多元函数取得极值的条件
多元函数取得极值的条件
序列可行方向的性质 性 质 1 处可微， 设ci(x)在x处可微，则 ∀d ∈SFD(x, X )有 在 处可微
∇cj (x)T d ≥ 0, (∀j ∈I (x)) T ∇cj (x) d = 0, (∀j ∈E)
证明
∀d ∈SFD(x, X ), dk (k =1,2,L 和δk X, 且有dk →d和δk →0，则
由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关， 由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解
∀d ∈S*,则d ≠ 0,且d与∇ci (x*)(i ∈E)正交。
{∇c1(x*),L, ∇cme (x*), d} 成 e +1 空 ， 法 间 n − me −1 空 ， 生 m 维 间 其 空 是 为 间 在 空 中 取 组 准 交 di (i =1,2,L, n − me −1), 考 函 方 组 法 间 任 一 标 正 基 虑 数 程
∇f (x*) = 0
设 元 数 (x)存 二 连 偏 数 x*是 小 n 函 f 在 阶 续 导 ， 极
值点，则
∇f (x*) = 0,且∇2 f (x*)半正定
证明： f (x*) = 0显然。 ∇ ∀d ∈Rn , 令x = x *+αd，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 ≤ f (x) − f (x*) = α d ∇ f (x *+θαd)d 2
若函数z= 在点P(x 若函数 f(x,y) 在点 0,y0)的某邻域内连续且存在一 的某邻域内连续且存在一
f x′(x0 , y0 ) = 0
′′ ′′ ′′ A = f xx (x0 , y0 ), B = f xy (x0 , y0 ), C = f yy (x0 , y0 )
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
多元函数极值的充分条件
多元函数极值的充分条件马丽君（集宁师范学院 数学系）我们知道，一元函数()y f x =在点0x x =取得极值的充分条件是：函数()f x 在点0x 处具有一阶二阶连续导数，0x 是()f x 驻点，即0()0f x '=。
若0()0(0)f x ''><，则0x 为()f x 的极小值点（或极大值点）对于多元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，有与上面一元函数取得极值的充分条件相对应的结论。
定义 1.设n 元函数()Y f X =，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则称12,,,Tn f ff x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂⎝⎭为()f X 的梯度，记作gradf 。
引理 设n 元函数()f X ，其中12(,,,)n X x x x =，对各自变量具有一阶连续偏导数，则()f X 在点000012(,,,)n X x x x =取得极值的必要条件是：0112(),,,0Tn n X X f ff gradf X x x x ⨯=⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭证明：引理成立是显然的，即极值点函数可导，则该点的偏导数等于零。
定义 2.设n 元函数()f X ，对各自变量具有二阶连续偏导数，000012(,,,)n X x x x =是()f X 的驻点，现定义()f X 在点0X 处的矩阵为：222000211212222000202122222000212()()()()()()()()()()f N n n n f X f X f X X X X X X f X f X f X H X X X X X X f X f X f X X X X X X ⎧⎫∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪=∂∂∂∂∂⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂∂∂⎩⎭由于各二阶偏导数连续，即22(,1,2,,)i j j if fi j n x x x x ∂∂==∂∂∂∂，所以0()f H X 为实对称矩阵。
多元函数的极值
x yz xy z x y z定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000=′=′y x f y x f yx 取得极值,取得极值取得极值且在该点取得极值,则有),(),(00y x y x f z 在点=存在),(),(00y x y x f z 在点因=在),(0y x f z =0x x =故在),(0y x f z =0y y =zox y对于三元函数，若M 0是f (x , y , z )的驻点，f (x , y , z )在M 0处所有的二阶偏导数连续，则当矩阵在M 0处为正定阵时( )，M 0为极小值点，为负定阵时( )，M 0为极大值点.类似的，可以将以上结论推广到三元以上的函数.H=xx xy xz xyyy yz xz yz zz f f f f f f f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦112233H 0,H 0,H 0>>>112233H 0,H 0,H 0<><αcos 24x αcos 22x −)sin (cos 222−+ααx =x A αsin 24αsin 4x −0cos sin 2=+ααx =αA 解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.,0sin ≠α0≠x ααααsin cos sin 2sin 2422x x x A +−=)0,120:(2πα<<<<x D 0cos 212=+−αx x 0)sin (cos cos 2cos 2422=−+−ααααx x (cm)8,603===x D πα作业P121 4, 6, 7, 13。
4多元函数的极值
