,190b ∈，故B 错误；对C ，样本平均数为：20(1600.0071800.0122000.0152200.012400.006)198.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；对D ，用电量落在[)170,230内的户数为：20(0.0120.0150.01)200148++⨯=，故D 错误.故选：AC10. 已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A. 若E 的两条渐近线相互垂直，则a =B. 若E E 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D. 当a 变化时，1F PQ 周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A 选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===，故A 正确；B 选项，若E 的离心率为c e a ======，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD 11. 已知点3π,18P ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，则（）A. 3π18f x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭奇函数B.2833k ω=-+，*k ∈N C. 若()f x 在区间3π11π,88⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2条对称轴，则2ω=D. 若()f x 在区间π2π,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则2ω=或143ω=【答案】BC 【解析】【分析】根据()f x 的对称中心求得,b ω，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案.是【详解】依题意，点3π,18P ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()πsin 04f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心，所以1b =，且*3ππ3ππ28sin 0,π,,848433k k k ωωω⎛⎫+=+==-+⎪⎝⎭∈N ①，B 选项正确.则()*28πsin 1,334k f x k x ⎡⎤⎛⎫=-+++ ⎪⎢⎥⎭⎣⎦∈⎝N ，所以3π283ππ1sin 83384f x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()28πsin 12332k x k ⎡⎤⎛⎫=-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由于12k -是奇数，所以()3π28π1sin 128332f x k x k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦是偶函数，A 选项错误.C 选项，3π11π3πππ11ππ,8884484x x ωωω<<+<+<+，将*28,33k k ω-+∈=N 代入得：3π28π28π11π28π83343348334k k x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++<-++<-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得28π8π2πππ33433k k k x k ⎛⎫<-++<+- ⎪⎝⎭，由于()f x 在区间3π11π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2条对称轴，所以3π8π2π5π2332k <-≤，解得13191616k <≤，由于*k ∈N ，所以1k =，对应28233ω=-+=，所以C 选项正确.D 选项，()f x 在区间π2π,55⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，π2ππ2ππππ2ππ,,555554454x x x ωωωωωω<<<<+<+<+，将*28,33k k ω-+∈=N 代入得：π28π28π2π28π53343345334k k x k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++<-++<-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得8π7π28π16ππ156********k k x k ⎛⎫+<-++<- ⎪⎝⎭，则16ππ8π7ππ15601560k k ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭，解得1718k ≤≤，而*k ∈N ，所以1k =或2k =，1k =时，8π7π16ππ37π21π,,156015606020k k ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合单调性，2k =时，8π7π16ππ71π127π,,156015606060k k ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合单调性，所以2k =舍去所以281233ω=-+⨯=，所以D 选项错误.故选：BC12. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则（）A. 1DB ⊥平面PMNB. 平面PMN 截正方体所得的截面面积为C. 点Q 的轨迹长度为πD. 能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，求出平面PMN 的法向量，得到线面垂直；B 选项，作出辅助线，找到平面PMN 截正方体所得的截面，求出面积；C 选项，作出辅助线，得到点Q 的轨迹，并求出轨迹长度；D 选项，由对称性得到平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心为(),,R t t t ，由RS t =得到方程，求出半径的最大值.【详解】A 选项，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()11,2,0,0,1,2,2,0,1,0,0,0,2,2,2P M N D B ，故()()()12,2,2,1,1,2,1,2,1DB PM PN ==--=-.设平面PMN 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令1z =得，1x y ==，故()1,1,1m =，因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，A 正确；B 选项，取111,,A D AB CC 的中点,,E F Q ，连接11,,,,,,,,MQ ME EN NF FP PQ EP A B CD ，因为M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，所以11//,//N MQ F A B CD ，又11////EP A B CD ，所以////NF MQ EP ，所以平面PMN 截正方体所得的截面为正六边形FPQMEN ，，故面积为26=，B正确；C 选项，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，又1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S 为圆心，1r S =为半径作圆，即为点Q 的轨迹，其中11B D B D === 1112B S B D ==，故半径1r ==，故点Q 的轨迹长度为2π，C 错误；D 选项，因为M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，所以平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点D 的空间几何体的球的半径最大值，该球与平面PMN 切与点S ，与平面11ADD A ，平面ADCB ，平面11DCC D 相切，由对称性可知，球心在1B D 上，设球心为(),,R t t t ，则半径为t ，()1,1,1S ，故RS t =)1t t -=，解得t =D 正确.故选：ABD【点睛】立体几何中截面的处理思路：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个平面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3）作延长线找交点法：若直线相交但在立体几何中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，MF x ⊥轴，若OFM △（O 为坐标原点）的面积为2，则p =______.【答案】【解析】【分析】根据所给条件，可得(,0)2p F ，再令2p x =得y p =，带入面积公式24OFM pS = ，计算即可得解.【详解】由(,0)2pF ，令2p x =得y p =，所以212224OFMp p S y =⋅⋅== ，所以28p =，p =.故答案为：14. ()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为______（用数字作答）.【答案】120【解析】【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案.【详解】由于()22522xy x y x =⋅⋅，所以()522x x y +-的展开式中含52x y 的项为()()222211252532C 2C C 120x x y x y ⨯⨯-=，所以()522x x y +-的展开式中52x y 的系数为120.故答案为：12015. 已知三棱锥-P ABC 的四个顶点均在同一球面上，PC ⊥平面ABC，PC BC ==，AB =，且PA 与平面ABC______.【答案】36π【解析】【分析】求出三角形ABC 外接圆圆心1O ，过1O 作1OO ⊥平面ABC ，且112OO PC ==，则O 为三棱锥-P ABC 的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.【详解】如图根据题意，PC ⊥平面ABC ，所以PAC ∠即PA 与平面ABC所成角，则sin PAC ∠=，又因为PC BC ==，AB =，所以sin 6PC PAC AP AP∠==⇒=，则AC ==,又22230AC AB BC AB BC ==+⇒⊥，即三角形ABC 为直角三角形，取AC 中点1O ，则1O 为三角形ABC 外接圆圆心，取AP 中点O ，则1OO PC，且12PC OO ==，为所以OP OC OA OB ===，即O 为三棱锥-P ABC 的外接球球心，其半径222222119R OA O O O A ==+=+=，所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为24π36πR =.故答案为：36π16. 已知函数()()()222e22e 0xx f x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a ______.【答案】2e 2【解析】【分析】利用导数，求出()f x 的单调区间，由函数()f x 恰有两个零点即函数()f x 与x 轴有两个不同的交点，从而建立等量关系求解可得.【详解】因为()()()222e22e 0xx f x a x a x a =--->，所以()()222e 2e 2e 2x x x f x a x a x '⎡⎤=-+--⎣⎦()()2e exxaxa =-+令e x y ax =-，则e x y a '=-，令0'>y ，故当ln x a >时0'>y ，函数e x y ax =-为增函数，当ln x a <时0'<y ，函数e x y ax =-为减函数，即当ln x a =时函数e x y ax =-有最小值()1ln a a -，若()1ln 0a a -≥，即0e a <≤时()0f x '≥，此时函数()f x 在R 上为增函数，与题意不符；若()1ln 0a a -<，即e a >时，此时函数()e ,0xy ax a =->与x 轴有两个不同交点，设交点为()()12,0,,0x x ，且120x x <<，即1212e e x x ax ax ⎧=⎨=⎩，所以当1x x <或2x x >时0y >，即()0f x ¢>，此时函数()f x 为增函数，当12x x x <<时0y <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数，依题意，函数()f x 恰有两个零点即函数()f x 与x 轴有两个不同的交点，即()10f x =或()20f x =，所以()1122211e022e x x a x a x --=-或()2222222e 022e x x a x a x --=-，化简得12x =或22x =，所以121e e 2x a x ==，故答案为：2e 2.【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：设()()()F x f x g x =-方法一：转化为函数()F x 与x 轴交点个数问题，通过求解()F x 单调性构造不等式求解；方法二：转化为函数()(),y f x y g x ==的交点个数问题求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log ,,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）12n n a -=（2）212212233n n T n n +=⨯+--【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）根据分组求和法求得正确答案.【小问1详解】依题意，21n n S a =-，当1n =时，11121,1a a a =-=，当2n ≥时，1121n n S a --=-，所以()11122,22n n n n n n n a S S a a a a n ---=-=-=≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n a -=，1a 也符合.所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）得11,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()321202422222n n T n -=++++-++++ ()214022214nn n -+-=⨯+-222433n n n =⨯+--21212233n n n +=⨯+--.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//CD AB ，90ABC ∠=︒，224AB BC CD ===，三棱锥B PAD -.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）若PA PD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，点N 在线段AP 上，2AN NP =，求平面NCD 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】（1（2【解析】【分析】（1）根据等体积法求得点P 到平面ABCD 的距离；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面NCD 与平面ABCD 夹角的余弦值.【小问1详解】设点P 到平面ABCD 距离为h ，的则13B PAD P ABD ABD V V h S --==⋅=△，由题可知142ABD S AB BC =⋅= ，所以3P ABD ABD V h S -=== 所以点P 到平面ABCD.【小问2详解】取AD 的中点M ，连接PM ，因为,PA PD PM AD =⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD 且交线为AD ，PM ⊂平面PAD ，PM AD ⊥，所以PM ⊥平面ABCD ，由（1）知PM =.由题意可得BD AD ===，所以222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥.以D 点为坐标原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过点D 作PM 的平行线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()(),,A PC，依题意()2,,3DC AP AN AP ⎛==== ⎝ ，所以DN DA AN =+= .设平面NCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111100n DC n DN x z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，故可设()11,1,2n =- ，平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =，设平面NCD 与平面ABCD 的夹角为θ，则1cos cos ,n n θ= 所以平面NCD 与平面ABCD .19. 记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-=且π2C ≠.（1）求证：π2B A =+；（2）求cos sin sin A B C ++的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）)【解析】【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可把题设中的边角关系化简为cos sin A B =，结合诱导公式及π2C ≠可证π2B A =+.（2）根据π2B A =+及cos sin A B =，结合诱导公式和二倍角余弦公式将ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为2132cos 22A ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，先求出角A 的范围，然后利用余弦函数和二次函数的性质求解即可.【小问1详解】因为sin sin sin 2sin sin b B c C a A b B C +-= ，由正弦定理得，2222sin b c a bc B +-=，由余弦定理得2222cos 2sin b c a bc A bc B +-==，所以cos sin A B =，又cos sin()2A A π=-，所以πsin()sin 2A B -=.又0πA <<，0πB <<，所以π2A B -=或ππ2A B -+=，所以π2A B +=或π2B A =+，又π2C ≠，所以ππ2A B C +=-≠，所以π2B A =+，得证.【小问2详解】由（1）知π2B A =+，所以ππ22C A B A =--=-，又cos sin A B =，所以ππcos sin sin 2sin sin 2sin sin 222A B C B C A A ⎛⎫⎛⎫++=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22132cos cos 22cos 2cos 12cos 22A A A A A ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，因为0ππ0π2π02π2A B A C A ⎧⎪<<⎪⎪<=+<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，所以π04A <<cos 1A <<，因为函数2132cos 22y A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在cos A ⎫∈⎪⎪⎭单调递增，所以2223131322cos 21322222A ⎛⎫⎛⎫-=<+-<+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos sin sin A B C ++的取值范围为).20. 已知函数()()()2ln 1f x x x ax =++-.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当10x -<<时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）20x y -=；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）利用2()ln(1)1x f x x x +=+++'，求出切线的斜率，然后求解所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程．（2）由2()ln(1)1x f x x a x +=++'+-，令()()((1,0)g x f x x ∈'=-，则2211()01(1)(1)x g x x x x =-=<+++'，故()f x '在(1,0)-上为减函数，讨论 2a ≤和2a >时函数的单调性，即可得解.【小问1详解】因为0a =，所以()(2)ln(1)f x x x =++，(0)(02)ln10f =+⨯=，由切点为(0,0)，2()ln(1)1x f x x x +=+++'，所以02(0)ln(01)201f '+=++=+，所以曲线()y f x =在(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即20x y -=．小问2详解】由2()ln(1)1x f x x a x +=++'+-，令()()((1,0))g x f x x -'=∈则2211()01(1)(1)x g x x x x =-=<+++'，故()f x '在(1,0)x ∈-上为减函数．又(0)2f a '=-，①当2a ≤时，()(0)0f x f '>≥'，故()f x 在(1,0)-上为增函数，所以()(0)0f x f <=恒成立，故2a ≤符合题意；②当2a >时，由于(0)20f a =-<'，由1e 10a --<-<且当2a >时()e11e e 210aa a f a a a -=-++-=-+>，根据零点存在定理，必存在(1,0)t ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在(1,0)-上为减函数，故当(1,)x t ∈-时，()0f x '>，,()0x t ∈时()0f x '<，故()f x 在(1,)x t ∈-上为增函数，()f x 在,()0x t ∈上为减函数所以当,()0x t ∈时，()(0)0f x f >=，故()0f x <在(1,0)-上不恒成立，所以2a >不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(],2-∞．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，同时考查恒成立问题，是难题．本题的关键有：【（1）二次求导，利用二次求导得出导函数的单调性；（2）分类讨论，找到讨论点是关键，本题讨论点为2a ≤和2a >.21. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．（1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X 表示甲购买的次数，求X 的分布列；（2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？【答案】（1）分布列详见解析（2）买2个【解析】【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得X 的分布列.（2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案.【小问1详解】由题意可知X 所有可能取值为2,3,4，()()()213323233A C A 31422,3,4333939P X P X P X =========,所以X 的分布列如下：X234P 134929【小问2详解】设甲一次性购买x 个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为Z .依题意，x 可取0,1,2,3.方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用133090Z =⨯=元.方案2：购买1个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用21923079Z =+⨯=元.方案3：购买2个盲盒时，当2个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物，总费用32193068Z =⨯+=，()2332A 26833P Z ===，当2个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外2款吉祥物，总费用()133311121923098,98C 333Z P Z =⨯+⨯===⨯⨯=，所以()32168987833E Z =⨯+⨯=元.方案4：购买3个盲盒时，当3个盲盒打开后款式各不相同，则总费用431957Z =⨯=，()334312A 39P Z ⎛⎫==⎪⎝⎭，当3个盲盒打开后恰有2款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物，则总费用()2114432311123193087,87C C C 3333Z P Z =⨯+===⨯⨯⨯=，当3个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物，总费用()314431131960117,117C 39Z P Z ⎛⎫=⨯+===⨯=⎪⎝⎭，所以()422125157871179393E Z =⨯+⨯+⨯=元.对比4个方案可知，第3个方案总费用的期望值最小，故应该一次性购买2个吉祥物盲盒.22. 在平面直角坐标系xOy 中，点()F ，点(),P x y 是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆22:4O x y +=内切，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）设点()0,1A ，(),0M t ，()()4,02N t t -≠，直线AM ，AN 分别与曲线E 交于点S ，T （S ，T 异于A ），AH ST ⊥，垂足为H ，求OH 的最小值．【答案】（1）2214x y +=（21-【解析】【分析】（1）根据题意设出(),P x y ，根据以PF 为直径的圆与圆22:4O x y +=内切列出方程，化简即可得到P 的轨迹为曲线E 的方程.（2）先证直线ST 恒过定点()2,1Q ，然后求出点H 轨迹，进而求出OH 的最小值.【小问1详解】设(),P x y ，则PF的中点2y G ⎫⎪⎪⎭，根据题意得122OG PF =-，即2=，4=化简得点P 的轨迹方程22:14x E y +=【小问2详解】设()()1122,,,S x y T x y ，先证直线ST 恒过定点，理由如下：由对称性可知直线ST 的斜率不为0，所以可设直线:ST x my n =+，联立直线ST 与22:14x E y +=，()22222142404x y m y mny n x my n⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩,则22040m n ∆>⇒+->，①212122224,44mn n y y y y m m --+==++，②所以()11:11x AS x y y =--，令0y =，得点M 横坐标111xt y -=-，同理可得点N 横坐标2241x t y --=-，故1212411x x y y --+=--，将1122,x my n x my n =+=+代入上式整理得：()()()1212244420m y y n m y y n ++--++-=，将②代入得()()22222020m mn n m n m n m n ++--=⇒++-=，若0m n +=，则直线():1ST x m y =-，恒过()0,1A 不合题意；若20m n +-=，则():12ST x m y =-+，恒过()2,1Q ，因为直线ST 恒过()2,1Q ，且与22:14x E y +=始终有两个交点，又()0,1A ，AH ST ⊥，垂足为H ，所以点H 轨迹是以AQ 为直径的半圆（不含点,A Q ，在直线AQ 下方部分），设AQ 中点为C ，则圆心()1,1C ，半径为1，所以11OH OC ≥-=，当且仅当点H 在线段OC 上时，所以OH 的最小值为1-.【点睛】方法点睛：根据圆锥曲线中直线间几何关系求动点的轨迹方程，注意转化思想的应用；的。

