河南省驻马店市确山二中高三数学上学期期中试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期期中联考试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期期中联考试题理（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。
紧扣考纲，注重双基.本次期末考试有很多题目源于课本。
2、突出重点和数学思想. 试题对本部分各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识和数学思想的考察。
对学生的综合能力要求较多，在知识交汇点处设置考题。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1．设复数，，若，则的值为( )A． B． C． D．【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案】【解析】A解析：=，∵，∴．即x=﹣2．故选：A．【思路点拨】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数，然后由虚部为0即可求出x的值．【题文】2．若，则正数的值为( )A．0 B．1 C．0或 D．【知识点】定积分．B13【答案】【解析】B解析：=，解得k=1或k=0（舍去），故选：B.【思路点拨】根据定积分的计算即可．【题文】3.函数的定义域是 ( )A． B． C． D．【知识点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．B1 B7【答案】【解析】D 解析：要使函数有意义，需,即0≤x＜1故函数的定义域为,故选D ．【思路点拨】令被开方数大于等于0，同时对数的真数大于0；列出不等式组，求出x 的范围即为定义域．【题文】4.平面向量，的夹角为，，， 则（ ）A ．B ．C ．D ．【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案】【解析】A 解析：由,得；又因为平面向量，的夹角为，，所以根据已知条件可得：．故选A ．【思路点拨】根据已知条件可求出，又知夹角以及，从而能求出。
【题文】5. 已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案】【解析】B 解析：∵，∴，即（x ﹣2）（x+1）＞0，∴x ＞2或x ＜﹣1，∵是的充分不必要条件，∴k ＞2，故选：B ．【思路点拨】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【典例剖析】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．【题文】6. 若10,0,cos(),cos()224342ππππβαβα<<-<<+=-=则（ ） A. B ． C. D ．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7【答案】【解析】C 解析：∵∴，,∴sin （），sin （）=∴cos[（）﹣（）]=cos （）cos （）+sin （）sin （）=,故选C【思路点拨】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin （）和sin （）的值，进而利用cos[（）﹣（）]通过余弦的两角和公式求得答案．【题文】7. 设，满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为( )A.1B.2C.3D.4【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】D 解析：由题意作出其平面区域，则由目标函数的最大值为8，，则由得，≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D．【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解．【题文】8．已知数列是等差数列，若a xx+a xx＜0，a xx•a xx＜0，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时等于（）A．4029 B．4028 C．4027 D．4026【知识点】等差数列的性质．D2【答案】【解析】A解析：∵{a n}是递增的等差数列，又∵a xx+a xx＜0，a xx•a xx＜0∴a xx＜0，∴a xx＞0，∴数列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027===4027a xx＜0，S4028==xx（a1+a4028）=xx（a xx+a xx）＜0，S4029===4029a xx＞0，∵S n取得最小正值时n等于4029,故选：A【思路点拨】由题意易得列的前xx项为负数，从第xx项开始为正数，由求和公式和性质可得S4027＜0，S4028＜0，可得答案．【题文】9. 在实数集中定义一种运算“”，，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，；（2）对任意，．关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．其中正确说法的序号为（）A．①B．①②C．①②③D．②③【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案】【解析】B解析：∵ =（e x）•+（e x）*0+*0=1+e x+，对于①，∵1+e x+≥1+=3（当且仅当x=0时取“=”），∴f（x）min=3，故①正确；对于②，∵f（x）=1+e x+=1+e x+e﹣x，∴f（﹣x）=1+e x+e﹣x=1+e x+e﹣x=f（x），∴函数f（x）为偶函数，故②正确；对于③，∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，∴当x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为①②，故选：B．【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+e x+e﹣x，对于①，可由基本不等式1+e x+≥1+=3判断其正误；对于②，利用偶函数的定义可判断其正误；对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．【题文】10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在方向的投影为y （O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）第Ⅱ卷（非选择题共100分）【知识点】函数的图象．B8【答案】【解析】C解析：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为，连接BG，可得，即∠BGM= ，所以tan∠BGA= ，由图可得当x= 时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．【思路点拨】由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x 的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．【典例剖析】由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．【题文】二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置)【题文】11.设集合，，若,则的值是．【知识点】交集及其运算．A1【答案】【解析】-1解析：因为集合，，若，又a2≥0，∴当a2=0时，a=0，此时N={0，0}，不符合集合元素的互异性，故a≠0，当a2=1时，a=±1，a=1时，N={1，1}，不符合集合元素的互异性，故a≠1，a=﹣1，此时N={﹣1，1},故a=﹣1．故答案为：﹣1。
2022-2023学年人教A版高三上数学期中试卷(含解析)
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：ω2
=
1 (−
+
√
3– i) 2
1 √ 3– =− − i
，
22
22
ω4 + ω2 + 1 = (ω2 + 1)2 − ω2
= (− 1 − √ 3–i + 1)2 − (− 1 − √ 3–i)
22
22
=
1
−
√
3– i
+
3 i2
+
1
+
√
3– i
42 4 22
=0.
故选D.
【解答】
AB 【解析】由已知，lg a (lg a − lg c) = lg c (lg a − lg b) ，即lg2 a − 2 lg a ⋅ lg c + lg b ⋅ lg c = 0. 则关于α的方程 x2 − 2x lg c + lg c ⋅ lg b = 0 有正实根，所以Δ = 4 lg2 c − 4 lg c ⋅ lg b = 4 lg c (lg c − lg b) ≥ 0 因为 b ≠ c, b > 1, c > 1 ，则lg c > lg b ，所以c > b 设f (x) = x2 − 2x| lg c + lg ⋅ ⋅ lg b, 则二次函数f (x) 的图象关于直线 x = lg c对称，且f (lg a) = 0 f (lg b) = lg2 b − lg b ⋅ lg c = lg b (lg b − lg c) < 0 ．若x = lg a 是f (x) 的一个较小零 点，则lg a < lg b < lg c，即a < b < c ；若x = lg a 是f (x) 的一个较大零点，则lg b < lg c < lg a ，即b < c < a ，选 AB ．
2022-2023学年人教A版高三上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 设集合，集合，则等于（ ）A.B.C.D.2. 已知复数，则下列说法正确的是( )A.复数的实部为B.复数的模为C.复数的虚部为D.复数的共轭复数为3. 命题是命题的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4. 函数＝的单调递增区间为（ ）A.A ={x ∈N|−4x −5<0}x 2B ={y|y =4−x,x ∈[2,4]}A ∩B {1,2}{3,4}∅{0,1,2}z =13+4i z 3z 1z i425z +i325425p :−x −2<0x 2q :0<x <1f(x)log (2+9x −5)12x 2(−∞,−5)∪(,+∞)12(−∞,−5)B.C.D.5. 已知且，则等于（ ）A.B.C.D.6. 已知向量，，则向量在向量上的投影等于 A.B.C.D.7. 若，，，，，六个元素排成一列，要求不排在两端，且，相邻，则不同的排法有（ ）A.种B.种C.种D.种8. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得分，未击中目标得分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和，且甲、乙两人各射击一次得分之和为的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则值为（ ）(−∞,−5)(,+∞)12(0,+∞)θ∈(0,)π2cos(θ+)＝π635sin θ4−33–√104+33–√103+43–√103−43–√10=(1,3)a →=(3,2)b →a →b →()910−−√109−3913−−√13A B C D E F A B C 72961201442035P 2920P 3A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知两个正态分布密度函数()的图象如图所示，则A.B.C.D.10. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵 中， ，且．下列说法正确的是（ ）A.四棱锥为“阳马”B.四面体为“鳖臑”35453414(x)=φi 12π−−√σi e −(x −μi )22σ2i x ∈R,i =1,2()<μ1μ2>μ1μ2>σ1σ2<σ1σ2ABC −A 1B 1C 1AC ⊥BC A =AB =2A 1B −AC A 1C 1CB A 1C 12C.四棱锥体积最大为D.过点分别作于点，于点，则11. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，在其准线上的射影分别为，，则下列结论正确的是( )A.若直线轴，则B.C.D.12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是( )A.当时，B.函数有五个零点C.若关于的方程有解，则实数的取值范围是D.对，，恒成立卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）14. 双曲线：＝的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（在第二象限，在第一象限），，•＝，则双曲线的离心率为________．15. 已知数列满足＝，＝，则＝________．16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）B −AC A 1C 123A AE ⊥B A 1E AF ⊥C A 1F EF ⊥BA 1C ∶=4x y 2F F l A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2A B A 1B 1l ⊥x |AB|=2⋅=x 1x 212⋅=−4y 1y 2∠F =A 1B 1π2f (x)R x >0f (x)=(x −1)e −x x <0f(x)=(x +1)e x f(x)xf (x)=m m f (−2)≤m ≤f (2)∀x 1∈R x 2|f ()−f ()|<2x 2x 1C 1(a >0,b >0)F 1F 2F 1C P Q P Q 0C {}a n a 11a n+1a 15f(x)=(−ax)(ln x −ax)e x f(x)<0a17. 已知等差数列的前项和为，且.求数列的通项公式以及前项和若，求数列的前项和. 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知．求；若，的面积为，求的周长． 19. （本小题满分分）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，是以为斜边的等腰直角三角形．且平面平面，，点为棱的中点．求证：平面；求三棱锥的体积．20. 年月，我国各地出现了以武汉为中心的新冠肺炎疫情，在全国人民的共同努力下，月疫情得到初步控制．下表是某地疫情监控机构从月日到月日每天新增病例的统计数据．日期新增病例人数若月日新增病例中有名男性，现要从这天新增病例中按性别分层抽取人，再从所抽取的人中随机抽取人作流行病学分析，求这人中至少有名女性的概率；该疫情监控机构对月日和日这五天的位新增病例的治疗过程，进行了跟踪监测，其中病症轻微的只经过一个疗程治愈出院，病症严重的最多经过三个疗程的治疗痊愈出院，统计整理出他们被治愈的疗程数及相应的人数如下表：疗程数相应的人数已知该地疫情未出现死亡病例，现用上述疗程数的频率作为相应事件的概率，该机构要从被治疗痊愈的病例中随机抽取位进行病毒学分析，记表示所抽取的位病例被治愈的疗程数之和，求的分布列及期望． 21. 已知焦点在轴上的椭圆的长轴长是短轴长的倍，椭圆上的动点到左焦点距离的最大值为．求椭圆的方程；{}a n n S n =−1,=7a 3S 7(1){}a n a n n S n(2)=(−1⋅b n )n a n {}b n n T n △ABC A B C a b c 2cos C(a cos B +b cos A)=c (1)C (2)c =7–√△ABC 33–√2△ABC 12P −ABCD BC//AD,AB ⊥AD,△PAB AB PAB ⊥ABCD AB =BC =2,AD =4E PD (1)CE//PAB (2)C −ADE 2020133135x 12345y 3225272016(1)341255221(2)3151201236040202ξ2ξx 2P 2+3–√(1)4过点的直线与椭圆有两个交点，，（为坐标原点）的面积为，求直线的方程． 22. 已知函数(为自然对数的底数)．若，，讨论的单调性；若，函数在内存在零点，求实数的范围．(2)(1,0)l C A B △OAB O 45l f (x)=ln(x +2)e ax e (1)a ∈R F (x)=(x)e −ax f ′F (x)(2)a <12g(x)=f (x)−x −1(−1,+∞)a参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合，集合，则.故选.2.【答案】D【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算共轭复数复数的模【解析】此题暂无解析【解答】解：∵A ={x ∈N|−4x −5<0}={x|−1<x <5}x 2B ={y|y =4−x,x ∈[2,4]}={y|0≤x ≤2}A ∩B ={0,1,2}D z ==13+4i 3−4i(3+4i)(3−4i)=−i 3−4i 34，∴复数的实部为，故选项错误；复数的虚部为，故选项错误；复数的共轭复数为，故选项正确；复数的模为，故选项错误.故选.3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的解法求出的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由得，得，∵，∴是的必要不充分条件.故选.4.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求 ＝＝时，的增区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】函数的单调递减区间，即＝＝时，的减区间．再利用二次函数的性质可得＝时，时，的减区间为，5.==−i 3−4i 9+16325425z 325A z −425C z +i 325425D z =+()3252(−)4252−−−−−−−−−−−−−−−−√15B D p −x −2<0x 2(x +1)(x −2)<0−1<x <2(0,1)⊊(−1,2)p q B t 2+9x −5x 2(x +5)(2x −1)>0t f(x)=(2+9x −5)log 12x 2t 2+9x −5x 2(x +5)(2x −1)>0t t (x +5)(2x −1)>0t >0t (−∞,−5)【考点】同角三角函数间的基本关系两角和与差的三角函数【解析】由已知可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的正弦函数公式可求的值．【解答】∵，，∴，∴，∴．6.【答案】D【考点】向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，在方向上的投影为：．故选.7.θ+∈(,)π6π62π3sin(θ+)π6sin θθ∈(0,)π2cos(θ+)＝π635θ+∈(,)π6π62π3sin(θ+)==π61−(θ+)cos 2π6−−−−−−−−−−−−−√45sin θ=sin[(θ+)−]=sin(θ+)cos −cos(θ+)sin =×−×=π6π6π6π6π6π6453–√235124−33–√10a →b →||⋅cos <,>=||⋅a →a →b →a →⋅a →b →||||a →b →===⋅a →b →||b →3+613−−√913−−√13D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】由于，相邻，把，看做一个整体，有种方法．这样，个元素变成了个．先排，由于不排在两端，则在中间的个位子中，有种方法．其余的个元素任意排，有种不同方法，故不同的排法有种．8.【答案】C【考点】相互独立事件相互独立事件的概率乘法公式【解析】由题意知甲、乙两人射击互不影响，则本题是一个相互独立事件同时发生的概率，根据题意可设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，由相互独立事件的概率公式可得，可得关于的方程，解方程即可得答案．【解答】设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件，则“甲射击一次，未击中目标”为事件，“乙射击一次，未击中目标”为事件，则，＝，＝，＝，依题意得：，解可得，，二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D B C B C 265A A A 3=3A 134A 442×3×=144A 44A B p A B A ¯¯¯¯B ¯¯¯¯P(A)=35P()A ¯¯¯¯1−=3525P(B)P P()B ¯¯¯¯1−P ×(1−p)+×p =3525920p =34【考点】正态分布的密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：正态曲线是关于对称，且在处取得峰值，由图易得，因为的图象更"瘦高"，的图象更"矮胖"，则.故选.10.【答案】A,B,D【考点】柱体、锥体、台体的体积计算棱柱的结构特征【解析】（1）根据题目所给信息进行分析求解即可.【解答】解：由堑堵的性质可得四边形为矩形，已知平面，在平面内，所以，又，，，在平面内，所以平面，即四棱锥为“阳马”，故正确；而在四面体中，，即四面体为“鳖臑”，故正确；而，则“阳马”的体积最大值为： ，故错误；x =μx =μ1σ2π−−√<μ1μ2(x)φ1(x)φ2<σ1σ2AD ABC −A 1B 1C 1AC A 1C 1A ⊥A 1ABC BC ABC BC ⊥A A 1BC ⊥AC A ∩AC =A A 1A A 1AC AC A 1C 1BC ⊥AC A 1C 1B −AC A 1C 1A CB A 1C 1∠CB =∠C =∠BC =∠B =A 1A 1C 1C 1A 1C 1π2CB A 1C 1B A =AB =2A 1B −AC A 1C 1V =⋅BC 13S 矩形AC A 1C 1=×A ×AC ×BC 13A 1=AC ×BC ≤(A +B )2313C 2C 2=×A =13B 243C A ⊥A ABC BC ⊂ABC因为平面，平面，所以.因为，，所以平面，所以平面平面.因为，所以平面，所以.又，所以平面，所以，故正确.故选.11.【答案】C,D【考点】抛物线的性质抛物线的求解抛物线的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，若直线轴，令，解得，所以，故错误；对于．当直线轴时，，故错误；对于，当直线轴时，，当直线与轴不垂直时，可设直线，联立方程整理，得，所以，故正确；对于，由抛物线的定义可知，，，所以，即，故正确．故选．12.【答案】A,DA ⊥A 1ABC BC ⊂ABC A ⊥BC A 1AC ⊥BC A ∩AC =A A 1BC ⊥AC A 1AC ⊥A 1BC A 1AF ⊥C A 1AF ⊥BC A 1AF ⊥B A 1AE ⊥B A 1B ⊥A 1AEF B ⊥EF A 1D ABD A l ⊥x x =1y =±2|AB|=4A B l ⊥x ⋅=1x 1x 2BC l ⊥x ⋅=−4y 1y 2l x l :x =my +1{x =my +1,=4x ，y 2−4my −4=0y 2⋅=−4y 1y 2C D ∠A F =∠AF =∠FO A 1A 1A 1∠B F =∠BF =∠FO B 1B 1B 1∠FO +∠FO =B 1A 1π2∠F =A 1B 1π2D CD利用导数研究函数的单调性函数的零点与方程根的关系函数的零点函数恒成立问题【解析】根据函数，是奇函数，求出时的解析式，可判断；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断、、．【解答】解：设，则，所以，又函数是定义在上的奇函数，所以，所以，即，故正确；当时，，所以，令，解得.当时，；当时，，所以函数 在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数得极大值当时，，，又因为，故函数在仅有一个零点．当时， ，所以函数在没有零点，所以函数在上仅有一个零点.又因为函数是定义在上的奇函数，故函数在上仅有一个零点.又，故函数是定义在上有个零点．故错误；作出函数的大致图象，由图可知若关于 的方程有解，则实数 的取值范围是，故错误；由图可知，对，, ,故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.f (x)x <0A f (x)(0,+∞)f (x)f (x)R B C D x <0−x >0f (−x)=(−x −1)e x f (x)R f (−x)=−f (x)−f (x)=(−x −1)e x f (x)=(x +1)e x A x >0f (x)=x −1e x (x)=f ′−(x −1)e x e x ()e x 2=2−x e x (x)=0f ′x =20<x <2(x)>0f ′x >2(x)<0f ′f(x)(0,2)(2,+∞)x =2f(x)>0e −20<x <2f(2)>0f (0)<0f (1)=0f (x)(0,2)1x >2f (x)=>0x −1e x f (x)(2,+∞)f (x)(0,+∞)f (x)R f (x)(−∞,0)−1f (0)=0f (x)R 3B f(x)x f (x)=m m −1<m <1C ∀x 1∈R x 2|f ()−f ()|<|1−(−1)|=2x 2x 1D AD【考点】二项式定理的应用【解析】在所给的等式中，令，可得；再令，可得，从而求得要求式子的值．【解答】解：因为，令，可得，令，可得 ，所以.故答案为：.14.【答案】【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】【考点】数列递推式−1x =0=1a 0x =12++++⋯+=0a 0a 12a 222a 323a 12212=+x ++⋯(1−2x)12a 0a 1a 2x 2+(x ∈R)a 12x 12x =0=1a 0x =12++++⋯+=0a 0a 12a 222a 323a 12212+++⋯+=−1a 12a 222a 323a 12212−14本题先将递推公式倒过来，进行转化并进一步计算即可发现数列{}是以为首项，为差的等差数列，通过计算出数列{}的通项公式即可计算出数列的通项公式，即可计算出的值．【解答】依题意，由＝，可得＝＝，即-＝，∵＝，∴数列{}是以为首项，∴＝＝，∴＝，，故＝．16.【答案】【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，在同一直角坐标系画出与的图象：11{}a n a 15a n+1+11116+1×(n −1)n a n n ∈N ∗a 15(,e)1ey =e x y =ln x由题意可知，的图象恒在与的图象之间，即且，①，即，设，则，令可得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即；②，即，设，则，令，可得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，即.∴的取值范围是.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：设数列的公差为，则，解得，故.