4多元函数的极值及其求法一、无条件极值1、f(x，y)=sin x+cos y+cos(x－y)(0≤x，y≤π/2)P116 8.8.4解：f x= cos x－sin(x－y)f y= －sin y+sin(x－y)⇒cos x=sin y解得驻点：P1(0，π/2)、P2(π/2，0)、P3(π/3，π/6)、P4(π/6，π/3)、P5(π/4，π/4)只有P3上A= f xx= －sin x－cos(x－y)|P3=－√3B= f xyx= cos(x－y)|P3=√3/2C= f yy= －cos y－cos(x－y)|P3=－1AC－B2= (－√3)(－1)－(√3/2)2=√3－3/4>0，P3极大值点极大值f(π/3，π/6)=3√3/22、求由x2＋y2+z2－2x+2y－4z－10 = 0 确定的隐函数z=z(x，y)的极值解：P116 8.8.5[一] 2x+2zz x－2－4z x= 0 z x=(1－x)/(z－2)2y+2zz y－2y－4z y= 0 z y=(1＋y)/(z－2)⇒驻点(1，－1)对应P(1，－1，6)、Q(1，－1，－2)A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|P=－1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|P=0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|P=－1/4AC－B2= (－1/4)(－1/4)－02>0，A<0，在P达到极大值6A= z xx= [－(z－2)－(1－x) z x ]/(z－2)2|Q =1/4B= z xyx=－(1－x) z x/(z－2)2|Q =0C= z yy= [－(z－2)－(1+y)z y]/(z－2)2|Q=1/4AC－B2= (1/4)(1/4)－02>0，A>0，在Q达到极小值－2[二] (x－1)2＋(y＋1)2＋(z－2)2=42z极大=2＋4=6，z极小=2－4=－2二、条件极值1、求z=x2＋y2，在条件x＋y=1下的条件极值。
多元函数微分学求最值,直接建立拉格朗日乘数法
多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法【多元函数微分学求最值，直接建立拉格朗日乘数法】引言在高等数学中，多元函数微分学是一个重要的分支，它研究多元函数的极值与最值问题。
其中一种常见的求最值的方法是通过建立拉格朗日乘数法。
本文将从简单到复杂的角度，逐步探讨多元函数微分学求最值的方法，并结合拉格朗日乘数法来解决实际问题。
一、多元函数的极值1.1 极值概念在单变量函数中，我们通过求导数，令导数为零来判断函数的极值点。
而在多元函数中，我们需要通过求偏导数来判断函数的极值点。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，偏导数用$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示。
1.2 极值的判断条件多元函数的极值点与一元函数类似，也需要满足导数为零的条件。
对于一个n元函数$f(x_1,x_2,…,x_n)$，如果在某一点$(a_1,a_2,…,a_n)$处，满足以下条件：$\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\\frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2,…,a_n)=0\\……\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,a_2,…,a_n)=0$那么该点就是函数的极值点。
但这仅仅是极值的必要条件，并不一定是充分条件。
二、最值问题的解决方法2.1 直接法在一元函数中，我们通过求导数来解决最值问题，而在多元函数中，我们也可以直接计算偏导数，并令其为零来解决最值问题。
举例说明：设有一个二元函数$f(x,y)=2x^2+3y^2$，我们要求在$x^2+y^2=1$的条件下，函数$f(x,y)$的最小值。
解法：根据条件$x^2+y^2=1$，我们可以得到一个方程组：$2x-λ\cdot2x=0\\2y-λ\cdot2y=0\\x^2+y^2-1=0$其中，λ为拉格朗日乘子。
极值点的判定条件
极值点的判定条件一、引言极值点是函数在其定义域内的点，函数在该点的导数或二阶导数出现变化。
确定极值点是研究函数性态的关键步骤之一。
通过对极值点的判定，我们可以理解函数的变化规律，了解函数在何处达到其最大值或最小值。
极值点的概念在实际应用中具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等领域。
因此，掌握极值点的判定条件对于解决实际问题具有重要意义。
二、极值点的定义与分类极值点是函数在其定义域内的点，函数在该点的导数或二阶导数出现变化。
根据导数的符号变化，极值点可以分为极大值点和极小值点。
在极大值点，函数的一阶导数由负变正；在极小值点，函数的一阶导数由正变负。
此外，根据函数的二阶导数变化，极值点还可以分为鞍点、拐点、尖点和圆的界限点等类型。
这些不同类型的极值点对于函数性态的分析具有重要的意义。
三、一元函数的极值判定条件对于一元函数，其极值的判定条件主要包括：1.极值的必要条件：如果函数f在x0处可导，且x0为f的极值点，那么f’（x0）=0。
这个必要条件告诉我们，如果一个点是函数的极值点，那么该点的导数必定为零。
然而，需要注意的是，导数为零的点不一定是极值点。
2.极值的充分条件：如果函数f在x0处可导，且在x0的某邻域内：（i）若f’（x）在x0两侧的正负号改变，则x0为极值点。
这被称为“正负号检验法”。
（ii）若f’（x）在x0两侧的正负号不改变，则x0不是极值点。
（iii）若f’（x）在x0两侧的正负号由负变正，则x0为极大值点；若f’（x）在x0两侧的正负号由正变负，则x0为极小值点。
这被称为“变号检验法”。
在实际应用中，我们通常首先计算函数的一阶导数，然后令其一阶导数为零，解得可能的极值点。
然后使用正负号检验法或变号检验法来进一步确定这些可能的极值点是否为真正的极值点。
对于无法通过一阶导数直接判断的复杂函数，可能需要使用二阶导数或更高阶的导数来进行判断。
四、多元函数的极值判定条件对于多元函数，其极值的判定条件主要包括：1.极值的必要条件：如果函数f在点x0处可微，且x0为f的极值点，那么f’（x0）=0。
多元函数的极值