2024-2025学年广东省多校联考高三(上)第一次调研数学试卷(含答案)

2024-2025学年广东省多校联考高三（上）第一次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|1<x 2<5}，B ={−2,−1,0,2}，则A ∩B =( )A. {−2,2}B. {0,2}C. {−2,−1}D. {−1,0}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.曲线y =sinx 在原点处的切线斜率为( )A. −1B. 0C. cos1D. 14.若A 、B 、C 为三个集合，且有A ∪B =B ∩C ，则一定有( )A. A ⊆CB. C ⊆AC. A ≠CD. A =⌀5.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x)的图象关于(1,0)中心对称，f(2x +2)是偶函数，则( )A. f(0)=0B. f(12)=0C. f(2)=0D. f(3)=06.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Aℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C =I n ⋅t ，其中n 为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流I =30A 时，放电时间t =15ℎ；当放电电流I =40A 时，放电时间t =8ℎ.若计算时取lg2≈0.3，lg3≈0.477，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为( )A. 1.25B. 1.75C. 2.25D. 2.557.已知函数f(x)=sin (ωx +π6)(ω>0)，“存在m,n ∈[0,π2]，函数f(x)的图象既关于直线x =m 对称，又关于点(n,0)对称”是“ω≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知关于x 的不等式(12sinx−2a)[x 2−(2a +1)x +1]≤0对任意x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. [116,14]B. [18,14]C. [14,12]D. [12,34]二、多选题：本题共3小题，共18分。