若为偶数，则，若为奇数，则，故y =ax y =e x y =ln x −ax >0e x ln x −ax<0−ax >0e x a <e x x g(x)=e x x (x)=g ′(x −1)e xx 2(x)>0g ′x >1g(x)(0,1)(1,+∞)(x)=e g min a <e ln x −ax <0a >ln x x h(x)=ln x x (x)=h ′1−ln x x 2(x)>0h ′x <e h(x)(0,e)(e,∞)(x)=h max 1e a >1e a (,e)1e (,e)1e (1){}a n d +2d =−1a 17+d =7a 17×62=−5,d =2a 1=2n −7,=a n S n (−5+2n −7)⋅n 2=−6n n 2(2)n =5−3+1+1−3+5+⋯+2n −7T n =2×=n n 2n =5−3+1+1−3+5+⋯−2n+7T n =2×−2n +7n −12=−n +6={T n 6−n ，n 为奇数，n,n 为偶数.数列的求和等差数列的前n 项和等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设数列的公差为，则，解得，故.若为偶数，则，若为奇数，则，故18.【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．【考点】(1){}a n d +2d =−1a 17+d =7a 17×62=−5,d =2a 1=2n −7,=a n S n (−5+2n −7)⋅n 2=−6n n 2(2)n =5−3+1+1−3+5+⋯+2n −7T n =2×=n n 2n =5−3+1+1−3+5+⋯−2n +7T n =2×−2n +7n −12=−n +6={T n 6−n ，n 为奇数，n,n 为偶数.(1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C 2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√余弦定理三角形的面积公式【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为求出的值，即可确定出出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．19.【答案】【考点】二面角的平面角及求法柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】sin C 0cos C C a +b △ABC (1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√20.【答案】解：由题意得月日新增病例中有名男性，名女性，按性别从中分层抽取人，其中有名男性，名女性，∴这人至少有名女性的概率．由题意得占所有可能的取值分别为，，，，，，，，，，∴的分布列为∴．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得月日新增病例中有名男性，名女性，按性别从中分层抽取人，其中有名男性，名女性，∴这人至少有名女性的概率．由题意得占所有可能的取值分别为，，，，，，，，，，∴的分布列为(1)3412853221P ===0.7+C 12C 13C 22C 25710(2)23456P (ξ=2)=×6012060120=14P (ξ=3)=××26012040120=13P (ξ=4)=××2+×60120201204012040120=518P (ξ=5)=××24012020120=19P (ξ=6)=×2012020120=136ξξ23456P 141351819136Eξ=2×14+3×13+4×518+5×19+6×136=103(1)3412853221P ===0.7+C 12C 13C 22C 25710(2)23456P (ξ=2)=×6012060120=14P (ξ=3)=××26012040120=13P (ξ=4)=××2+×60120201204012040120=518P (ξ=5)=××24012020120=19P (ξ=6)=×2012020120=136ξ∴．21.【答案】解：设椭圆的方程为，半焦距为．由题可知解得 ∴椭圆的方程为.由题可知直线的斜率不为，故可设直线的方程为，，．联立可得，∴，，∵的面积，∴，∴，整理可得，解得，故直线的方程为或．【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】本题主要考查椭圆方程及直线与椭圆的位置关系．【解答】ξ23456P 141351819136Eξ=2×14+3×13+4×518+5×19+6×136=103(1)+=1(a >b >0)x 2a y 2b c a =2b ，a +c =2+，3–√=+，a 2b 2c 2 a =2，b =1，c =，3–√+=1x 24y 2(2)l 0l x =my +1A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 x =my +1，+=1，x 24y 2(+4)+2my −3=0m 2y 2+=−y 1y 22m +4m 2=−y 1y 23+4m 2△OAB S =×|−|=12y 1y 245|−|=y 1y 285|−=−4y 1y 2|2(+)y 1y 22y 1y 2=−4(−)(−)2m +4m 223+4m 2=64254+7−11=0m 4m 2m =±1l x −y −1=0x +y −1=0=1(a >b >0)22解：设椭圆的方程为，半焦距为．由题可知解得 ∴椭圆的方程为.由题可知直线的斜率不为，故可设直线的方程为，，．联立可得，∴，，∵的面积，∴，∴，整理可得，解得，故直线的方程为或．22.【答案】解：由题意得，函数定义域为，，故，则.①若 ，则，则在上单调递减；②若，令，得.当时，则，则，即在上单调递减；当时，，(1)+=1(a >b >0)x 2a y 2b c a =2b ，a +c =2+，3–√=+，a 2b 2c 2 a =2，b =1，c =，3–√+=1x 24y 2(2)l 0l x =my +1A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 x =my +1，+=1，x 24y 2(+4)+2my −3=0m 2y 2+=−y 1y 22m +4m 2=−y 1y 23+4m 2△OAB S =×|−|=12y 1y 245|−|=y 1y 285|−=−4y 1y 2|2(+)y 1y 22y 1y 2=−4(−)(−)2m +4m 223+4m 2=64254+7−11=0m 4m 2m =±1l x −y −1=0x +y −1=0(1)f(x){x|x >−2}(x)=a ⋅ln(x +2)+f ′e ax e ax 1x +2=[a ln(x +2)+]e ax 1x +2F (x)=(x)e −axf ′=a ln(x +2)+1x +2(x)=−=F ′a x +21(x +2)2ax+2a −1(x +2)2a =0(x)<0F ′F (x)(−2,+∞)a ≠0(x)=0F ′x =−21a a <0x =−2<−21a (x)<0F ′F (x)(−2,+∞)a >0x =−2>−21a −2,−2)1则在上有，在上有，则在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．已知，，则.设，则①当时，则，，，，则在上单调递减，则，故此时函数无零点，不合题意．②当时，当时，.又对任意恒成立，，故 ，对任意恒成立.当时，，，则当时，必有零点，记为，当时，，则在上单调递增，则．综上，当时，必存在零点．③当时，由于 ，，在上必存在零点．设在的第一个零点为，则当时，，则在上为减函数.又，∴当时，，(−2,−2)1a (x)<0F ′(−2,+∞)1a (x)>0F ′F (x)(−2,−2)1a (−2,+∞)1aa ≤0F (x)(−2,+∞)a >0F (x)(−2,−2)1a (−2,+∞)1a (2)g(x)=f (x)−x −1=ln(x +2)−x −1e ax x ∈(−1,+∞)(x)=(x)−1g ′f ′=[a ln(x +2)+]−1e ax 1x +2=F (x)−1e ax h (x)=(x)=F (x)−1g ′e ax (x)=[aF (x)+(x)]h ′e ax F ′=[ln(x +2)+]e ax a 22ax +4a −1(x +2)2a =0g(x)=f (x)−x −1=ln(x +2)−x −1x ∈(−1,+∞)(x)=−1=<0g ′1x +2−x −1x +2x ∈(−1,+∞)g(x)(−1,+∞)g(x)<g(−1)=0g(x)a =0a <0x ≥00<≤1e ax ln(x +2)<x +1x ∈(−1,+∞)∴g(x)=ln(x +2)−x −1e ax <(x +1)−x −1e ax =(x +1)(−1)≤0e ax g(x)<0x ∈[0,+∞)−1<x <0(−1)=−1>0g ′e −a (0)=a ln 2−<0g ′12−1<x <0(x)g ′x 0x ∈(−1,)x 0(x)>0g ′g(x)(−1,)x 0g(x)>g(−1)=0a <0g(x)0<a <12(−1)=(2a −1)<0h ′e −a ()=ln(+2)+>0h ′12a e 12a 212a 4a (+2)12a 2 ∴(x)h ′(−1,+∞)(x)h ′(−1,+∞)x 1x ∈(−1,)x 1(x)<0h ′h (x)(−1,)x 1h (x)<h (−1)=−1<0e −a x ∈(−1,)x 1(x)<0g ′g(x)(−1,)则在上单调递减，故当时恒有，即.令，则 ，则在上单调递减，在上单调递增，，即.又，∴.令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意．综上可知，的取值范围是．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】(Ⅰ)讨论的范围，得出的符号，从而得出的单调性；讨论的范围，判定的单调性，根据的极值或零点的存在性定理判断是否有零点．【解答】解：由题意得，函数定义域为，，故，则.①若 ，则，则在上单调递减；②若，令，得.当时，则，则，即在上单调递减；当时，，则在上有，g(x)(−1,)x 1x ∈(−1,)x 1g(x)<g(−1)=0g()<0x 1φ(x)=−ax −1e ax (x)=a (−1)φ′e ax φ(x)(−1,0)(0,+∞)∴φ(x)≥φ(0)=0≥ax +1e ax ≥ax +1>ax +a e ax g(x)=(x +2)−x −1e ax >a(x +1)ln(x +2)−x −1=(x +1)[a ln(x +2)−1]=x 0e 1a g()>(+1)[a ln(+2)−1]x 0e 1a e 1a >(+1)(a ln −1]=0e 1a e 1a y =g(x)(,)x 1e 1a a (−∞,0)∪(0,)12a (x)F ′F (x)(2)a g(x)g(x)g(x)(1)f(x){x|x >−2}(x)=a ⋅ln(x +2)+f ′e ax e ax1x +2=[a ln(x +2)+]e ax 1x +2F (x)=(x)e −ax f ′=a ln(x +2)+1x +2(x)=−=F ′a x +21(x +2)2ax +2a −1(x +2)2a =0(x)<0F ′F (x)(−2,+∞)a ≠0(x)=0F ′x =−21a a <0x =−2<−21a (x)<0F ′F (x)(−2,+∞)a >0x =−2>−21a (−2,−2)1a(x)<0F ′−2,+∞)1在上有，则在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．已知，，则.设，则①当时，则，，，，则在上单调递减，则，故此时函数无零点，不合题意．②当时，当时，.又对任意恒成立，，故 ，对任意恒成立.当时，，，则当时，必有零点，记为，当时，，则在上单调递增，则．综上，当时，必存在零点．③当时，由于 ，，在上必存在零点．设在的第一个零点为，则当时，，则在上为减函数.又，∴当时，，则在上单调递减，故当时恒有，即.(−2,+∞)1a (x)>0F ′F (x)(−2,−2)1a (−2,+∞)1aa ≤0F (x)(−2,+∞)a >0F (x)(−2,−2)1a (−2,+∞)1a (2)g(x)=f (x)−x −1=ln(x +2)−x −1e ax x ∈(−1,+∞)(x)=(x)−1g ′f ′=[a ln(x +2)+]−1e ax 1x +2=F (x)−1e ax h (x)=(x)=F (x)−1g ′e ax (x)=[aF (x)+(x)]h ′e ax F ′=[ln(x +2)+]e ax a 22ax +4a −1(x +2)2a =0g(x)=f (x)−x −1=ln(x +2)−x −1x ∈(−1,+∞)(x)=−1=<0g ′1x +2−x −1x +2x ∈(−1,+∞)g(x)(−1,+∞)g(x)<g(−1)=0g(x)a =0a <0x ≥00<≤1e ax ln(x +2)<x +1x ∈(−1,+∞)∴g(x)=ln(x +2)−x −1e ax <(x +1)−x −1e ax =(x +1)(−1)≤0e ax g(x)<0x ∈[0,+∞)−1<x <0(−1)=−1>0g ′e −a (0)=a ln 2−<0g ′12−1<x <0(x)g ′x 0x ∈(−1,)x 0(x)>0g ′g(x)(−1,)x 0g(x)>g(−1)=0a <0g(x)0<a <12(−1)=(2a −1)<0h ′e −a ()=ln(+2)+>0h ′12a e 12a 212a 4a (+2)12a 2 ∴(x)h ′(−1,+∞)(x)h ′(−1,+∞)x 1x ∈(−1,)x 1(x)<0h ′h (x)(−1,)x 1h (x)<h (−1)=−1<0e −a x ∈(−1,)x 1(x)<0g ′g(x)(−1,)x 1x ∈(−1,)x 1g(x)<g(−1)=0g()<0x 1φ(x)=−ax −1ax令，则 ，则在上单调递减，在上单调递增，，即.又，∴.令时，则有，由零点存在定理可知函数在上有零点，符合题意．综上可知，的取值范围是．φ(x)=−ax −1e ax (x)=a (−1)φ′e ax φ(x)(−1,0)(0,+∞)∴φ(x)≥φ(0)=0≥ax +1e ax ≥ax +1>ax +a e ax g(x)=(x +2)−x −1e ax >a(x +1)ln(x +2)−x −1=(x +1)[a ln(x +2)−1]=x 0e 1a g()>(+1)[a ln(+2)−1]x 0e 1a e 1a >(+1)(a ln −1]=0e 1a e 1a y =g(x)(,)x 1e 1a a (−∞,0)∪(0,)12。
河南省驻马店地区高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省驻马店地区高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高一上·涞水期中) 已知集合A={0，1，2}，集合B={x|x=2m，m∈N}，则A∩B=（）A . {0}B . {0，2}C . {0，4}D . {0，2，4}2. （2分）已知向量，若，则的值为（）A . -9B . -1C . 1D . 93. （2分） (2018高二下·辽宁期末) 已知的内角对的边分别为 , , , 且,则的最小值等于（）A .B .C .D .4. （2分）命题“存在x0≥0，≤0”的否定是（）A . 不存在x0≥0，＞0B . 存在x0≥0，≥0C . 对任意的x0≥0，2x≤0D . 对任意的x0≥0，2x＞05. （2分） (2016高一上·慈溪期中) 函数y=ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A . （0，1）B . （1，1）C . （2，3）D . （2，4）6. （2分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A . bB . bC . aD . a7. （2分）函数y=2sinxcosx﹣2sin2x的最小值为（）A . -4B . --1C . --1D . -28. （2分）已知定义在R上的可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2-2x-3)f'(x)>0的解集为A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2019高二下·舒兰月考) 数列的前项和，且，则 ________．10. （1分） (2016高一上·兴国期中) 若角α的终边过点（sin30°，﹣cos30°），则sinα=________11. （1分） (2016高一下·湖北期中) 如图，在△ABC中，已知∠BAC= ，| |=2，| |=3，点D 为边BC上一点，满足 +2 =3 ，点E是AD上一点，满足 =2 ，则| |=________．12. （1分）若y=15sin[（x+1）]表示一个振动，则这个振动的初相是________ ．13. （1分） (2017高一上·芒市期中) 函数f（x）=|x+1|的单调递增区间为________．14. （1分） (2016高一上·杭州期末) 下列命题：·（1）y=|cos（2x+ ）|最小正周期为π；·（2）函数y=tan 的图象的对称中心是（kπ，0），k∈Z；·（3）f（x）=tanx﹣sinx在（﹣，）上有3个零点；·（4）若∥ ，，则其中错误的是________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2016高二上·大名期中) 设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn．16. （10分） (2020高一下·林州月考) 已知函数 .（1）求的单调递减区间；（2）若，求的最大值和最小值.17. （15分）(2013·福建理) 已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．18. （5分） (2018高一下·大连期末) 如图，一直一艘船由岛以海里/小时的速度往北偏东的岛形式，计划到达岛后停留分钟后继续以相同的速度驶往岛. 岛在岛的北偏西的方向上，岛也也在岛的北偏西的方向上.上午时整，该船从岛出发.上午时分，该船到达处，此时测得岛在北偏西的方向上.如果一切正常，此船何时能到达岛？（精确到分钟）19. （10分） (2019高三上·葫芦岛月考) 已知函数 .（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求a的取值范围.20. （5分）已知A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线x=上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，Sn=+++…+，求Sn；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设an=， Tn为数列{an}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、19-2、20-1、第11 页共11 页。
河南省驻马店市确山二中高三数学上学期期中试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
河南省驻马店市确山二中201 5届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={2，lnx}，B={x，y}，A∩B={1}，则实数x，y的值分别为( )A．e，0 B．e，1 C．1，e D．，1考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由交集的运算可得lnx=1，得到x的值，进一步得到y的值．解答：解：∵A={2，lnx}，B={x，y}，由A∩B={1}，得lnx=1，x=e，则y=1．∴实数x，y的值分别为e，1．故选：B．点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础题．2．已知命题p：∃x0∈（0，2]，使x02﹣ax0+1＜0，则￢p为( )A．∃x0∈（0，2]，使x02﹣ax0+1≥0B．∀x∈（0，2]，使x2﹣ax+1＜0C．∀x∈（0，2]，使x2﹣ax+1≥0D．∃x0∉（0，2]，使x02﹣ax0+1≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x0∈（0，2]，使x02﹣ax0+1＜0，则￢p为∀x∈（0，2]，使x2﹣ax+1≥0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数是( )A．y=sinx B．y=x3﹣x C．y=2x D．y=x3考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可判断在定义域内既是奇函数，又是增函数的函数．解答：解：对于A．是正弦函数，为奇函数，在（2kπ﹣，2k），k∈Z，为增函数，故A错；对于B．函数满足f（﹣x）=﹣x3+x=﹣f（x），则为奇函数，f′（x）=3x2﹣1＞0，解得，x＞或x则为增，故B错；对于C．是指数函数，不为奇函数，故C错；对于D．f（﹣x）=﹣f（x），则为奇函数，且y′=3x2≥0，则为增函数，故D对．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，属于基础题．4．已知f（x）=，则f（f（3））的值为( )A．B．0 C．1 D．3考点：对数的运算性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数直接代入求值即可．解答：解：由分段函数可知f（3）=log3（9﹣6）=log33=1，∴f（f（3））=f（1）=3•e1﹣1=3．故选D．点评：本题主要考查分段函数的应用，利用分段函数直接代入进行求解即可．比较基础．5．若复数z满足（1+i）z=i﹣2，则复数z对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由（1+i）z=i﹣2，∴==所对应的点位于第二象限．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．6．已知角α的终边经过P（﹣3，4），则cos2α+sin2α=( )A．﹣B．﹣C．D．考点：二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得si nα和cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α+sin2α 的值．解答：解：由角α的终边经过P（﹣3，4），可得x=﹣3、y=4、r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，∴cos2α+sin2α=2cos2α﹣1+2sinαcosα=2×﹣1+2××（﹣）=﹣．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式的应用，属于基础题．7．定义为R上的函数f（x）满足f（x）f（x+2）=1，f（1）=3，f（2）=2，则f=( ) A．3 B．C．D．2考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=1，可得函数f（x）是周期为4的周期函数，根据f=f（2）得到答案．解答：解：若f（x）•f（x+2）=1，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）=3，f（2）=2，又2014÷4=503 (2)∴f=f（2）=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中分析出函数f（x）是周期为4的周期函数，是解答本题的关键．8．在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；三角函数的周期性及其求法．专题：分析法．分析：首先要判断“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件，就必须捕捉到角A，B在△ABC中则角A，B都大于0小于180度，再根据余弦函数在0度到180度上的单调性即可判断得到答案．解答：解：因为在△ABC中，角A与角B都大于0小于180度，而余弦函数在区间0度到180度上是减函数，则 A＞B可直接推出cosA＜cosB．所以，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充分条件．同理由余弦函数在0度到180度上是减函数，则cosA＜cosB可直接推出 A＞B．所以，“A＞B”也是“cosA＜cosB”的必要条件．故选C．点评：此题主要考查对充分条件与必要条件的判断以及三角函数在一定区间内的单调性问题．学生做题时候要充分分析到每一个条件，以免忽略到一些隐含的问题．9．若x，y满足不等式，则2x+y的最小值为( )A．﹣4 B．3 C．4 D．0考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，设z=2x+y，化为y=﹣2x+z，由图可知，当直线过A（﹣1，﹣2）时，z有最小值，等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知函数y=的图象如图所示（其中f′（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是( )A．f′（1）=f′（﹣1）=0B．当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值C．方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D．当x=1时，函数f（x）取得极小值考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据函数单调性和导数之间的关系，分别进行判断即可．解答：解：A．由图象可知x=1或﹣1时，f′（1）=f′（﹣1）=0成立．B．当x＜﹣1时，＜0，此时f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，＞0，此时f′（x）＜0，故当x=﹣1时，函数f（x）取得极大值，成立．C．方程xf′（x）=0等价为，故xf′（x）=0有两个，故C错误．D．当0＜x＜1时，＜0，此时f′（x）＜0，当x＞1时，＞0，此时f′（x）＞0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值，成立．故选：C点评：本题主要考查导数的应用，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．11．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间上单调递增，则答案可求．解答：解：把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin．即y=3sin（2x﹣）．当函数递增时，由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间上单调递增．故选：B．点评：本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．12．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=0+lg+lg+lg+…+lg的值，∵S=lg+lg+…+lg=lg＞﹣1，而S=lg+lg+…+lg=lg＜﹣1，∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积．解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．14．已知函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2，则f（2）+f′（2）=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2求得f′（2），再求出f（2），则答案可求．解答：解：∵函数y=f（x）的图象在M（2，f（2））处的切线方程是y=x+2，∴，又f（2）=，∴f（2）+f′（2）=3．