高数 多元函数的偏导数与全微分
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念,它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中,我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数,则在该点的全微分为:$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数,$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质:(1)全微分的值与路径无关。
即,从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
(2)全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
(3)全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为:$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,求偏导数的方法如下:(1)保持其他自变量不变,对于某个自变量求导数。
(2)对于每个自变量都求一遍偏导数。
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用
多元函数的偏导数与全微分的计算及应用多元函数是指具有多个自变量的函数,其偏导数与全微分的计算和应用是数学分析中重要的概念和工具。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法,并探讨其在实际问题中的应用。
一、多元函数的偏导数计算多元函数的偏导数是指函数对于某个自变量的变化率。
对于一个自变量的偏导数,我们将其他自变量视为常数。
偏导数的计算方法如下:1. 对于一个自变量的偏导数:对于函数f(x1,x2,...,xn),我们对第i个自变量求偏导数,表示为∂f/∂xi。
2. 对于多个自变量的偏导数:对于函数f(x1,x2,...,xn),我们对多个自变量同时求偏导数,表示为∂f/∂xi,...,∂f/∂xn。
需要注意的是,多元函数的偏导数存在交换律,即求任意两个自变量的偏导数的次序可以交换。
二、多元函数的全微分计算多元函数的全微分是指函数在某一点附近的线性近似,表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
全微分可以看作是偏导数的线性组合,其中∂f/∂xi表示函数对第i个自变量的灵敏度,dxi表示自变量的变化量。
三、多元函数的偏导数与全微分的应用1. 最值问题:通过计算偏导数,可以找到函数的局部极大值和极小值。
当偏导数为零或不存在时,可能存在驻点或临界点,进一步分析可以确定最值点。
2. 泰勒展开:通过计算全微分,可以得到函数在某一点附近的二阶导数信息,进而展开为泰勒级数,用于函数的近似计算。
3. 线性化分析:通过计算全微分,可以将非线性问题线性化处理,简化问题的求解过程。
在工程和科学领域中,常常使用这种方法来解决复杂的非线性问题。
4. 向量场与梯度:多元函数的梯度可以看作是一个向量场,表示了函数在各个方向上的变化率。
通过计算梯度,可以揭示函数在不同方向上的变化规律。
5. 链式法则:当函数的自变量是另一个函数的输出时,可以使用链式法则计算偏导数和全微分。
高等数学微积分教程第四章多元函数微分学--偏导数与全微分
∂2z y2 − x2 ∂2z = = 2 2 2 ∂y∂x (x + y ) ∂x∂y
例6. z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z ∂3z , , , 求 2 , 2 ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x 3
∂z = 3x 2 y 2 − 3 y3 − y, ∂x
例4. f ( x, y ) =| x | + | y |
y →0
在(0,0)点是否连续?是否有偏导数?
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0) 故在(0,0)点连续. x →0
由定义易知在(0,0)点偏导数不存在. 注意: 对于一元函数,可导必连续.而对于多元函数,从以上 两例可看出函数连续与偏导数存在没有必然的联系. 2. 偏导数的几何意义 f x ( x0 , y0 ) 表示曲面z=f(x,y)与平面 y = y0 的交线L在点 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 ))处的切线 M 0Tx 对x 轴的斜率tan α
例7.求 u = x + sin
y + e yz 的全微分 2 ∂u ∂u 1 y ∂u yz = 1, = ye yz = cos + ze , ∂x ∂z ∂y 2 2 1 y ∴ du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz 2 2
注意一元函数与多元函数各种状态之间的区别 一元函数: 一元函数 可导 连续 多元函数: 多元函数 可微
f ( x0 + ∆x, y0 , z0 ) − f ( x0 , y0 , z0 ) f x ( x0 , y0 , z0 ) = lim ∆x → 0 ∆x
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中,每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下,函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数,表示在$x_i$方向上的变化率,记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中,$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分,表示函数在此点的一个近似变化,记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示,即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系:$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法,下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时,可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
高数多元函数的偏导数与全微分
(如下页图)
二元函数的图形通常是一张曲面.
二、多元函数的极限
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点,如果对于任意给定的
正数 ,总存在正数 ,使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点,都有| f ( x, y) A | 成立,则称 A 为函数
类似地可定义三元及三元以上函数.