【课堂新坐标】2022届高三数学一轮复习阶段知能检测理（广东专用）

阶段知能检测（五）第Ⅰ卷一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．2022·汕尾模拟已知等差数列{a n}中，a5＋a9－a7＝10，记S n＝a1＋a2＋…＋a n，则S13的值是A．130 B．260C．156 D．168【解析】由a5＋a9＝2a7，得a5＋a9－a7＝a7＝10，∴S13＝错误!＝13a7＝130【答案】 A2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，g a3a8a13＝6，则a1a15的值为A．100 B．1 000C．10 000 D．10【解析】∵g a3a8a13＝6，∴a3a8a13＝a错误!＝106，∴a8＝100，∴a1a15＝a错误!＝10 000【答案】 C3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S2＝10，S5＝55，则过点Pn，a n和Qn＋2，a n＋2n∈N*的直线的斜率是A．4 B．3C．2 D．1【解析】设等差数列{a n}的公差为d，则错误!解得错误!∴直线PQ的斜率＝错误!＝d＝4【答案】 A4．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则错误!的值为B．－错误!或－错误!【解析】由题意知3a2－a1＝－4－－1＝－3，∴a2－a1＝－1，又b错误!＝－1×－4＝4，且b2＜0，∴b2＝－2，∴错误!＝错误!【答案】 A5．由a1＝1，a n＋1＝错误!，得出的数列{a n}的第34项为B．100【解析】由a n＋1＝错误!得，错误!＝错误!＋3，∴数列{错误!}是以1为首项，公差为3的等差数列，∴错误!＝1＋n－1×3＝3n－2，∴a n＝错误!∴a34＝错误!＝错误!【答案】 C6．已知数列{a n}各项均为正数，若对任意的正整数，q总有a＋q＝a·a q，且a8＝16，则a10＝A．16 B．32C．48 D．64【解析】由a8＝a4＋4＝a错误!＝16，得a4＝4，由a4＝a2＋2＝a错误!＝4，得a2＝2，∴a10＝a2＋8＝a2·a8＝2×16＝32【答案】 B7．设数列{2n－1}按第n组有n个数n是正整数的规则分组如下：1，2,4，8,16,32，…，则第101组中的第一个数为A．24 951B．24 950C．25 051D．25 050【解析】前100组共有1＋2＋3＋…＋100＝5 050个数，则第101组中的第1个数为数列{2n－1}的第5 051项，该数为25 050【答案】 D8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的产量为fn＝错误!nn＋12n＋1吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是A．5年B．6年C．7年D．8年【解析】由题意a1＝f1＝错误!×1×2×3＝3吨；以后第nn＝2,3，…年的产量分别为a n＝fn－fn－1＝错误!nn＋12n＋1－错误!n－1·n·2n－1＝3n2吨．令3n2≤150，得1≤n≤5错误!又n∈N*，所以1≤n≤7，即生产期限最长为7年．【答案】 C第Ⅱ卷二、填空题本大题共6小题，每小题5分，满分30分9．在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a＝S6，则的值为________．【解析】由a＝S6得－1d＝15d，∴－1＝15，∴＝16【答案】1610．已知{a n}是各项都为正数的等比数列，S n是{a n}的前n项和，若a1＝1,5S2＝S4，则a5＝________ 【解析】设等比数列{a n}的公比为q，则由5S2＝S4得51＋q＝错误!，∴q2＝4，∴q＝2，∴a5＝a1q4＝24＝16【答案】1611．2022·扬州调研设S n是等差数列{a n}的前n项和，S5＝3a2＋a8，则错误!的值为________．【解析】∵S5＝错误!＝5a3，a2＋a8＝2a5，∴由S5＝3a2＋a8得5a3＝6a5，∴错误!＝错误!【答案】错误!12．已知函数f n，则a2022＝________【解析】由题意知a2＝fa1＝f3＝1a3＝fa2＝f1＝3，∴数列{a n}是周期为2的数列，∴a2022＝a1＝3【答案】 313．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n＝错误!1－a n，则数列{a n}的通项公式a n＝________ 【解析】当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!1－a n－错误!1－a n－1＝－错误!a n＋错误!a n－1，化简得2a n＝－a n＋a n－1，即错误!＝错误!又由S1＝a1＝错误!1－a1，得a1＝错误!，所以数列{a n}是首项为错误!，公比为错误!的等比数列．所以a n＝错误!×错误!n－1＝错误!n【答案】错误!n14．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，若n≥2时，a n是S n与S n－1的等差中项，则S5＝________ 【解析】由题意知2a n＝S n＋S n－1n≥2，∴2a n＋1＝S n＋1＋S n，∴2a n＋1－2a n＝a n＋1＋a n，即a n＋1＝3a n n≥2又2a2＝S2＋S1且S1＝a1＝1，∴a2＝2则数列{a n}从第2项起，以后各项成等比数列，∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋错误!＝81【答案】81三、解答题本大题共6小题，满分80分．解答时需写出文字说明、证明过程和演算步骤15．本小题满分12分2022·潮州模拟已知{a n}是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数f＝＋错误!－10的两个零点．1求数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}满足b n＝og3a n＋n＋2，且b1＋b2＋b3＋…＋b n≥80，求n的最小值．【解】1∵a1，a3是函数f＝＋错误!－10的两个零点，∴a1，a3是方程2－10＋9＝0的两根，又公比大于1，故a1＝1，a3＝9，则q＝3，∴等比数列{a n}的通项公式为a n＝3n－12由1知b n＝og3a n＋n＋2＝2n＋1，∴数列{b n}是首项为3，公差为2的等差数列，∴b1＋b2＋…＋b n＝n2＋2n≥80，解得n≥8或n≤－10舍，故n的最小值是816．本小题满分13分已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是正项等比数列，且满足a1＝1，b1＝4，a2＋b2＝10，a26－b3＝101求数列{a n}，{b n}的通项公式；2记c n＝a n b n，求数列{错误!}的前n项和S n【解】1设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为qq＞0，由已知条件得错误!解得d＝1，q＝2故数列{a n}的通项公式是a n＝n，数列{b n}的通项公式是b n＝4·2n－1＝2n＋12由1得c n＝n·2n＋1，记d n＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!，所以S n＝d1＋d2＋…＋d n＝错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋[错误!－错误!]＝1－错误!17．本小题满分13分2022·云浮调研已知正项数列{a n}中，a1＝1，点错误!，a n＋1n∈N*在函数＝2＋1的图象上，数列{b n}的前n项和S n＝2－b n1求数列{a n}和{b n}的通项公式；2设c n＝错误!，求{c n}的前n项和T n【解】1∵点错误!，a n＋1n∈N*在函数＝2＋1图象上，∴a n＋1＝a n＋1，∴数列{a n}是公差为1的等差数列．∵a1＝1，∴a n＝1＋n－1＝n，∵S n＝2－b n，∴S n＋1＝2－b n＋1，两式相减得：b n＋1＝－b n＋1＋b n，即错误!＝错误!，由S1＝2－b1即b1＝2－b1，得b1＝1∴数列{b n}是首项为1，公比为错误!的等比数列，∴b n＝错误!n－12og2b n＋1＝og2错误!n＝－n，∴C n＝错误!＝错误!－错误!，∴T n＝C1＋C2＋…＋C n＋1＝1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝1－错误!＝错误!18．本小题满分14分已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点a n，S n都在直线2－－2＝0的图象上．1求{a n}的通项公式；2是否存在等差数列{b n}，使得a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝n－1·2n＋1＋2对一切n∈N*都成立若存在，求出{b n}的通项公式；若不存在，说明理由．【解】1由题意得2a n－S n－2＝0，当n＝1时，2a1－S1－2＝0得a1＝2，当n≥2时，由2a n－S n－2＝0，①得2a n－1－S n－1－2＝0②①－②得2a n－2a n－1－a n＝0，即a n＝2a n－1，因为a1＝2所以错误!＝2，所以{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2·2n－1＝2n2假设存在等差数列{b n}，使得a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝n－1·2n＋1＋2对一切n∈N*都成立，则当n＝1时，a1b1＝1－1·21＋2得b1＝1，当n≥2时，由a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝n－1·2n＋1＋2③得a1b1＋a2b2＋…a n－1b n－1＝n－1－1·2n＋2④③－④得a n b n＝n·2n，即b n＝n，当n＝1时也满足条件，所以b n＝n，因为{b n}为等差数列，故存在b n＝nn∈N*满足条件．19．本小题满分14分已知数列{a n}满足a1＝3，a n＋1－3a n＝3n n∈N*．数列{b n}满足b n＝3－n a n1求证：数列{b n}是等差数列；2设S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，求满足不等式错误!＜错误!＜错误!的所有正整数n的值．【证明】 1由b n＝3－n a n得a n＝3n b n，则a n＋1＝3n＋1b n＋1代入a n＋1－3a n＝3n中，得3n＋1b n＋1－3n＋1b n＝3n，即得b n＋1－b n＝错误!，所以数列{b n}是等差数列．2因为数列{b n}是首项为b1＝3－1a1＝1，公差为错误!的等差数列，则b n＝1＋错误!n－1＝错误!，则a n＝3n b n＝n＋2×3n－1从而有错误!＝3n－1，故S n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝错误!＝错误!则错误!＝错误!＝错误!，由错误!＜错误!＜错误!，得错误!＜错误!＜错误!∴3＜3n＜127，得1＜n≤4故满足不等式错误!＜错误!＜错误!的所有正整数n的值为2,3,420．本小题满分14分2022·山东高考等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a31求数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}满足：b n＝a n＋－1n n a n，求数列{b n}的前n项和S n【解】1由题意可知a1＝2，a2＝6，a3＝18，公比q＝错误!＝错误!＝3，通项公式为a n＝2·3n－12b n＝a n＋－1n n a n＝2×3n－1＋－1n n2×3n－1＝2×3n－1＋－1n[n 2＋n－1n 3]当n＝2∈N*时，S n＝b1＋b2＋…＋b2＝21＋3＋…＋32－1＋[1＋－2＋3＋…＋－2－2＋2－1]n 3＝2×错误!＋n 3＝3n－1＋错误!n 3当n＝2－1∈N*时，S n＝b1＋b2＋…＋b2－1＝21＋3＋…＋32－2＋[1－2＋…＋2－3－2－2]n 3－n 2＝2×错误!－－1n 3－n 2＝3n－1－错误!n 3－n 2，故S n＝错误!。

高三数学一轮复习第一次检测考试试题理(含解析)