故答案为：．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．15．下列命题中：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x2﹣3x+2=0，则x≠1”；②命题“若方程x2﹣mx+1=0有解，则m＞4”的逆命题为真命题；③对命题p和q，“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件．假命题的序号为①．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：直接写出原命题的否命题判断①；由m＞4时方程x2﹣mx+1=0的判别式为m2﹣4＞0，方程有解判断②；由复合命题的真值表判断③．解答：解：对于①，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x2﹣3x+2≠0，则x≠1”，命题①为假命题；对于②，命题“若方程x2﹣mx+1=0有解，则m＞4”的逆命题为“若m＞4，则方程x2﹣mx+1=0有解”∵m＞4时方程x2﹣mx+1=0的判别式为m2﹣4＞0，方程有解，∴命题②为真命题；③对命题p和q，若p且q为假，则p，q中至少一个为假，p或q不一定为假，若p或q为假，则p，q均为假，∴“p且q为假”是“p或q为假”的必要不充分条件，命题③为真命题．故答案为：①．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了命题真假的判断方法，是基础题．16．已知f（x）=2x2+lnx﹣ax，若对∀x1，x2∈（0，1），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）＞0 为真命题，则实数a的取值范围a≤4．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由条件推出函数为增函数，先求出导函数，然后将函数f（x）是单调递增函数，转化成f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，将a分离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求．解答：解：∵f（x）满足对∀x1，x2∈（0，1），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）＞0 为真命题，则数f（x）是单调递增函数，∵f（x）=2x2+lnx﹣ax，∴f′（x）=4x﹣a+∵函数f（x）是单调递增函数，∴f′（x）=4x﹣a+≥0在（0，1）上恒成立即a≤4x+在（0，+∞）上恒成立而x∈（0，+∞）时4x+≥2=4∴a≤4，故答案为：a≤4．点评：本题主要考查函数单调性的应用和判断，根据函数导数和单调性之间的关系转化为函数恒成立即可得到结论．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若cosA=，求b．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将sinC的值代入求出ab的值，再由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将ab的值代入即可求出a+b的值，由此求得a、b的值．（2）由cosA=，求得 sinA=，由正弦定理求得a的值．再求得sinB=sin（A+C）的值，由=，求得b的值．解答：解：（1）∵S△ABC=absinC==，∴ab=4①．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，即4=（a+b）2﹣12，则a+b=4 ②．由①②求得 a=b=2．（2）∵cosA=，∴sinA=，由正弦定理可得=，即=，求得a=．又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=，故由=，即=，求得b=．点评：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，属于基础题．18．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 34 1380岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据80岁以下老龄人的人数，即可估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）由分层抽样方法可得被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0，设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B；列举从这五人中抽取3人的结果，由古典概型公式计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．点评：本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE，由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理，可得DE∥BC1，进而由线面平行的判定定理得到结论；（2）先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B，再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可（3）三棱锥B1﹣A1DC的体积=，求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点又∵D是AB的中点，DE∥BC1，又DE⊂面CA1D，BC1⊄面CA1D，∴BC1∥平面CA1D；（2）AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD，又∵AA1⊥面ABC，CD⊂面ABC，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AB=A，∴CD⊥面AA1B1B，又∵CD⊂面CA1D，∴平面CA1D⊥平面AA1B1B（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=，又∵BD=1，BB1=，∴A1D=B1D=A1B1=2，=，∴三棱锥B1﹣A1DC的体积===1点评：本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系，线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用，棱锥的体积，推理论证的能力和表达能力，注意证明过程的严密性20．如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（I）由已知得x＞0，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（II）由（I）导数性质能求出当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．解答：解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：x （0，﹣a）﹣a （﹣a，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．请在下面的两个题中任选一题作答【选修4-1】集合证明选讲22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥C D于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果解答：（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4-5】不等式选讲23．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即 x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为．点评：本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。
河南省驻马店地区高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省驻马店地区高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·汕头模拟) 已知集合A={x∈N|x＜3}，B={x|x=a﹣b，a∈A，b∈A}，则A∩B=（）A . {1，2}B . {﹣2，﹣1，0，1，2}C . {1}D . {0，1，2}2. （2分） (2017高三上·太原月考) 函数定义在上.则“曲线过原点”是“ 为奇函数”的（）条件.A . 充分而不必要B . 必要而不充分C . 充要D . 既不充分又不必要3. （2分）中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（）A . 依次成公比为2的等比数列，且B . 依次成公比为2的等比数列，且C . 依次成公比为的等比数列，且D . 依次成公比为的等比数列，且4. （2分）已知函数则函数在[-1,1]上的单调增区间为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·南沙期末) 在等差数列{an}中，a3+a8=8，则S10=（）A . 20B . 40C . 60D . 806. （2分）(2016·浦城模拟) 在▱ABCD中，AB=2BC=4，∠BAD= ，E是CD的中点，则等于（）A . 2B . ﹣3C . 4D . 67. （2分）函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A . 函数f（x）在（﹣2，3）内单调递减B . 函数f（x）在x=3处取极小值C . 函数f（x）在（﹣4，0）内单调递增D . 函数f（x）在x=4处取极大值8. （2分） (2017高三上·太原期末) 给出下列命题：①若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn ， S2n﹣Sn ， S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{an}，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；④若数列{an}，{bn}均为等比数列，则数列{an•bn}为等比数列其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2017·舒城模拟) 若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A . [﹣1，3]B . [1，11]C . [1，3]D . [﹣1，11]10. （2分） (2016高一下·新余期末) 已知函数f（x）=cos（ x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·上杭期中) 在△ABC中，b= ，c=3，B=30°，则a=（）A .B . 2C . 或2D . 212. （2分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A . 6B . 5C . 4D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·营口会考) 已知向量，向量，若，则x=________．14. （1分） (2019高二上·集宁期中) 在等差数列中，前项和为常数），则 ________.15. （1分）某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产________（千台）．16. （1分） (2019高三上·上海月考) 设数列前项的和为，若，且，则 ________.三、解答题 (共7题；共72分)17. （15分） (2017高三·三元月考) 已知函数f（x）= ．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a＞0，证明：当0＜x＜a时，f（x+a）＜f（a﹣x）；（3）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明：f′（）＞0．18. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn ，并判断Sn+1 ， Sn ， Sn+2是否能成等差数列．19. （2分）(2019高三上·济南期中) 分别为内角的对边.已知（1） ________．（2）若 ,则 ________．20. （15分）已知函数f（x）=﹣ sin2x+sinxcosx+ ，（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）x∈[0， ]求函数f（x）的值域；（3）若f（）= ，α∈（0，π），求sinα的值．21. （10分） (2020高二下·金华月考) 已知曲线 .（1）求单调区间；（2）求过点P（2，4）的切线方程.22. （10分）(2020·安阳模拟) 以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，P是上一动点，，Q的轨迹为 .（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线的交点为A，B，当取最小值时，求直线l的普通方程.23. （10分）设函数f（x）=|3x﹣1|+x+2，（1）解不等式f（x）≤3，（2）若不等式f（x）＞a的解集为R，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共72分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
2021-2022学年河南省驻马店市高三(上)期中数学试卷(理科)(附详解)
2021-2022学年河南省驻马店市高三（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∃x∈(0,+∞)，3x>x3，则￢p是()A. ∃x∈(−∞,0]，3x≤x3B. ∃x∈(−∞,0]，3x>x3C. ∀x∈(−∞,0]，3x≤x3D. ∀x∈(0,+∞)，3x≤x32.函数f(x)=4cos(πx+π3)+1图象的对称中心可能是()A. (−56,1) B. (−13,1) C. (−56,0) D. (−13,0)3.已知a=log23，函数f(x)=e x+lnx−4的零点为b，g(x)=x3−12x2−x的极小值点为c，则()A. b>a>cB. a>b>cC. c>b>aD. b>c>a4.已知R上的奇函数f(x)满足：当x<0时，f(x)=log2(1−x)，则f(f(7))=()A. 1B. −1C. 2D. −25.已知全集U={x∈Z|x2−6x+5⩽0}，A={2,3,4}，∁U B={4,5}，则A∩B=()A. {3}B. {3,4}C. {2,3}D. {3,4,5}6.已知|a⃗|=3，|b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =−6，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 5π6B. 2π3C. π3D. π67.“x≥0”是“1x+1≤1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30(√3−1)m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD 为()A. 20√3mB. 20√2mC. 30√3mD. 30√2m9.函数f(x)=x2e2x的极大值为()A. 0B. 4e4C. 1e2D. 1e10.记等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4=2，S8=8，则S12=()A. 14B. 18C. 26D. 3211.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)=f(−|x|)的图像为()A.B.C.D.12.如图，在矩形ABCD的BC，AB边上各取一点M，N，沿MN将△BMN翻折到ΔB′MN，点B′恰好在边AD上，且|AB||BM|=23，记∠BMN=α，则sin2α=()A. 3+√56B. √53C. 16D. 3−√56二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始作匀速直线运动到达点B，此时足球从点D处出发，以机器人速率的2倍向点A作匀速直线滚动，已知AB=8√2dm，AD=34dm，∠BAD=45°，则该机器人最快可在线段AD上距点A______dm的C处截住足球．14.若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列3，4进行构造，第一次得到数列3，7，4；第二次得到数列3，10，7，11，4；依次构造第n(n∈N∗)次得到数列3，x1，x2，…，x k，4，记a n=3+x1+x2+⋯+x k+4，则a3=______，设数列{a n}的前n项和为S n，则S n=______．15.已知向量a⃗=(−2,3)，b⃗ =(m,1−m)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=______．16.已知实数x，y满足{x−2y+1⩾0,y⩽−2x+3,x+3y+1⩾0,则目标函数z=3x−y的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(0<ω<6,|φ|<π2)，g(x)=−f(x)，将g(x)的图象向左平移π2个单位长度后，所得图象恰好与y=f(x)的图象重合，且点(7π12,0)是f(x)图象的一个对称中心．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)=2a−1在[−π4,π6]正恰有两个实数根，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=ax2+x−lnx(a≥0)．(1)讨论f(x)的单调性．(2)若a=2，且正数x1，x2满足f(x1)+f(x2)=4−6x1x2，证明：x1+x2≤−1+√25−8ln2．419.已知函数f(x)=x3−3x2−m．(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)零点的个数．20.已知函数f(x)=3−2log2x，g(x)=log2x.,8]时，求函数ℎ(x)=[f(x)+5]⋅g(x)的值域；(1)当x∈[12,8]，不等式f(x2)⋅f(√x)+24g(x)+5>k[g(x)+1]恒成立，(2)若对任意的x∈[12求实数k的取值范围．21.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a1+a5=8，且a3是a1与a7的等比中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=S n，是否存在一个非零常数t，使得数列{b n}也为等差数列？若存在，n+t求出t的值；若不存在，请说明理由．22.设p：x满足−1<ax≤2，q：x满足x2−x−2<0．(1)若∀x∈(0,1)，p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈(0,+∞)，3x ≤x 3， 故选：D ．根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.【答案】A【解析】解：函数f(x)=4cos(πx +π3)+1， 令πx +π3=kπ+π2，k ∈Z ， 得：x =k +16，k ∈Z ， 当k =−1时，可得x =−56． 所以函数的一个对称中心(−56,1)． 故选：A ．通过函数的解析式，结合三角函数的性质求解对称中心即可． 本题考查了余弦函数的图象与性质，余弦函数的对称性，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为f(1)=e −4<0,f(32)=e 32+ln 32−4=√e 3+ln 32−4>√16+ln 32−4>0， 所以b ∈(1,32)，因为32=log 2√23<log 23， 所以a >b ，g′(x)=3x 2−x −1， 令g′(x)=0，得x=1±√13，6，所以c=1+√136<1，又因为1+√136所以c<b，故a>b>c，故选：B．由导数的极值得出c的大小，再与函数的零点b，及a进行比较即可．本题考查函数的零点，导数的极值的大小比较，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：∵f(x)是R上的奇函数，且x<0时，f(x)=log2(1−x)；∴f(7)=−f(−7)=−log28=−3；∴f(f(7))=f(−3)=log24=2．故选：C．根据f(x)为奇函数，以及x<0时的f(x)解析式，即可求出f(−7)的值，从而求出f(7)=−3，进而得出f(f(7))=f(−3)=2．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，对数的运算．5.【答案】C【解析】解：∵全集U={x∈Z|x2−6x+5⩽0}={x∈Z|1≤x≤5}={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，∁U B={4,5}，∴B={1,2,3}，则A∩B={2,3}．故选：C．求出全集U={1,2,3,4,5}，从而B={1,2,3}，由此能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：|a⃗|=3，|b⃗ |=4，a⃗⋅b⃗ =−6，设向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=−63×4=−12，∴向量a⃗与b⃗ 的夹角为：2π3．故选：B．直接利用向量的数量积公式求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，向量的夹角的求法，是基础题．7.【答案】A【解析】解：由1x+1⩽1，得1x+1−1≤0，即xx+1⩾0，解不等式得x≥0或x<−1，所以x⩾0”是“1x+1⩽1”的充分不必要条件．故选：A．先求出分式不等式的解集，然后结合充分必要条件与集合的包含关系的转化进行判断．本题主要考查了分式不等式的求解，充分必要条件的判断，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：在Rt△ABM中，AM=ABsin15∘，在△ACM中，∠CAM=15°+15°=30°，∠AMC=180°−15°−60°=105°，所以∠ACM=180°−30°−105°=45°，由正弦定理，AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，故C M=AM⋅sin∠CAMsin∠ACM =30(√3−1)×12×√2√6−√24=60，在Rt△CDM中，CD=CMsin60°=60×√32=30√3(m)．所以估算黄鹤楼的高度CD为30√3m.故选：C．Rt△ABM中求得AM，在△ACM中运用正弦定理求得CM，解Rt△CDM求得CD的值．本题考查了三角形的正弦定理和解三角形的应用问题，也考查了方程思想和运算求解能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=x 2e 2x，∴f′(x)=2x−2x 2e 2x，当x <0时，f′(x)<0，函数单调递减，当0<x <1时，f′(x)>0，函数单调递增， 当x >1时，f′(x)<0，函数单调递减， 所以x =1时，函数取得极大值：1e 2． 故选：C ．先对函数求导，然后结合单调性与导数的关系可判断单调性，进而可求极值． 本题主要考查了函数极值的求解，属于基础试题．10.【答案】C【解析】解：因为等比数列{a n }中，S 4=2，S 8=8， 则q ≠1，所以{a 1(1−q 4)1−q=2a 1(1−q 8)1−q=8， 解得q 4=3，a 11−q =−1， 则S 12=a 1(1−q 12)1−q=26．故选：C ．由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数g(x)=f(−|x|)，可知函数是偶函数，排除选项C 、D ；当x >0时，g(x)=f(−|x|)=f(−x)，所以函数的图象与已知条件左侧图象关于y 轴对称，所以A 不正确；故选：B ．利用函数的奇偶性，结合函数的图象判断即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数的图象的判断，是基础题．12.【答案】D【解析】解：因为∠BNM =π2−α，所以∠BNB′=π−2α，又∠BNB′为钝角，即π2<π−2α<π，所以0<α<π4且∠ANB′=2α，记|BN|=|B′N|=m ，则|AN|=mcos2α，所以|AB|=m +mcos2α=2mcos²α， 又|AB||BM|=23，所以|BM|=32|AB|=3mcos²α，所以|BN||BM|=tanα=13cos 2α， 所以sinαcosα=13，sin2α=23，又0<α<π4，所以0<2α<π2， 所以cos2α=√53=1−2sin²α，解得sin²α=3−√56．故选：D ．根据角度关系可得到0<α<π4，利用|BM|=32|AB|，|BN||BM|=tanα可求得sinαcosα，由二面角正弦公式和同角三角函数的关系可求得cos2α，结合二倍角余弦公式可求得结果． 本题主要考查三角形中的几何计算，考查二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．13.【答案】14【解析】解：设该机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC =xdm ， 由题意，CD =2xdm.AC =AD −CD =(34−2x)(dm)，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcosA ， 即x 2=(8√2)2+(34−2x)2−2×8√2×(34−2x)×√22，解得x 1=743，x 2=10，∴AC =34−2x =14(dm)，或AC =−463(不合题意，舍去)，所以该机器人最快可在线段AD 上离点A7dm 的点C 处截住足球．构建三角形ABC ，利用余弦定理，建立方程，即可求得机器人最快可在何处截住足球． 本题考查余弦定理的运用，考查利用数学知识解决实际问题，解题的关键是构建满足题意的三角形，属于中档题．14.【答案】987(3n+1+2n−3)4【解析】解：根据题意，由a1=3+7+4=14，a2=a1+21，a3=a2+63，a4=a3+ 7×33，…，可得a n=a n−1+7×3n−1，即a n−a n−1=7×3n−1，所以a n=a n−a n−1+a n−1−a n−2+⋅⋅⋅+a2−a1+a1=14+7×(31+32+⋅⋅⋅+3n−1)=14+7×3(1−3n−1)1−3=14+72(3n−3)=72(3n+1)，所以a3=72(33+1)=98，所以S n=a1+a2+⋅⋅⋅+a n=72(31+32+⋅⋅⋅+3n)+72n=7 2×3(1−3n)1−3+72n=21(3n−1)4+72n=7(3n+1+2n−3)4．故答案为：98；7(3n+1+2n−3)4．根据题意可得a n=a n−1+7×3n−1，即a n−a n−1=7×3n−1，再利用累加法可求出a n，从而确定a3的值，再利用分组求和法即可计算出S n．