经济数学基础微分学之第2章 极限、导数与微分
极限,导数,微分,积分
极限,导数,微分,积分
极限、导数、微分和积分是微积分学中的重要概念和工具。
它们在数学和物
理学等多个领域中起着至关重要的作用。
本文将介绍这些概念的含义和应用，并
探讨它们之间的关系。
正文
一、极限
极限是微积分学中的基本概念，用于描述函数在某一点的趋势。
当自变量逐渐接近某一特定值时，函数的取值是否趋近于某个确定的常数。
极限可以用于计算函数的连续性、收敛性以及一些数列和级数的求和等问题。
二、导数
导数是描述函数变化率的概念。
它表示函数在某一点的切线斜率。
导数可以用于求解函数的最值、判断函数的增减性以及描述物理学中的速度、加速度等概念。
三、微分
微分是导数的一种表示方式，也是微积分的重要组成部分。
微分可以理解为函数在某一点附近的局部线性近似。
通过微分可以求解函数的极值点、最大值和最小值等问题。
四、积分
积分是导数的逆运算，用于求解函数曲线下的面积。
积分可以用
于计算函数的定积分和不定积分，求解曲线的长度、质量、重心等问题。
极限、导数、微分和积分之间有着密切的联系。
导数可以通过极限来定义，微分可以通过导数来计算，积分则是微分的逆运算。
这些概念共同构成了微积分学的基础理论，为解决实际问题提供了强大的工具。
总结：
极限、导数、微分和积分是微积分学中的重要概念和工具。
它们通过描述函数的趋势、变化率以及曲线下的面积等，为数学和物理学等领域提供了强大的计算工具。
这些概念之间存在着紧密的联系，相互补充、相互推导，共同构成了微积分学的核心内容。
经济数学基础微分学之第2章 极限、导数与微分
第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。
其中的第n 项n x 称为该数列的通项。
②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。
记为A x n n =∞→lim2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。
例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x 1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.1——函数的极限设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x（但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时（0x x ≠），2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2——左右极限设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作lim ()x x f x L→-=0 或f x -()0= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作lim ()()x x f x R f x →++=00或=R 。
《经济数学》-第二章导数与微分
所以 y | x | 在x =0连
而
续
f(0)
lim
x0
y x
lim
x0
x x
1
f(0)
lim
x0
y x
lim
x x
1
即函数 y | x | 在x=0处左右导数不相等,从而在 x=0不可导. 由此可见，函数在某点连续是函数在该点可导的必要 条件，但不是充分条件
即可导定连续,连续不一定可导.
前页 后页 结束
f
( x0 )
lim
x0
y x
lim tan
tan
k
所以，导数 f (x0 ) 的几何意义 是曲线y = f (x) 在点M0(x0,f(x0)) 处的切线斜率.
M
P
M0
x0
x0 x
前页 后页 结束
设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处 的切线方程为： y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ). 而当 f (x0 ) 时,曲线 f ( x) 在 M0 的切线方程为
此时x为割线两端点M0，M 的横坐标之差，而 y
则为M0，M 的纵坐标之差， 所以 y 即为过M0，M两点的
x
割线的斜率.
M
M0
x0
x0 x
前页 后页 结束
曲线y = f (x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲
线y=f(x)无限接近 M0时的极限位置M0P，因而当 x 0
时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：
2.2 导数的运算
2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则
定理一 设函数u(x)与v(x) 在点x处均可导，则:
(1)[u( x) v( x)]' u' ( x) v' ( x); (2)[u( x)v( x)]' u' ( x)v( x) u( x)v' ( x),
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
《微积分》第一篇第二章讲义(1)极限
2、一般函数极限的求法
lim ⑴ 求形如 x x f ( x) 的极限
0
就是求出x 趋向于 x0 时 y 会趋向于什么。
【情况一】计算 f x0 , 如果f x0 有意义，
包括：x ，x ，x 三种情况
（）先讨论x 时的情形 1
1 例2.1 讨论当x 时，y 的变化趋势。 x y 解析： x 0时，x , 当
1 y 无限的趋近于0. x
o x
主要看图像的“走势”
定义2.2
x
(P-60)
f x A( x ).