——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019高三一轮复习第一次检测考试数学（理科）试题一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，则集合A的真子集个数为（）A. 3B. 4C. 31D. 32【答案】A【解析】【分析】求出集合，由此能求出集合A的真子集的个数．【详解】由题集合，∴集合A的真子集个数为．故选：A．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.命题：“，”的否定为A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，特称命题“”的否定为全称命题：，故选C.3.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.详解：，，故选B.点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.4.设，则等于（）A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】【分析】原积分化为根据定积分的计算法则计算即可【详解】由题故选：D．【点睛】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题，5.已知曲线f(x)=lnx+在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，则a的值为（）A. 1B. ﹣4C. ﹣D. ﹣1【答案】D【解析】分析：求导，利用函数f（x）在x=1处的倾斜角为得f′（1）=﹣1，由此可求a的值.详解: 函数（x＞0）的导数，∵函数f（x）在x=1处的倾斜角为∴f′（1）=﹣1，∴1+=﹣1，∴a=﹣1．故选：D．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．6.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．7.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为（）A. B. （﹣2，1） C. D.【答案】C【解析】【分析】由是定义在上的奇函数，且满足，求出函数的周期，由此能求出实数的取值范围．【详解】∵是定义在上的奇函数，且满足，，函数的周期为4，则又，即，即解得故选C．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y=log a（|x|﹣1）的图象可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数在上为减函数，由此求得的范围，结合的解析式．再根据对数函数的图象特征，得出结论．【详解】由函数在上为减函数，故．函数是偶函数，定义域为函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选：C．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．9.已知函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，1.5）时f（x）=ln（x2﹣x+1），则方程f（x）= 0在区间[0，6]上的解的个数是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】要求方程在区间上的解的个数，根据函数是定义域为的周期为3的奇函数，且当时，可得一个周期内函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．【详解】∵时，令，则，解得，又∵是定义域为的的奇函数，∴在区间上，，又∵函数是周期为3的周期函数则方程在区间的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6共9个故选：D．【点睛】本题考查函数零点个数的判断，考查函数的奇偶性，周期性的应用，属中档题. 10.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A﹣B﹣C﹣M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f（x）的图象的形状大致是图中的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】随着点P的位置的不同，讨论三种情形即在AB上，在BC上，以及在CM上分别建立面积的函数，分段画出图象即可．【详解】根据题意得，分段函数图象分段画即可，故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，分段函数问题，应切实理解分段函数的含义，把握分段解决的策略．11.对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）=﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）=lnx，若a=f（2﹣0.3），b=f（log3π），c=f（﹣）则a，b，c大小关系是（）A. b＞a＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增；再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称，当时，是单调增函数，∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选：A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题，涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．12.设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，已知f'（x）＜f（x），且f'（x）=f'（4﹣x），f（4）=0，f（2）=1，则使得f（x）﹣2e x＜0成立的x的取值范围是（）A. （﹣2，+∞） B. （0，+∞） C. （1，+∞） D. （4，+∞）【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用的导数判断函数的单调性，求出不等式的解集即可．【详解】设则即函数在上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心，由于，即函数过点，其关于点（的对称点（也在函数上，所以有，所以而不等式即即所以故使得不等式成立的的取值范围是故选：B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的单调性和对称性解不等式的应用问题，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.已知命题p：“存在x∈R，使”，若“非p”是假命题，则实数m的取值范围是_____．【答案】【解析】试题分析：非p即：“对任意x∈R， 4x+2x+1+m0”，如果“非p”是假命题，即m－4x－2x+1，而令t=，y===，，所以m<0，故答案为。

2022届高三数学一轮复习阶段知能检测（一）理（广东专用）

阶段知能检测一一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．2022·安徽高考集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2，3,4}，则S∩∁U T等于A．{1,4,5,6} B．{1,5}C．{4} D．{1,2,3,4,5}【解析】∁U T＝{1,5,6}，S∩∁U T＝{1,5}．【答案】 B2．2022·北京高考已知集合⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒⊥m；②α⊥β⇒∥m；③∥m⇒α⊥β；④⊥m⇒α∥β其中正确的命题是A．①与② B．①与③C．②与④ D．③与④【解析】对于②，与m可相交、平行、异面，不正确，对于④，α与β可相交，不正确．【答案】 B5．2022·陕西高考设集合M＝{|＝|co2－in2|，∈R}，N＝{||－错误!|＜错误!，i为虚数单位，∈R}，则M∩N为A．0,1 B．0,1]C．[0,1 D．[0,1]【解析】由＝|co2－in2|＝|co 2|，得M＝[0,1]；因为|－错误!|＜错误!，所以|＋i|＜错误!，即错误!＜错误!，所以－1＜＜1，即N＝－1,1，∴M∩N＝[0,1．【答案】 C6．2022·天津高考若，∈R，则“≥2且≥2”是“2＋2≥4”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】∵≥2且≥2，∴2＋2≥4，∴≥2且≥2是2＋2≥4的充分条件；而2＋2≥4不一定得出≥2且≥2，例如当≤－2且≤－2时，2＋2≥4亦成立，故≥2且≥2不是2＋2≥4的必要条件．【答案】 A7．有下列四个命题：①“若＝1，则，互为倒数”的逆命题．②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则2－2＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A B”的逆否命题．其中真命题为A．①② B．②③C．④ D．①②③【解析】①的逆命题为：“若，互为倒数，则＝1”是真命题；②的否命题为：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；命题③是真命题，所以它的逆否命题也是真命题．命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．【答案】 D8．2022·梅州模拟已知命题|＜2”，且的取值范围．【解】1∵f＝2[1－co错误!＋2]－2错误!co 2－1＝2in 2－2错误!co 2＋1＝4in2－错误!＋1又∵错误!≤≤错误!，∴错误!≤2－错误!≤错误!，即3≤4in2－错误!＋1≤5，∴f ma＝5，f min＝32∵|f－m|＜2，∴m－2＜f＜m＋2又∵，解之得3＜m＜5因此实数m的取值范围是3,5．18．本小题满分14分已知命题：方程a22＋a－2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数满足不等式2＋2a＋2a≤0，若命题“或q”是假命题，求a的取值范围．【解】由题意知a≠0，若命题正确，由于a22＋a－2＝a＋2a－1＝0∴＝错误!或＝－错误!若方程在[－1,1]上有解，满足－1≤错误!≤1或－1≤－错误!≤1，解之得a≥1或a≤－1若q正确，即只有一个实数满足2＋2a＋2a≤0则有Δ＝0，即a＝0或2若或q是假命题．则和q都是假命题，有错误!所以a的取值范围是－1,0∪0,1．19．本小题满分14分命题：实数满足2－4a＋3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数满足2－－6≤0或2＋2－8＞的必要不充分条件，求a的取值范围．【解】由2－4a＋3a2＜0，且a＜＜＜a∴记：对应集合A＝{|3a＜＜a，a＜0}．又记B＝{|2－－6≤0或2＋2－8＞0}＝{|＜－4或≥－2}．∵綈是綈q的必要不充分条件，∴q是的必要不充分条件．因此A B∴a≤－4或3a≥－2a＜0，解之得－错误!≤a＜0或a≤－420．本小题满分14分设命题甲：直线＝与圆－a2＋2＝1有公共点，命题乙：函数f＝2－|＋1|－a的图象与轴有交点，试判断命题甲与命题乙的条件关系，并说明理由．【解】命题甲：若直线＝与圆－a2＋2＝1有公共点．则错误!≤1，－错误!≤a≤错误!命题乙：函数f＝2－|＋1|－a的图象与轴有交点，等价于a＝2－|＋1|有解．∵|＋1|≥0，－|＋1|≤0，∴0＜2－|＋1|≤1，因此0＜a≤1∴命题乙⇒命题甲，但命题甲D⇒/命题乙．故命题乙是命题甲的充分不必要条件．。

2022届高三数学一轮复习阶段知能检测理（广东专用）

阶段知能检测十本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．盒子内装有红球、白球、黑球三种，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红黑球各一个【解析】红黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”，“红黑球各一个”为互斥事件．又任取两球还包含“两个红球”等，故不是对立事件．【答案】D2．已知直线＝＋b，b∈[－2,3]，则直线在轴上的截距大于1的概率是【解析】试验的全部结果构成的区域是[－2,3]，所求事件构成的区域为1,3]，故所求概率为处投入，能性是相等的．图10－2某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1,2,3等奖．1已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%记随机变量ξ为获得＝1,2,3等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；2若有3人次投入1球为1人次参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求i i＝1,2,3,4i表示甲同学第i个问题回答错误．则M i与N i i＝1,2,3,4互为对立事件．由题意得1＝错误!，2＝错误!，3＝错误!，4＝错误!，所以1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，由于每题答题结果相互独立，因此1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4＝1M2M3＋2M3M4＋1N2M3M4＋1M2N3M4＋2N3M4＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!2由题意，随机变量ξ可能取值为2,3,4，由于每题答题结果相互独立，因此1M2M3＋1N2N3＝123＋1PN2PN3＝错误!×错误!×错误!＋错误!×错误!×错误!＝错误!；Pξ＝4＝1－Pξ＝2－Pξ＝3＝1－错误!－错误!＝错误!所以ξ的分布列为ξ 2 3 4Pξ错误!错误!错误!数学期望Eξ＝2×错误。