当n 2时,n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域. x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
z 2z y x xy
f xy
(
x,
y), x
z y
2z yx
f yx ( x, y)
混合偏导
定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 多元函数极限与连续性 2 偏导数与全微分 3 抽象符合函数的偏导数与全微分 4 高阶偏导数,求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
(1)邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点, 是某 一正数,与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体,称为点P0 的 邻域,记为U (P0 , ) ,
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案:多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中,多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法,以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$,其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为:$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$,我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上,对其中一个自变量求导时,将其他自变量视为常数。
具体地,对于函数 $z = f(x, y)$,其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$,表示在点 $(x, y)$ 处,将 $y$ 视为常数,对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地,我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似,需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$,计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$,我们将 $y$ 视为常数,所以可以直接对 $x$ 求导。
多元函数的偏导数与全微分计算
多元函数的偏导数与全微分计算多元函数在数学领域中起着重要的作用,研究多元函数的性质和变化趋势需要借助于偏导数和全微分的概念和计算方法。
本文将介绍多元函数的偏导数和全微分的定义、性质及其计算方法。
一、偏导数的定义与计算方法偏导数是多元函数对于某个变量的导数,其定义如下:对于函数 $z = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$,其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量,$z$ 是函数的因变量。
函数 $f$ 在某一点处对于自变量$x_i$ 的偏导数定义为:$\frac{\partial z}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_i + \Delta x_i, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_n)}{\Delta x_i}$计算偏导数时,可以将多元函数看作其他变量不变,只对某一变量求导的单变量函数。
常用的计算方法有以下几种:1. 隐函数求导法当多元函数以隐式形式给出时,可以使用隐函数求导法计算偏导数。
通过对方程两边同时求导,并利用链式法则可以得到偏导数的表达式。
2. 显函数求导法当多元函数以显式形式给出时,可以直接对每个变量求导,其他自变量视作常数。
逐个变量求导后得到各个偏导数。
3. 参数方程法对于由参数方程表示的多元函数,在参数的每个分量上分别求导,并利用链式法则计算出各个偏导数。
二、偏导数的性质偏导数具有以下一些性质:1. 交换性对于偏导数来说,次序并不重要,即换序后得到的偏导数结果相同。
$\frac{\partial^2 z}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 z}{\partialx_j \partial x_i}$2. 连续性如果多元函数 $f$ 的偏导函数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 在某一点连续,那么该点处的偏导数存在。
高考数学冲刺策略多元函数的偏导数与全微分
高考数学冲刺策略多元函数的偏导数与全微分高考数学冲刺策略:多元函数的偏导数与全微分在高考数学的复习冲刺阶段,多元函数的偏导数与全微分是一个重要的知识点,也是考试中的难点之一。
掌握好这部分内容,对于提高数学成绩、增强解题能力具有重要意义。
接下来,我们将深入探讨多元函数的偏导数与全微分的相关知识和解题策略。
一、多元函数的基本概念在我们日常生活中,很多量不仅仅取决于一个变量,而是由多个变量共同决定。
比如,一个长方体的体积就取决于它的长、宽、高三个变量。
这就引出了多元函数的概念。
多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数。