在这个变化过程中的无穷小量，简称无穷 小，常用希腊字母， ，等表示。
1 例如：因为 lim x ＝ , 0 x 2 1 所以,当x 时，＝ x 是无穷小量。
2
定义2.6
（P－64）
无穷大量 : 绝对值越来越大的变量 。
（或以为极限的变量）
例如：因为 lim 2 ＝ ,
x x
所以,当x 时，＝ 是无穷大量。 2
x
注意：无穷大量和无穷小量互为倒数。
1 【例如】2的倒数是 , 2 1 的倒数是 2, 2
设变量 是无穷小量，即 lim 0. 1 1 则， 就是无穷大量，即 lim
即：
1
0
1
0
定理2.2 无穷小量×有界变量＝无穷小量
0
3对于f x x, xlim x
f ( x) lim x x0
x x0
0
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
经济数学基础
经济数学基础微积分第一编微分学第二编一元函数积分学线性代数第一编微分学第1章函数第2章极限、导数与微分第3章导数应用第1章函数1.1 函数概念1.2 几类基本初等函数1.3 函数的运算1.4 利息与贴现(略)1.5 经济分析中常见的函数1.1 函数概念1.定义2.几点解释3.基本属性2.几点解释(1)记号(2)两要素(3)单值性(4)图形(5)表示法()y f x=定义域、对应规则一个x只有一个y与之对应解析法、图示法、表格法定义域1)分母≠02)被开偶次方根的数≥03)真数>04)三角函数的定义域列出不等式(组)后解不等式(组)tan ,2cot ,y x x k k Zy xx k k Z πππ=≠+∈=≠∈3.基本属性(1)单调性(2)奇偶性(3)有界性(4)周期性(1)单调性()()()()()()12121212, , x x D f x f x f x x x D f x f x f x ∀<∈∃<∀<∈∃>则称函数单调增加则称函数单调减少(2)奇偶性()()()()()() f x f x f x f x f x f x -=--=则称函数为奇函数则称函数为偶函数(3)有界性()()()()0f x M M f x M f x M M ≤-≤≤>，即则称函数有界显然，注：不是唯一的(4)周期性()()() f x T f x f x T +=则称函数为周期函数注：不是唯一的，其中最小的正数称为最小正周期，简称周期。
1.2 几类基本初等函数1.常数函数2.幂函数3.指数函数4.对数函数5.三角函数6.反三角函数(略)1.常数函数y c=yxcy c=2.幂函数y xα=0(1,1)yxq x() = x-1h x() = x3g x() = x2f x() = x()0,1xy aa a =>≠(0,1)y=(12)xy=2xyx()log 0,1a y x a a =>≠(1,0)ln y x=1lny x=Oxy5.三角函数y=t a n xy=c o s xy=s in xyx1.3 函数的运算1.复合()()(),,y u u x y x y f u u x y f x ϕϕ===⎡⎤⎣⎦是的函数，是的函数，则是的函数，即则2.初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算或复合而得到的能用一个式子表示的函数1.5 经济分析中常见的函数1.需求与供给①需求函数②供给函数③供需平衡点2. 成本、收入、利润①成本②收入③利润()0,0d q aq b a b =+<>()11110,0s q a q b a b =+><d sq q =①成本()()()()0C q c c q C q C q q=+=+==总成本固定成本变动成本总成本平均成本产量②收入()()()()R q q p R q q pq=⨯==⋅收入产价格不变时：量销售量价格③利润()()()()()()0 0 ()0 L q L L q R q C q L q q ==>-=<盈利盈亏平利润收入衡-本本保成亏损第2章极限、导数与微分2.1 极限的概念2.2 极限的运算2.3 函数的连续性2.4 导数与微分的概念2.5 导数计算2.6 高阶导数2.1 极限的概念1.极限的概念(1)数列的极限(2)函数的极限2. 左右极限3. 极限存在定理4. 无穷小量(1)数列的极限“一尺之棰，日截其半，万世不竭”──庄子·天下11111,,,,,,2482n 12n n 当无限增大时，越来越接近于(1)数列的极限{}{}(), lim n n n n n n x n x A n x A x A x A n →∞=→→∞数列当无限增大时，无限地接近于某个固定的常数则称趋于无穷时，数列或以为极限，记作(2)函数的极限①自变量趋于无穷的情形②自变量趋于有限值的情形①自变量趋于无穷xy观察函数1y x=()()()lim lim lim x x x f x f x f x →+∞→∞→-∞⎧⎪⎨⎪⎩②自变量趋于有限值观察函数211x y x -=-()()()0lim lim lim x x x x x x f x f x f x +-→→→⎧⎪⎨⎪⎩0x yx32132012.左右极限()()00lim lim x x x x f x L f x R-+→→==左极限右极限3. 极限存在定理()()()0lim lim lim x x x x x x f x A f x f x A-+→→→⇔===函数在某一点的左、右极限都存在且相等称函数在这点的极限存在4.无穷小量10sin 10sin x x xx x x→→ 如：时是无穷小量时，无穷小，而有界极限为零的量叫无穷小量无穷小量与有界变量的积仍为无穷小量无穷小量的倒数是无穷大量1. 运算法则加、减、乘、除、乘方、开方以后求极限等于先求极限再进行加、减、乘、除、乘方、开方()00lim lim x x x x x C C x x →→→∞==2.求极限的方法：①无穷小量性质()()0→∞→∞有界即无穷大量趋近于0有界即无穷小量趋近于00x x x ②当时，将代入后计算2.求极限的方法：因式分解或分子(分母)有理化，约去零因子后，代入计算0x 0若将代入后为“”型2.求极限的方法：x x ∞→∞∞③当时，将代入后为“”型分子分母同除以的最高次结果有三种：分子次数高：∞分母次数高：0分子分母次数同：最高次的系数比x2.求极限的方法：④两个重要极限()010sin lim 11lim 1lim 1xz x zx z x e x xe →→∞→=⎛⎫→+=+= ⎪⎝⎭3.注意区分0sin lim 1sin lim 01sin x x x xx xx x x →→∞==⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭时，是无穷小，有界1.连续：简单讲就是函数在某点的极限等于该点的函数值()()0lim x x f x f x →=()()()()()()()0000000 lim lim lim li m x x x x x x x x f x f x f x f x f x f x f x -+-+→→→→====连续左连续右连续2.间断点：不连续的点就是间断点存在三种情况：()()()()0000lim lim x x x x f x f x f x f x →→≠①不存在②不存在③x 02.4 导数与微分的概念1.引入导数的概念的实例2.导数的概念3.导数的几何意义4.可导与连续的关系5.函数的相对变化率(弹性)6.