广东省2022届高三一轮复习质量检测数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.若向量＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4”是“||＝5”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2. 过双曲线的右焦点，作倾斜角为60°的直线，交双曲线的渐近线于点、（其中在第一象限），为坐标原点，则（）A．B．C．D．3.函数（）A ．在上递增，在上递减B．在上递增，在上递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递增，在上递减4.已知偶函数满足，且当时，，若关于的不等式在上有且只有150个整数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5. 如图，S ﹣ABC 是正三棱锥且侧棱长为a ，E ，F 分别是SA ，SC 上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA ，SC 的夹角为（　　）A ．30°B ．60°C ．20°D ．90°6. 复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内，复数所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8. 已知函数满足，且的最小值为，则的值为（）A．B．C．D．9. 已知抛物线的焦点为，点在其准线上运动，过作的两条切线与相切于两点，则以下说法正确的有（）A ．三点共线B ．可能是直角三角形C．构成等比数列D ．一定不是等腰三角形10.在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，，，其中，则（）广东省2022届高三一轮复习质量检测数学试题(1)广东省2022届高三一轮复习质量检测数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．当时，平面平面B ．当，，时，平面C ．当，，时，点平面D ．当，时，存在，使得平面平面11. 下面关于函数的性质，说法正确的是（）A．的定义域为B．的值域为C ．在定义域上单调递减D ．点是图象的对称中心12. 下列说法正确的是（）A ．设随机变量的均值为是不等于的常数，则相对于的偏离程度小于相对于的偏离程度（偏离程度用差的平方表示）B．若一组数据的方差为0，则所有数据都相同C．用决定系数比较两个回归模型的拟合效果时，越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好D ．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变13. 已知函数，对，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.14. 已知函数的最小正周期为，则________.15. 函数为奇函数，当时，.若，则a 的取值范围为______.16.已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．17. 已知的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且(1)求;(2)若,求外接圆的半径R ．18. 5月10日，2021年中国品牌日活动在上海拉开帷幕.中共中央政治局常委､国务院总理李克强对活动做出重要批示.批示指出：加强品牌建设､提升我国品牌影响力和竞争力，是优化供给､扩大需求､提升高质量发展的重要举措.为响应国家精神，某知名企业欲招聘一些有经验的工人，该企业提供了两种日工资方案：方案(a )规定每日底薪60元，完成每一件产品提成6元；方案(b )规定每日底薪100元，完成产品的前20件没有提成，从第21件开始，每完成一件产品提成10元，该企业记录了每天工人的人均工作量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该企业工人的人均工作量不少于40件的概率；（2）从以往统计数据看，新聘工人选择日工资方案(a)的概率为，选择方案(b)的概率为，若甲､乙､丙三人分别到该企业应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两人选择方案(a)的概率；（3）若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由､(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)19. 如图，圆内接四边形ABCD中，已知，．(1)求；(2)求四边形面积的最大值．20. 如图，三棱锥中，底面和侧面都是等边三角形，.（1）若P点是线段的中点，求证：平面；（2）点Q在线段上且满足，求与平面所成角的正弦值.21. 2021年4月11日，10名“湖湘工匠年度人物”完成公示，准备接受湖南省政府表彰．大力弘扬工匠精神在我省蔚然成风．衡阳市某变电器材有限公司为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，测量其内径尺寸（单位：）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布．（1）假设生产状态正常，记X表示某一天内抽取的10个零件中其内径尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）该公司某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如图所示：①计算这一天生产线上生产的零件内径尺寸的平均值与标准差；②为了带动相关产业发展，该公司帮扶衡阳市内另一家企业安装这条生产线并试生产了5个零件，测量其内径分别为（单位：）：96，102，108，113，117，试问此条生产线是否需要进一步调试，请说明理由．参考数据：，．。

2024-2025学年广东省清远市高三(上)质检数学试卷(一)(含答案)

2024-2025学年广东省清远市高三（上）质检数学试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={x|0<x ≤12},B ={x||x−1|≤12}，则A ∩B =( )A. {x|12<x ≤32}B. {x|0<x ≤32}C. {x|x =12}D. ⌀2.已知i 是虚数单位，若i−z =−5+i i ，则复数z 的虚部为( )A. 4 B. 2 C. −2 D. −43.已知向量a =(2,3),b =(k,−4)，且a ⊥b ，则k 的值为( )A. −6B. 6C. −83D. 834.函数f(x)=x +4x−1在区间(1,+∞)上的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 55.下列函数中，是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−x 2+3B. f(x)=lg |x|C. f(x)=sinxD. f(x)=x 36.设函数f(x)=ax +1ax 在区间(2,3)上单调递减，则正数a 的取值范围为( )A. (0,13]B. (0,12]C. (2,3)D. [2,3]7.记函数f(x)= 1+sinx + 1−sinx ，设α∈[π2,3π2]，甲：α∈[π2,π]；乙：f(α)=2sin α2，则甲是乙的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知a =2e −1,b =lg2lge ,c =lg6lg8，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. b <a <cD. b <c <a 二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)=3sin(2x +π5)，下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期是πB. 把函数f(x)的图象向右平移π5个单位长度可得到函数g(x)=3sin2x 的图象C. 函数f(x)的图象关于点(−π10,0)中心对称D. 函数f(x)的图象在区间(9π5,21π10)上单调递增10.现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据x 1，x 2，x 3，⋯，x 39，x 40，下列说法正确的是( )A. x 1，x 2，x 3，⋯，x 39，x 40的下四分位数为x 10B. x 1，x 2，x 3，⋯，x 19，x 20，x 21的中位数为x 11C. x 1，x 2，x 3，⋯，x 19，x 20的平均数小于x 21，x 22，x 23，⋯，x 39，x 40的平均数D. 2x 1+3，2x 2+3，2x 1+3，⋯，2x 40+3的方差是x 1，x 2，x 3，⋯，x 39，x 40的方差的4倍11.设f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R ，g(x)=f′(x)，若f(3x)=f(2−3x)，g(x−2)的图象关于x =1对称，g(x)在[−1,1]上单调递减，且g(7)=3，则( )A. g(x−1)为偶函数B. g(x +1)的图像关于原点对称C. g(2041)=3D. g(x)的极小值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023-2024学年广东省广州市高三上册第一次学情检测数学模拟试题(附解析)