比如,$z = f(x,y)$就是一个二元函数,表示变量$z$ 由变量$x$ 和$y$ 共同决定。
二、偏导数对于多元函数,我们不能像一元函数那样简单地求导数。
而是要引入偏导数的概念。
偏导数是指在多元函数中,只对其中一个自变量求导数,而把其他自变量看作常数。
比如,对于函数$z = f(x,y)$,对$x$ 的偏导数记为$\frac{\partial z}{\partial x}$,对$y$ 的偏导数记为$\frac{\partial z}{\partial y}$。
求偏导数的方法其实和一元函数求导类似,只是要把其他变量当作常数。
例如,对于函数$z = x^2 + 3xy + y^2$,对$x$ 求偏导数,把$y$ 看作常数,得到:$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$对$y$ 求偏导数,把$x$ 看作常数,得到:$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$三、全微分全微分则是对多元函数整体微小变化的一种描述。
如果函数$z = f(x,y)$的全微分存在,记为$dz$,则$dz =\frac{\partial z}{\partial x}dx +\frac{\partial z}{\partial y}dy$例如,对于函数$z = x^2 + 3xy + y^2$,我们已经求出了偏导数$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y$,$\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y$ ,那么它的全微分就是:$dz =(2x + 3y)dx +(3x + 2y)dy$四、高考中的常见题型及解题策略1、求偏导数和全微分这是最基本的题型,需要熟练掌握求偏导数和全微分的方法。
高考数学多元函数:偏导数与全微分解析
高考数学多元函数:偏导数与全微分解析在高考数学中,多元函数是一个重要的知识点,而其中的偏导数与全微分更是理解和解决多元函数问题的关键。
对于许多同学来说,这部分内容可能会感到有些抽象和难以掌握,但只要我们深入理解其概念和原理,并通过大量的练习来巩固,就能够在考试中应对自如。
首先,让我们来了解一下什么是多元函数。
简单来说,多元函数就是指有两个或两个以上自变量的函数。
比如,我们常见的二元函数\(z = f(x, y)\),这里\(x\)和\(y\)就是两个自变量。
偏导数是多元函数中的一个重要概念。
当我们对一个多元函数中的某个自变量进行求导,而把其他自变量看作常数时,所得到的导数就称为偏导数。
以二元函数\(z = f(x, y)\)为例,如果我们对\(x\)求偏导数,就记作\(\frac{\partial z}{\partial x}\),此时把\(y\)看作常数;对\(y\)求偏导数,记作\(\frac{\partial z}{\partial y}\),把\(x\)看作常数。
为了更好地理解偏导数,我们来看一个具体的例子。
假设函数\(z= x^2 + 3xy + y^2\),那么对\(x\)求偏导数\(\frac{\partial z}{\partial x}\),就是对\(x\)的每一项分别求导。
\(x^2\)对\(x\)求导为\(2x\),\(3xy\)对\(x\)求导为\(3y\)(因为\(y\)看作常数),\(y^2\)对\(x\)求导为\(0\)(因为不含\(x\)),所以\(\frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 3y\)。
同样地,对\(y\)求偏导数\(\frac{\partial z}{\partial y}\),\(x^2\)对\(y\)求导为\(0\),\(3xy\)对\(y\)求导为\(3x\),\(y^2\)对\(y\)求导为\(2y\),所以\(\frac{\partial z}{\partial y} = 3x + 2y\)。
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导
多元函数的偏导数与全微分的概念及推导多元函数是指含有多个自变量的函数,偏导数是研究这类函数时常用的工具,而全微分则是近似表示函数的变化率。
本文将介绍多元函数的偏导数与全微分的概念,并进行相应的推导。
一、多元函数的偏导数多元函数的偏导数是指对于含有多个自变量的函数,我们在求解函数变化率时,只关注一个自变量的变化而将其他自变量视为常数。
具体而言,对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,其关于自变量$x_i$的偏导数表示为$\frac{\partial f}{\partialx_i}$,表示$f$对$x_i$的变化率。
对于二元函数$z=f(x,y)$,其偏导数分为偏导数和混合偏导数两种情况。
偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$表示$z$对$x$的变化率,$\frac{\partial z}{\partialy}$表示$z$对$y$的变化率。
混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$表示先对$x$求偏导再对$y$求偏导。
对于多元函数的偏导数计算,可以通过求偏导的方式逐个计算。
具体而言,对于多元函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$,求关于$x_i$的偏导数时,将其他自变量视为常数,对$x_i$进行求导即可。
重复这个过程,可以得到所有的偏导数。
二、多元函数的全微分多元函数的全微分是函数的微小变化量。
对于二元函数$z=f(x,y)$,其全微分$\mathrm{d}z$表示$z$的微小变化量。