微分的定义①平均速率()()()()1010100000,0lim t s v t t t t t tts t s t s t t s t v t tst tv t ∆→∆=∆=-=+∆∆-+∆-==∆∆∆∆→∆,令当时，如果极限存在，即为时刻的瞬时速率②切线问题()()()()1010100000tan ,tan 0lim tan x yxx x x x x x f x f x f x x f x xxyx xx ααα∆→∆=∆∆=-=+∆-+∆-==∆∆∆∆→∆割线的斜率令当时，如果极限存在，即为处切线的斜率①函数在某一点的导数()()()0000000000lim lim x x x x x x x x f x x f x yx xx x dfdy f x y dxdx∆→∆→===+∆-∆=∆∆''极限存在,称函数在点处可导，极限值为处的导数，记作或或或注：若是左极限，则为左导数若是右极限，则为右导数②导函数()()()()()()(),,y f x a b x f x f x x y f x a b df dyf x y dx dx=''=''如果函数在区间内每一点都可导，则每取一个，都有一个导数与之对应，也就是说也是的一个函数，称其为函数在区间内的导函数，记为或或或，也简称为导数3. 导数的几何意义函数在某一点的导数，就是函数在这点切线的斜率4. 可导与连续的关系可导一定连续连续不一定可导5. 函数的相对变化率函数的相对变化率─ ─弹性()E ()()()()0000000000lim lim x x x xy y x x y Ef x x x y f x x x xEf x y f x y∆→∆→∆∆'==⋅=∆∆''==⋅()1%%xx f x E含义：当产生的改变时， 近似地改变6. 微分的定义dydy y dx y dx''=→=()()()()000000,,x x x x x x y f x x f x x x dydyf x xdx x x x dyf x dx===='∆'=∆''=∆=∆∴= 若函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记作即2.5 导数计算1.导数(微分)的四则运算法则2.复合函数求导法则3.隐函数求导4.基本初等函数求导公式。
经济数学基础(上)导数与微分笔记整理
经济数学基础（上）数学笔记整理第二章导数与微分（P49）目录一、导数的符号要清楚1二、导数的几何意义1三、可导与连续的关系1四、导数的基本公式与练习题1五、切线方程问题4六、复合函数的求导5七、隐函数的导数9八、高阶导数10九、微分11十、可微、可导和连续、极限的关系12一、导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是二、导数的几何意义（P55）函数y=f（x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，k=，∴切线的方程为y三、可导与连续的关系（P56，2.1.5）定理2.1和注意可导连续（充分条件）y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。
例：y=，图像如下,此时，当x=0时，图像出尖，不可导。
四、导数的基本公式与练习题（P65~66，2.2.6的 1.，2.，3.，）就记书上的前8个就行了，其他的不用记再多记2个：①②【练习1：求导】①解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。
∴∴【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】=②解决此题有2种方法，方法一是直接求。
方法二是先打开，再求。
你觉得怎么简单就怎么来。
一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。
方法一：直接求。
要用到乘积的导数。
（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。
）=2（）+=10=30方法二：先打开，再求导。
=5=10∴【练习2：求导】①解：【注意：ln6为常数，导数也为0哦！】②解：③解：④解：⑤很容易能看出来，此题必须要化简了。
你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。
解：∵=（）·=∴⑥这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。
商的导数会背吗？要用了。
注意所有公式都必须要会背哦！==【书上的题P75，3，4】P75,3.求导（2）这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。
但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。
∵=2∴（4）此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。
《经济数学基础》重难点解析 一元函数微分学(下)——导数与微分
《经济数学基础》重难点解析第2章 一元函数微分学(下)——导数与微分1. 理解导数定义。
理解导数定义时，要解决下面几个问题：（1）牢记导数定义的极限表达式；（2）会求曲线的切线方程；（3）知道可导与连续的关系(可导的函数一定连续，连续的函数不一定可导)。
例1 填空、选择题（1）设f x x x ()=++11，则=')0(f （ ）。
A ．不存在 B .1 C . 0 D . -1解 因为1->x 时111)(=++=x x x f ，是常数函数，而点0=x 在),1(+∞-范围内， 故 =')0(f 0。
正确的选项是C 。
（2）设f x x ()ln =，则=-→1)(lim x x f x 1（ ）。
A ．1 B . e -12 C . 0 D . 不存在解 如果单看 求极限=-→1)(lim x x f x 11ln lim 1-→x x x ，很难求出结果。
但是若联想到01ln =以及导数的定义，即有=-→1)(lim x x f x 11ln lim 1-→x x x 11ln ln lim 1--=→x x x =1)(ln ='x x =0 故正确的选项是C 。
（3）极限)(sin )sin(lim000=∆-∆+→∆x x x x x A. 1 B. cos x 0 C. sin x 0 D.不存在解 这个极限的表达式正是函数sin x 在点x 0处导数的定义，即有=∆-∆+→∆x x x x x 000sin )sin(limcos x 0 故正确的选项是B 。
（4）设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=→xx f x )(lim 0( )。
A.不存在 B. )0(f ' C. 0 D. 任意解 因已知)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，将)(x f 看成)0()(f x f -,x 看成0-x ，则=→x x f x )(lim 00)0()(lim 0--→x f x f x 就是)(x f 在0=x 处的导数，故 =→xx f x )(lim 0)0(f ' 正确选项是B 。
经济数学复习第二章导数与微分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x2 1
1
1 x2
，dy
1
dx x2
．
x2
（3） y2 f (e2x)e2x dy2 f (e2x)e2xdx
练习
若
y
tan
x 2
则
dy ?