2023-2024学年广东省广州市高三上学期第一次学情检测数学模拟试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．设集合，，则的元素个数是（）(){},2A x y y x ==(){}3,B x y y x ==A B ⋂A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数（i 是虚数单位），则（）()111z i i +=z=A B ．1C ．D123．已知向量，，，若是以为直角顶点的等腰(1,1)a =-OA a b =- OB a b =+ OAB O 直角三角形，则的面积为（）．OABA ．1B ．2C D ．4．在三角形ABC 中，已知三边之比，则的值等于（）::2:3:4a b c =sin 2sin sin 2A BC -A ．1B ．2C ．D ．2-125．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为{}n a n aa n n =+{}n a a A ．B ．C ．D ．(,0]-∞[0,)+∞(,2)-∞[1,)+∞6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：）与时间t （单位：h ）间的关系为，其中，k 是正的常数.如果在前mg/L 0ktP P e-=0P 5h 消除了的污染物，则15h 后还剩污染物的百分数为（）10%A ．B ．C ．D ．27.1%70%72.9%81%7．设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，()222210x y a b a b +=>>1F 2F P ，，则椭圆离心率的取值范围为（）12133PF PF λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭12π2F PF ∠=A ．B ．15,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．D ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底111ABC A B C -面顶点为球心，的交线长为（）A 11BCC B A ．B ．C ．D ．2π3π4π32π二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．下列说法正确的是（）A ．数据的第45百分位数是42,1,3,4,2,5,4,1B ．若数据的标准差为，则数据的标准差为123,,,,n x x x x s 1232,2,2,,2n x x x x 2sC ．随机变量服从正态分布，若，则X ()1,2N 3(0)4P X >=1(02)2P X <<=D ．随机变量服从二项分布，若方差，则X ()4,B p ()34D X =()272128P X ==10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似()f t m t h 0~24地用函数来表示，函数的图象如图所示，π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭()f t 则（）A ．π()3sin 5(024)6f t t t =+≤≤B ．函数的图象关于点对称()f t (12,0)C ．当时，水深度达到5t = 6.5mD ．已知函数的定义域为，有个零点，则()g t [0,6](2)(2)g t f t n =-212,t t 12πtant t =+11．已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为1111ABCD A B C D -球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（）O MA ．球的表面积为O 2πB ．球O 1-C ．球内接圆柱的侧面积的最大值为O 2πD ．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则M 17,44MA MB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 12．已知函数，.（）()()221e x f x x ax bx b=---+,a b R ∈A ．若曲线在点处的切线方程为，且过点，()y f x =()()0,0f 220x y --=()1,e 2-则，1a =-2b =B ．当且时，函数在上单调递增a b =10e a <<()f x ()0,∞+C ．当时，若函数有三个零点，则a b =()f x ()e,a ⎫∈+∞⎪⎪⎭ D ．当时，若存在唯一的整数，使得，则0a =0x ()00f x <2335,13e ,e 2e 2b ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知的二项展开式中系数最大的项为．6(12)x +14．设数列满足，，，令{}n a 11a =22a =()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，则数列的前100项和为．()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭{}n b 15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F 为抛物线C ：（）的焦点，从点F 出22y px =1p >发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在()10,1直线都与圆E ：相切，则p 的值是 .221116x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭16．若实数t 是方程的根，则的值为.1e ln x x x x -=+e ln t t 四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效，17．（本题10分）在中，角，，所对应的边分别为，，，且ABC ∆A B C a b c.sin cos sin A B a C ⋅=⋅（1）求的大小；B ∠（2）若的面积为，求的值.ABC ∆2a cos A 18．（本题12分）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面ABCDEF ABCD DE ⊥.1,//,2,2ABCD DE BF AD DE BF ===(1)求证：AC EF⊥(2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求DE G BG AD 23出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.G ACF 19．（本题12分）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，{}n a n n S {}n a ，，数列满足，且，.2441n nS a n =+-*N n ∈{}n b 149b =-12nn n n b b a ++=⋅*n ∈N (1)证明：数列是等差数列；{}n a (2)求的前项和.{}n b 21n +21n T +20．（本题12分）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人m 人()100m -假设每次考试是否通过相互独立.(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；(2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值m 为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）的值m 83889321．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方222:1(0)4x y C b b -=>程为分别是双曲线的左､右顶点.20,,x y A B ±=C (1)求的标准方程；C (2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，P 1x =,PA PB C ,A B ,M N 过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.B MN D ADP 22．（本题12分）已知函数，.()()ln e x xf x x m =+-+m ∈R (1)当时，求曲线在处的切线方程；1m =()y f x =()()0,0f (2)若有且仅有1个零点，求的取值范围.()f x m数学答案详解一、单选题1．设集合，，则的元素个数是（）(){},2A x y y x ==(){}3,B x y y x ==A B ⋂A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】明确集合交集的含义，利用解方程组即可确定答案.【详解】由于，为点集，(){},2A x y y x ==(){}3,B x y y x ==故求的元素个数即为求的解的个数，A B ⋂32y xy x =⎧⎨=⎩解方程，可得或，32y x y x =⎧⎨=⎩00xy =⎧⎨=⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩故的元素个数是3个，A B ⋂故选：C 2．若复数（i 是虚数单位），则（）()111zi i +=z =A B ．1C ．D 12【答案】A【分析】根据复数的乘方运算及乘法运算求得z ，由模长公式求得模长即可.【详解】解：∵，11423()i i i i =⋅=-∵复数，()111z i i +=∴，()z 1i i+=-∴，()()()111z i i i i +-=--∴，111222i z i --==--则||z ==故选：A ．3．已知向量，，，若是以为直角顶点的等腰(1,1)a =-OA a b =- OB a b =+ OAB O 直角三角形，则的面积为（）．OAB A ．1B ．2CD．【答案】B【解析】为等腰直角三角形，则有及，OAB ||||OA OB = OA OB ⋅【详解】由题知，，||||0OA OB a b a b a b =⇒+=-⇒⋅=，220||||OA OB a b a b ⋅=-=⇒= 故，则，||||2== OA OB 2OAB S =△故选：B ．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键．4．在三角形ABC 中，已知三边之比，则的值等于（）::2:3:4a b c =sin 2sin sin 2A BC -A ．1B ．2C ．D ．2-12【答案】B【分析】根据三边关系求出，根据二倍角公式结合正弦定理即可得解.cos C 【详解】三角形ABC 中，已知三边之比可设，::2:3:4a b c =2,3,4a t b t c t ===由余弦定理可得：，2221cos 24a b c C ab +-==-由正弦定理可得：sin 2sin sin 2sin 242sin 22sin cos 2cos 2A B A B a b C C C c C ----====-故选：B 5．数列的通项公式为，若数列单调递增，则的取值范围为{}n a n aa n n =+{}n a a A ．B ．C ．D ．(,0]-∞[0,)+∞(,2)-∞[1,)+∞【答案】C【分析】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+＞n+，化简解出即可得出．1an +a n 【详解】数列{a n }单调递增⇔a n+1＞a n ，可得：n+1+＞n+，化为：a ＜n 2+n ．1an +a n ∴a ＜2．故选C ．【点睛】本题考查了等比数列的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：）与时间t （单位：h ）间的关系为，其中，k 是正的常数.如果在前mg/L 0ktP P e-=0P 5h 消除了的污染物，则15h 后还剩污染物的百分数为（）10%A ．B ．C ．D ．27.1%70%72.9%81%【答案】C【分析】根据题意，求出，然后带入，即可求出15h 后还剩污染物的百50.9ke -=15t =分数.【详解】根据题意时，，又在前5h 消除了的污染物，0=t 000P P e P ==10%则，()5500110%0.9k k P P e e ---=⇒=则15h 后还剩污染物为，()()3315500000.90.729k k P P e P e P P --====所以15h 后还剩污染物的百分数为.72.9%故选：C7．7．（本题5分）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭()222210x y a b a b +=>>1F 2F P 圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（）12133PF PF λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭12π2F PF ∠=A ．B ．15,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．D ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到2PF t=()22211e λλ+=+，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范()22211112221m λλ+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭+21528e ≤≤围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，()1,0F c -()2,0F c 122PF PF a+=可设，可得，即有，①2PF t =1PF tλ=()12t a λ+=由，可得，即为，②12π2F PF ∠=222124PF PF c +=()22214t c λ+=由，可得，令，可得，2÷②①()22211e λλ+=+1m λ=+1m λ=-即有，由，()222221221112221m m m m λλ+-+⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭+133λ≤≤可得，即，443m ≤≤11344m ≤≤则时，取得最小值；或4时，取得最大值.2m =1243m =58即有21528e ≤≤e故选：D【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；,a c c e a =②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式,,a b c 222b ac =-,a c (不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可a 2a 得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.8．已知正三棱台的上，下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，以下底111ABC A B C -面顶点为球心，的交线长为（）A 11BCC B A ．B ．C ．D ．2π3π4π32π【答案】C【分析】将正三棱台补形成正三棱锥，并确定正三棱锥的结构特征，求出点到平面A 的距离，进而求出截面小圆半径作答.11BCC B【详解】将正三棱台补形成正三棱锥，111ABC A B C -D ABC -如图，由得．11//B C BC 11113DB B C DB BC ==∵，∴，∴为正三角形，14BB =6DB =BCD △∴三棱锥为正四面体．令正的中心为，连接，，D ABC -BCD △O AO BO则平面，∴AO ⊥11BCC B BO =AO ==∵球半径为∴这个球面截平面所得截面小圆是以为圆心，11BCC B O为半径的圆．2r ==在正中，取，的中点，，取的三等分点，，连接，BCD △1BB 1CC H E BC G F H G ，EF 显然，即，，同理，即13BH BG BD BC ==//GH CD 123GH CD ==2EF =，11112B C C E EF FG GH HB ======∴六边形是正六边形，点，，，，，在此球面截平面11B C EFGH 1B 1C E F G H 所得截面小圆上．11BCC B 连接，，，，则，此球面与侧面的交线为OE OF OG OH π3EOF GOH ∠=∠=11BCC B 图中的两段圆弧（实线），∴交线长度为．π4π2233⨯⨯=故选：C.【点睛】思路点睛：将正三棱台补形成正三棱锥，并确定正三棱锥为正四面D ABC -体，由此可求出点到平面的距离，进而求出球面与侧面的截面小圆A 11BCCB 11BCC B 半径，从而确定交线为两段圆弧，求出弧长得解.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．数据的第45百分位数是42,1,3,4,2,5,4,1B ．若数据的标准差为，则数据的标准差为123,,,,n x x x x s 1232,2,2,,2n x x x x 2sC ．