多元函数取得极值的条件

必要条件
若 函 数 f(x,y) 在 点 P(x0,y0) 存 在 两 个 偏 导 数 ， 且
P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则
驻点
f x( x0 , y0 ) 0
充分条件 阶及二阶偏导数，又 令 则
与
f y ( x0 , y0 ) 0 与 f y ( x0 , y0 ) 0
Fra Baidu bibliotek
Hesse矩阵
2 f 2 x 21 f 2 f ( x) x x 2 1 2 f xn x1
2 f x1x2 2 f 2 x2 2 f xn x2

2 f x1xn 2 f x2 xn 2 f 2 xn
j I ( x),由Taylor公式，有 0 c j ( x k d k ) c j ( x) k c j ( x)T d k o(k )
两边除k，取极限得c j ( x)T d 0
使得x * d U ( x*, )，且d T 2 ( x * d )d 0
所以
f ( x) f ( x*)，即x * 是f ( x)的严格极小值点。
对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。 Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否 是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。 问题： 对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？
序列可行方向的性质 性 质 1 设ci(x)在x处可微，则 d SFD( x, X )有
T c j ( x) d 0, (j I ( x)) T c ( x ) d 0, (j E ) j
证明
d SFD( x, X ), d k (k 1,2,)和 k 0(k 1,2,)， 使得x k d k X , 且有d k d和 k 0，则
1 2 两边同除 ，取极限得 2 T 2 n d f ( x*)d 0, d R
二阶充分条件
设n元函数f ( x)存在二阶连续偏导数，f ( x*) 0, 则
(1)当 f ( x*)正定时，x * 是f ( x)的严格极小值点；
2
(2)当 f ( x*)负定时，x * 是f ( x)的严格极大值点；
可行域： X {x | x R n , ci ( x) 0, c j ( x) 0, i 1,2,, me ; j me 1,, m}
则称d是X在x * 处的可行方向。X在x * 处的所有可行方向集合记为FD( x*, X )
指 标 集
设x X，令 E {1,2,, me } I {me 1,, m} I ( x) { j | c j ( x) 0, j I }
2
(3)当 f ( x*)不定时，x * 不是f ( x)的极值点；
2
证明:
设x是x * 邻域内任意一点，不妨设x x * d，则
1 2 T 2 f ( x) f ( x*) d f ( x * d )d 2 由于函数f ( x)二阶连续偏导数，且 2 f ( x*)正定, 则可选择,
若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一
f x( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ) A f xx
(1) AC B 2 0
时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0
一般的 (1) 约束极 值问题：
min f ( x) st . ci ( x) 0, i 1,2, me c j ( x) 0, j me 1,, m 其中，x R n , f ( x), ci ( x)都是n元函数
几个概念：
n 设 x * X , 0 d R , 如果存在 0，使得 可行方向： x * td X , t [0, ]
时有极小值。
(2) AC B 2<0时没有极值
n元函数取得 极值的条件
(3) AC B 0
2
？
不能确定
设n元函数f ( x) f ( x1 , x2 ,, xn )
具有偏导数，
n
点x* ( x1*, x2 *,, xn *) R
梯度
f f f T f ( x) [ , , , ] x1 x2 xn
序列设x* X , d R n , 如果存在序列d k (k 1,2,)和 k 0(k 1,2, 可行 使得 x * k d k X 方向：
且有d k d和 k 0，则称d是X在x * 处的序列可行方向
X在x * 处的所有序列可行方向的集合记为SFD( x*, X )
必要条件
若 n 元函数 f(x) 在存在偏导数，且 x* 是函数 f(x) 的极值
一阶条件
二阶条件
点，则
f ( x*) 0
2
设n元函数f ( x)存在二阶连续偏导数，x * 是极小
值点，则
f ( x*) 0, 且 f ( x*)半正定
证明：f ( x*) 0显然。 d R n , 令x x * d，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 f ( x) f ( x*) d f ( x * d )d 2
起作用集
x X，集合A( x) E I ( x)称为在x处的起作用集。
起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微 离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长 多么小，都将违背这些约束。 对于非起作用约束（ci(x)>0），x是否是局部最优解与这些非起作 用约束无关。