全微分可以通过偏导数来表示,即$\mathrm{d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial z}{\partialy}\mathrm{d}y$。
全微分的求解可以用来计算函数的变化率及其对应的方向,通过对全微分展开可以得到函数的线性逼近形式。
因此,全微分在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分多元函数是指含有多个自变量的函数。
在研究多元函数时,我们经常需要考虑函数在各个自变量上的变化情况。
而偏导数就是用来描述多元函数在某个自变量上的变化率。
偏导数的定义如下:对于多元函数f(x1, x2, ..., xn),在某个点P(x1,x2, ..., xn)处,对第i个自变量求导得到的导数称为偏导数,记作∂f/∂xi。
偏导数表示了函数在某一方向上的变化率。
如果函数f是可微的,那么全微分df可以表示为df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn,其中dx1, dx2, ..., dxn是自变量的微小变化量。
偏导数与方向导数之间存在一定的联系。
方向导数表示了函数在某一特定方向上的变化率,偏导数是方向导数在坐标轴方向上的特例。
具体来说,对于函数f(x1, x2, ..., xn)在点P(x1, x2, ..., xn)处的方向向量为d,则方向导数可以表示为Df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... +∂f/∂xn * dxn。
当d为坐标轴方向(例如d = (1, 0, 0, ..., 0))时,方向向量的每个分量只有一个非零分量,其他分量为0,此时方向导数就变成了偏导数。
在求解多元函数的偏导数时,常常使用链式法则和求导法则。
链式法则用于求解复合函数的导数,求导法则则是求解一些特定函数的导数公式。
多元函数偏导数在实际问题中有着广泛的应用。
例如,在经济学中,我们经常研究生产函数来描述生产过程中的变化率;在物理学中,偏导数可以用来表示速度、加速度等物理量的变化率。
总结一下,多元函数的偏导数是用来描述函数在某个自变量上的变化率。
全微分则是将多个自变量的偏导数通过线性组合得到的。
偏导数与方向导数密切相关,是方向导数在坐标轴方向上的特例。
在实际问题中,偏导数有着重要的应用价值。
以上就是关于多元函数的偏导数与全微分的相关内容,希望能够帮助你更好地理解和应用多元函数的求导方法。
高等数学11.2多元函数的偏导数和全微分-精选文档
高等数学
主讲人 宋从芝
11.2
多元函数的偏导数与全微分
本讲概要 偏导数的概念 高阶偏导数
全微分
一、偏导数的概念
1.偏导数的定义
定义1 设函数 z = f(x , y) 在点 P0(x0 , y0)及其近旁 有定义. 若极限
f ( x xy ,0 ) f ( x ,y ) 0 0 0 l i m x 0 x
2 z z z ; (x fyx ,y ) z yx y x y y x x
z z 2z y y y 2 y y
. (x fyy ,y ) z yy
(x, y) 称为二阶混合偏导数. (x, y) 及 fyx 其中 fxy
类似的,可以定义三阶、四阶、… 、n 阶偏导数,
而 f ( x ,y ) , 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数, x f ( x , y ) 称为函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数. y
偏导数都存在, 那么这个偏导数是 x , y 的函数,此函 数称为函数 z = f ( x , y ) 对自变量 x 的偏导函数, 记作
z , f ( x, y), z (x fx ,y ). x 或 x x 可以定义函数 z = f (x , y) 对自变量 y 的偏导 类似地,
代入等式左边得
u u u x y z
2 2 2
2
2
2
4 x y z 4 u 4 x 4 y 4 z
2 2 2
3.偏导数的几何意义
我们知道 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何 意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率, 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数, 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数. 因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在微积分中,我们学习了单变量函数的导数和微分,它们描述了函数在某一点的变化率和近似值。
然而,在现实生活中,很多问题都涉及到多个变量的函数,这就需要我们引入多元函数的概念。
多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数性质的重要工具。
一、多元函数的偏导数偏导数是多元函数在某一点关于某个变量的导数。
对于一个二元函数f(x, y),它可以表示为z = f(x, y),其中x和y是自变量,z是因变量。
在这种情况下,我们可以计算函数f对于x的偏导数和对于y的偏导数,分别记为∂f/∂x和∂f/∂y。
偏导数的计算方法与单变量函数的导数类似,只是在求导时将其他变量视为常数。
例如,对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2,我们可以计算出∂f/∂x = 2x + 2y和∂f/∂y = 2x + 2y。
这两个偏导数描述了函数f在某一点上关于x和y的变化率。
偏导数还可以进一步推广到更高维度的情况。
对于一个n元函数f(x1, x2, ..., xn),我们可以计算出关于每个变量的偏导数,分别记为∂f/∂x1,∂f/∂x2,...,∂f/∂xn。