本题主要考查数列的递推公式与分组求和法，考查推理与运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，属于中档题．15.【答案】35【解析】解：∵向量a⃗=(−2,3)，b⃗ =(m,1−m)，a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =−2m+3(1−m)=0，解得m=35．故答案为：35．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】7【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(2,−1)，由z=3x−y，得y=3x−z，由图可知，当直线y=3x−z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．17.【答案】解：(1)因为f(x)=√3sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ+π6)，所以g(x)=−2sin(ωx+φ+π6)=2sin(ωx+φ+7π6)，将g(x)的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y=2sin(ωx+φ+7π6+ωπ2)的图象，因为y=2sin(ωx+φ+7π6+ωπ2)的图象与y=f(x)的图象重合，所以7π6+ωπ2=π6+2kπ，k∈Z.解得ω=4k−2.k∈Z，又因为0<ω<6.所以ω=2，又(7π12,0)是f(x)图象的一个对称中心，所以2×7π12+φ+π6=kπ，k∈Z，解得φ=kπ−4π3，k∈Z，又|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f(x)=2sin(2x−π6).(2)因为x∈[−π4,π6]，所以2x−π6∈[−2π3,π6]，当−2π3≤2x−π6≤−π2，即−π4≤x≤−π6时，f(x)单调递减：当−π2<2x−π6≤π6，即−π6<x≤π6时，f(x)单调递增，且f(−π4)=−√3，f(−π6)=−2，因为方程f(x)=2a−1在[−π4,π6]上恰有两个实数根，所以−2<2a−l≤−√3，解得−12<a≤1−√32，即a的取值范围是(−12,1−√32].【解析】(1)由题意根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得y=2sin(ωx+φ+7π6+ωπ2)，可求7π6+ωπ2=π6+2kπ，k∈Z.解得ω=4k−2.k∈Z，结合0<ω<6，可得ω，又(7π12,0)是f(x)图象的一个对称中心，结合范围|φ|<π2，可求φ的值，即可得解函数f(x)的解析式；(2)由已知可求2x−π6∈[−2π3,π6]，利用正弦函数的性质可得−2<2a−l≤−√3，进而解得实数a的取值范围．本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)f′(x)=2ax+1−1x =2ax2+x−1x，当a=0时，f′(x)=x−1x，则f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，当a>0时，令f′(x)=0，得x=−1+√1+8a4a (x=−1−√1+8a4a<0舍)，则f(x)在(0,−1+√1+8a4a )递减，在(−1+√1+8a4a,+∞)递增，综上：a=0时，f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，当a>0时，f(x)在(0,−1+√1+8a4a )递减，在(−1+√1+8a4a,+∞)递增；(2)证明：由f(x1)+f(x2)=4−6x1x2，且a=2，得2(x12+x22)+x1+x2−ln(x1x2)=4−6x1x2，整理得：2(x1+x2)2+x1+x2=4−2x1x2+ln(x1x2)，令x1x2=t>0，设函数φ(t)=4−2t+lnt，则φ′(t)=−2+1t =1−2tt，故φ(t)在(0,12)递增，在(12,+∞)递减，故φ(t)max=φ(12)=3−ln2，即φ(t)≤3−ln2，4−2x1x2+ln(x1x2)最大值为3−ln2，故2(x1+x2)2+x1+x2≤3−ln2必定成立，由此不等式可解得：x1+x2≤−1+√25−8ln2，4故原结论成立．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)代入a的值，得到2(x1+x2)2+x1+x2=4−2x1x2+ln(x1x2)，令x1x2=t>0，设函数φ(t)=4−2t+lnt，求出φ(t)的最大值，解不等式，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．19.【答案】解：(1)当m=0时，f(x)=x3−3x2，f′(x)=3x2−6x，则f′(1)=−3，又f(1)=−2，∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=−3(x−1)，即y=−3x+1；(2)令f′(x)=0，得x=0或x=2．当x∈(−∞,0)∪(2,+∞)时，f′(x)>0，则f(x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)在(0,2)上单调递减，从而，f(x)的极小值为f(2)=−4−m，极大值为f(0)=−m．当m<−4或m>0时，f(x)只有一个零点；当m=−4或m=0时，f(x)有两个零点；当−4<m<0时，f(x)有三个零点．【解析】(1)把m=0代入函数解析式，求出导函数，可得函数在x=1处的导数，再求出f(1)，利用直线方程的点斜式得答案；(2)利用导数求得函数的极值，再对m分类讨论得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，是中档题．20.【答案】解：(1)因为函数f(x)=3−2log2x，g(x)=log2x，则ℎ(x)=[f(x)+5]⋅g(x)=(8−2log2x)⋅log2x=−2(log2x−2)2+8，,8]，所以log2x∈[−1,3]，因为x∈[12则当log2x=2，即x=4时，ℎ(x)取得最大值8；当log2x=−1，即x=1时，ℎ(x)取得最小值−10，2所以函数ℎ(x)的值域为[−10,8]；(2)由f(x 2)⋅f(√x)+24g(x)+5>k[g(x)+1]，可得(3−4log 2x)(3−log 2x)+24log 2x +5>k(1+log 2x)， 整理可得，4(log 2x)2+14>k(1+log 2x)， 令t =log 2x ，因为x ∈[12,8]，则t ∈[−1,3]，所以原不等式恒成立等价于4t 2+9t +14>k(t +1)对t ∈[−1,3]恒成立， ①当t =−1时，k ∈R ； ②当t ∈(−1,3]时，则k <4t 2+9t+14t+1对t ∈[−1,3]恒成立，因为4t 2+9t+14t+1=4(t +1)+9t+1+1≥2√4(t +1)⋅9t+1+1=13，当且仅当4(t +1)=9t+1，即t =12，即x =√2时取等号， 所以k <13．综上所述，实数k 的取值范围为(−∞,13)．【解析】(1)先表示出函数ℎ(x)，然后利用二次函数的性质求解ℎ(x)的最值，即可得到函数的值域；(2)将不等式化简变形，可得4(log 2x)2+14>k(1+log 2x)，令t =log 2x ，则问题转化为4t 2+9t +14>k(t +1)对t ∈[−1,3]恒成立，分t =−1和t ∈(−1,3]两种情况，结合基本不等式求解最值，即可得到答案．本题考查了对数的运算，函数值域的求解，换元法的应用，不等式恒成立的求解，利用基本不等式求解最值的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为{a n }为等差数列，且a 1+a 5=8，所以a 3=4，又a 3是a 1与a 7的等比中项，所以a 32=a 1a 7，即16=(4−2d)(4+4d)， 化简得d 2−d =0， 解得d =1或d =0(舍去)，所以a n =a 3+(n −3)×1=n +1，(2)由(1)知，S n=n(n+3)2，所以b n=n(n+3)2(n+4)，因为t≠0，所以可令t=3，得到b n=n2，因为b n+1−b n=12，所以数列{b n}是公差为12的等差数列，即存在一个非零常数t=3，使得数列{b n}也为等差数列．【解析】(1)根据条件等差数列的性质，可得a3，代入条件求得公差，即可写出数列的通项公式；(2)将b n化简整理，根据等差数列通项特征，可得t值，用等差数列定义证明即可．本题考查了等差数列通项公式，相关性质，属于基础题．22.【答案】解：(1)当x∈(0,1)时，由−1<ax≤2，得−1x <a≤2x，∵x∈(0,1)，∴1x >1，−1x<−1，2x>2，∵∀x∈(0,1)，−1x <a≤2x，∴−1≤a≤2，故实数a的取值范围是[−1,2]；(2)设集合A={x|−1<ax≤2}，B={x|x2−x−2<0}={x|−1<x<2}，若p是q的必要不充分条件，则B⊊A，当a=0时，A=R，B⊊A，当a>0时，A={x|−1a <x≤2a}，∴{−1a≤−12a≥2，解得：0<a≤1，当a<0时，A={x|2a ≤x<−1a}，∴{2a≤−1−1a≥2，解得：−12≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−12,1]．【解析】(1)根据x的取值范围，求出a的取值范围即可；(2)求出B⊊A，通过讨论a的符号，得到关于a的不等式组，解出即可．本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是中档题．。
2021年高三数学上学期期中试题(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期期中试题（含解析）新人教A 版【试卷综析】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）【题文】1．函数的定义域是 ( )A. B. C. D. 【知识点】函数定义域的求法. B1【答案解析】C 解析：由231log (21)0021112x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，故选C. 【思路点拨】利用偶次根式有意义的条件，以及对数函数单调性求解.【题文】2. 已知向量,,,则“”是“”的( )A ．充要条件 B.充分不必要条件C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】向量共线的条件；充分条件；必要条件. F1 A2【答案解析】A 解析：因为向量,,,所以，所以，所以“”是“”的充要条件，故选A.【思路点拨】求的充要条件得结论.【题文】3. 若函数存在零点，则实数的取值范围是 ( )A ． B.C ． D.【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】A 解析：因为函数存在零点，所以函数，与直线有交点，所以，故选A.【思路点拨】函数的零点就是方程的解，即函数与的交点横坐标.【题文】4．在等差数列中，已知，则 ( )A ．10 B. 18 C ． 20 D ．28【知识点】等差数列. D2【答案解析】C 解析：因为，所以，故选 C.【思路点拨】根据等差数列的通项公式，把已知和所求都化为关于和d 的式子求解.【题文】5．给出如下四个命题：①若“”为真命题，则均为真命题；②“若”的否命题为“若，则”；③“”的否定是“”；④“”是 “”的充要条件．其中不正确的命题是 ( )A ．①② B.②③ C ．①③ D.③④【知识点】命题及其关系；简易逻辑；含一个量词的命题的否定；充要条件. A2 A3【答案解析】C 解析：若“”为真命题，则p 、q 中至少有一个真命题，故①不正确；命题②显然正确；“”的否定是“”，所以③不正确；显然命题④正确.故选C.【思路点拨】逐一分析各命题的正误的结论.【题文】6．已知函数，则的大小关系是 ( )A ． B.C ． D.【知识点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】B 解析：易得函数f(x)是偶函数，且在恒成立，所以f(x)是上的增函数，所以，故选B.【思路点拨】分析已知函数的奇偶性、单调性得结论.【题文】7.若是的重心，分别是角的对边，则角 ( )A ． B. C ． D.【知识点】向量的线性运算；余弦定理. F1 C8【答案解析】 D 解析：因为是的重心，所以,同理，()()()1112333BG BA BC AB AC AB AC AB =+=-+-=-,.代入已知等式整理得,又因为不共线，所以，所以22222223 cos2223b c aAbc b+-===，因为,所以，故选D.【思路点拨】利用向量的线性运算及共线向量的性质，得关于a,b,c的方程组，从而用b 表示a,c，然后用余弦定理求解.【题文】8．已知函数在时取得极值，则函数是( )A．奇函数且图象关于点对称 B. 偶函数且图象关于点对称C．奇函数且图象关于点对称 D. 偶函数且图象关于点对称【知识点】函数的性质. C4【答案解析】A 解析：因为函数在时取得极值，所以，所以，所以，故选A.【思路点拨】根据已知条件求得b=-a，代回原函数得，从而得=，由此得结论.【题文】9．函数的部分图象如图所示,若,则等于( )A． B.C． D.【知识点】由函数的图像求其解析式；向量的应用. C4 F1【答案解析】D 解析：因为，所以,而，所以(如图)，因为AE=BC=2AB所以,,因为点B的纵坐标是，所以AB=2,AD=6，从而函数的周期为12，所以，故选D.【思路点拨】如图：由，得，因为AE=BC=2AB所以,,因为点B的纵坐标是，所以AB=2,AD=6，从而函数的周期为12，所以.【题文】10．如图，是半径为5的圆上的一个定点，单位向量在点处与圆相切，点是圆上的一个动点，且点与点不重合，则的取值范围是( )A． B. C． D.【知识点】向量数量积的坐标运算. F2 F3【答案解析】B 解析：以O为原点，OA所在直线为y轴建立直角坐标系，则圆O的方程为：，A(0,-5),,设P(x,y),则，所以，所以的取值范围是，故选B.【思路点拨】建立适当直角坐标系，得点P所在圆的方程，及向量的坐标，利用向量数量积的坐标运算求得结论.【题文】11．定义在实数集上的函数满足，.现有以下三种叙述：①是函数的一个周期；②的图象关于直线对称；③是偶函数.其中正确的是 ( )A．②③ B. ①② C．①③ D. ①②③【知识点】函数的性质. B1 B3 B4【答案解析】D 解析：由，所以函数的周期为4，所以①正确；由，所以的图象关于直线对称，所以②正确；因为函数的周期是4，且所以，所以是偶函数，所以③正确.故选D.【思路点拨】根据已知条件可得函数f(x)的周期性、对称轴，从而推得函数的奇偶性. 【题文】12．(理)已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】函数性质分析. B1 B8【答案解析】C 解析：设a<b<c则a,b的中点是，所以=1+c，因为当时，，，又互不相等，且令，则，由图像易得当k趋向于0时，c趋向于1，当k趋向于1时，c趋向于xx，所以的取值范围是.故选C.【思路点拨】由图像可知当互不相等且时，若a<b<c，则a,b的中点是，，由此得的取值范围.【题文】（文）已知函数，若，且，使得.则实数的取值范围是( )A． B. C． D.【知识点】函数零点的意义. B9【答案解析】C 解析：根据题意得：函数f(x)有3个零点，即直线y=m与函数有3个不同交点，因为得x=0或-1,可得函数有极大值，极小值，所以实数的取值范围是，故选 C.【思路点拨】把命题转化为：直线y=m与函数有3个不同交点，再通过分析函数g(x)图像的单调性、极值性，得实数的取值范围.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分.）【题文】13.（理）=_______________________.【知识点】定积分；微积分基本定理. B13【答案解析】解析：.【思路点拨】利用微积分基本定理求解.【题文】（文）已知直线与曲线相切于点，则实数的值为______.【知识点】导数的几何意义. B11【答案解析】3 解析：因为函数的导函数为，所以此函数在点切线的斜率为3+a，所以解得.【思路点拨】根据导数的几何意义求解.【题文】14. 若将函数的图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为_________.【知识点】平移变换. C4【答案解析】解析：将函数的图象向右平移个单位,得，由这个函数图象关于直线对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈， 因为所以当k=-1时，有最小值.【思路点拨】根据题意得平移后的函数为，此函数图象关于直线对称得，2(),62212k k k Z ππππϕπϕ-=+⇒=--∈，再由得的最小值. 【题文】15．已知，则的值为 .【知识点】三角函数式的求值. C7【答案解析】 解析：因为，所以22222cos 4sin 12tan 124332sin cos tan 44αααααα+++⨯====. 【思路点拨】利用二倍角公式，同角三角函数关系，把所求化为关于的式子即可.【题文】16．以下命题：①若,则；②向量在方向上的投影为；③若中, ,则；④若非零向量,满足,则.所有真命题的序号是______________.【知识点】向量的运算. F1【答案解析】①②④ 解析：因为，所以，或者中至少有一个零向量，所以，故①为真命题；因为，，所以，所以向量在方向上的投影为，故②为真命题；若中, ,则()cos 40cos BC CA BC CA C C π⋅=⋅-=-=-20，故③为假命题；因为,所以，所以，故④为真命题.所以所有真命题的序号是①②④.【思路点拨】逐一分析各命题的正误即可.三、解答题（本大题共5小题，每小题12分,共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【题文】17．（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为且.(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）若，求的面积.【知识点】正弦定理；余弦定理. C8【答案解析】(Ⅰ) ；（Ⅱ）. 解析：(Ⅰ)由正弦定理可得：2sin sin sin sin60a b cA B C=====︒，所以sin sina bA B+==+. …………………6分（Ⅱ）由余弦定理得，即，又，所以，解得或（舍去），所以…………………12分【思路点拨】(Ⅰ)把正弦定理代入所求得结论；（Ⅱ）由余弦定理及已知以及求得ab值，代入面积公式求的面积.【题文】18. （本小题满分12分）已知集合，，,.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的取值范围．【知识点】不等式的解法；集合运算. E2 E3 E4 A1【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）.解析：（Ⅰ），，. …………………6分（Ⅱ）因为小根大于或等于-1，大根小于或等于4，令，则f(1)1m031f(4)4m310,m 1.4m144解之得…………………12分【思路点拨】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，一元高次不等式的解法，化简集合A、B, 再根据交集、并集的意义求得结论；（Ⅱ）因为，所以集合C不是空集，要使则的两根在区间内，由此得关于m的不等式组求解.【题文】19. （本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数在上的值域；（Ⅱ）若对于任意的，不等式恒成立，求．【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；的性质；不等式恒成立问题. C4 C5 C6 E1【答案解析】(Ⅰ)[－3，3]；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)1)2cos 1(22sin 321cos 4cos sin 34)(2++-=+-=x x x x x x f ，…………………3分∵，∴，∴，∴，即函数在上的值域是[－3，3] ．…………6分（Ⅱ）∵对于任意的，不等式恒成立，∴是的最大值，∴由， 解得∴233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x ．……12分 【思路点拨】(Ⅰ)利用二倍角公式，两角和与差的三角函数，把已知函数化为：,再由x 范围求函数值域；（Ⅱ）根据题意知是的最大值，由此得关于方程， 所以233sin )3322sin()32sin(0==-+=-πππππk x .【题文】20．（本小题满分12分）已知是公差为的等差数列，它的前项和为，且．（Ⅰ）求公差的值；（Ⅱ）若，是数列的前项和，不等式对所有的恒成立,求正整数的最大值.【知识点】等差数列及其前n 项和；裂项求和法；不等式恒成立问题. D2 D4 E1【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）6. 解析：（Ⅰ）∵，即，化简得：，解得． ………………4分（Ⅱ）由，∴ =． …………………6分 ∴=11111111(1)2335572121-+-+-+⋅⋅⋅+--+n n =≥， ……………………8分又∵ 不等式对所有的恒成立∴≥，化简得：，解得：．∴正整数的最大值为6．……12分【思路点拨】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式、前n 项和公式求解；（Ⅱ）利用裂项求和法求得，再用不等式恒成立的条件得关于m 的不等式，解得m 的最大值.【题文】21．（本小题满分12分）已知函数，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，对于，求证：．【知识点】导数的应用. B12【答案解析】（Ⅰ）当时，在上为增函数.当时，在上为增函数，在上为减函数；(Ⅱ) ；(Ⅲ) 证明：见解析. 解析：(Ⅰ) 函数的定义域为，．①当时，，在上为增函数.②当时，若，,在上为增函数；若，,在上为减函数.综上所述，当时，在上为增函数.当时，在上为增函数，在上为减函数 . ………4分(Ⅱ) ，使得不等式成立，，使得成立，令，则，当时，，，，，从而在上为减函数， ………8分(Ⅲ)当时，，令，则，，且在上为增函数.设的根为，则，即.当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，min ()()ln 2ln 22t t t t x t e t e e e t ϕϕ-∴==--=--=+-，，由于在上为增函数，12min 11()()222022t x t e t e ϕϕ∴==+->+->+-= . …………………12分【思路点拨】（Ⅰ）通过讨论a 的取值条件得：定义域上导函数大于0的x 范围是函数的增区间，定义域上导函数小于0的x 范围是函数的减区间；(Ⅱ)命题转化为：，使得成立，所以只需求函数的最大值n ，利用导数求出此最大值，则m<n ； (Ⅲ)即证：时，，利用导数证明此结论.四、选考题（本大题10分.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.）【题文】22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知为圆上的四点，直线为圆的切线，，与相交于点.(Ⅰ)求证：平分. (Ⅱ)若求的长. 【知识点】平面几何问题. N1【答案解析】(Ⅰ)证明：见解析；(Ⅱ)3. 解析：(Ⅰ)又切圆于点，，而（同弧），所以，平分.----…5分(Ⅱ)由（1）知，又，又为公共角，所以与相似.，因为所以………10分【思路点拨】(Ⅰ)利用平行线的性质、弦切角与其所夹弧所对圆周角的关系证得结论；(Ⅱ)利用与相似求得结果.【题文】23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：（为参数），：（为参数）.(Ⅰ)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(Ⅱ)若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值. 【知识点】参数方程与普通方程的互化；参数方程的应用. N3【答案解析】（Ⅰ），S是圆心是，半径是1的圆.，是中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (Ⅱ) . 解析：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x yC x y C++-=+=，为圆心是，半径是1的圆.为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. …5分（Ⅱ）当时，.设，则，为直线，到的距离时，取得最小值. .… ………10分【思路点拨】（Ⅰ）消去参数方程中的参数得普通方程；(Ⅱ)求得P点坐标，设出点Q的参数坐标，利用中点坐标公式得点M坐标，把直线化为普通方程，再用点到直线的距离公式求解.【题文】24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【知识点】综合法证明不等式. N4【答案解析】（Ⅰ）证明：见解析； (Ⅱ)证明：见解析.解析：（Ⅰ）222222333222∴++≥+++++a b c a b c ab bc ac. ………5分，，，.-----------10分【思路点拨】（Ⅰ）由基础不等式证明结论； (Ⅱ) 由基本不等式证明结论.cx30135 75B7 疷L25139 6233 戳21121 5281 劁I B^33176 8198 膘36302 8DCE 跎22629 5865 塥S。