随机变量服从正态分布，若，则X ()1,2N 3(0)4P X >=1(02)2P X <<=D ．随机变量服从二项分布，若方差，则X ()4,B p ()34D X =()272128P X ==【答案】BCD【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A 错误；根据方差的性质，可判定B 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定C 正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，数据从小到大排列为，共有8个数据，1,1,2,2,3,4,4,5因为，所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2，所以A 不正确；84536%.⨯=对于B 中，数据的标准差为，123,,,,n x x x x s由数据方差的性质，可得数据，所以B 正确；122,2,,2n x x x 2s =对于C 中，随机变量服从正态分布，且，X ()1,2N 3(0)4P X >=根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C 正确；1(02)2(0)12P X P X <<=>-=对于D 中，随机变量服从二项分布，且，X ()4,B p ()34D X =可得，解得或，34(1)4p p -=14p =34p =当时，可得；14p =()222411272C ()(144128P X ==⋅-=当时，可得，34p =()222433272C ()(144128P X ==⋅-=综上可得，，所以D 正确.()272128P X ==故选：BCD.10．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．已知某港口水深（单位：）与时间（单位：）从时的关系可近似()f t m t h 0~24地用函数来表示，函数的图象如图所示，π()sin()0,0,2f t A t b A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭()f t 则（）A ．π()3sin 5(024)6f t t t =+≤≤B ．函数的图象关于点对称()f t (12,0)C ．当时，水深度达到5t = 6.5mD ．已知函数的定义域为，有个零点，则()g t [0,6](2)(2)g t f t n =-212,tt 12πtant t =+【答案】ACD【分析】根据图象的最值求出，再根据图象得到其周期则得到，代入最高点求,A b ω出，则得到三角函数解析式，则判断A ，再结合其对称性即可判断B ，代入计算即ϕ可判断C ，利用整体法和其对称性即可判断D.【详解】对A ，由图知，，，()max 8f t =()min2f t =()()max min32f t f t A -∴==，()()max min52f t f t b +==的最小正周期，，()f t 12T =2ππ6T ω∴==，，解得：，()π33sin 582f ϕ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ()ππ2π22k k ϕ∴+=+∈Z ()2πk k ϕ=∈Z 又，，，故A 正确；π2ϕ<0ϕ∴=π()3sin 5(024)6f t t t ∴=+≤≤对B ，令，，解得，，ππ6t k =()k ∈Z 6t k =()k ∈Z 当时，，2k =12t =则，(12)3sin 2π55f =+=则函数的图象关于点对称，故B 错误；()f t (12,5)对C ，，故C 正确；()π3sin 55 6.565f ⨯+==对D ，，则，令，[]20,6t ∈[]0,3t ∈(2)(2)0g t f t n =-=则，令，则根据图象知两零点关于直线，(2)f t n =2t m =12,m m 3t =则，即，则，126m m +=12226t t +=123t t +=则，故D 正确.12ππtan tan 3t t ==+故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角函数模型结合图象求出其解析式.11．已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为1111ABCD A B C D -球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（）O M A ．球的表面积为O 2πB ．球O 1-C ．球内接圆柱的侧面积的最大值为O 2πD ．若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则M 17,44MA MB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 【答案】ABD【分析】对A ，可求得正方体棱切球半径，运用表面积公式即可得；对B ，由球在O 正方体外部的体积大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得；对C ，计算出球内接球内接圆柱的高及底面积即可得；对D ，根据向量的数量积运算即可得.O 【详解】解析：对于A ．如图所示，正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确；O R =O 24π2πR =对于B ．若球体､正方体的体积分别为．12,V V 球在正方体外部的体积，故B正确；O 3124π113V V V >-=⋅-=-对于C ，球的半径，设圆柱的高为，O R =h则底面圆半径r ==所以，2π22S rh h ===侧面积当时取得最大值，且最大值为，所以C 项错误；21h =π对于D ，取中点，可知在球面上，可得，AB E E 12EB EA BA=-=- 所以，()()2221()()||4MA MB ME EA ME EB ME EA ME ⋅=+⋅+=-=-点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动，M O 所以为直径时，，0ME ≤≤ME ME =所以．故D 正确．17,44MA MB ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦ 故选ABD ．12．已知函数，.（）()()221e x f x x ax bx b=---+,a b R ∈A ．若曲线在点处的切线方程为，且过点，()y f x =()()0,0f 220x y --=()1,e 2-则，1a =-2b =B ．当且时，函数在上单调递增a b =10e a <<()f x ()0,∞+C ．当时，若函数有三个零点，则a b =()f x ()e,a ⎫∈+∞⎪⎪⎭ D ．当时，若存在唯一的整数，使得，则0a =0x ()00f x <2335,13e ,e 2e 2b ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】BCD【分析】A 选项，由导数几何意义结合题意可知，即可判断选项正误；B ()()1e 202f f ⎧=-='⎪⎨⎪⎩选项，利用导数知识结合可得的单调区间，即可判断选项正误；C 选项，10e a <<()f x 有三个零点等价于直线与函数图象有3个交点，利用函数()f x y a =()2211exx y x x -=+-研究单调性，极值情况，即可判断选项正误；D 选项，由题可得，()()2211exx g x x x -=+-存在唯一整数，使图象在直线下方.，利用导数研0x ()()21exh x x =-()()1n x a x =-究单调性，极值情况，可得其大致图象，后利用切线知识结合()()21e x h x x =-图象可确定及相关不等式，即可判断选项正误.()(),h x n x 0x 【详解】A 选项，，由题，()()21e 2x f x x ax b'=+--()1e e 2f a =-=-，则，，故A 错误；()012f b '=-=2a =1b =-B 选项，当时，，a b =()()221e x f x x ax ax a =---+.因，则.()()()()21e 221e x x f x x ax a x a'=+--=+-10e a <<112l n a <-<-或在上单调递增，()0l n f x x a '>⇒<()12x f x >-⇒()12,l n ,,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭则在上单调递增，故B 正确；()f x ()0,∞+C 选项，当时，令，a b =()()221e 0x f x x ax ax a =---+=注意到当时，，则，则函数有三个零点，210x x +-=()0f x ≠()2211exx a x x -=+-()f x 相当于直线与函数图象有三个交点.y a =()2211exxy x x -=+-令，其中()()2211exx g x x x -=+-,x ≠.()()()()222111e xx x x g x xx +-'=+-令或在上单调递增；()1002g x x '>⇒-<<()1x g x >⇒()1012,,,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭或()0g x x'<⇒<12x<<-0x <<在，()1x g x <<⇒102,,,,,⎛⎫⎛-∞- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上单调递减，又，⎫⎪⎪⎭()()0,,,x g x x g x →-∞→→+∞→+∞则可得大致图象如下，则由图可得，当，()g x ()e,a ⎫∈+∞⎪⎪⎭直线与函数图象有三个交点，即此时函数有三个零点，故y a =()2211exx y x x -=+-()f x C 正确；D 选项，由题可得，，()()000211e x x a x -<-即存在唯一整数，使图象在直线下方.0x ()()21exh x x =-()()1n x a x =-则，，()()21exh x x '=+()()110022,h x x h x x ''>⇒>-<⇒<-得在上单调递减，在上单调递增，()h x 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭又，过定点，()()0,,,x h x x h x →-∞→→+∞→+∞()()1n x a x =-()1,0可在同一坐标系下做出与图象.又设过点切线方程的切点为()h x ()n x ()h x ()1,0，()()11,x h x 则切线方程为：，因其过，()()()111y h x x x h x '=-+()1,0则或，又注意到()()()()1211111101320e x h x x h x x x x '=-+=-⇒=32结合两函数图象，可知或2.()()11h n >00x =当时，如图1，需满足；00x =()()()()0031112e h n a h n ⎧<⎪⇒≤<⎨-≥-⎪⎩当时，如图2，需满足；02x =()()()()22225e 3e 332h n a h n ⎧<⎪⇒<≤⎨≥⎪⎩综上：，故D 正确.2335,13e ,e 2e 2a b ⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦故选：BCD【点睛】关键点睛：对于选填题，为便于快速找到答案，常使用数形结合思想，用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题，而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性，极值.三、填空题13．已知的二项展开式中系数最大的项为．6(12)x +【答案】4240x【分析】设系数最大的项为，则可得，直接求解即可.()61C 2k k k T x +=11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩【详解】设系数最大的项为，()61C 2kk k T x +=则，解得，11661166C 2C 2C 2C 2k k k k k k k k ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩111433k ≤≤因为且为整数，06k ≤≤k 所以，此时最大的项为.4k =()44456C 2240T x x ==故答案为：4240x14．设数列满足，，，令{}n a 11a =22a =()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，则数列的前100项和为．()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭{}n b 【答案】5000-【分析】根据给定的递推公式，求出数列的通项公式，进而求出，再利用分组{}n a n b 求和法求解即得.【详解】数列满足，，，{}n a 11a =22a =()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数数列是以1为首项，1为公差的等差数列，即，∴{}21n a -21n a n -=数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即，{}2n a 22nn a =因此，显然的周期为4，()222ππlog 2sin sin22nn n n b n=⋅=πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭则4342414k k k kb b b b ---+++()()()()()()()222243π42π41π4π43sin42sin41sin4sin2222k k k k k k k k ---=-+-+-+，()()()224341821k k k =---=--令，则有，4342414n n n n n c b b b b ---+++=()821n c n =--，数列是等差数列，()()1821182116n n c c n n +⎡⎤⎡⎤=-+----=-⎣⎣⎦-⎦∴{}n c 数列的前100项和，即数列的前25项和.{}n b {}n c ()()2588122550002⎡⎤⨯-+-⨯⎣⎦=-故答案为：.5000-15．抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知点F 为抛物线C ：（）的焦点，从点F 出22y px =1p >发的光线经抛物线上一点反射后，反射光线经过点，若入射光线和反射光线所在()10,1直线都与圆E ：相切，则p 的值是.221116x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】32【分析】根据点斜式求解入射光线的方程，进而根据点到直线的距离公式求解.【详解】当时，，故入射光线经过和，1y =12x p =,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12p ⎛⎫⎪⎝⎭，21021122pk p p p -==--故入射光线的方程为，化简得，2212p p y x p ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()22210px p y p +--=圆心为，半径为，11,06⎛⎫ ⎪⎝⎭1r =所以，2211311pp d p -===+而，故，，解得.1p >261130p p -+=()()23310p p --=32p =故答案为：3216．若实数t 是方程的根，则的值为.1e ln x x x x -=+e ln t t 【答案】1-【分析】将方程进行合理变形可得，利用同构函数并结合定义域可11e e l ln n x x x x --=构造函数，即可得出，利用对数运算即可得出结果.()()ln ,1,f x x x x =-∈+∞1e t t =【详解】由可得，即1e ln x x x x -=+1e ln ln e x x x x -=+111e ln e ln ln x x x x x x -=+=-即可得实数t 是方程的根，即；11e e l ln n x x x x --=11e e l ln n t t t t --=易知，所以；()0,x ∈+∞()e 1,x ∈+∞令函数，则在上恒成立；()()ln ,1,f x x x x =-∈+∞()1110x f x x x -'=-=>()1,+∞所以在上单调递增，因此需满足；()f x ()1,+∞1e t t =可得，e 1tt =同时取对数得，即；1lne lnt t =ln t t =-所以，即.e e ln 1t tt t =-=e ln 1t t =-故答案为：1-【点睛】关键点点睛：本题关键在于将方程变形后利用同构函数构造出，()ln f x x x=-再结合定义域可知，可得定义域为，再利用单调性即可求得结()e 1,x ∈+∞()f x ()1,+∞果.四、解答题（共70分）17．