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
(1) d(C) 0
(10) d(cot x) csc2 xdx
(2) d(x) x 1dx (11) d(sec x) sec x tan xdx
d u v du dv d uv vdu udv
d cu cdu，（c为常数）
d
(u v
)
vdu udv， v2
(v 0)
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
例7求 d(cos2x)
例8 求函数 yexcos4x 旳微分 解：dycos4xd(ex)exd(cos4x) cos4xexd(x)ex(sin4x)d(4x) excos4xdx4exsin4xdx ex(cos4x4sin4x)dx
f (x0),
y x ,x0
dy dx
, x x0
或
df dx
. x x0
ESC
一、导数旳概念
即
f (x0)
lim
x0
f
(x0 x) x
f
(x0) .
或
f (x0)
lim
x x0
f
(x) x
f (x0) x0
.
定义2.2 若函数 y f (x) 在区间 (a,b)内
任意一点处都可导，则称函数 f ( x)在区间 (a,b)
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
第二章导数与微分 - 第二章极限论
第二章导数与微分(The differentiable properties of function)第一节 导数概念 （The Concept of Derivative ）一 两个典型背景示例(Introduction)例一: 运动物体的瞬时速度(Velocity of Rectilinear Motion).设质点沿x 轴作直线运动, 若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为x x t =(). 求在时刻0t 的瞬时速度(Instantaneous Velocity). 解: (1) 求时段0t 到0t ＋∆t 的平均速度：=∆),(0t t v x t t x t t()()00+-∆∆ .(2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此,如果极限=)(0t v t x t t x t t →+-000lim ()()∆∆存在, 这个极限值就是质点在时刻0t 的瞬时速度.例二: 曲线的切线斜率(Slope of the Tangent Line).设曲线L 由方程y f x a x b =≤≤()()确定. 0x a b ∈(,).要求L 在点))((),(0000x f y y x M =其中的切线.(1) 求区间0x 到x x ∆+0的弦的斜率:),(0x x k ∆=00)()(x x x f x f --;(2) 弦斜率的极限是切线的斜率:)(0x k =0)()(limx x x f x f xx --→=x x f x ∆∆→∆)(lim00;(3) 曲线L :)(x f y =在点),(00y x M 的切线(Tangent Line): 斜率等于)(0x k , 切线T 的方程称为: ))(()(000x x x k x f y -+= 二 导数的定义(Definition of Derivative)定义: 假设函数)(x f y =在点x 0某邻域有定义, 如果极限x x f x x f x )()(lim000∆-∆+→∆=x x f x )(lim00∆∆→∆存在,则称其值为函数f 在点x 0的导数(Derivative), 并说f 在x 0可导；f 在点x 0的导数记作)(0x f '或0)(x x dxx df =或)(0x y '或0x x dxdy=.Definition ：Let f(x) be a well-defined function on some neighborhood of 0x ,if the value of the independent variable x changes from 0x to x x ∆+0,the corresponding change in the dependent variable,y,will be ∆y=f(x x ∆+0)－f(0x );if the limit of the ratio ∆y/∆x exists as ∆x →0,then we say that f(x) is differentiable at x=x 0,i.e.x x f x x f x )()(lim000∆-∆+→∆=x x f x )(lim00∆∆→∆,and we call this limit the derivative of f(x) at x=0x ,denoted by )(0x f 'or)(x x dxx df =,or )(0x y '或0x x dxdy=.函数f 在点x 0的导数, 就是在点x 0函数关于自变量的变化率.运动质点在时刻0t 的瞬时速度是距离x )(t 对时间t 的导数.曲线)(x f y =在点x 0切线斜率是函数f 对x 的导数.例 : 细杆的线密度。
经管类微积分大一下知识点
经管类微积分大一下知识点微积分是经济管理学专业的一门重要的数学基础课程，主要包括微分学和积分学两个部分。
本文将介绍经管类微积分大一下学期的一些重要知识点。
1. 极限与连续在微积分中，极限是一个重要的概念。
极限表示随着自变量趋于某个值时，函数的取值的趋势。
在经济管理学中，常常需要用到极限来研究一个变量在某种条件下的变化趋势。
连续则是极限的一种特殊情况，表示函数在某个点上的取值等于极限值，没有跳跃或断裂。
2. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具，表示函数在某一点上的变化速率。
对于经济管理学来说，导数可以用来分析函数的斜率，从而研究经济曲线的变化趋势。
微分则是导数的一种运算，用于计算函数在一点附近微小变化的近似值。
3. 函数的应用函数在经济管理学中有着广泛的应用。
例如，成本函数、收益函数、需求函数等都是经济学中常用的函数，它们的分析和计算都需要用到微积分的方法。
通过对函数性质的研究，可以帮助经济管理学者更好地理解和分析经济现象。
4. 泰勒展开与近似计算泰勒展开是将一个函数在某个点附近用多项式来逼近的方法。
在经济管理学中，常常需要对复杂的函数进行近似计算，以便进行经济模型的构建和分析。
泰勒展开可以提供一个有效的近似解法，帮助经济管理学者简化计算和分析过程。
5. 积分与定积分积分是导数的逆运算，可以用来计算曲线下的面积或者求解定积分。
在经济管理学中，积分可以应用于消费函数、生产函数等的求解，帮助经济学家分析经济模型和制定经济政策。
6. 多元函数微分学在经济管理学中，常常需要考虑多个变量对于某一变量的影响程度。
多元函数微分学就是研究多变量函数的导数和微分的方法。
通过多元函数微分学的学习，可以更好地分析和解决多变量问题。
总结起来，经管类微积分大一下的知识点主要包括极限与连续、导数与微分、函数的应用、泰勒展开与近似计算、积分与定积分以及多元函数微分学等。
这些知识点对于经济管理学专业的学生来说至关重要。
熟练掌握这些知识，掌握微积分的方法和思维，将有助于他们在经管领域的研究和实践中更好地应用数学工具，分析和解决实际问题。
经济数学2.1导数的概念
y ( x x )3 x 3
导函数
3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3,
( x x )3 x 3 y lim x x 0
lim [ 3 x 2 3 x x ( x ) 2 ] 3 x 2.