这些偏导数描述了函数f在某一点上关于每个变量的变化率。
二、多元函数的全微分全微分是多元函数在某一点的线性近似。
对于一个二元函数f(x, y),它的全微分可以表示为df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy。
其中,dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
全微分可以帮助我们计算函数在某一点的微小变化量。
例如,对于函数f(x, y)= x^2 + 2xy + y^2,在点(1, 2)处的全微分可以表示为df = (2·1 + 2·2)·dx + (2·1 + 2·2)·dy = 10·dx + 10·dy。
这个全微分描述了函数f在点(1, 2)附近的线性近似。
多元函数的偏导数和全微分
多元函数的偏导数和全微分多元函数是数学中非常重要的一类函数,它可以同时依赖于多个变量。
在研究多元函数时,我们需要关注其偏导数和全微分这两个重要概念。
一、偏导数的定义和性质偏导数是指多元函数在某个变量上的导数。
对于二元函数f(x, y),其偏导数可以定义为在某一点上,分别关于x和y的导数。
记作∂f/∂x 和∂f/∂y。
同样地,在三元函数中,我们可以定义三个偏导数∂f/∂x,∂f/∂y 和∂f/∂z。
偏导数的计算方法和一元函数的导数类似,只需要固定其他变量,将多元函数当作一元函数对某个变量求导即可。
偏导数有很多重要性质,以下是其中的一些:1. 混合偏导数的次序可以颠倒,即∂²f/(∂x∂y) = ∂²f/(∂y∂x)。
这个性质称为克拉默条件。
2. 如果混合偏导数∂²f/(∂x∂y) 和∂²f/(∂y∂x) 在某个点处连续,那么这两个偏导数必然相等。
3. 如果多元函数的所有偏导数都连续,那么它在定义域内必然是光滑的,也就是处处可微的。
二、全微分的概念和计算方式全微分是多元函数在某个点上的线性近似。
对于二元函数f(x, y),全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。
在三元函数中,全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ∂f/∂z * dz。
在计算全微分时,我们将偏导数乘以对应的变量的微分,并将它们相加。
全微分可以帮助我们近似计算函数在某个点的微小变化量。
如果一个函数在某点处连续且具有光滑的偏导数,那么全微分也是唯一确定的。
三、应用举例偏导数和全微分在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子:1. 梯度下降法:在机器学习中,我们常常需要优化一个目标函数。
通过计算目标函数关于各个变量的偏导数,可以确定梯度的方向,进而采取适当的步长进行迭代,最终找到目标函数的最小值。
2. 经济学中的边际效用:在经济学中,边际效用是指额外增加或减少一单位某种物品所带来的效用变化。
9.3多元函数的偏导数与全微分
一元函数 y = f (x) 的微分
• 问题:混合偏导数都相等吗?具备怎样的条件才相等? • 定理:
应用
近似计算 估计误差
一、全微分的定义
*二、全微分在数值计算中的应用
3
2013/2/28
2.1、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
在物理和力学中, 经常用到力和速 度的分解和合成 . 一般是将任意方向的 力或速度分解为平行于坐标轴方向的分 力或分速度 .
一、偏导数定义及记法
• 定义:
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
在原点处不连 答:存在
一元函数: 可导 连续
可微
*全微分在数值计算中的应用
1. 近似计算 由全微分定义
各偏导数连续
各偏导数存在 连续
多元函数: 各偏导数存在 连续
可微
可知当
及
较小时, 有近似等式:
(可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)
例.计算 解: 设
的近似值. ,则
2. 误差估计(选用) 利用 令
的某邻域内存在 ;
利用轮换对称性 , 可得
时是无穷小量 ;
时是无穷小量 .
2) 3)
同理
4) 下面证明 令 则
极限不存在 , 同理 ,
在点(0,0)不连续 ; 在点(0,0)也不连续.
说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.
6
分别表示 x , y , z 的绝对误差界, 则
特别注意
多元函数的偏导数与全微分
多元函数的偏导数与全微分在数学分析中,偏导数与全微分是研究多元函数的重要概念。
本文将从理论和实际的角度探讨多元函数的偏导数与全微分的定义、性质和应用。
一、偏导数的定义与性质偏导数是用来描述多元函数在某一变量上的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn),偏导数是指在其他变量固定的情况下,关于某一变量的导数。
设有函数f(x₁, x₂, ..., xn),其中x₁, x₂, ..., xn是变量,对于i = 1,2,...,n,f对xᵢ的偏导数记作∂f/∂xᵢ。
偏导数的计算方法与一元函数类似,可以通过求极限的方式得到。
偏导数具有以下性质:1.线性性质:对于常数α, β和函数f, g,有∂(αf + βg)/∂x = α(∂f/∂x) + β(∂g/∂x)。
2.交换性质:对于任意的i, j,有∂(∂f/∂xᵢ)/∂xⱼ = ∂(∂f/∂xⱼ)/∂xᵢ。
3.对称性质:对于任意的i, j,如果混合偏导数∂²f/(∂xᵢ∂xⱼ)和∂²f/(∂xⱼ∂xᵢ)在某个区域内存在且连续,那么它们相等。