2022-2023学年人教A版高三上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知点，，则直线的倾斜角为 A.B.C.D.2. 圆锥的侧面展开图的圆心角为，底面半径是，则圆锥的体积是（ ）A.B.C.D.3. 直线恒过定点( )A.B.C.D.4. 已知和是两条不同的直线，和 和是两个不重合的平面，则以下命题正确的是( )A.若 ,且 ，则B.若 ，且 ，则A (1,−)3–√B (−1,)3–√AB ()30∘60∘120∘150∘π234128π2–√128π2–√364π2–√π642–√3mx −(2m −1)y +1=0(−2,−1)(−2,1)(2,−1)(2,1)m n αβm//n n//βm//βα//βm ⊂αm//βα⊥βm//αm ⊥βC.若 ，且 ，则D.若 ，且，则5. 在圆内，过点的最短弦的长度为（ ）A.B.C.D.6. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体是由—个圆柱从顶部挖去一个半圆锥和一个三棱锥之后得到的，则该几何体的全面积为（ ）A.B.C.D.7. 已知直线在轴上的截距是，则等于A.B.C.D.α⊥βm//αm ⊥βm ⊥n n//βm ⊥β+−2x −6y =0x 2y 2E(0,1)AC 52–√25–√5–√202–√(2+)π+3–√527–√(2+)π+−13–√527–√(2+)π+−13–√327–√(2+)π3–√32x −ay =4y 2a ()−1212−22a,b >=π8. 已知二面角 的两个半平面 与 的法向量分别为，，且 则二面角的大小为（ ）A.B.C. 或 D. 或9. 已知直线与直线关于对称，则直线的方程是（ ）A.B.C.D.10. 半径为的球被一平面所截，若截面圆的面积为，则球心到截面的距离为 A.B.C.D.11. 在菱形中，＝，＝，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球球心为，的中点为，则＝（ ）A.B.C.D.12. 已知点，点是圆上的动点，点是圆：上的动点，则的最大值是( )A.B.α−l −βαβa b <a,b >=π6α−l −βπ65π6π65π6π6π3l 2x −y +4=0x =1l 2x +y −8=03x −2y +1=0x +2y −5=03x +2y −7=0516π()432.52ABCD A 60∘AB 23–√△ABD BD △PBD P −BD −C 120∘P −BCD O BD E OE 127–√27–√P(2,2)M :+(y −1=O 1x 2)214N O 2(x −2+=)2y 214|PN |−|PM |−15–√−25–√2−5–√C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 如图， 是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是________.14. 已知直线和直线，则当时________；当时________．15. 将正方形沿对角线折起，得到三棱锥，使得，若三棱锥的外接球的半径为，则三棱锥的体积为________.16. 若不等式 的解集为区间 ，且 ，则________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知平面内两点，．（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求线段的垂直平分线方程．18. 如图，已知、、、分别是三棱锥的梭、、、的中点．求证：、、、四点共面.19. 在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为的圆位于轴右侧，且与直线相切．2−5–√3−5–√△A ′B ′C ′△ABC ==1O ′B ′O ′C ′=O ′A ′3–√2△ABC :x +y sin θ−1=0l 1:2x sin θ+y +3=0l 2//l 1l 2θ=⊥l 1l 2θ=ABCD AC −ABC D ′B =4D ′−D ′ABC 22–√−ABC D ′≤k(x +2)−9−x 2−−−−−√2–√[a,b]b −a =2k =A(8,−6)B(2,2)P(2,−3)AB l AB E F G H A −BCD AB BC CD DA E F G H xOy x 2C y x −y +2=03–√C（1）求圆的方程；（2）在圆上，是否存在点，使得直线＝与圆＝相交于不同的两点，，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由． 20. 如图，直棱柱的底面是菱形，，分别为棱，的中点，.证明：平面；证明： .21. [选修4-4]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，曲线与交于，两点，求| 22. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）若点在线段上运动，设平与平所成二面角的平面角为，试求的取值范围．C C M(m,n)l :mx +ny 1O :+x 2y 21A B △OAB M △OAB ABCD −A 1B 1C 1D 1EF A 1B 1CD AB ⊥EF (1)EF//ADD 1A 1(2)AB ⊥AD αOy C 1{x =1−t,2–√y =t2–√t C 2ρ=2cos θC 1C 2P (0,1)C 1C 2A B ||PA|−|PB|ABCD AB //C AD =DC =CB =1∠ABC =60∘ACFE ACFE ⊥ABCD CF =1BC ⊥ACFE A −BF −C M EF MAB FCB θ(θ≤)90∘cos θ参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】利用两点斜率公式得到，即可求出角的范围.【解答】解：点，，则直线的斜率为：.设直线的倾斜角为，则，∴.故选.2.【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】Atan α=−3–√A (1,−)3–√B (−1,)3–√AB k =+3–√3–√−1−1=−3–√AB αtan α=−3–√α=120∘C【考点】直线恒过定点【解析】直线mx-（2m-1）y+1=0可化为m （x-2y ）+（y+1）=0，由x-2y=0且y+1=0可得x=-2，y=-1，即可得到结论.【解答】解：直线可化为，由且可得，所以直线恒过定点.故选.4.【答案】B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：若，且，则或与相交，选项错误；若，且，则，选项正确；若，且，则或或与相交，选项错误；若，且，则或与相交，选项错误.故选.5.【答案】B【考点】圆的一般方程【解析】圆的圆心，半径，求出，．【解答】mx −(2m −1)y +1=0m(x −2y)+(y +1)=0x −2y =0y +1=0x =−2，y =−1mx −(2m −1)y +1=0(−2,−1)A m//n n//βm//βm βA α//βm ⊂αm//βB α⊥βm//αm ⊥βm//βm βC m ⊥n n//βm ⊥βm βD B +−2x −6y =0x 2y 2O(1,3)r ==124+36−−−−−√10−−√|OE ||AC |=2−|OE r 2|2−−−−−−−−−√==1解：圆的圆心，半径，，当时，的长最短，∴．故选．6.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】本题考查根据三视图求几何体的全面积．【解答】解：根据题意可知该几何体的全面积为圆柱的侧面积、圆柱的上底面面积、半圆锥的侧面积、三棱锥的两个侧面积、下底面去掉一个半圆和一个等腰直角三角形后剩下的面积的总和．所以该几何体的全面积．故选．7.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】直接把点代入直线方程，求出即可．【解答】解：已知直线在轴上的截距是，即直线过，代入得：，则，故选．8.【答案】+−2x −6y =0x 2y 2O(1,3)r ==124+36−−−−−√10−−√|OE |==<r =(1−0+(3−1)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√10−−√OE ⊥AC AC |AC |=2=2=2−|OE r 2|2−−−−−−−−−√10−5−−−−−√5–√B S =2π+π+π++−1=3–√7–√π2(2+)x +−13–√527–√B (0,2)a x −ay =4y 2(0,2)−2a =4a =−2CC【考点】二面角的平面角及求法【解析】由题意，结合二面角与法向量的夹角之间的关系相等或者互补，求解即可．【解答】解：由已知二面角的两个半平面与的法向量分别为，，，因为二面角与法向量的夹角之间的关系是相等或互补，所以二面角的大小为或 ．故选．9.【答案】A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】求出直线和直线的交点的坐标，根据所求直线的斜率和直线的斜率互为相反数，求得所求直线的斜率，再用点斜式求得所求直线的方程．【解答】解：直线和直线的交点，由于所求直线的斜率和直线的斜率互为相反数，故所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即，故选：．10.【答案】B【考点】点、线、面间的距离计算【解析】α−l −βαβa →b → , =a →b →π6α−l −βα−l −βπ65π6C 2x −y +4=0x =1A 2x −y +4=02x −y +4=0x =1A(1,6)2x −y +4=0−2y −6=−2(x −1)2x +y −8=0A由题意求出截面圆的半径，利用球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，能求出球心到截面圆的距离．【解答】解：由题意知截面圆的半径为：．∵球的半径为，球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离满足勾股定理，∴球心到截面圆的距离：．故选．11.【答案】B【考点】球内接多面体【解析】利用球的对称性可知＝，利用等边三角形的性质，即可求出．【解答】过球心作平面，则为等边三角形的中心，∵四边形是菱形，＝，∴是等边三角形，∵＝，∴＝；∵＝，∴＝，∴＝，＝，∴＝，12.【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定两点间的距离公式【解析】要求的最大值，则只需要求出的最大值，的最小值即可．【解答】=416ππ−−−−√5=3−5242−−−−−−√B ∠OEC 60∘OE O OO'⊥BCD O'BCD ABCD A 60∘△BCD ∠PEC 120∘∠OEC 60∘AB 23–√CE 3EO'1CO'2OE 2|PN |−|PM ||PN ||PM |=1=1解：圆：，半径，圆：，半径，则的最大值为，的最小值为．所以的最大值为.故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】斜二测画法画直观图【解析】根据斜二侧画法还原直线在直角坐标系的图形，即可得解三角形的周长．【解答】解：根据斜二侧画法还原直线在直角坐标系的图形，如图所示：由图易得，所以的周长为.故答案为：.14.【答案】O 1(0,1)r =12O 2(2,0)R =12|PN |2+12|PM |−1+22−−−−−√12=−5–√12|PN |−|PM |2+−(−)125–√12=3−5–√D 6△ABC △ABC AB =BC =AC =2△ABC 2+2+2=66π±(k ∈Z)π,【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】当时，的斜率不存在，的斜率为零，显然不平行于，显然；当时，的斜率的斜率，当时，，则，∴，当，但仅有，即．或∴综上时，时)．15.【答案】【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，三棱锥的外接球的球心位于的中点，所以，又，所以，易得平面，．故答案为： ．16.【答案】kπ±(k ∈Z)π4kπ(k ∈Z)sin θ=0l 1l 2l 1l 2⊥l 1l 2sin θ≠0l 1=−，k 11sin θl 2=k 2−2sin θ//l 1l 2−=−2sin θ1sin θθ=⇒sin θ=±sin 2122–√2θ=kπ±，k ∈Z π4⊥，⋅=−1l 1l 2k 1k 2⋅=−⋅(−2sin θ)=k 1k 21sin θ2≠−1∴sin θ=0θ=kπ(k ∈Z)(θ=kπ+，k ∈Z)12π4//l 1l 2θ=kπ±(k ∈Z)，⊥π4l 1l 2θ=kπ(k ∈Z 162–√3−ABC D ′O AC |O |=|OB|=2D ′2–√|B |=4D ′D ⊥OB O ′D ⊥O ′ABC −ABC =×2××4×2=V D 132–√122–√2–√162–√3162–√32–√【考点】其他不等式的解法直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：，其图象为以原点为圆心、以为半径位于轴上方的半圆，，其图象为过的直线，则不等式成立时，直线图像位于半圆图象上方，由图得，若要使满足，则必须为正，于是，∴直线过点，由两点直线斜率.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）因为，…所以由点斜式得直线的方程…（2）因为的中点坐标为，的垂直平分线斜率为…所以由点斜式得的中垂线方程为…【考点】直线的一般式方程直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】y =9−x 2−−−−−√3x y =k(x +2)−2–√(−2,−)2–√≤k(x +2)−9−x 2−−−−−√2–√[a,b]b −a =2k b =3，a =1(1,2)2–√k ==2−(−)2–√2–√1−(−2)2–√2–√==−k AB −6−28−243y +3=−(x −2)43l 4x +3y +1=0AB (5,−2)AB 34y +2=(x −5)34AB 3x −4y −23=0（1）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．（2）求出线段的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程．【解答】解：（1）因为，…所以由点斜式得直线的方程…（2）因为的中点坐标为，的垂直平分线斜率为…所以由点斜式得的中垂线方程为…18.【答案】证明：依题意，为的中位线，∴，同理，∴，∴四边形为平行四边形，∴、、、四点共面.【考点】空间点、线、面的位置【解析】此题暂无解析【解答】证明：依题意，为的中位线，∴，同理，∴，∴四边形为平行四边形，∴、、、四点共面.19.【答案】设圆心是，它到直线的距离是，解得＝或＝（舍去）∴所求圆的方程是＝∵点在圆上∴＝，＝＝且AB ==−k AB −6−28−243y +3=−(x −2)43l 4x +3y +1=0AB (5,−2)AB 34y +2=(x −5)34AB 3x −4y −23=0EH △ABD EH BD =//12FG BD =//12EH FG =//EFGH E F G H EH △ABD EH BD =//12FG BD =//12EH FG =//EFGH E F G H (,0)(>0)x 0x 0x −y +2=03–√d ==2|+2|x 01+3−−−−√x 02x 0−6C (x −2+)2y 24M(m,n)C (m −2+)2n 24n 24−(m −2)24m −m 20≤m ≤4==<1⋯11又∵原点到直线＝的距离解得而∴∵∴当，即时取得最大值，此时点的坐标是与，面积的最大值是．【考点】圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】（1）设圆心是，由直线于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求，进而可求圆的方程（2）把点代入圆的方程可得，，的方程，结合原点到直线＝的距离可求的范围，根据弦长公式求出，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值【解答】设圆心是，它到直线的距离是，解得＝或＝（舍去）∴所求圆的方程是＝∵点在圆上∴＝，＝＝且又∵原点到直线＝的距离解得而∴∵∴当，即时取得最大值，此时点的坐标是与，面积的最大值是．20.【答案】l :mx +ny 1h ==<1⋯1+m 2n 2−−−−−−−√14m −−−√<m ≤4⋯14|AB |=21−h 2−−−−−√=|AB |⋅h ===⋯S △OAB 12−h 2h 4−−−−−−√−14m ()14m 2−−−−−−−−−−−√−+(−)14m 12214−−−−−−−−−−−−−−√≤<1⋯11614m =14m 12m =1212M (,)127–√2(,−)127–√212(,0)(>0)x 0x 0x −y +2=03–√x 0C M(m,n)m n l :mx +ny 1h <1m AB (,0)(>0)x 0x 0x −y +2=03–√d ==2|+2|x 01+3−−−−√x 02x 0−6C (x −2+)2y 24M(m,n)C (m −2+)2n 24n 24−(m −2)24m −m 20≤m ≤4l :mx +ny 1h ==<1⋯1+m 2n 2−−−−−−−√14m−−−√<m ≤4⋯14|AB |=21−h 2−−−−−√=|AB |⋅h ===⋯S △OAB 12−h 2h 4−−−−−−√−14m ()14m 2−−−−−−−−−−−√−+(−)14m 12214−−−−−−−−−−−−−−√≤<1⋯11614m =14m 12m =1212M (,)127–√2(,−)127–√212(1)DA证明：连接，因为直棱柱的底面是菱形，所以，，所以，又，分别为棱，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面 .因为，，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以．【考点】直线与平面平行的判定两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接，因为直棱柱的底面是菱形，所以，，所以，又，分别为棱，的中点，(1)D A 1ABCD −A 1B 1C 1D 1A 1B 1=//C 1D 1CD C 1D 1=//CD A 1B 1=//E F A 1B 1CD E DF A 1=//EFD A 1EF//D A 1EF ⊂ADD 1A 1D ⊂A 1ADD 1A 1EF//AD A D 1(2)AB ⊥EF EF//D A 1AB ⊥D A 1A ⊥A 1ABCD AB ⊂ABCD AB ⊥AA 1D ∩=A 1A 1A 1AB ⊥ADD 1A 1AD ⊂ADD 1A 1AB ⊥AD (1)D A 1ABCD −A 1B 1C 1D 1A 1B 1=//C 1D 1CD C 1D 1=//CD A 1B 1=//E F A 1B 1CD DF//所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面 .因为，，所以，因为平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以．21.【答案】（1）（2）2【考点】双曲线的参数方程参数方程与普通方程的互化直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两点间的距离公式直线的参数方程圆的极坐标方程直线与圆的位置关系圆锥曲线中的范围与最值问题点的极坐标和直角坐标的互化利用圆锥曲线的参数方程求最值【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）直线的参数方程为 （为参数），消去参数t 得普通方程为曲线的极坐标方程为，两边同乘以得，所以其直角坐标方程为E DF A 1=//EFD A 1EF//D A 1EF ⊂ADD 1A 1D ⊂A 1ADD 1A 1EF//AD A D 1(2)AB ⊥EF EF//D A 1AB ⊥D A 1A ⊥A 1ABCD AB ⊂ABCD AB ⊥AA 1D ∩=A 1A 1A 1AB ⊥ADD 1A 1AD ⊂ADD 1A 1AB ⊥AD +−2x =0x 2y 2C 1{x =1−t 2–√y =t2–√t x +y −1=0C 2ρ=2cos θρ=2ρcos θρ2+−2x =0x 2y 2 =−t,–√（2）直线过点，则其参数方程为 将其代入方程，得化简得设，对应的参数分别为，所以所以 | ．22.【答案】（1）证明：在梯形中，∵，，，∴，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．（2）解：取中点，连接，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．（3）解：由（2）知：①当与重合时，．②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，∵，，∴平面，∴平面，∴，∴，∴．③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，∴在平面与平面的交线上，∵在平面与平面的交线上，∴平面平面，过作交于，连接，由（1）知，，又∵，∴平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴，在中，，从而在中，，∵，∴，C 1P (0,1) x =−t,2–√2y =1+t 2–√2+−2x =0x 2y 2+−2×(−t)=0(−t)2–√22(1+t)2–√222–√2+2t +1=0,Δ=−4=4>0t 22–√(2)2–√2A B ,t 1t 2+=−2,=1t 1t 22–√t 1t 2|PA|−|PB||=|−|===2t 1t 2−4(+)t 1t 22t 1t 2−−−−−−−−−−−−−√−4×1(−2)2–√2−−−−−−−−−−−−−−√ABCD AB //CD AD =DC =CB =1∠ABC =60∘AB =2A =A +B −2AB ⋅BC ⋅cos =3C 2B 2C 260∘A =A +B B 2C 2C 2BC ⊥AC ACFE ⊥ABCD ACFE∩ABCD =AC BC ⊂ABCD BC ⊥ACFE FB G AG CG AF ==2A +C C 2F 2−−−−−−−−−−√AB =AF AG ⊥FB CF =CB =1CG ⊥FB ∠AGC =θBC =CF FB =2–√CG =2–√2AG =14−−√2cos θ==C +A −A G 2G 2C 22CG ⋅AG 7–√7M F cos θ=7–√7M E B BN //CF BN =CF EN FN MAB∩FCB BC ⊥CF AC ⊥CF CF ⊥ABC BN ⊥ABC ∠ABC =θθ=60∘cos θ=12M E F FM =λ0<λ<3–√AM CF N BN N MAB FCB B MAB FCB MAB∩FCB =BN C CH ⊥NB NB H AH AC ⊥BC AC ⊥CN AC ⊥NCB AC ⊥NB CH ⊥NB AC ∩CH =C NB ⊥ACH AH ⊥NB ∠AHC =θ△NAC NC =3–√−λ3–√△NCB CH =3–√(λ−+33–√)2∠ACH =90∘AH ==A +C C 2H 2−−−−−−−−−−√(λ−+33–√)2−−−−−−−−−−−√˙θ==CH 1∴，∵，∴，综上所述，．【考点】直线与平面垂直的判定二面角的平面角及求法【解析】（1）在梯形中，由，，，推导出，，由平面平面，能证明平面．（2）取中点，连接，，由，知，，由，，，由此能求出二面角的平面角的余弦值．（3）由点在线段上运动，分当与重合，与重合时，当与，都不重合三种情况进行分类讨论，能求出的取值范围．【解答】（1）证明：在梯形中，∵，，，∴，，∴，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面．（2）解：取中点，连接，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴．（3）解：由（2）知：①当与重合时，．②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，∵，，∴平面，∴平面，∴，∴，∴．③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，∴在平面与平面的交线上，∵在平面与平面的交线上，∴平面平面，cos θ==CH AH 1(λ−+43–√)2−−−−−−−−−−−√0<λ<3–√<cos θ<7–√712cos θ∈[,]7–√712ABCD AB //CD AD =DC =CB =1∠ABC =60∘A =A +B B 2C 2C 2BC ⊥AC ACFE ⊥ABCD BC ⊥ACFE FB G AG CG AF ==2A +C C 2F 2−−−−−−−−−−√AB =AF AG ⊥FB CF =CB =1CG ⊥FB ∠AGC =θA −BF −C M EF M F M E M E F cos θABCD AB //CD AD =DC =CB =1∠ABC =60∘AB =2A =A +B −2AB ⋅BC ⋅cos =3C 2B 2C 260∘A =A +B B 2C 2C 2BC ⊥AC ACFE ⊥ABCD ACFE∩ABCD =AC BC ⊂ABCD BC ⊥ACFE FB G AG CG AF ==2A +C C 2F 2−−−−−−−−−−√AB =AF AG ⊥FB CF =CB =1CG ⊥FB ∠AGC =θBC =CF FB =2–√CG =2–√2AG =14−−√2cos θ==C +A −A G 2G 2C 22CG ⋅AG 7–√7M F cos θ=7–√7M E B BN //CF BN =CF EN FN MAB∩FCB BC ⊥CF AC ⊥CF CF ⊥ABC BN ⊥ABC ∠ABC =θθ=60∘cos θ=12M E F FM =λ0<λ<3–√AM CF N BN N MAB FCB B MAB FCB MAB∩FCB =BN C CH ⊥NB AH过作交于，连接，由（1）知，，又∵，∴平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴，在中，，从而在中，，∵，∴，∴，∵，∴，综上所述，．C CH ⊥NB NB H AH AC ⊥BC AC ⊥CN AC ⊥NCB AC ⊥NB CH ⊥NB AC ∩CH =C NB ⊥ACH AH ⊥NB ∠AHC =θ△NAC NC =3–√−λ3–√△NCB CH =3–√(λ−+33–√)2∠ACH =90∘AH ==A +C C 2H 2−−−−−−−−−−√(λ−+33–√)2−−−−−−−−−−−√˙cos θ==CH AH 1(λ−+43–√)2−−−−−−−−−−−√0<λ<3–√<cos θ<7–√712cos θ∈[,]7–√712。
河南省驻马店市高三数学上学期期中考试试题 理 (无答案)新人教A版
一、选挥题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 1．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若,IN M φ=则MUN=（ ）A ．MB ．NC ．ID ．φ 2．i 是虚数单位，复数31ii-=（ ） A.－1－iB. 1 －iC. －1+iD. 1+i 3．设等比数列{n a }的公比q=2，前n 项和为S 。
，则43S a 的值为 （ ）A ．154B ．152C ．74D ．724．1*110(1)(),n n n n n ax a x a x a x a n N --+=++++∈，点列(,)(0,1,2,)i i A i a i n =的部分图象如图所示，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．145．三棱椎A —BCD 的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A —BCD 的表面积（ ） A ．225+．4+5445+．6 6．执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是 A ．3 B ． －3 C ．－2 D ．2 7．已知三个互不重合的平面,,,a βγ且,,aa abc βγβγ===，给出下列命题：①若,,a b a c ⊥⊥则b c ⊥② 若ab P =，则ac P =；③若,,a b a c ⊥⊥则a γ⊥；④若a∥b，则a∥c.其中正确命题个数为（ ） A ．1个B.2个C ．3个D.4个8．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2– y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则 P到z 轴的距离为 （ ）A ．32 B ．62C 3D 69．函数()f x 满足(0)f =o ，其导函数'()f x 的图象如下图， 则()f x 的图 象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．13B ．43C ．2D ．8310．有四个关于三角函数的命题：22121:,sin cos :,sin()sin sin 222x x p x R p x R x y x y ∃∈+=∃∈-=-341cos 2[0,sin :cos 22xp x x p y x y ππ-=∀∈=⇒+=其中假命题的是 （ ） A ．p 1,p 4 B ．p 2,p 4 C ．p 1,p 3 D ．p 1,P 2 11．茌发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天 甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ） A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大予C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为312．已知函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且21,(1,1],()1|2|,(1,3]m x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩ 其中m>o ．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ．158()33B ．15(7)3C ．48(,)33D ． 4(7)3二、填空题：本文题共4小题，每小题5分。