M M M MM y 0
T
x
ESC
o
3
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
y f (x)
当点 M 沿着曲线 y f ( x )趋于 y 点 M 0 时, 割线 M 0 M 便绕着点 M 0 转动；当点 M 无限趋于点 M 0 时割线的极限位置是 M 0T , 割线 则称直线 M 0T 为曲线 y f ( x ) f ( x0 x ) 过点 M 0 处的切线. f ( x0) 切线
便绕着点 M 0 转动；当点 M f ( x0 x ) 无限趋于点 M 0 时， 割线的极限位置是 M 0T , 切线 f ( x ) y 则称直线 M 0T 为曲线 f ( x ) 过点 M 0 处的切线.
0
M0
x
1
o
ESC
x 0 x0 x
x
一、变化率问题举例
案 例
1
何谓曲线的切线？
ESC
二. 导数定义
函数在区间上的导数定义
定义2.2 若函数 y f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内 任意一点处都可导，则称函数 f ( x )在区间 (a , b) 内可导．
记作 f ( x ) 或 即
y 或
dy 或 dx
df . dx
经济数学.微积分.朱来义.第二章.2.2 函数极限
右极限
左极限
简记为 x x0 ;
简记为 x ; 简记为 x ;
x 沿数轴正方向趋于无穷大,
x 沿数轴负方向趋于无穷大, x 趋于无穷大,
简记为 x ;
用记号 x X 统一表示 6 种极限过程 如果在极限过程 x X 下, f ( x ) 无限趋于
一个确定的数 A , 则称 x X 时, f ( x ) 收敛于 A ,
lim f ( x ) lim 2 x 1, 而 2 x 1 初等函数, x1
x 1
x 1 在其定义域内, 可得
lim f ( x ) lim 2 x 1 3 .
x1
x 1
x 0 时, f ( x ) 表达式不统一,
且 x 0 时, x 0 时,
x 0
x
三、由函数值认识函数的极限
x2 1 例6 由函数 y 的值的变化趋势考察极 限 2x 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 lim , lim , lim , lim . x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1
x
例5 由 y sin x 的图形考察极限 lim sin x , lim sin x , lim sin x ,
x 0 x 0 x 0 x
lim sin x ,
x
lim sin x , lim sin x .
x
y
y sin x
π 2
解
x 0
由 y sin x 的图形我们得到
经济数学 微积分 朱来义主编
§2.2 函数极限
一、函数极限的记法
二、由函数图形认识函数极限 三、由函数值认识函数的极限
经济数学基础公开课：导数与微分
导数与微分⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限。
导数极限还可写成0)()(limx x x f x f x x --→∆)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处的切线斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似v u v u d d )(d ±=± v u u v v u d d )(d +=⋅)0(d d )(d 2≠-=v v v u u v v u⒋熟练掌握复合函数的求导法则。
⒌掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如321-+=x x y求y '。
直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y 若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=⒍了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。
综合练习 一、填空题⒈设f x x x ()=-+245，则f f x [()]'= 。
极限理论,导数,微分
极限理论,导数,微分
极限理论主要学习的是在微积分的基础上对某种特定的函数的变化情况进行大
致的描述。
它通常用来描述一个点相对于另一个点的变化量，即变化量的“极限”。
极限的概念就是两个瞬间点的变化量几乎相等，以至于某种不包括自身的“极限”。
它也可以把这个概念扩大到一个无限大的数值。
例如，把一个点对比另一个点变化量小不可数值表示出来，就可以称为它是一个“极限”。
极限是用来帮助理解函数行为的一种研究工具，主要运用于微积分领域。
它可以探讨复杂函数的局部特征，揭示它们的本质和关系。
更深入地阐释极限的含义，其实就是一种求到极限近似的方法，称作导数。
在
数学中，导数是关于连续函数的一种概念，称为微分。
微分能够揭示函数变化量的变化率，也就是看函数在某一瞬间的斜率情况。
通过求出函数的斜率和方向，可以用极限的思想去求最大或最小值，从而实现函数的优化。
综上所述，极限理论和导数和微分是高校教育领域中较为重要的一门学问，它
们是高等数学的基础，也是解决数学问题的重要工具，是学习类似物理学、工程学、统计学和系统理论的基石。
在生活的许多方面，如经济等方面，极限理论和导数和微分都有广泛的应用，所以在高等教育阶段，对极限理论和导数和微分这门学问一定要认真学习，且务必熟练掌握他们的基本概念，以便运用到今后的研究实践中。
《经济数学》第二章：极限
因不等式 xn a 与不等式 a xn a 等价，所以当 n N 时，所有的点 xn 都落在开
区间 a , a 内，而只有有限个(至多只有 N 个)落在该区间以外.