二、全微分的定义与性质全微分是用来描述多元函数在某一点处的增量与变量之间的关系。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn),在某个点(x₁₀, x₂₀, ..., xn₀)处的全微分df记作:df = (∂f/∂x₁)dx₁ + (∂f/∂x₂)dx₂ + ... + (∂f/∂xn)dxn全微分的计算方法与一元函数类似,通过对每个变量求偏导数并乘以对应的微小增量得到。
全微分具有以下性质:1.线性性质:对于常数α, β和函数f,有d(αf + βg) = αdf + βdg。
2.链式法则:对于复合函数z = f(g(x₁, x₂, ..., xn)),其全微分可以表示为dz = (∂z/∂x₁)dx₁ + (∂z/∂x₂)dx₂ + ... + (∂z/∂xn)dxn。
3.二阶全微分:如果函数f具有二阶连续偏导数,那么df的全微分可以进一步求导得到d²f = (∂²f/∂x₁²)dx₁² + 2(∂²f/∂x₁∂x₂)dx₁dx₂ + ... + (∂²f/∂xn²)dxn²。
多元函数的偏导数与全微分论述与应用
多元函数的偏导数与全微分论述与应用一、多元函数的偏导数与全微分的定义多元函数是指具有多个自变量的函数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1,x2, ..., xn),其中xi表示第i个自变量,其偏导数指的是在每个自变量上分别求导,而将其他自变量视为常数。
偏导数表示函数在某个特定自变量上的变化率。
以二元函数f(x, y)为例,分别对x和y求偏导数,可以得到偏导数表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
这表示当y是常数时,函数f关于x的变化率;当x是常数时,函数f关于y的变化率。
全微分是对于多元函数在某一点的线性近似表示。
对于一个二元函数f(x, y),全微分表示为df=f_x dx + f_y dy,其中f_x和f_y表示分别关于x和y的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某一点处的微小变化量。
具体而言,对于自变量的微小变化dx和dy,函数f在该点产生的微小变化df可以通过全微分来表示。
二、多元函数偏导数的计算方法多元函数的偏导数的计算方法与一元函数的导数的计算方法类似,可以使用基本的微分法则进行计算。
对于一个具有n个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn),分别对每个自变量求偏导数,可以按照以下步骤进行计算:1. 将所有与求导无关的自变量视为常数。
2. 对于每个自变量,分别对其求偏导数。
对于每个自变量x_i,偏导数表示为∂f/∂x_i。
3. 求得的偏导数可以用来计算函数在不同自变量上的变化率。
三、多元函数偏导数与全微分的应用1. 最优化问题:多元函数的偏导数可以用于最优化问题的求解。
通过对各个自变量求偏导数,可以找到函数的最大值或最小值。
这在经济学、工程学和物理学等领域有广泛的应用。
2. 偏导数与曲面切平面:偏导数可以用来表示曲面在某一点处的斜率,从而可以求出曲面在该点处的切平面。
这对于三维几何和图形绘制具有重要意义。
3. 方向导数:偏导数可以用来计算函数在给定方向上的变化率。
通过对每个自变量求偏导数,然后将其与给定方向的单位矢量相乘,可以得到函数在该方向上的方向导数。
多元函数偏导数与全微分
多元函数偏导数与全微分多元函数的偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念。
在研究多元函数的变化率和近似值时,偏导数和全微分起着至关重要的作用。
本文将对多元函数的偏导数和全微分进行详细讨论。
1. 偏导数偏导数是指多元函数对于其中某个变量的导数,其他变量视为常数。
以二元函数为例,设函数z=f(x,y),则函数f关于x的偏导数记为∂z/∂x,表示在给定y的值下,函数z对于x的变化率。
类似地,关于y的偏导数记为∂z/∂y。
对于多元函数来说,偏导数有多个,可以依次求取。
2. 偏导数的计算计算偏导数的方法与一元函数类似,将其他变量视为常数,对目标变量求导即可。
例如,对于函数z=x^2+y^2,我们分别求偏导数。
关于x的偏导数为∂z/∂x=2x,关于y的偏导数为∂z/∂y=2y。
求导的过程中,将其他变量视为常数,对目标变量进行求导计算。
3. 偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数为例,对于函数z=f(x,y),在点(x0,y0)处的偏导数∂z/∂x表示函数图像在该点处关于x轴的切线斜率,而∂z/∂y则表示关于y轴的切线斜率。
通过偏导数的计算,我们可以了解函数在不同方向上的变化率和趋势。
4. 全微分全微分是用线性逼近来描述函数值的微小变化。
对于函数z=f(x,y),其全微分可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
这里的dx和dy分别是自变量x和y的微小变化量。
全微分主要用于函数值的近似计算和误差分析。
5. 全微分与偏导数的关系全微分与偏导数之间存在着密切的关系。
对于二元函数而言,全微分dz可以表示为dz=∂z/∂x*dx+∂z/∂y*dy。
其中,∂z/∂x和∂z/∂y分别是偏导数,dx和dy是自变量的微小变化量。
可以看出,全微分dz与偏导数有着相似的表达形式,但全微分考虑了两个自变量的微小变化。
6. 全微分的应用全微分在实际问题中有着广泛的应用。
通过使用全微分,我们可以对函数值进行近似计算,从而得到函数在某一点的近似值。
大学高数第四章1-2节_多元函数-偏导数与全微分
(x, y)1 x2 y2 4 是有界闭区域
(x, y) x y 1是无界开区域
30
例1 求 f ( x, y) ln(x y) 的定义域
解 所求定义域为
x y0
D {( x, y) | x y 0}.