（本题10分）在中，角，，所对应的边分别为，，，且ABC ∆A B C a b c.sin cos sin A B a C ⋅=⋅（1）求的大小；B ∠（2）若的面积为，求的值.ABC ∆2a cos A 【答案】（1）；（24π【分析】（1）根据正弦定理可得的范围可得结果；cos B =B（2）根据面积公式可得，根据余弦定理可得，再根据余弦定理可得c =b =的值.cos A 【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，ABC ∆sin sin c A a C =所以：，所以.cos B =0B π<<4B π=（2）因为的面积为，∴，ABC∆21sin 2S ac B a ===c =由余弦定理，，所以.22222cos 5b a c ac B a =+-=b=所以cos A ==【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题.18．（本题12分）如图，在多面体中，四边形为正方形，平面ABCDEF ABCD DE⊥.1,//,2,2ABCD DE BF AD DE BF ===(1)求证：AC EF⊥(2)在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求DEG BG AD 23出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.G ACF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得；（2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空DE ()0,0,G h BG AD 23间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离.h 【详解】（1）因为四边形为正方形，平面，ABCD DE ⊥ABCD 如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，D ,,DA DC DE ,,x y z 则，()()()()()10,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,2,2,2D AB C E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，()32,2,0,2,2,2AC EF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 所以，222200⋅=-⨯+⨯+=AC EF 所以，所以.⊥AC EF AC EF ⊥（2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，DE ()0,0,,02G h h ≤≤BG AD 23则，又，()2,2,BG h =--()2,0,0AD =-所以，解得（负值舍去），2cos ,3BG 1h =所以存在满足条件，()0,0,1G 所以，依题意可得，()2,0,1AG =-()12,2,0,0,2,2AC AF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 设为平面的法向量，(),,n x y z =ACF 则，设，可得，2201202AC n x y AF n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1,1,4n =-所以点到平面的距离为.GACF AG n n ⋅== 19．（本题12分）已知数列的各项均大于1，其前项和为，数列满足，{}n a n n S {}n a ，，数列满足，且，.2441n nS a n =+-*N n ∈{}n b 149b =-12nn n n b b a ++=⋅*n ∈N (1)证明：数列是等差数列；{}n a (2)求的前项和.{}n b 21n +21n T +【答案】(1)证明见解析(2)141439n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用计算整理可得数列是等差数列；1n n n a S S -=-{}n a （2）先由（1）求出，然后通过并项求和以及错位相减求和法可得.1n n b b ++21n T +【详解】（1）①，2441n n S a n =+- ②，211445,2n n S a n n --∴=+-≥①-②得，22144n n n a a a -=-+整理得，()2212n n a a -=-或，12n n a a -∴=-12n n a a -=-又，得或（舍去），11124414a S a ==+-13a =11a =若，则，得，舍去，12n n a a -=-122a a =-21a =，即，12n n a a -∴=-12n n a a --=数列是以为首项，为公差的等差数列；∴{}n a 32（2）由（1）可得，即，()321n a n =+-21n a n =+，()1212nn n b b n +∴+=+()()()2112345221n n n T b b b b b b b ++=+++++++ ，()242452924129nn =-+⨯+⨯+++⨯令，()2425292412nM n =⨯+⨯+++⨯ 则，()462245292412n M n +=⨯+⨯+++⨯ 两式相减得()246222352424242412n n M n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯ ，()()22214141424412441433n n n n n ++-⎛⎫=+⨯-+⨯=--⎪-⎝⎭，14144399n M n +⎛⎫∴=-+⎪⎝⎭.112144144144939939n n n T n n +++⎛⎫⎛⎫∴=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．（本题12分）某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：2022年2023年通过未通过通过未通过第一次60人40人50人50人第二次70人30人60人40人第三次80人20人人m 人()100m -假设每次考试是否通过相互独立.(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；(2)小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则的最小值m 为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）的值m 838893【答案】(1)0.3(2)0.88(3)88【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.【详解】（1）记事件：“2022年第次参加考试的考生通过考试”，，i A i {}1,2,3i ∈记事件：“2023年第次参加考试的考生通过考试”，，jB j {}1,2,3j ∈则，，()1600.6100P A ==()1500.5100P B ==从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考∴生都通过考试的概率为；()()()11110.60.50.3P A B P A P B ==⨯=（2），，()1600.6100P A ==()1400.4100P A ==，∴()()()1212700.40.28100P A A P A P A ==⨯=小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为；()()1210.60.280.88P P A A A +=+=（3）2022年考生成绩合格的概率为,()()()()1231234030201110.976100100100P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=2023年考生成绩合格的概率为，()()()()1231235040100111100100100mP B B B P B P B P B --=-=-⨯⨯要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则，解得.504010010.976100100100m--⨯⨯≥88m ≥故的最小值为.m 8821．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的浙近线方222:1(0)4x y C b b -=>程为分别是双曲线的左､右顶点.20,,x y A B ±=C (1)求的标准方程；C (2)设是直线上的动点，直线分别与双曲线交于不同于的点，P 1x =,PA PB C ,A B ,M N 过点作直线的垂线，垂足为，求当最大时点的纵坐标.B MN D ADP 【答案】(1)；2214x y -=(2).【分析】（1）利用给定的渐近线方程求出即可得双曲线方程.b （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理、三点共线探求直线MN 过的定点，结合几何意义求解即得.MN 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即，依题意，222:14x y C b -=2by x=±20bx y ±=，1b =所以的标准方程为.C 2214x y -=（2）由（1）知，，设，(2,0),(2,0)A B -()()()011221,,,,,P y M xy N x y 显然直线不垂直于轴，否则由双曲线的对称性，点在轴上，不符合题意；MN y P y 设直线，:(2,2,0)MN x ty m t m =+≠±≠±由消去得，2244x ty m x y =+⎧⎨-=⎩x 222(4)240t y tmy m --+=+有，22222244(4)(4)16(4)0t m t m t m ∆=---=+->则，于是，212122224,44tm m y y y y t t --+==--2121242()m ty y y y m -=-+由三点共线得直线的斜率满足，同理，由三点共线,,P A M ,PA MA 01132y y x =+,,P B N 得，2022y y x -=-消去，得，即，0y ()()21122320y x y x ++-=2112(2)3(2)0y ty m y ty m ++++-=整理得，即()()121243220ty y m y m y +-++=，()()()()21212243220m y y m y m ym--++-++=则，因此或，12(4)[(2)(2)]0m m y m y ---+=4m =()()12220m y m y --+=若，又，得，()()12220m y m y --+=12224tm y y t -+=-1222(2)(2),44m t m ty y t t -+--==--结合，从而，即，不成立，212244m y y t -=-()()2222224444mt m t t--=--224t t =-即，因此，满足，()()12220m y m y --+≠4m =0∆>则直线恒过点，点在以为直径的圆上，:4MN x ty =+()4,0H D HB 22(3)1x y -+=当与重合时，最大，此时轴，，DH ADMN x ⊥):2,1,AM y x P ⎛=+⎝所以当最大时，点的纵坐标为.ADP 【点睛】思路点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设直线方程为，再与圆锥曲线方程联立结合已知条件探求k ，m 的关系，然后推理求解.y kx m =+22．（本题12分）已知函数，.()()ln e x xf x x m =+-+m ∈R (1)当时，求曲线在处的切线方程；1m =()y f x =()()0,0f (2)若有且仅有1个零点，求的取值范围.()f x m 【答案】(1)；0y =(2)1m =【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可；（2）结合第一问将分为三种情况：当时，由导数研究函数的单调性与最值可m 1m =判定此时零点个数；当时，通过取点及适当放缩分别计算1m >的正负，判定此时函数零点的个数；当时，通过函数的单()()10,,e f f m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭1m <调性得出，从而确定始终为负即可.()()ln ln 1x m x -+<-+()f x 【详解】（1）时，，所以，1m =()()ln 1e x x f x x =+-+()()11,001e xx f x f x -='-=-则，所以在处的切线方程为；()00f '=()y f x =()()0,0f 0y =（2）①由上知时，，1m =()()()ln 11e x xf x x x =+-+<有，()()()2e 1111e e 1xx x x x f x x x ---=-=--'令，()()()()()2e 11e 210x x g x x x g x x =--<⇒=-->'即在上单调递增，()y g x =(),1∞-又，，()00g =()e 10x x -<所以时，，时，，(),0x ∞∈-()0f x '>()0,1x ∈()0f x '<即在上单调递增，在上单调递减，()y f x =(),0∞-()0,1所以，此时只有一个零点，符合题意；()()00f x f ≤=()y f x =②当时，，且，1m >()()()ln e x xf x x m x m =+-+<()0ln 0f m =>所以，11e e 1111e e ln 1e e e e m m m m f m ----⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，()()e 1e 1x x h x x h x =--⇒=-'显然时，即此时单调递增，时，此时单调递减，0x >()0h x '>()h x 0x <()0h x '<()h x 所以，即，()()00h x h ≥=1e1e111e e 1e 1010e eem x m m x m m ---≥+⇒≥-+>->⇒-<所以，10e f m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭所以根据零点存在性定理可知使得，010,e x m ⎛⎫∃∈- ⎪⎝⎭()00f x =又，()ln 2e ln ln 2e m m mf m m m m ---=+=-++易知，所以，1,ln 21m -<-<()e e e ln 1m m m m f m m -<-⇒-<-++由上证得，1e 1e 1e ln 111110e 1ln m m m m m m m m m m m m-⎧≥+⇒-≤--⇒-++≤--+-+=-<⎨≥⇒-≥⎩即，故使得，()0f m -<()1,0x m ∃∈-()10f x =所以此时至少存在两个零点，不符题意；()f x ③时，，1m <()()()ln e x xf x x m x m =+-+<由①可知，所以此时无零点，不符合题意；()()ln 10e x xf x x <+-+≤()f x综上所述时，有且仅有1个零点.1m =()f x 【点睛】难点点睛：通过第一问将参数分成三种情况讨论.第一个难点1,1,1m m m =><在于时的合适取点即及符号的判定，在计算函数值符号时用到1m >1e f m ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f m -了常用函数放缩公式，第二个难点在于时，通过对数函数的单调性判定e 1xx ≥+1m <再结合时的结论判定函数值符号.关于取点()()()ln ln 1e e x x x x f x x m x =+-+<+-+1m =技巧需要多加练习，放缩公式要多加积累.。

2024-2025学年广东省高三上学期一调模拟卷数学试题及答案

秘密★启用前试卷类型： A2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}0158|{2≤+−∈=x x Z x A ，}5|{<=x x B ，则B A ⋂=A. {3}B.{3,4}C.{4,5}D.{3,4,5} 2.已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知a 和b 的夹角为150°，且2a，3b ，则2()a b bA.9 B.3 C.3 D.94.已知2sin()sin 33παα+−=，则cos(2)3πα+=A.59 B.19C.19D.595．已知等比数列{}n a 为递增数列，n nnb a =.记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，若213a a a =，3312S T +=，则n S =A. 141n −−B.()11414n −− C. ()14112n− D. 24n − 6．已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是A.B.C.D. 7．斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设}{n a 为斐波那契数列，11=a ，12=a ，),3(*21N n n a a a n n n ∈≥+=−−，其通项公式为])251()251[(51nn n a −−+=.设n 是4])51()51[(log 2+<−−+x x x 的正整数解，则n 的最大值为A.5B.6C.7D.88．函数()ln f x x =与函数21()g x mx 有两个不同的交点，则m 的取值范围是A. 21(,)e B.212(,)e C.210(,)e D. 2102(,)e 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。