例 1 证明数列
2， 1 ， 4 ， 3 ，…， n (1)n1 的极限是 1.
234
n
证明
xn
a
＝
n
(1)n1 n
lim
x x0
f(x)＝A
或
f(x0＋0)＝A.
左极限和右极限统称单侧极限.
显然，当 x→x0 时，函数 f(x)极限存在的充分必要条件是：f(x)在 x0 处的左右极限都存在并且相等，
即
lim
x x0
f(x)＝
lim
x x0
f(x)，这个值就是当
x→x0
时
f(x)的极限.该条件一般多用于分段函数分界点处函数
且极限也是 a
经济数学★★★
二、函数极限
第一节 极限
页码：4
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在 这一变化过程中该函数的极限.下面讨论自变量的不同变化过程中函数 f (x) 的极限，主要有两种情形： (1)自变量 x 任意地接近于有限值 x0 或者趋于有限值 x0 (记作 x x0 )时，对应的函数值 f (x) 的变化情形； (2)自变量 x 的绝对值｜ x ｜无限增大即趋于无穷大(记作 x )时，对应的函数值 f (x) 的变化情形..
定理 2 (收敛数列的有界性）如果数列xn 收敛，那么数列xn 一定有界.
定理 3 (收敛数列的保号性)
如果 lim n
xn ＝ a
，且 a
＞0(或 a
极限、连续、导数、微分四者的关系分析
②极限、连续、导数、微分四者的关系分析要理顺“极限、连续、导数、微分”四者的关系，须把它们的概念理解深、理解透、理解全，才能明确它们的关系。
现分以下三大部分进行论述：一、概念的理解（一）极限的概念。
1、数列极限的概念。
设{}n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时，不等式ε<-a x n 都成立，那么就称常数a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim ，或)(∞→→n a x n（1）对数列极限概念的理解，应注意以下几点：①定义中的ε是对极限全过程而言的，ε要多小就可以取多小； ②定义中的N 是指一定存在正整数N ，但并不是唯一的；③N 和ε有关，但不是ε的函数，一般而言，ε越小，N 的取值就越大。
（2）用定义证明数列极限存在的步骤：①对任意ε>0，要使ε<-a x n 成立，经一系列放大ε<<<-)(n f a x n ； ②解不等式ε<)(n f ，设解为)(εg ；③取)(x g N ≥的正整数，使N n >时，ε<-a x n 成立，则a x n n =∞→lim 。
④注意，)(x g N ≥+∈N 只要)(x g N ≥都可以，N 不是唯一的。
⑤用此定义证明某些极限，解题的关键在于对0>∀ε，找到+∈N N 。
常用函数式放大的方法，一般需要对原来的式子适当放大，然后考虑如何取N 。
2、函数极限的概念。
函数极限的概念分两种类型：一是0x x →型。
设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（不论多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式δ<-<00x x 时，对应的函数值)(x f 都满足不等式ε<-A x f )(，那么常数A 就叫函数)(x f 当0x x →时的极限。
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第一单元 极限的概念及其运算第一节 极限的概念一、学习目标极限是微积分学中的重要概念，微积分中的许多重要概念都是由极限定义的.学习了这一节课，要使我们了解极限、左、右极限和无穷小量的概念. 并且能够利用函数图形和极限定义去求简单函数的极限.二、内容讲解1.极限的概念1数列的极限：①数列：一般地，按一定规律排列的一串数1x ，2x ，…，n x ，…称为数列，简记为{}n x 。
其中的第n 项n x 称为该数列的通项。
②数列的极限：给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，n x 无限地趋近某个固定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限。
记为A x n n =∞→lim2.极限的概念2研究函数是利用极限的方法来进行；极限是一个变量在变化过程中的变化趋势。
例1 圆的周长的求法.早在公元263年，古代数学家刘徽用圆内接正四边形、正五边形、正八边形、正十六边形……等的边长近似圆的周长，显然随着边数的增加，正多边形的边长将无限趋近圆的周长.例2 讨论当+∞→x 时，x 1的变化趋势.例3 讨论一个定长的棒，每天截去一半，随着天数的增加，棒长的变化趋势.“一尺之棰，日截其半，万世不竭”——庄子•天下定义2.1——函数的极限设函数)(x f 在点0x 的邻域（点0x 可以除外）内有定义，如果当x 无限趋于0x（但0x x ≠）时，)(x f 无限趋近于某个常数A ，则称x 趋于0x 时，)(x f 以A 为极限，记为A x f x x =→)(lim 0或A x f →)()(0x x →；若自变量x 趋于0x 时，函数)(x f 没有一个固定的变化趋势，则称函数)(x f 在x 处没有极限.在理解极限定义时要注意两个细节：1.0x x →时（0x x ≠），2.⎩⎨⎧→<→>→00000)()(x x x x x x x x （包括这两种情况）考虑函数x y =，依照极限的定义，不能考虑0→x 的极限.因为x y =在0<x 处无定义.又如函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f ，如果讨论0→x 是的极限，则函数分别在0<x 和0>x 时不是同一个表达式，必须分别考虑.由此引出左右极限的概念：定义2.2——左右极限设函数f x ()在点x 0的邻域（x 0点可以除外）内有定义，如果当x x <0且x 无限于x 0（即x 从x 0的左侧趋于x 0，记为x x →-0）时，函数f x ()无限地趋近于常数L ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以L 为左极限，记作lim ()x x f x L→-=0 或f x -()0= L ；如果当x x >0且x 无限趋于x 0（即x 从x 0的右侧趋于x 0，记为x x →+0）时，函数f x ()无限地趋近于常数R ，则称当x 趋于x 0时，f x ()以R 为右极限，记作lim ()()x x f x R f x →++=00或=R 。