高三数学上学期期中试题 理(含解析)新版人教 版
2019学年高中三年级期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，所以因为，所以，，选C.2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,,，故选A.3. 下列说法中正确的个数是（）①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；②命题“，”的否命题是“，”；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】对于①，若“”为真命题，则都为真命题，“”为真命题，若为真命题，只需为真命题或为真命题，“”不一定为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故①错误；对于②，命题“，”的否定是“”，故②错误；对于③，因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以③正确，即正确命题的个数为，故选B.4. 函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，当时，，图象就是把的图象向右平移1个单位，可见选B.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由三视图知，该几何体是一个一条侧棱与底面垂直，底面是边长为的正方形的四棱锥，其中两个侧面面积为，两个侧面面积为，底面积为，所以表面积为，故选D.6. 等比数列中，，，函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为函数，，则．故选C．考点：导数的运算.7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,将函数的图象向左平移个单位后得到，，为偶函数，，，当时，的取值分别为，，的取值不可能是，故选B.8. 向量，均为非零向量，，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，所以，即，设的夹角为，，又，所以的夹角为，故选A.9. 已知数列的首项，，则（）A. 99B. 101C. 399D. 401【答案】C【解析】由，可得，是以为公差，以为首项的等差数列，，故选C.10. 在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，且是直角三角形，平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 已知函数若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出函数的图象如图：注意，设,当时，有4个实根，若方程在上有两个不等实根时，方程有8个不等实根，则：.....................解得：，选C.【点睛】方程的根的个数控制问题是近几年高考和模拟考试常见考题，一般先画出函数的图象，设t=f(x),化方程的根的个数问题为直线y=t与曲线y=f(x)的交点的个数问题去解决，然后观察t的范围，利用利用一元二次方程的根的分布控制t的个数t的范围，从而得出参数的范围.12. 用表示不超过的最大整数（如，）.数列满足，（），若，则的所有可能值的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】对两边取倒数，得，累加得，由为单调递增数列，，其中，整数部分为，，整数部分为，，整数部分为，由于，时，的整数部分都是，的所有可能值得个数为，故选B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量、满足约束条件：则的最大值是__________．【答案】8【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图），而表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为或，的最大值为，故答案为.14. 若定义在上的函数，则__________．【答案】【解析】由定积分的几何意义可得，是以原点为圆心，以为半径的圆的面积的一半，，，故答案为.15. 设、均为正数，且，则的最小值为__________．【答案】【解析】均为正数，且，，整理可得，由基本不等式可得，整理可得，解得或（舍去），，当且仅当时取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16. 已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】，，当时，，，说明在上为增函数，为偶函数，则为偶函数，图象关于轴对称，所以在上是减函数，原不等式可化为，则或，即或，不等式的解集为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，（1）若，求的值；（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间即图象的对称中心.【答案】(1)(2) 的单调增区间是（），函数图象的对称中心为（）【解析】试题分析：先根据数量积的坐标运算公式求出数量积，由于向量垂直，所以数量级为0，得出tanx,再利用二倍角正切公式求出tan2x的值，第二步求出函数f(x)的表达式化为标准形式后，函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），相当于x替换为2x, 再把所得图象沿轴向左平移个单位，相当于把x替换为，得到函数的解析式，根据解析式求出单增区间和对称中心.试题解析：（1）∵，即∴，∴.（2）由（1）得，从而.解得（），∴的单调增区间是（），由得（），即函数图象的对称中心为（）.【点睛】函数图像变换包括平移变换、伸缩变换、对称变换以及旋转变换，主要掌握前3种，把函数图象沿x轴向左或向右平移，我们常称之为“左加右减”，沿y轴上下平移，我们常称为“上加下减”；纵坐标不变横坐标伸长或缩短到原来的倍，对应的解析式就是把替换为，掌握基本图象变换方法，就可以方便的解题了.18. 已知数列满足，，设.（1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析：（I）可化为即，，从而可得数列为等比数列，进而可得的通项公式；（II）由（I）可得，分组求和后，利用放缩法可得结论.试题解析：（I）由已知易得，由得即；,又,是以为首项，以为公比的等比数列.从而即，整理得即数列的通项公式为.（II），，，.19. 在中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求的大小；（2）若为的中点，且，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（I）首先正切化弦，然后利用两角和的余弦公式可得，从而可得，进而可得结果；（II）由余弦定理可得，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可得结果.试题解析：（I）由，得，，，，又 .（II）在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，二式相加得，整理得，，所以的面积，当且仅当时“”成立.的面积的最大值为.20. 已知函数，其导函数的两个零点为-3和0.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最值.【答案】（1）（2）的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）函数在区间上的最大值为，最小值为-1.【解析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1）∵，∴，由知，解得从而，∴.所以，∴，曲线在点处的切线方程为，即，（2）由于，当变化时，，的变化情况如下表：-3 0+ 0 - 0 +单调递增极大值单调递减极小值单调递增故的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（I）由直角三角形可得，由线面垂直的性质可得，从而可得平面进而可得结论；（II）以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（I）由，可得，又从而，底面，，平面所以平面平面.（II）由（I）可知为与底面所成角.所以，所以又及，可得,以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，则.设平面的法向量.则由得取同理平面的法向量为所以又二面角为锐角.所以二面角余弦值为.【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 已知函数（）.（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，且有两个极值点，（），求的取值范围. 【答案】（1）实数的取值范围是（2）的取值范围为【解析】试题分析：函数在某区间上单调递增，说明函数的导数大于或等于0在该区间上恒成立，分离参数m,利用极值原理求出参数m的取值范围；当时有两个极值点为方程的两个根，根据根与系数关系找出与系数的关系，根据m的范围解出的范围，表示出，根据减元，利用构造函数法求出其取值范围.试题解析：（1）的定义域为，在定义域内单调递增，，即在上恒成立，由于，所以，实数的取值范围是.（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，，∴，因为，解得，由于，于是.令，则，∴在上单调递减，.即.故的取值范围为.。
河南省驻马店地区高三上学期期中数学试卷(理科)
河南省驻马店地区高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题． (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 非空集合 （）， 使得成立的所有 的集合是A.B.C.D.2. （2 分） (2019 高二上·阜阳月考) 多面体是由底面为的长方体被截面立下图的空间直角坐标系，已知、、、、为平行四边形，则点 到平面的距离为（ ）所截得到的，建、.若A. B.C.D.第 1 页 共 11 页3. （2 分） 函数 A.R的定义域是（ ）B . {x|x≥0}C . {x|x＞0}D . {x|x≠0}4. （2 分） 某工厂年产量第二年增长率为 a，第三年增长率为 b，则这两年平均增长率 x 满足（ ）A. =B.C. <D.x 5. （2 分） (2017 高二下·长春期末) 直线 （） A.9与曲线所围成的曲边梯形的面积为B.C. D . 276. （2 分） (2020·漳州模拟) 若实数 ， 满足 A. B. C.第 2 页 共 11 页，则的最大值是（ ）D. 7. （2 分） 定义域和值域均为[﹣a，a]（常数 a＞0）的函数 y=f（x）和 y=g（x）图象如图所示，给出下列 四个命题 ①方程 f[g（x）]=0 有且仅有三个解； ②方程 g[f（x）]=0 有且仅有三个解； ③方程 f[f（x）]=0 有且仅有九个解； ④方程 g[g（x）]=0 有且仅有一个解． 那么，其中正确命题是（ ）A . ①② B . ②③ C . ①④ D . ②④8. （2 分） 若将函数(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后，与函数的图象重合，则 ω 的最小值为（ ）A.B.C.D.第 3 页 共 11 页9. （2 分） (2018 高一上·吉林期末) 已知非零向量 夹角是（ ），满足A.B.，且，则 与 的C. D. 10. （2 分） 已知函数 A. B. C.定义域是，则的定义域是（ ）D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11. （1 分） (2015 高二下·吕梁期中) 已知函数 f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值又存在极小值， 则实数 m 的取值范围是________．12. （1 分） 已知非零向量 , 的夹角为 60°，且| - |=1，则| + |的最大值是________13. （1 分） (2017 高二上·定州期末) 定义在 上的连续函数，则不等式的解集为________．满足，且在 上的导函数14. （1 分） (2018 高一下·涟水月考) 若，且15. （1 分） (2019·东北三省模拟) 下列命题中：，则________．第 4 页 共 11 页①已知函数 ②若集合的定义域为，则函数中只有一个元素，则的定义域为；；③函数在上是增函数；④方程的实根的个数是 1.所有正确命题的序号是________（请将所有正确命题的序号都填上）.三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16. （5 分） 已知函数 y=3﹣4cos（2x+ ），x∈[﹣ ， ]，求该函数的最大值，最小值及相应的 x 值．17. （10 分） (2019 高二上·石河子月考) 已知 ．分别为△三个内角的对边，且满足（1） 求角 的大小；（2） 当时，求△面积的最大值．18. （10 分） (2018 高一下·雅安期中) 向量 .（1） 求函数的解析式及周期；,,已知，且有函数（2） 已知锐角的三个内角分别为的长及的面积.，若有19. （10 分） (2018 高三上·凌源期末) 已知函数，边,.，求（1） 当时，求函数的单调区间；（2） 若函数的导函数为，且在 上恒成立，求证：.第 5 页 共 11 页20. （5 分） 已知函数，g（x）=x3+x2﹣x．（Ⅰ）若 m=3，求 f（x）的极值；（Ⅱ）若对于任意的 s，，都有，求 m 的取值范围．21. （10 分） (2017 高二下·绵阳期中) 已知函数 f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．（1） 当 a=1 时，求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2） 求函数 f（x）在区间上的最小值．第 6 页 共 11 页一、 选择题． (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)11-1、 12-1、 13-1、参考答案14-1、 15-1、第 7 页 共 11 页三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16-1、 17-1、 17-2、 18-1、第 8 页 共 11 页18-2、 19-1、19-2、第 9 页 共 11 页20-1、 21-1、第 10 页 共 11 页21-2、第11 页共11 页。
河南省驻马店市高三数学上学期期中考试试题 理 (无答案)新人教A版
确山二高2012---2013学年度上学期段考高三数学（理）试题一、选挥题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 1．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若,I N M φ=I ð则MUN=（ ） A ．M B ．NC ．ID ．φ 2．i 是虚数单位，复数31ii-=（ ） A.－1－iB. 1 －iC. －1+iD. 1+i 3．设等比数列{n a }的公比q=2，前n 项和为S 。
，则43S a 的值为 （ ）A ．154B ．152C ．74D ．724．1*110(1)(),n n n n n ax a x a x a x a n N --+=++++∈K ，点列(,)(0,1,2,)i i A i a i n =K 的部分图象如图所示，则实数a 的值为 （ ）A ．1B ．12 C ．13D ．145．三棱椎A —BCD 的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A —BCD 的表面积（ ） A ．225+．4+5．453+．6 6．执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是 A ．3 B ． －3 C ．－2 D ．2 7．已知三个互不重合的平面,,,a βγ且,,a a a b c βγβγ===II I ，给出下列命题：①若,,a b a c ⊥⊥则b c ⊥② 若a b P =I ，则a c P =I ；③若,,a b a c ⊥⊥则a γ⊥；④若a∥b，则a∥c.其中正确命题个数为（ ） A ．1个B.2个C ．3个 D.4个8．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2– y 2=1的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则 P到z 轴的距离为（ ）A ．32 B ．62C 3D 69．函数()f x 满足(0)f =o ，其导函数'()f x 的图象如下图， 则()f x 的图 象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．13B ．43C ．2D ．8310．有四个关于三角函数的命题：22121:,sin cos :,sin()sin sin 222x x p x R p x R x y x y ∃∈+=∃∈-=-341cos 2[0,sin :cos 22xp x x p y x y ππ-=∀∈=⇒+=其中假命题的是 （ ） A ．p 1,p 4 B ．p 2,p 4 C ．p 1,p 3 D ．p 1,P 2 11．茌发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天 甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 （ ） A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大予C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为312．已知函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，且21,(1,1],()1|2|,(1,3]m x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩ 其中m>o ．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ．158()3B ．15(7) C ．48(,)33D ． 4(7)3二、填空题：本文题共4小题，每小题5分。
河南省确山县第二高级中学高三上学期期中考试数学(理)
确山二高2014——2015学年高三上学期期中统考理科数学试卷考试时间：120分钟；命题人：刘运生注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间120分钟.2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息.3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。
第一卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答无效．．．.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知A={2，},B={,},A∩B={1}，则实数，的值分别为（）.,0 .,1 .1, ., 12. 已知命题：∈（0,2]，使，则为（）.∈（0,2]，使.∈（0,2]，使.∈（0,2]，使.∉（0,2]，使3. 下列函数中,在定义域内既是奇函数,又是增函数是( )A. B. C. D.4. 若1233,3()log(6),3xe xf xx x-⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则的值为()A．2 B．3 C．D．5. 若复数满足,则复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 已知角的终边经过P(-3,4)，则cos2α+sin2α=( ). . . .7. 定义为R上的函数满足，，=2，则=（）.3 . . .28. 在△ABC中“sinA>sinB”是“cosA<cosB”的（）.充分不必要条件.必要不充分条件 .充要条件.既不充分也不必要条件9. 若满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则的最小值为( )A. B. C. D.10. 已知函数的图像如图所示(其中是定义域为R 函数的导函数),则以下说法错误的是（ ） ..当时, 函数取得极大值.方程与均有三个实数根.当时,函数取得极小值11. 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．14. 已知函数的图象在处的切线方程是,则 .15. 下列命题中:①命题“若,则”的否命题为“若,则”；②命题“若方程，则m>4”的逆命题为真命题；③对命题p 和q ，“p 且q 为假”是“p 或q 为假”的必要不充分条件.假命题的序号为 .16. 已知=,若对,∈(0,1),且≠,都有1212()[()()]0x x f x f x --> 为真命题，则实数的取值范围 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且∠A满足：2cos2A﹣2sinAcosA=﹣1．（Ⅰ）若a=2，c=2，求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．请在下面的两个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4—5】不等式选讲23．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．数学试卷（理科）答案13. 2 3 14.7/2 15.①16.a≤420．解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．21．（1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+e x（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+e x（x﹣1）+e x=x（e x+1﹣ex），令y=e x+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即e x+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣e x x，h′（x）=+2ex﹣1﹣e x x﹣e x，当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，e x﹣ex≥0，当x＞1时，h′（x）＜0，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，故x=1为极大值，也为最大值，且为h（1）=0．故当x＞0时，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，故当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）≤0，即f′（x）≥1+lnx．22．（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=223．解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．。
2021年高三数学上学期期中试卷 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期期中试卷 理（含解析）新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．集合，，若，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．-4D ．4【答案】C【解析】试题分析：由于，当，解得，符合题意；当，解之得无解，故答案为C ．考点：1、集合中元素的性质；2、集合的并集．2．已知函数，，则的值为A ．2B ．-2C ．6D ．-6【答案】B【解析】试题分析：()()()()()()x f cx bx ax cx bx ax x c x b x a x f -=+--=-+-=-+---=-353535，故函数为奇函数，，故答案为B ．考点：奇函数的应用．3．设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则A ．【答案】A【解析】试题分析：，，解得（是第二象限角）；，，，故答案为A ．考点：1、任意角三角函数的定义；2、二倍角的正弦公式．4．已知向量，，若与共线，则的值为A ．B ．2C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：，，由于与共线，，解得，故答案为D ．考点：向量共线的应用．5．若定义在上的函数满足，且，则对于任意的，都有是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：解：，函数的对称轴为由，故函数在是增函数，由对称性可得在是减函数任意的，都有，故和在区间，反之，若，则有，故离对称轴较远，离对称轴较近，由函数的对称性和单调性，可得，综上可得任意的，都有是的充分必要条件，故答案为C ．考点：充分条件、必要条件的判定．6．如图，阴影区域的边界是直线及曲线，则这个区域的面积是A ．4B ．8C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：由定积分的几何意义，得，故答案为B ．考点：定积分的应用．7．在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A ．B ．2C ．D ．4【答案】B【解析】试题分析：由面积公式，得，代入得，由余弦定理得，故，由正弦定理，得，解得，故答案为B ．考点：1、三角形的面积公式应用；2、余弦定理的应用；3、正弦定理的应用．8．已知，若是的最小值，则的取值范围为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由于当时，在时得最小值；由题意当时，若，此时最小值为，故，解得，由于，因此；若，则条件不成立，故的取值范围为，故答案为D ．考点：1、分段函数的应用；2、函数的最值．9．已知，为的导函数，则的图象是【答案】A【解析】试题分析：函数，，()()()x f x x x x x f '-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=-'sin 2sin 2，故为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除，，故不对，答案为A．考点：函数图象的判断．10．已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】试题分析：解：由，得；①若，设，则当，，此时当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时；当，此时，此时，作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知；②若，设，则当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；当，，此时，此时；作出函数图象，要使有且仅有三个零点，即函数有且仅有三个零点，则由图象可知，所以的取值范围，故答案为B．考点：函数的零点与方程的根关系．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分 二、填空题（题型注释）11．将函数的图象向右平移个单位后得到函数 的图象．【答案】【解析】试题分析：函数的图象向右平移个单位后得到函数 ，故答案为．考点：函数图象的平移．12．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．【答案】且【解析】试题分析：由于与的夹角为锐角，，且与不共线同向，由，解得，当向量与共线时，得，得，因此的取值范围是且．考点：向量夹角．13．已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为 ．【答案】【解析】试题分析：解：，则，若直线对任意都不是曲线的切线，则直线的斜率为-1，与直线没有交点，又抛物线开口向上则必在直线的上面，即最小值大于直线斜率，当时取最小值，，解得，故实数的取值范围是．考点：1、导数的计算；2、导数的几何意义．14．已知 ，定义[][]1211()(),()(),,()(),n n f x f x f x f x f x f x n N +'''===∈．经计算…，照此规律，则 ．【答案】【解析】试题分析：观察各个式子，发现分母都是，分子依次是，前边是括号里是，故．考点：归纳推理的应用．15．下图展示了一个由区间到实数集的映射过程：区间中的实数对应数轴上的点，如图①：将线段围成一个圆，使两端点恰好重合，如图②：再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图③，图③中直线与轴交于点，则的象就是，记作．下列说法中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号）①②是奇函数③在定义域上单调递增④是图像关于点对称．【答案】③④【解析】试题分析：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当时，的坐标为，直线的方程，所以点的坐标为，故，即①错；对于②，因为实数所在的区间不关于原点对称，所以不存在奇偶性，故②错；对于③，当实数越来越大时，如图直线与轴的交点也越来越往右，即越来越大，所以在定义域上单调递增，即③对；对于④当实数时，对应的点在点的正下方，此时点，所以，再由图形可知的图象关于点对称，即④对，故答案为③④．考点：在新定义下解决函数问题．评卷人得分三、解答题（题型注释）X20936 51C8 凈22637 586D 塭26294 66B6 暶:28442 6F1A 漚}31652 7BA4 箤25123 6223 戣35924 8C54 豔31459 7AE3 竣37094 90E6 郦。