定理 2. 若函数z = f (x, y)在某 U ( P0 ) 内存在连续的二阶 偏导数, 且 f x ( P0 ) = f y ( P0 ) = 0, 记 A = f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 ), C = f yy ( P0 ), 则当 AC B 2 0 时, 若 A 0 , P0 为极小值点; 若 A 0 , P0 为极大值点。 AC B 2 0 时, P0 非为极值点。
AC B 2 = 0 时, P0 是否极值点需进一步讨论。
f ( x , y ) = (1 e y ) cos x y e y 的极值。 例 1. 求
f x = (1 e y ) sin x = 0 解： 由 解得驻点 (2n , 0) , y f y = e (cos x 1 y ) = 0 (( 2n 1) , 2) , 其中 n Z . 那么 A = f xx = (1 e y ) cos x ,
2 2 2
在点 P1 (1, 1, 2) 的某邻域内方程可确定一个隐函数,此时， 1 1 A = z xx | P1 = = 0 . B = z xy | P1 = 0, 2 z z = 2 4 1 1 1 2 0. C = z yy | P1 = = . AC B = 16 2 z z = 2 4 因此 (1, 1) 为隐函数的极小值点, 极小值为 z = 2 . 在点 P2 (1, 1, 6) 的某邻域内方程也可确定一个隐函数。 对应地, A = z xx | P2 = 1 4 0, B = z xy | P2 = 0, C = z yy | P2 = 1 4 . AC B 2 = 1 16 0 . 因此 (1, 1) 为隐函数的极大值点, 极大值为 z = 6 .
ch7-6-多元函数求极值
umax 63 42 2 6912. 故最大值为
小结
• 多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） • 多元函数的最值 • 条件极值（拉格朗日乘数法）
练习
1 求函数f ( x, y ) 4( x y ) x 2 y 2的极值. 2 求函数f ( x, y ) e 2 x ( x y 2 2 y )的值.
A 0,B2 AC 4e2 0
故函数在点 ( 1 1 e ,1)处取得极小值 f( ,1) 2 2 2
(3)某公司拟用甲、乙两个厂生产的同一种产 品，若用x代表甲厂的产量，用y代表乙厂 的产量，其总成本函数为C=X2+3Y2-XY • 求该公司在生产总量为30单位时使得总成 本最低的产量？ • 解：目标函数C= X2+3Y2-XY • 约束条件X+Y=30（即X+Y-30=0）
(4)设某种产品的产量是劳动力x和原料y的函 数，f(x,y)=60x ¾ y ¼,若劳动力单价为100元 ，原料单价为200元，则在投入30000元资 金用于生产情况下，如何安排劳动力和原 料，可使产量最多？ • 解：目标函数f(x,y)=60x ¾ y ¼ • 约束条件 x+2y=300（即x+2y-300=0 ）
最大利润为1650单位。
(3)某企业生产两种产品的数量分别为x单位和y单位，单价 分别为：200,150，总成本函数为 C ( x, y) 2 x 2 y 2 求最大 利润。 L( x, y) R( x, y) C ( x, y) (200 x 150 y) (2 x 2 y 2 ) 解：
解：令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性在数学中，多元函数的极限与连续性是重要的概念。
本文将介绍多元函数的极限和连续性的定义，并探讨它们的性质和应用。
一、多元函数的极限多元函数的极限可以类比于一元函数的极限，但其定义稍有不同。
对于一个二元函数，我们将自变量表示为(x,y)，则当自变量趋近于某个点(a,b)时，函数值f(x,y)的极限记为：lim (x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中，L为实数。
我们称函数f(x,y)在点(a,b)处具有极限L，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0< √((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-L|<ε 成立。
类似地，对于一个三元函数，自变量表示为(x,y,z)，其极限定义与二元函数类似。
多元函数的极限有以下性质：1. 极限存在且唯一：如果一个多元函数在某点具有极限，那么它的极限是唯一的。
2. 有界性：如果一个多元函数在某点具有极限，则它在该点附近是有界的。
但需要注意，多元函数在整个定义域内有界不一定代表在每个点处都具有极限。
3. 加法性、乘法性：如果两个多元函数在某点都具有极限，则它们的和、差、积仍在该点处具有极限。
4. 复合函数的极限性质：多元函数的复合函数在某点处具有极限的条件是，内部函数在该点处具有极限，且外部函数在内部函数极限处连续。
二、多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在整个定义域内的连续性。
对于一个二元函数，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当(x,y)满足0<√((x-a)^2+(y-b)^2) < δ时，都有 |f(x,y)-f(a,b)|<ε 成立，那么我们称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
类似地，对于一个三元函数，连续性的定义也类似。
多元函数的连续性具有以下性质：1. 极限与连续性的关系：如果一个多元函数在某点处具有极限L，则它在该点处连续。
多元函数的极值和最值
练习题
一、填空题: 1、函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在_______点取 得极_________值为___________. 2、函数 z xy 在附加条件x y 1 下的极______值 为_____________. 3、方程 x 2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 2 0 所确定的 函数z f ( x, y) 的极大值是___________,极小值 是_____________.