3.极限存在的充分必要条件： 极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：函数f x ()在0x处的左，右极限都存在且相等.即lim ()x x f x A →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x A →→-+==04.无穷小量定义2.3——无穷小量和无穷大量)(lim 0=→x f x x 称当x x →时，)(x f 为无穷小量，简称无穷小.无穷小量是一个特殊的变量，它与有极限变量的关系是：变量y 以为A 极限的充分必要条件是：y 可以表示成A 与一个无穷小量的和，即)0(lim lim =+=⇔=ααA y A y无穷小量的有以下性质：性质1 有限个无穷小量的和是无穷小量； 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量； 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 无穷大量在某个变化过程中，绝对值无限增大且可以大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量. 例如 因为+∞=+∞→x x 2lim ，所以，当+∞→x 时，x2是无穷大量.无穷小量与无穷大量有如下“倒数关系”：定理：当0x x →（或∞→x ）时，若)(x f 是无穷小（而0)(≠x f ），则)(1x f 是无穷大，；反之，若)(x f 是无穷大，则)(1x f 是无穷小.三、例题讲解例1 讨论2x y =时, 22lim x x →=？解：求极限时，可以利用极限的概念和直观的了解，我们可以借助几何图形来求函数的极限.由几何图形可以看出，当2→x 时，42→=x y ，即22lim x x →=4例2 讨论函数112--=x x y ,当1→x 时的极限11lim21--→x x x 解：此函数在1=x 处没有定义，可以借助图形求极限.由图形得到211lim 21=--→x x x例3 ⎩⎨⎧>≤=010)(x x x x f , 求)(lim 0x f x →解：注意到此函数当x =0的两侧表达式是不同， 在0点处分别求左、右极限.11lim )(lim 00==++→→x x x flim )(lim 00==--→→x x f x x 可见左右极限都存在但不相等；由几何图形易见,由极限的定义知，函数在某点处有极限存在需在该点处的左右端同趋于某个常数，因此此函数在0点处极限不存在.例4 2x y =，当0→x 时，?2→x解： 由图形可知，当0→x 时，02→x 当0→x 时，2x 是无穷小量.四、课堂练习练习1 讨论函数=y 12+x 当 1→x 时的变化趋势.练习2 设函数⎩⎨⎧>≤=010)(x x k x f ， 问k 为何值时，)(lim 0x f x →存在？解：因为11lim )(lim 00==++→→x x x f ， kk x f x x ==--→→00lim )(lim ，所以1=k .练习3 当0→x 时，下列变量中 （ ）是无穷小量.A ）x y ln =；B ）x y cos =；C ）x y e =；D ）2x y =解：因为0lim 20=→x x ，所以选择D 正确.练习4 设)(),(x g x f 是无穷大量，则)()(x g x f ⋅是无穷大量.是无穷小量，所以)()(x g x f ⋅是无穷大量.五、课后作业1.讨论函数=y 11+x 当+∞→x 时的变化趋势.2.判断下列极限是否收敛：（1） ,43,32,21；（2）,81,0,41,0,21,0；（3） ,001.0,01.0,1.0；（4） ,8,6,4,23.求下列数列)}({∞→n x n 的极限：（1）n x n 1=；（2）n n x n 1+=；（3）n n x )1(-=；（4）n n x nπsin 1=4.试用图形说明：x xx 0lim→不存在.5.设⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=0,0,11)(x x x x x f ，求)(x f 在0→x 是的左、右极限，并说明 )(x f 在0=x 点极限是否存在.6.设⎩⎨⎧>+≤+=1,11,2)(x x x x x f ，求)(lim ),(lim 11x f x f x x +-→→，并讨论)(lim 1x f x →是否存在.7.分析函数的变化趋势，并求极限.（1）)(12∞→=x x y ；（2）)(ln 1+∞→=x x y ；（3）)0(21-→=x y x；（4）)0(cos →=x x y 8.当0→x 时，下列变量中哪些是无穷小量？x x x x x 2cos,100000,2,1099.当+→0x 时，下列变量中是无穷小量的有： （1）21-=xy ；（2）x y 2log =；（3）x y arctan =；（4）x y cot arc =10.函数2)3(1+=x y 在什么变化过程中是无穷大量？又在什么变化过程中是无穷小量？1.)(1+∞→→x y ；2.（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散.3.