【解析版】河南省驻马店市确山二中2013届高三上学期期中考试数学理试题
河南省驻马店市确山二中2013届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选挥题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1．（5分）（已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅，则M∪N=2．（5分）i是虚数单位，复数等于（）解：复数==i3．（5分）（2012•顺河区一模）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）B==∴=．4．（5分）（2012•开封一模），点列A i（i，a i）（i=0，1，2，…n）的部分图象如图所示，则实数a的值为（）aaa=5．（5分）（2012•顺河区一模）三棱椎A﹣BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A﹣BCD的表面积为（）+2+4，∴．==；PC=∴．S=1++1+=2+26．（5分）（2012•顺河区一模）执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）7．（5分）（2012•顺河区一模）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．8．（5分）（2012•开封一模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点p在CB==，所以9．（5分）（2012•开封一模）函数f（x）满足f（0）=0，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）B轴所围成的封闭图形的面积为x =10．（5分）（2009•宁夏）有四个关于三角函数的命题：P1：∂x∈R，sin2+cos2=；P2：∂x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；P3：∀x∈[0，π]，=sinx；P4：sinx=cosy⇒x+y=．2+cos2=1，所以，11．（5分）（2012•顺河区一模）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，（），），），）与第二个椭y=代入（+，y=与第三个椭圆（=1 ＜，二、填空题：本文题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•开封一模）已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x﹣y 的最大值是6．14．（5分）（2012•顺河区一模）在数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=1+（﹣1）n，则S20=120．=10+15．（5分）（2012•开封一模）将A、B、C、D四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且A、B两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30．16．（5分）（2012•顺河区一模）向量a=（2，o），b=（x，y），若b与b一a的夹角等于，则|b|的最大值为4．在平面直角坐标系中，标出与的方程，由判别式大于等于，则与的夹角为，在，整理得：，得：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
2022-2023学年人教A版高三上数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高三上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合 ， ，则 （ ）A.B.C.D.2. 若是两个单位向量，且，则＝（ ）A.B.C.D.3. 《算法统宗》是中国古代数学名著，其中有诗云：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”这首歌诀的意思是．斤棉花分别赠送给八个子女做旅费，从第二个孩子开始，每人分得的棉花比前一人多斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得棉花的斤数为 A.B.C.D.4. 已知，则 ( )A.B.C.D.A ={x ≤0}∣∣∣x +1x −2B ={x|1<x ≤2}A ∩B ={x|1<x <2}{x|1<x ≤2}{x|−1≤x ≤2}{x|−1≤x <2},e 1→e 2→(2+)⊥(−2+3)e 1→e 2→e 1→e 2→|+2|e 1→e 2→6–√62–√299617()6599133150cos(α+)=−(0<α<π)π46–√6=cos(2α+)3π2sin α+cos α−215−−√1523–√3215−−√15−23–√3(x)=x +sin x5. 函数在的图象大致为( )A.B.C.D.6. 下列式子中最小值为的是（ ）A.B.C.D.7. 已知，，，则,,的大小关系是（ ）A.B.C.D.8. 已知直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 集合，集合，其中为虚数单位，则集合的元素有( )f (x)=x +sin x−cos(π−x)x 2[−π,π]46x +23xx +sin 24x sin 2+ln x 312ln x+5x 45x a =22log 5b =21.1c =(12)−0.8a b c a <c <bc <b <aa <b <cb <c <al y =ln x +2A (,)x 1y 1y =ln(x +1)B(,)x 2y 2+=x 1x 2−1−12012A ={x ∈Z |≥0}1−x x +1B ={i,,|i |,+i}i 981ii A ∩BA.B.C.D.10. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，11. 已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是( )A.B.C.D.12. 已知函数的最大值为，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为，且的图像关于点对称，则下列结论正确的是 A.函数的图像关于直线对称B.当时，函数的最小值为C.若，则的值为D.要得到函数的图像，只需要将的图像向右平移个单位卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若命题“ ，”为假命题，则的取值范围是________.14. 已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最大值是________．15. 已知数列的前项和为，现将该数列按如下规律排成数阵（第行有项），则该数阵中第行从左到右第个数为________．−1i1△ABC b =10A =45∘C =70∘b =45c =48B =60∘a =14b =16A =45∘a =7b =5A =80∘M △ABC D BC ||=||=||MA −→−MB −→−MC −→−++=MA −→−MB −→−MC −→−0→=+CM −→−13CA −→−23CD −→−=+BM −→−23BA −→−13BD −→−f (x)=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<)π22–√π2f (x)(−,0)π12()f (x)x =5π12x ∈[−,]π6π6f (x)−2–√2f (−α)=π632–√5α−αsin 4cos 4−45f (x)g(x)=cos 2x 2–√π6∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2m ,a b c (−)⋅(−)=0a c b c ||c {}a n n =S n n 2n 2n −1101216. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，且的外接圆半径为，则的面积为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 17. 设且若，且满足，求的取值范围；若，是否存在使得在区间上是增函数？如果存在，说明可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．定义在上的一个函数，用分法将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得不等式恒成立，则称函数为在上的有界变差函数．试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求的最小值；若不是，请说明理由． 18. 设等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，其满足，，.求数列和的通项公式：若________，求数列的前项和.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第问中，并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数.当时，讨论单调性；当时，，求的取值范围． 20. 已知函数（，，）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）若，求函数的值域．21. 在中，，，分别是内角，，的对边，且．求角的大小；若，且，求的面积．22. 已知函数．当，时，判断函数在区间内的单调性；△ABC A B C a b c A =π3b +c =6–√△ABC 1△ABC f(x)=g(x)(a >0log a a ≠1).(1)f(x)=(3x −1)log 12f(x)>1x (2)g(x)=a −x x 2a f(x)[,3]12a (3)[p,q]m(x)T :p =<<...<<<...<=qx 0x 1x i−1x i x n [p,q]n M >0|m()−m()|+|m()−m()|+...+|m()−m()|+...+|m()−m()|≤M x 1x 0x 2x 1x i x i−1x n x n−1m(x)[p,q]f(x)=(4−x)log 4x 2[,3]12M {}a n n S n {}b n ==2a 1b 1=+S 4a 5b 3+=8a 3b 2(1){}a n {}b n (2){}c n n T n =+c n 1a n a n+1b n =c n a n b n =c n +2a n a n a n+1b n+1(2)f (x)=−(1+a)x −1e x (1)a =0f (x)(2)x ≥0f (x)≥12x 2a f(x)=A sin(ωx +φ)A >0ω>0−<φ<π2π2f(x)x ∈[−,]5353f(x)△ABC a b c A B C (a +c)2=+3ac b 2(1)B (2)b=2sin B +sin(C −A)=2sin 2A △ABC f (x)=+b (a,b ∈R)a cos x x(1)a =1b =0f (x)(0,)π2=−x +26已知曲线在点处的切线方程为．求的解析式；判断方程在区间上解的个数，并说明理由．(2)f (x)=+b a cos x x (,f ())π2π2y =−x +26π(ⅰ)f (x)(ⅱ)f (x)=−132π(0,2π]参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三上数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】本题考查了不等式的求解，交集及其运算，属于基础题.先求出集合，再根据交集的定义解答即可.【解答】解：因为=，，所以=.故选.2.【答案】A【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】与，可得＝．可得：．再利用数量积运算性质即可得出．【解答】∵，∴＝．可得：．则．3.【答案】C【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】A A =｛x|≤0}x +1x −2｛x|−1≤x≤2}B ={x|1≤x≤2}A∩B {x|1≤x ≤2}A (2+)⊥(−2+3)e 1→e 2→e 1→e 2→(2+)⋅(−2+3)e 1→e 2→e 1→e 2→0⋅=e 1→e 2→14(2+)⊥(−2+3)e 1→e 2→e 1→e 2→(2+)⋅(−2+3)e 1→e 2→e 1→e 2→−4+3+4⋅=−1+4⋅=0e 1→2e 2→2e 1→e 2→e 1→e 2→⋅=e 1→e 2→14|+2|===e 1→e 2→+4+4⋅e 1→2e 2→2e 1→e 2→−−−−−−−−−−−−−−−−−√1+4+4×14−−−−−−−−−−−√6–√{}解：设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，则公差，从而，解得，故.故选.4.【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，即，两边平方可得，即，∵,∴，，∴，∴原式.故选.5.【答案】D【考点】函数的图象与图象变化函数的图象函数奇偶性的判断【解析】根据题意，利用排除法分析：分析函数的奇偶性排除，进而由函数的解析式分析可得在上，且，排除，，即可得答案.【解答】解：∵函数，，∴，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故选项错误；在区间上，，，必有，函数图象在轴上方，故选项错误；{}a n d =17+++⋯+=8+a 1a 2a 3a 8a 18×72×17=996=65a 1=+4d =65+4×17=133a 5a 1C cos(α+)=−π46–√6(cos α−sin α)=−2–√26–√6sin α−cos α=3–√31−2sin αcos α=13sin 2α=2sin αcos α=>0230<α<πsin α>0cos α>0sin α+cos α==(sin α−cos α+4sin αcos α)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√15−−√3==sin 2αsin α+cos α215−−√15C A (0,)π2f (x)>0f(1)>1B C f (x)==x +sin x −cos(π−x)x 2x +sin x +cos x x 2x ∈[−π,π]f (−x)=−()=f (x)x +sin x +cos xx 2f (x)A (0,)π2sin x >0cos x >0f (x)=>0x +sin x +cos xx 2x C (1)=1+sin 1∵，而，∴，故选项错误；综上可得选项符合题意.故选.6.【答案】D【考点】基本不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：对于，当时，不符合题意；对于，成立的条件为，不符合题意；对于，当时，不符合题意；对于，，符合题意.故选7.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】转化为同底数：，，，根据函数单调性判断答案．【解答】解：∵，，，∴；∴．故选8.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】首先求出切点处的切线方程，即可都早方程组，得出答案.【解答】f(1)=1+sin 11+cos 1sin 1>cos 1f(1)>1B D D A x <0B x =sin 24x sin 2x =2>1sin 2C ln x <0D +≥2=45x 45x ⋅5x 45x −−−−−−√D.a =22=log <1log 545b =21.1c =(=12)−0.8245y =2x a =22=4<1log 5log 5b =>221.12>(=>112)−0.820.82>c >1b >c >a A.y =f (x)=ln x +2解：∵，则，此时，则切线方程为，又，则，此时，则切线方程为，∴解得，，故.故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,D【考点】交集及其运算复数的模复数代数形式的乘除运算子集与真子集的个数问题【解析】分别求出集合、，再求出，从而求出的真子集即可．【解答】解：∵，，其中为虚数单位，∴集合.故选.10.【答案】B,C【考点】解三角形正弦定理【解析】此题暂无解析y =f (x)=ln x +2=(x)=y ′f ′1x =()=k 1f ′x 11x 1y −(ln +2)=(x −)x 11x 1x 1y =g(x)=ln(x +1)=(x)=y ′g ′1x +1=()=k 2g ′x 21+1x 2y −ln(+1)=(x −)x 21+1x 2x 2 =，1x 11+1x 2ln +1=ln(+1)−，x 1x 2x 2+1x 2=x 112=−x 212+=0x 1x 2C A B A ∩B A ∩B A ={x ∈Z |≥0}={0,1}1−x x +1B ={i,,|i |,+i}={i,−1,1,0}i 981i i A ∩B ={0,1}AD【解答】解：已知，则，三角形内角确定，边确定，其只有一个解，选项错误；由正弦定理可得且，则角有两个角，三角形有两个，选项正确；由正弦定理可得且，则角有两个角，三角形有两个，选项正确；由正弦定理可得且，即，角只有一个解，三角形只有一个，选项错误.故选.11.【答案】B,C【考点】向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】利用三角形的重心性质，对选项一一进行分析即可得.【解答】解：如图所示，，若，则应为三角形的外心，故错误；，∵，，∴，故正确；，，故正确；，，故错误； 故选.12.【答案】B,D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换A =45°，C =70°B =65°b =10A <sin C ==<13–√2c sin B b 83–√15c >b C B <sin B ==<12–√2b sin A a 42–√7b >a B C sin B ==<1b sin A a 5sin 80°7b <a B <A B D BC ABCD A ==∣∣∣MA −→−∣∣∣∣∣∣MB −→−∣∣∣∣∣∣MC −→−∣∣∣M ABC A B =+MB −→−MD −→−DB −→−=+MC −→−MD −→−DC −→−++=+2++MA −→−MB −→−MC −→−MA −→−MD −→−DC −→−DB −→−=+2+=MA −→−MD −→−0→0→B C =+=+CM −→−CA −→−AM −→−CA −→−23AD −→−=+(−)=+CA −→−23CD −→−CA −→−13CA −→−23CD −→−C D =+=+BM −→−BA −→−AM −→−BA −→−23AD −→−=+(−)BA −→−23BD −→−BA −→−=+≠+13BA −→−23BD −→−23BA −→−13BD −→−D BC【解析】【解答】解：因为函数的最大值为，所以．因为函数图像相邻的两条对称轴之间的距离为，所以，，，所以.又因为的图像关于点对称，所以，即 ，，所以，．因为，所以．即．，，故错误；，当时，，所以当时， 取得最小值，故正确；，，所以，则，故错误；，的图像向右平移个单位得到，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】由于命题：“，使得”为假命题，可得命题的否定是：“，”为真命题，因此，解出即可．【解答】f (x)2–√A =2–√f (x)π2=T 2π2T ==π2πωω=2f (x)=sin(2x +φ)2–√f (x)(−,0)π12f (−)=sin(−+φ)=0π122–√π6−+φ=kππ6k ∈Z φ=+kππ6k ∈Z |φ|<π2φ=π6f (x)=sin(2x +)2–√π6A f (π)=sin π=0≠±5122–√2–√A B x ∈[−,]π6π62x +∈[−,]π6π6π22x +=−π6π6f (x)−2–√2B C f (−α)=sin(−2α)=cos 2α=π62–√π22–√32–√5cos 2α=35α−α=(α+α)(α−α)sin 4cos 4sin 2cos 2sin 2cos 2=−cos 2α=−35C D g(x)=cos 2x 2–√π6y =cos 2(x −)=cos(2x −)2–√π62–√π3=sin[+(2x −)]2–√π2π3=sin(2x +)=f(x)2–√π6D BD [−1,2]∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤0+2mx +m +2<02解：∵命题：“，使得”为假命题，∴命题的否定是：“，”为真命题，∴，即，解得，∴实数的取值范围是．故答案为：．14.【答案】【考点】向量的概念与向量的模平面向量数量积的性质及其运算【解析】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，不妨设，通过，化简，根据关系式，求最大值．【解答】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，不妨设，令，则，它表示以为圆心，为半径的圆，可知最大值是．15.【答案】【考点】等差数列的通项公式数列递推式等差数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知，数列的前项和为，则，由，当时，，所以.由图可知，该数列按第行有个数排成的一个数阵，则数阵中前行共有项，则数阵中前行共有项，则第行从左到右第个数为数列的第项，即．故答案为：．16.【答案】∃x ∈R +2mx +m +2<0x 2∀x ∈R +2mx +m +2≥0x 2Δ≤04−4(m +2)≤0m 2−1≤m ≤2m [−1,2][−1,2]2–√,a b =(1,0),=(0,1)a b =(x,y)c (−)⋅(−)=0a c b c ||c ,a b =(1,0),=(0,1)a b =(x,y)c −=(x −1,y),−=(x,y −1)a c b c (−)⋅(−)=+−x −y =0a c b c x 2y 2(,)12122–√2||c 2–√185{}a n n =S n n 2==−2n +1S n−1(n −1)2n 2−==2n −1(n >1)S n S n−1a n n =1==1a 1S 1=2n −1a n (n ≥1)n 2n −1n 1+3+5+⋯+(2n −1)=n =1+2n −12n 29811012{}a n 93=2×93−1=185a 93185–√【考点】余弦定理三角形的面积公式正弦定理【解析】根据正弦定理即可求出，由余弦定理可得，即可求解三角形的面积.【解答】解：因为的外接圆半径为，，所以，所以.由余弦定理得，所以，即，所以，所以的面积.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：解得．当时，当时，无解．综上所述，．函数为上的有界变差函数．由知当时函数为上的单调递增函数，且对任意划分，有，所以，∴存在常数，使得恒成立，3–√4a =3–√cos A ==+−b 2c 2a 22bc 12bc =1△ABC 1A =π3=2R =2a sin A a =3–√cos A ==+−b 2c 2a 22bc 12=−2bc −(b +c)2a 22bc 12=6−2bc −32bc 12bc =1△ABC S =bc sin A =×1×=12123–√23–√43–√4(1)f(x)=(3x −1)>1⇔(3x −1)log 12log 12>⇔log 1212 3x −1<，123x −1>0，<x <1312(2)a >1⇒a >2；≤，12a 12g()=a −>0，1214120<a <1⇒ ≥3，12a g(3)=9a −3>0， a ≤，16a >，13a >2(3)f(x)=(4−x)log 4x 2[,3]12(2)a =4f(x)[,3]12T :=<<…<<<…<=312x 0x 1x i−1x i x n f()=f()<f()<…<f()<f()=f(3)12x 0x 1x n−1x n |f()−f()|∑i=1n xi x i−1=f()−f()+f()−f()+…+f()−f()=f()−f()x 1x 0x 2x 1x n x n−1x n x 0=f(3)−f()=33−=6612log 4log 412log 4M ≥66log 4|f()−f()|≤M ∑i=1nx i x i−166log∴的最小值为．【考点】指、对数不等式的解法函数恒成立问题对数函数的单调区间对数函数的值域与最值【解析】（1）利用对数函数的单调性即可得出；（2）对分类讨论，利用二次函数和对数函数的单调性、复合函数的单调性即可得出；函数为上的有界变差函数．