例2 求 f ( x, y) arcsin(x2 y2 ) 的定义域。
O
x
以点P0 (x0, y0 )为中心、
以为半径的圆的内部所有点
24
邻域
o
点P0(x0, y0)的去心邻域 记作U (P0, )
o
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
y
当不需要强调邻域半径时,
P0 (x0, y0 )
P的邻域和去心邻域
可分别简记为
P 则称P为E的边界点
E的边界点全体称为E的边界27
例:平面点集E
E (x, y)1 x2 y2 2
满足1 x2 y2 2的点(x, y)是E的内点 满足x2 y2 1的点(x, y)是E的边界点
这些边界点不属于E
满足x2 y2 2的点(x, y)是E的边界点 这些边界点属于E
只含x, z而缺y的方程F(x, z) 0 表示平行于y轴的柱面 只含y, z而缺x的方程F( y, z) 0 表示平行于x轴的柱面
15
平面方程
Ax By Cz D 0 (A, B,C不同时为零) D 0, Ax By Cz 0 过原点的平面 C 0, Ax By D 0 平行于z轴的平面
于p0 (x0, y0 )时,函数f (x, y)都无限趋近于一个常数A,则称
f (x, y)当p(x, y) p0 (x0, y0 )时,以A为极限, 记作
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
U ( P0 , δ ) = {P | PP0 |< δ }
= ( x , y ) | ( x − x 0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ .
δ
•
{
}
P0
(2)区域 )
是平面上的一个点集, 设 E 是平面上的一个点集, P 是平面上的 一个点. 一个点.如果存在点 P 的某一邻域 U ( P ) ⊂ E , 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) = lim , ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) = lim , ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D ,对于任意 取定的 P ( x , y ) ∈ D ,对应的函数值为 z = f ( x , y ) ,这样,以 x 为横坐标、 y 为纵坐 这样, 为横坐标、 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 M ( x , y , z ) , 上一切点时, 当 x 取遍 D 上一切点时,得一个空间点集 {( x , y , z ) | z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D },这个点集称 为二元函数的图形. 为二元函数的图形
一般地, 一般地,求 lim f ( P ) 时,如果 f ( P ) 是初等函
P → P0
的定义域的内点, 数,且 P0 是 f ( P ) 的定义域的内点,则 f ( P ) 在 点 P0 处连续,于是 lim f ( P ) = f ( P0 ). 处连续,
P → P0
xy + 1 − 1 例7 求 lim . x →0 xy y→0
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义, 域内有定义 , 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ∆x 时,相应地函数有增量 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) ,
f ( x 0 + ∆ x , y 0 ) − f ( x 0 , y0 ) 存在, 如果 lim 存在,则称 ∆x → 0 ∆x 此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
∂z ∂z 习惯上, 习惯上,记全微分为 dz = dx + dy . ∂x ∂y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理. 原理. 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
E 的边界点的全体称为 E 的边界. 的边界.
•P
设 D 是开集.如果对于 D 内 是开集. 任何两点, 连结起来, 任何两点,都可用折线 连结起来, 且该折线上的点都属于 D ,则称 是连通的. 开集 D 是连通的.
