高数 多元函数的偏导数与全微分

∂z ∂f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). ∂ x ∂x
同理可以定义函数 z = f ( x , y )对自变量 y 的偏
∂z ∂f 导数， 导数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ). ∂ y ∂y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
类似地可定义三元及三元以上函数． 类似地可定义三元及三元以上函数．
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时， n 元函数统称为多元函数
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念. 因变量等概念
arcsin( 3 − x − y ) 的定义域． 例1 求 f ( x , y ) = 的定义域． 2 x− y
偏导数， 偏导数，记为
∂z ∂f ， ，zx = = ∂x x = x0 ∂x x = x0 y y y y
0 0
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数， 为 的偏导数，
（1）令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ，若 ）
有关，则可断言极限不存在； 极限值与k 有关，则可断言极限不存在；
） 找两种不同趋近方式， 存在， （2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
x → x0 y → y0
但两者不相等， 但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ }
= ( x , y ) | ( x − x 0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ .
δ
•
{
}
P0
（2）区域 ）
是平面上的一个点集， 设 E 是平面上的一个点集， P 是平面上的 一个点． 一个点．如果存在点 P 的某一邻域 U ( P ) ⊂ E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
的定义域的聚点， 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点 ， 如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的 处不连续， 间断点. 间断点
例5 讨论函数
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在． 处极限不存在．
三、多元函数的连续性
定义3 定义3 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D , P0
是其聚点且 P0 ∈ D ，如果 lim f ( P ) = f ( P0 )
P → P0
处连续. 则称 n 元函数 f (P ) 在点 P0 处连续.
设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D ，对于任意 取定的 P ( x , y ) ∈ D ，对应的函数值为 z = f ( x , y ) ，这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐 这样， 为横坐标、 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x , y , z ) ， 上一切点时， 当 x 取遍 D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D }，这个点集称 为二元函数的图形. 为二元函数的图形
叠加原理也适用于二ຫໍສະໝຸດ Baidu以上函数的情况． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
2 2
原结论成立． 原结论成立．
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x→0 x + y y→0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0
sin( x 2 y ) x 2 y , = lim ⋅ 2 2 2 x →0 x y x +y y→ 0
的连续性． 在(0,0)的连续性． 的连续性 解 取 y = kx xy k kx 2 lim 2 = = lim 2 2 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k x 1+ k2 y→ 0 y = kx 其值随k的不同而变化， 极限不存在． 其值随 的不同而变化， 极限不存在． 的不同而变化 故函数在(0,0)处不连续． 处不连续． 故函数在 处不连续
sin( x 2 y ) u = x 2 y sin u lim lim = 1, 其中 x →0 2 u→ 0 x y u y →0
x y x2 + y2
2
sin( x 2 y ) 1 ≤ x x →0→ 0, ∴ lim x 2 + y 2 = 0. x →0 2 y →0
x3 y 不存在． 例4 证明 lim 6 2 不存在． x →0 x + y y →0
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义， 域内有定义 ， 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ∆x 时，相应地函数有增量 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ，
f ( x 0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x 0 , y0 ) 存在， 如果 lim 存在，则称 ∆x → 0 ∆x 此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
∂z ∂z 习惯上， 习惯上，记全微分为 dz = dx + dy . ∂x ∂y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) = lim , ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) = lim , ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
证
3 取 y = kx ,
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 , 2 = lim 6 2 6 = 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k 3 y→ 0
y = kx
其值随k的不同而变化， 其值随 的不同而变化， 的不同而变化 故极限不存在． 故极限不存在．
确定极限不存在的方法： 确定极限不存在的方法： 不存在的方法
2 2
解
3 − x2 − y2 ≤ 1 x − y2 > 0 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ⇒ 2 x > y
所求定义域为 D = {( x , y ) | 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x > y 2 }.
（6） 二元函数 z = f ( x , y ) 的图形 ）
2 2
1 0 证 ( x + y ) sin 2 2 − x +y 1 2 2 2 2 = x + y ⋅ sin 2 2 ≤ x + y x +y ∀ ε > 0, ∃ δ = ε ,
2 2
当 0 < ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 < δ 时，
1 ( x + y ) sin 2 0 <ε 2 − x +y
f ( x 0 , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆y → 0 ∆y ∂z ∂f 记为 ， ， z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y = y0 ∂y x = x 0 ∂y x = x 0 y= y y= y
0 0
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 的偏导数都存在， 的函数， 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 的偏导数， 自变量 x 的偏导数，
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 2 3 4 多元函数极限与连续性 偏导数与全微分 抽象符合函数的偏导数与全微分 高阶偏导数， 高阶偏导数，求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
（1）邻域 ）
平面上的一个点， 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点，δ 是某 一正数， 一正数，与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全体， 邻域， 的全体，称为点 P0 的δ 邻域，记为U ( P0 , δ ) ，
的点都是内点， 如果点集 E 的点都是内点， 则称 E 为开集 .
例如， 例如，E1 = {( x , y ) 1 < x + y < 4}
2 2
•P
即为开集． 即为开集．
E
的点， 如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点， 的点（ 也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于 E ，也 ），则称 的边界点． 可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
（如下页图） 如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的图形通常是一张曲面
二、多元函数的极限
设 函 数 z = f ( x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点 ， 如果对于任意给定的 是其聚点， 正数 ε ， 总存在正数δ ， 使得对于适合不等式 0 <| PP0 |= ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ 的 一 切 成立， 点，都有| f ( x , y ) − A |< ε 成立，则称 A 为函数 z = f ( x , y ) 当 x → x 0 ， y → y 0 时的极限， 时的极限， 记为 lim f ( x , y ) = A 定义 1 （或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0)这里 ρ =| PP0 |）.
x → x0 y → y0
说明： 说明：
的方式是任意的； （1）定义中 P → P0 的方式是任意的； ） （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y ); ）
x → x0 y → y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似． ）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
1 0 例2 求证lim( x + y ) sin 2 2 = x →0 x +y y →0
E 的边界点的全体称为 E 的边界． 的边界．
•P
设 D 是开集．如果对于 D 内 是开集． 任何两点， 连结起来， 任何两点，都可用折线 连结起来， 且该折线上的点都属于 D ，则称 是连通的． 开集 D 是连通的．
•
E
•
（5）二元函数的定义 ）
是平面上的一个点集， 设 D 是平面上的一个点集 ， 如果对于每个点 P ( x , y ) ∈ D ， 变量 z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应， 的二元函数， 值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z = f ( x , y ) （或记为 z = f (P ) ）.
一般地， 一般地，求 lim f ( P ) 时，如果 f ( P ) 是初等函
P → P0
的定义域的内点， 数，且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点，则 f ( P ) 在 点 P0 处连续，于是 lim f ( P ) = f ( P0 ). 处连续，
P → P0
xy + 1 − 1 例７ 求 lim . x →0 xy y→0
xy + 1 − 1 1 解 原式 = lim = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 y→ 0
1 = . 2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性） 注意趋近方式的任意性） 任意性
多元函数连续的概念
2、偏导数的定义及其计算法 、