（1）0；（2）1；（3）发散；（4）0.4.5. 因为111lim )(lim 0=--=--→→x x f x x ，0lim )(lim 00==-+→→x x f x x ，所以，函数)(x f 在0=x 处左、右极限存在但不相等，故函数)(x f 在0点的极限不存在.6.32lim )(lim 11=+=--→→x x f x x ，21lim )(lim 11=+=-+→→x x f x x因为函数)(x f 在1=x 处左、右极限存在但不相等，所以)(lim 1x f x →不存在.7.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1.第二节 极限的运算一、学习目标通过本课程的学习，要学会极限的四则运算法则，学会使用法则的方法和常用的技巧，能够用四极限的四则运算法则计算则函数的极限.二、内容讲解在某个变化过程中，变量v u ,分别以B A ,为极限，则B A v u v u ±=±=±lim lim )lim( B A v u v u ⋅=⋅=⋅lim lim )lim()0(lim lim lim≠==B B A v u v u问题思考：设∞=∞=→→)(lim ,)(lim 00x g x f x x x x ，则∞=+=-→→)]()([lim ,0)]()([lim 00x g x f x g x f x x x x ，对三、例题讲解例1 求22lim x x →解422()(2)lim lim )lim(lim 2222=⨯=•==→→→→⋅x x x x xx x x x例2 求11lim21--→x x x解：21)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 1121=+=-+-=--→→→x x x x x x x x x例3求x x x x +-∞→2231lim解：31)13()11(lim31lim 22222=+-=+-∞→∞→x x x x x x x x x例4 求x x x 11lim-+→解：)11()11)(11(lim 11lim 00++++-+=-+→→x x x x x x x x)11(lim 0++=→x x x x 21111lim 0=++=→x x 四、课堂练习练习1 求623lim 2232--++-→x x x x x x 解：)2(2)2(3)2()23(lim 23232=-+-+-=++-→x x x x6)2()2()6(lim 222=----=---→x x x ，∴属于分子、分母的极限均为0.练习2 求3)2()43()12(lim 523+--∞→x x x x解∞=+∞=--∞→∞→3)2(lim )43()12(lim 523x x x x x∴本题属于无穷大量之比的极限计算问题，需变形后再利用法则计算.五、课后作业1．)221(lim 0+-→x x ； 2．)56(lim 22++→x x x ；3．321lim 221+++-→x x x x 4．3265lim 223--+-→x x x x x ； 5．42lim 222--+-→x x x x ； 6．11lim 1--→x x x ；7．x x x 11lim--→； 8．x x x 121lim0-+→；9、12312lim 33+++-∞→n n n n n ； 10、358)21()13()43(lim x x x x --+∞→第二单元 两个重要极限与函数连续性第一节 两个重要极限一、学习目标通过本课程的学习，我们要学会两个重要极限公式，要会用重要极限公式计 一些函数的极限.二、内容讲解第一个重要极限公式：1sin lim0=→x xx几何说明：如图，设x 为单位圆的圆心角，则x 对应的小三角形的面积为2sin x，x 对应的扇形的面积为2x ，x 对应的大三角形的面积为2tan x当0→x 时，它们的面积都是趋于0的 ，即之比的极限是趋于1的.第二个重要极限公式：e )11(lim =+∞→xx x ；e)1(lim 10=+→x x x三、例题讲解例1 x xx 3sin lim0→解：x x x 3sin lim0→=333sin 3lim 0=→x x x 333sin lim 0=→x xx例2 求极限xx x )311(lim +∞→解: 31313313e ])311(lim [)311(lim )311(lim =+=+=+∞→⋅∞→∞→x x x x x x x x x例3 求极限xx x 10)21(lim -→解2221)2(211e ]))2(1(lim [))2(1(lim )21(lim ---→--→→=-+=-+=-x x xx xx x x x四、课后练习练习1 求极限x xx 3sin 2sin lim0→练习2 求极限31)2(lim +∞→-x x x x五、课后作业1.x x x 2tan lim0→；2.x x x 5sin 4sin lim 0→；3.)3sin(6lim 23---→x x x x ；4.x x x sin 121lim 0-+→；5.x x x 1sin lim ∞→；6.x xx x sin 1sinlim 20→；7.x x x 2)21(lim +∞→；8.11)11(lim +∞→-x x x ；9.x x x 30)21(lim -→+；10.x x x x )31(lim -+∞→一、学习目标通过本课程的学习，我们要知道连续的数学表示，知道数学中间断的概念. 将会了解连续与有极限存在这两个概念的联系与不同，会进行连续函数的运算.二、内容讲解生活中的实例：高山流水，植物生长，工业连续化生产连续函数的定义定义2.4——函数的间断与连续设函数)(x f 在点0x 的邻域内有定义，若满足)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续.点x 是)(x f 的连续点.函数间断、间断点的概念。