初中数学竞赛九年级数学试题

初中数学竞赛九年级数学试题

一、选择题

1．2cos45°的值等于（）

A．B．C．D．

2.如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，其俯视图是（）

A．

B． C． D．

3.一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（）

A．11 B．11或12 C．13 D．11和13

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为（）

A．80° B．75° C．65° D．45°

5．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（）

A．B．C．D．

6．如图，点A和B都在反比例函数的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为点C，P是线段OB上的动点，连接CP，设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（）

A．S＞1 B．S＞2 C．1＜S＜2 D．1≤S≤2

7.函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）

A ．B

．

C

．

D

．

第4题图

8．小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为7：24的山坡上走2500米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）

A ．1200-350

B ．1200﹣350

C ．350+350

D ．700 正半轴上，反比例函数y=（k ≠0）9．如图，正方形ABCD 的顶点B ，C 在x 轴的上的点

E （n ，），过点E 的直线l 在第一象限的图象经过顶点A （m ，2）和CD 边交x 轴于点

F ，交y 轴于点

G （0，﹣2），则点F 的坐标是（ ） A ．（，0） B ．（，0）C ．（，0）D ．（，0）

10．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、

A 3…在射线ON 上，点

B 1、B 2、B 3…

在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的

边长为（ ）

A ．6

B ．12

C ．32

D ．64 二、填空题

11．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则sinA= _________ ．

12．如图，在⊙O 中，已知半径为5，弦AB 的长为8，那么圆心O 到AB 的距离

为 _________ ．

13．双曲线y 1、y 2在第一象限的图象如图，

，过y 1

上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 2于B ，交y 轴于C ，若S △AOB =1，则y 2的解析式是 _________ ．

14．如图，正方形A 1B 1B 2C 1，A 2B 2B 3C 2，A 3B 3B 4C 3，…，A n B n B n+1C n ，按如图所示放置，使点A 1、A 2、A 3、A 4、…、A n 在射线OA 上，点B 1、B 2、B 3、B 4、…、B n 在射线OB 上．若∠AOB=45°，OB 1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S 1，S 2，

S 3，…，S n ，则S n = _________ ．

第12题图

第13题图

15．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交

AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 _________ ．

三、解答题 16．计算：﹣2tan60°+（

﹣1）

﹣（）﹣1

．

17．先化简，再求值：

其中x 是方程 的解．

18．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．

（1）这次被调查的同学共有 _________ 名； （2）把条形统计图补充完整；

（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？

201514

41312+++÷⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--x x x x x 第14题图

第15题图

19．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：

（1）港口A与小岛C之间的距离；

（2）甲轮船后来的速度．

20. 如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

21.如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交x轴于点B、交y轴于点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．

（1）求A点的坐标；

（2）求该抛物线的函数表达式；

（3）连接AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．