由知当时函数为上的单调递增函数，且对任意划分，有，所以∴存在常数，使得恒成立，∴的最小值为．【解答】解：解得．当时，当时，无解．综上所述，．函数为上的有界变差函数．由知当时函数为上的单调递增函数，且对任意划分，有，所以，∴存在常数，使得恒成立，∴的最小值为．18.【答案】解：设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，M 66log 4a (3)f(x)=(4−x)log 4x 2[,3]12(2)a =4f(x)[,3]12T :=<<…<<<…<=312x 0x 1x i−1x i x n f()=f()<f()<…<f()<f()=f(3)12x 0x 1x n−1x n |f()−f()|=f()−f()+f()−f()+…+f()−f()=f()−f()=f(3)−f()=33−∑i=1n x i x i−1x 1x 0x 2x 1x n x n−1x n x 012log 4log4=66，12log 4M ≥66log 4|f()−f()|≤M ∑i=1nx i x i−1M 66log 4(1)f(x)=(3x −1)>1⇔(3x −1)log 12log 12>⇔log 1212 3x −1<，123x −1>0，<x <1312(2)a >1⇒a >2；≤，12a 12g()=a −>0，1214120<a <1⇒ ≥3，12a g(3)=9a −3>0，a ≤，16a >，13a >2(3)f(x)=(4−x)log 4x 2[,3]12(2)a =4f(x)[,3]12T :=<<…<<<…<=312x 0x 1x i−1x i x n f()=f()<f()<…<f()<f()=f(3)12x 0x 1x n−1x n |f()−f()|∑i=1n x i x i−1=f()−f()+f()−f()+…+f()−f()=f()−f()x 1x 0x 2x 1x n x n−1xn x 0=f(3)−f()=33−=6612log 4log 412log 4M ≥66log 4|f()−f()|≤M ∑i=1nx i x i−1M 66log 4(1){}a n d {}b n q (q >0) ×4+d =2+4d +2，4×3由题意得解得，，∴，．选①：∵，，∴，即．选②：，，，，∴，整理得，．选③：，∴，，即．【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式数列的求和【解析】无无【解答】解：设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，由题意得解得，，∴，．选①：∵，，∴，即．选②：，，，，∴，整理得，．选③：，∴， 2×4+d =2+4d +2，4×32q 22+2d +2q =8，q =2d =1=n +1a n =b n 2n (2)=+c n 1a n a n+1b n ∴=+=−+c n 1(n +1)(n +2)2n 1n +11n +22n =(−)+(−)+⋯+(−T n 121313141n +1)+1n +22−2n+11−2=−−T n 2n+11n +232∵=c n a n b n ∴=(n +1)c n 2n ∴=2⋅+3⋅+4⋅+⋯+n ⋅+(n +1)T n 2122232n−12n 2=2⋅+3⋅+4⋅+⋯+n ⋅+(n +1)⋅T n 2223242n 2n+1−=2⋅+++⋯+−(n +1)⋅T n 2122232n 2n+1=n ⋅T n 2n+1∵=c n +2a n a n a n+1b n+1==−c n n +3(n +1)(n +2)2n+11(n +1)2n 1(n +2)2n+1∴=−+−+⋯+T n 12⋅2113⋅2213⋅2214⋅23−1(n +1)⋅2n 1(n +2)⋅2n+1=−T n 141(n +2)2n+1(1){}a n d {}b n q (q >0) 2×4+d =2+4d +2，4×32q 22+2d +2q =8，q =2d =1=n +1a n =b n 2n (2)=+c n 1a n a n+1b n ∴=+=−+c n 1(n +1)(n +2)2n 1n +11n +22n =(−)+(−)+⋯+(−T n 121313141n +1)+1n +22−2n+11−2=−−T n 2n+11n +232∵=c n a n b n ∴=(n +1)c n 2n ∴=2⋅+3⋅+4⋅+⋯+n ⋅+(n +1)T n 2122232n−12n 2=2⋅+3⋅+4⋅+⋯+n ⋅+(n +1)⋅T n 2223242n 2n+1−=2⋅+++⋯+−(n +1)⋅T n 2122232n 2n+1=n ⋅T n 2n+1∵=c n +2a n a n a n+1b n+1==−c n n +3(n +1)(n +2)2n+11(n +1)2n 1(n +2)2n+1=−+−+⋯+111111，即．19.【答案】解：当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．当时，，即在上恒成立.令，则，由知，当时，，当时，，在上为增函数，所以，即，满足题意；当时，由知，在上为增函数，所以在上也为增函数.因为，，设，，则，解得，当时，，所以在上为增函数，所以，则，所以.结合的单调性可知，在内只有一个零点，所以在内只有一个零点.设在上的零点为，则，当时，，所以在上单调递减；则与在上恒成立矛盾，不符合题意.综上可知，的取值范围为.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．当时，，即在上恒成立.令，则，由知，当时，，∴=−+−+⋯+T n 12⋅2113⋅2213⋅2214⋅23−1(n +1)⋅2n 1(n +2)⋅2n+1=−T n 141(n +2)2n+1(1)a =0f (x)=−x −1e x (x)=−1f ′e x x <0(x)<0f ′x >0(x)>0f ′f (x)(−∞,0)(0,+∞)(2)x ≥0f (x)≥12x 2−−(1+a)x −1≥0e x 12x 2[0,+∞)g(x)=−−(1+a)x −1e x 12x 2(x)=−x −1−a g ′e x (1)x ≥0−x −1≥0e x a ≤0(x)=−x −1−a ≥0g ′e x g(x)[0,+∞)g(x)≥g(0)=0−−(1+a)x −1≥0e x 12x 2a >0(1)h (x)=−x −1e x [0,+∞)(x)=−x −1−a g ′e x [0,+∞)(0)=−a <0g ′(a +1)=−2(a +1)g ′e a+1t =a +1(t >1)φ(t)=−2t e t (t)=−2=0φ′e t t =ln 2<1t ∈(1,+∞)(t)>0φ′φ(t)(1,+∞)φ(t)>φ(1)=e −2>0(a +1)>0g ′(0)⋅(a +1)<0g ′g ′(x)g ′(x)g ′(0,a +1)(x)g ′(0,+∞)(x)g ′(0,+∞)x 0()=0g ′x 0x ∈(0,)x 0(x)<()=0g ′g ′x 0g(x)[0,)x 0g(x)≤g(0)=0−−(1+a)x −1≥0e x 12x 2[0,+∞)a (−∞,0](1)a =0f (x)=−x −1e x (x)=−1f ′e x x <0(x)<0f ′x >0(x)>0f ′f (x)(−∞,0)(0,+∞)(2)x ≥0f (x)≥12x 2−−(1+a)x −1≥0e x 12x 2[0,+∞)g(x)=−−(1+a)x −1e x 12x 2(x)=−x −1−a g ′e x (1)x ≥0−x −1≥0e x (x)=−x −1−a ≥0′x g(x)[0,+∞)当时，，在上为增函数，所以，即，满足题意；当时，由知，在上为增函数，所以在上也为增函数.因为，，设，，则，解得，当时，，所以在上为增函数，所以，则，所以.结合的单调性可知，在内只有一个零点，所以在内只有一个零点.设在上的零点为，则，当时，，所以在上单调递减；则与在上恒成立矛盾，不符合题意.综上可知，的取值范围为.20.【答案】【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．a ≤0(x)=−x −1−a ≥0g ′e x g(x)[0,+∞)g(x)≥g(0)=0−−(1+a)x −1≥0e x 12x 2a >0(1)h (x)=−x −1e x [0,+∞)(x)=−x −1−a g ′e x [0,+∞)(0)=−a <0g ′(a +1)=−2(a +1)g ′e a+1t =a +1(t >1)φ(t)=−2t e t (t)=−2=0φ′e t t =ln 2<1t ∈(1,+∞)(t)>0φ′φ(t)(1,+∞)φ(t)>φ(1)=e −2>0(a +1)>0g ′(0)⋅(a +1)<0g ′g ′(x)g ′(x)g ′(0,a +1)(x)g ′(0,+∞)(x)g ′(0,+∞)x 0()=0g ′x 0x ∈(0,)x 0(x)<()=0g ′g ′x 0g(x)[0,)x 0g(x)≤g(0)=0−−(1+a)x −1≥0e x 12x 2[0,+∞)a (−∞,0](1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A cos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】整理已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值； 由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：，可得，或，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．22.【答案】解：当，时， ，可得．因为，所以，即，所以函数在区间上为单调递减函数．由函数，可得，则．因为函数在点处的切线方程为，所以，解得．当，代入切线方程为，可得，所以函数的解析式为．令，则，①当时，可得，单调递减，(1)+−a 2c 2b 2=ac cos B =12B ∈(0,π)B (2)cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A (1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A cos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(1)a =1b =0f (x)=cos x x (x)=−f ′sin x ⋅x +cos x x 2x ∈(0,)π2sin x ⋅x +cos x >0(x)<0f ′f (x)(0,)π2(2)(ⅰ)f (x)=+b a cos x x (x)=f ′−a (sin x ⋅x +cos x)x 2()=f ′π2−2a πf (x)(,f ())π2π2y =−x +26π=−−2a π6πa =3x =π2y =−×+2=−16ππ2f ()=b =−1π2f (x)f (x)=−13cos x x (ⅱ)g(x)=f (x)−+1=−32π3cos x x 32π(x)=g ′−3(x sin x +cos x)x 2x ∈(0,]π2(x)<0g ′g(x)()=−>09–√又由，，所以函数在区间（上只有一个零点；②当时， ，可得恒成立，所以函数在区间上没有零点；③当时，令，可得，所以在区间单调递增， ，，所以存在，使得在上单调递增，在单调递减，又由，所以函数在上有两个零点，综上可得，方程在（上有个解．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当，时， ，可得．因为，所以，即，所以函数在区间上为单调递减函数．由函数，可得，则．因为函数在点处的切线方程为，所以，解得．当，代入切线方程为，可得，所以函数的解析式为．令，则，①当时，可得，单调递减，又由，，所以函数在区间（上只有一个零点；②当时， ，可得恒成立，所以函数在区间上没有零点；g()=−>0π693–√π32πg()=−<0π232πg(x)0,]π2x ∈(,)π23π2cos x <0g(x)=−<03cos x x 32πg(x)(,)π23π2x ∈[,2π]3π2h (x)=x sin x +cos x (x)=x cos x >0h ′h (x)[,2π]3π2h (2π)>0h ()<03π2∈[,2π]x 03π2g(x)[,)3π2x 0(,2π]x 0g(2π)=0,g()<0π2[,2π]3π2f (x)=−132π0,2π]3(1)a =1b =0f (x)=cos x x (x)=−f ′sin x ⋅x +cos x x 2x ∈(0,)π2sin x ⋅x +cos x >0(x)<0f ′f (x)(0,)π2(2)(ⅰ)f (x)=+b a cos x x (x)=f ′−a (sin x ⋅x +cos x)x 2()=f ′π2−2a πf (x)(,f ())π2π2y =−x +26π=−−2a π6πa =3x =π2y =−×+2=−16ππ2f ()=b =−1π2f (x)f (x)=−13cos x x (ⅱ)g(x)=f (x)−+1=−32π3cos x x 32π(x)=g ′−3(x sin x +cos x)x 2x ∈(0,]π2(x)<0g ′g(x)g()=−>0π693–√π32πg()=−<0π232πg(x)0,]π2x ∈(,)π23π2cos x <0g(x)=−<03cos x x 32πg(x)(,)π23π2∈[,2π]3π③当时，令，可得，所以在区间单调递增， ，，所以存在，使得在上单调递增，在单调递减，又由，所以函数在上有两个零点，综上可得，方程在（上有个解．x ∈[,2π]3π2h (x)=x sin x +cos x (x)=x cos x >0h ′h (x)[,2π]3π2h (2π)>0h ()<03π2∈[,2π]x 03π2g(x)[,)3π2x 0(,2π]x 0g(2π)=0,g()<0π2[,2π]3π2f (x)=−132π0,2π]3。
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河南省驻马店市确山二中2013届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选挥题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1．（5分）（已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅，则M∪N=（）A．M B．N C．I D．∅考点：交、并、补集的混合运算．专题：图表型．分析：利用韦恩图分别画出满足题中条件：“N∩（∁I M）=∅，”的集合M，N，再考查它们的关系，最后转化为集合之间的关系即可选出正确的选项．解答：解：利用韦恩图画出满足题意M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩（∁I M）=∅的集合．由图可得：M∪N=M．故选A．点评：本题考查交、并、补集的混合运算、集合间的关系以及韦恩图，较简单．2．（5分）i是虚数单位，复数等于（）A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：根据两个复数代数形式的乘除法法则，以及虚数单位i的幂运算性质，把要求的式子化简求得结果．解答：解：复数===i﹣i2=1+i，故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2012•顺河区一模）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由公比q=2，根据等比数列的前n项和公式表示出S4，利用等比数列的通项公式表示出a3，代入所求的式子中即可求出值．解答：解：∵S4===15a1，a3=a1q2=4a1，∴==．故选A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题．4．（5分）（2012•开封一模），点列A i（i，a i）（i=0，1，2，…n）的部分图象如图所示，则实数a的值为（）A．1B．C．D．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，结合图形可得a1=3，a2=4，再结合二项式定理可得a1、a2的值，即可得关于a、n的方程组，解可得a的值，即可得答案．解答：解：根据题意，点A1的坐标为（1，3），点A2的坐标为（2，4），则在中，有a1=3，a2=4，又由二项式定理可得a1=a•C n1=na，a2=a2•C n2=a2，则有na=3，a2=4，解可得a=，n=3，故选C．点评：本题考查二项式定理的应用，注意正确理解题意，结合图形，分析得到a1、a2的值．5．（5分）（2012•顺河区一模）三棱椎A﹣BCD的三视图为如图所示的三个直角三角形，则三棱锥A﹣BCD的表面积为（）A．2+2B．4+4C．D．2+2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知三视图可知，该几何体是一个如图所示的三棱锥：PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=AC=2，BC=1．据此可计算出其表面积．解答：解：由已知三视图可知，该几何体是一个如图所示的三棱锥：PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=AC=2，BC=1．∵AC⊥BC，∴．在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=．∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，∴S△PAB==；．∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC．又∵AC⊥BC，BC∩PB=B．∴AC⊥平面PBC．∴AC⊥PC．在Rt△PBC中，由勾股定理得PC=．∴．∴要求的三棱锥P﹣ABC的表面积S=1++1+=2+2．故选A．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2012•顺河区一模）执行如图所给的程序框图，则运行后输出的结果是（）A．3B．﹣3 C．﹣2 D．2考点：程序框图．专题：计算题．分析：开始条件s=0，i=1，循环条件i≤6，知道i＞6，循环停止，根据i是奇偶进行计算，从而求解；解答：解：开始条件：s=0，i=1，（i≤6）i=1，i是奇数，可得s=0+1=1，i=2，i是偶数，可得s=1﹣2=﹣1，i=3，可得s=﹣1+3=2，i=4，s=2﹣4=﹣2，i=5，s=﹣2+5=3，i=6，s=3﹣6=﹣3，i=7，输出s=﹣3，故选B；点评：本题主要考查了当型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．7．（5分）（2012•顺河区一模）已知三个互不重合的平面α，β，γ，且α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，给出下列命题：①若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；②若a∩b=P，则a∩c=P；③若a⊥b，a⊥c，则α⊥γ；④若a∥b，则a∥c．其中正确命题个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：平面的基本性质及推论．分析：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a⊂α，得到α⊥γ，得到结论．解答：解：三个平面两两相交，交线平行或交于一点，故②④正确，当三条交线交于一点时，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c，故①正确，若a⊥b，a⊥c，则a⊥γ，又a⊂α，得到α⊥γ，故③正确，综上可知四个命题都正确，故选D．点评：本题考查平面的基本性质即推论，本题解题的关键是正确理解线面之间的位置关系，不要漏掉某种位置关系．8．（5分）（2012•开封一模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点p在C上，∠F1pF2=60°，则P到x轴的距离为（）A．B．C．D．考点：双曲线的定义；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，由此可求出P到x轴的距离．解答：解：不妨设点P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得，．由余弦定理得cos∠F1PF2=，即cos60°=，解得，所以，故P到x轴的距离为．故选B．点评：本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力．9．（5分）（2012•开封一模）函数f（x）满足f（0）=0，其导函数f′（x）的图象如图，则f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．2D．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：先根据导函数f′（x）的图象求出f′（x）的解析式，然后求出原函数，最后利用定积分表示出所求面积，解之即可求出所求．解答：解：根据导函数f′（x）的图象可得f′（x）=2x+2则f（x）=x2+2x+C而f（0）=0∴C=0则f（x）=x2+2x令f（x）=x2+2x=0解得x=﹣2或0∴f（x）的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为=（﹣x3﹣x2）=故选B．点评：本题主要考查了导数的应用，以及定积分的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）（2009•宁夏）有四个关于三角函数的命题：P1：∃x∈R，sin2+cos2=；P2：∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；P3：∀x∈[0，π]，=sinx；P4：sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P4考点：四种命题的真假关系；三角函数中的恒等变换应用．分析：P1：同角正余弦的平方和为1，显然错误；P2：取特值满足即可；P3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可．P4由三角函数的周期性可判命题错误．解答：解：∀x∈R都有sin2+cos2=1，故P1错误；P2中x=y=0时满足式子，故正确；P3：∀x∈[0，π]，sinx＞0，且1﹣cos2x=2sin2x，所以=sinx正确；P4：x=0，，sinx=cosy=0，错误．故选A点评：本题考查全称命题和特称命题的真假判断、以及三角函数求值、公式等，属基本题．11．（5分）（2012•顺河区一模）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲．乙．丙．丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；压轴题．分析：平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，中位数和众数也不能确定，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，符合要求．解答：解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，故A不正确，当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确，中位数和众数也不能确定，故C不正确，当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近3，故选D．点评：本题考查数据的几个特征量，这几个量各自表示数据的一个方面，有时候一个或两个量不能说明这组数据的特点，若要掌握这组数据则要全面掌握．12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．解答：解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m ，同样由 y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，综上可知m∈（，）故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．二、填空题：本文题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•开封一模）已知实数x，y满足条件，则目标函数z=2x﹣y 的最大值是 6 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过y轴的截距最小，即z最大值，从而求解．解答：解：先根据约束条件画出可行域，目标函数z=2x﹣y，z在点B（3，0）处取得最大值，可得z max=2×3﹣0=6，故最大值为6，故答案为6；点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．14．（5分）（2012•顺河区一模）在数列{a n}中，S n为其前n项和，a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=1+（﹣1）n，则S20= 120 ．考点：数列递推式．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：由a n+2﹣a n=1+（﹣1）n，判断出数列的奇数项是常数列，偶数项是等差数列，利用分组的方法将数列{a n}分成两个数列，再利用等差数列的前n项和公式求出和．解答：解：∵a n+2﹣a n=1+（﹣1）n∴当n为偶数时，a n+2﹣a n=2；当n为奇数时，a n+2﹣a n=0 ∴a1，a3，a5…为各项均为1的常数列；a2，a4，a6…为以2为首项，以2为公差的等差数列∴S20=（（a1+a3+a5…+a19）+（a2+a4+a6+…+a20）=10+=120故答案为：120点评：本题考查数列递推式，考查数列的求和，求得数列的奇数项是常数列，偶数项是等差数列是关键．15．（5分）（2012•开封一模）将A、B、C、D四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且A、B两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30 ．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：每个班至少分到一名学生，且A、B两名学生不能分到一个班，故可用间接法解．解答：解：由题意，四名学生中有两名学生分在一个班有C42种，再分到三个不同的班有A33种，而A、B两名学生被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30故答案为：30．点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2012•顺河区一模）向量a=（2，o），b=（x，y），若b与b一a的夹角等于，则|b|的最大值为 4 ．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的方程，由判别式大于等于0可得|b|的最大值．解答：解：如图，设，，则，与的夹角为，即∠OBA=60°，再设，在△OAB中，根据余弦定理有：，整理得：，由，得：a2≤16，所以0＜a≤4．所以|b|的最大值为4．故答案为4．点评：本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考查了数形结合思想，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。