•
E
•
(5)二元函数的定义 )
是平面上的一个点集, 设 D 是平面上的一个点集 , 如果对于每个点 P ( x , y ) ∈ D , 变量 z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应, 的二元函数, 值和它对应,则称 z 是变量 x, y 的二元函数,记为 z = f ( x , y ) (或记为 z = f (P ) ).
f ( x 0 , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆y → 0 ∆y ∂z ∂f 记为 , , z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y = y0 ∂y x = x 0 ∂y x = x 0 y= y y= y
0 0
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数 的偏导数都存在, 的函数, 就是 x 、 y 的函数,它就称为函数 z = f ( x , y ) 对 的偏导数, 自变量 x 的偏导数,
偏导数, 偏导数,记为
∂z ∂f , ,zx = = ∂x x = x0 ∂x x = x0 y y y y
0 0
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数, 为 的偏导数,
sin( x 2 y ) u = x 2 y sin u lim lim = 1, 其中 x →0 2 u→ 0 x y u y →0
x y x2 + y2
2
sin( x 2 y ) 1 ≤ x x →0→ 0, ∴ lim x 2 + y 2 = 0. x →0 2 y →0
x3 y 不存在. 例4 证明 lim 6 2 不存在. x →0 x + y y →0
2 2
原结论成立. 原结论成立.
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x→0 x + y y→0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x →0 x + y 2 y →0
sin( x 2 y ) x 2 y , = lim ⋅ 2 2 2 x →0 x y x +y y→ 0
的定义域的聚点, 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点 , 如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续,则称 P0 是函数 f ( P ) 的 处不连续, 间断点. 间断点
例5 讨论函数
xy , x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
2 2
1 0 证 ( x + y ) sin 2 2 − x +y 1 2 2 2 2 = x + y ⋅ sin 2 2 ≤ x + y x +y ∀ ε > 0, ∃ δ = ε ,
2 2
当 0 < ( x − 0 ) 2 + ( y − 0 ) 2 < δ 时,
1 ( x + y ) sin 2 0 <ε 2 − x +y
x → x0 y → y0
说明: 说明:
的方式是任意的; (1)定义中 P → P0 的方式是任意的; ) (2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y ); )
x → x0 y → y0
(3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. )二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
1 0 例2 求证lim( x + y ) sin 2 2 = x →0 x +y y →0
(1)令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x 0 , y 0 ) ,若 )
有关,则可断言极限不存在; 极限值与k 有关,则可断言极限不存在;
) 找两种不同趋近方式, 存在, (2) 找两种不同趋近方式,使 lim f ( x , y )存在,
x → x0 y → y0
但两者不相等, 但两者不相等,此时也可断言 f ( x , y ) 在点
第十三讲 多元函数偏导数与全微分
1 2 3 4 多元函数极限与连续性 偏导数与全微分 抽象符合函数的偏导数与全微分 高阶偏导数, 高阶偏导数,求偏导次序无关性
一、多元函数的概念
(1)邻域 )
平面上的一个点, 设 P0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平面上的一个点,δ 是某 一正数, 一正数,与点 P0 ( x 0 , y 0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全体, 邻域, 的全体,称为点 P0 的δ 邻域,记为U ( P0 , δ ) ,
叠加原理也适用于二元以上函数的情况. 叠加原理也适用于二元以上函数的情况.
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在. 处极限不存在.
三、多元函数的连续性
定义3 定义3 设 n 元函数 f (P ) 的定义域为点集 D , P0
是其聚点且 P0 ∈ D ,如果 lim f ( P ) = f ( P0 )
P → P0
处连续. 则称 n 元函数 f (P ) 在点 P0 处连续.
xy + 1 − 1 1 解 原式 = lim = lim x → 0 xy( xy + 1 + 1) x →0 xy + 1 + 1 y→ 0 y→ 0
1 = . 2
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
(注意趋近方式的任意性) 注意趋近方式的任意性) 任意性
多元函数连续的概念
2、偏导数的定义及其计算法 、
证
3 取 y = kx ,
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 , 2 = lim 6 2 6 = 2 x →0 x + y x →0 x + k x 1+ k 3 y→ 0
y = kx
其值随k的不同而变化, 其值随 的不同而变化, 的不同而变化 故极限不存在. 故极限不存在.
确定极限不存在的方法: 确定极限不存在的方法: 不存在的方法
的连续性. 在(0,0)的连续性. 的连续性 解 取 y = kx xy k kx 2 lim 2 = = lim 2 2 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k x 1+ k2 y→ 0 y = kx 其值随k的不同而变化, 极限不存在. 其值随 的不同而变化, 极限不存在. 的不同而变化 故函数在(0,0)处不连续. 处不连续. 故函数在 处不连续