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积
若 f ( x0 , y)及 f ( x, y0 ) 在( x0 , y0 ) 点均取得 极值，则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )是否也取得极值？
思考题解答
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值; 当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值; 但 f ( x, y) x2 y2在(0,0) 不取极值.
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件(x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
多元函数的极值及其求法
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定理1（必要条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 具有偏导数且在点()00,y x 处有极值，则有
()()0,,0,0000==y x f y x f y x
定理2（充分条件） 设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导，又 ()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，令
()()()C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===000000,,,,,,
则()y x f ,在()00,y x 处是否取得极值的条件如下：
（1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；
（2）02<-B AC 时没有极值（在()00,y x 处不取极值）；
（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
二、条件极值 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法 要找函数()y x f z ,=在条件()0,=y x ϕ下的可能极值点，可先作拉格朗日函数
()()()y x y x f y x L ,,,λϕ+=，
其中λ为参数。
()()()()()0,0,,0
,,==+=+y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ
解出y x ,及λ,这样得到的()y x ,就是函数()y x f z ,=在附加条件()0,=y x ϕ下的可能极值点。
多元函数的极值解读
3
又
定义域为 r 0, h 0. 解方程组
S 2 rH 2 r r 2 h2 2V 4 rh 2 r r 2 h2 r 3
S 2V 4 4 r 2 2 h 2 2 h 0 2 2 r 3 r r h S 4 r 2 rh 0 3 r 2 h2 h
所以 B AC 4 0, 而A 0, 故函数在点（0，1） 取得极小值，为0。
2
例2 求函数z x 4 y 4 x 2 2 xy y 2 的极值。 解：此函数的定义域为 {( x, y) | x R, y R}
解方程组
z 3 4 x 2x 2 y 0 x z 4 y3 2 x 2 y 0 y
z 62 (8)2 12 6 16 (8) 100
在D的边界上，将 x 5 cos , y 5 sin , 0 2 代入函数中得
由于 0 2 , 所以在边界上函数的最大值为 125，最小值为-75。故该函数在此有界闭区域上 的最大值为125，最小值为-100。 例5 要制作一个中间是圆柱，两端为相等的 圆锥形中空浮标，如图。 在体积V是一定量的情况 下，如何选择圆柱和圆锥 的尺寸，才能使制作的材 料最省？
( 1)
k
( 1)
k
2 1 e 1 )(1) k 2
k为 奇 数 k为 偶 数 k为 奇 数 k为 偶 数
2 e 1 [(1) k (1) k 1 2] 1
2 2 2 B AC 0 ( 1 e ) ( e ) 0, z无极值。 k 故当 为奇数时，
二 多元函数的最值
多元函数求极值的方法总结
多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。
分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。
解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。
（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。
解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。
解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。
多元函数的极值与条件极值
例5 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y(4 - x - y ) 在直线 x + y = 6， x 轴和 y 轴所围成的闭区域 D 上的最大值与最小值.
解
如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x+ y=6
D
x
D
o
பைடு நூலகம்
解方程组
2 f ( x , y ) = 2 xy ( 4 x y ) x y=0 x 2 2 f y ( x, y ) = x ( 4 - x - y ) - x y = 0
不是极值； 在点 ( -3,0) 处，AC - B 2 = -12 6 < 0, 所以 f ( -3,0) 不是极值；
AC - B2 = (-12) (-6) > 0, 又 在点 ( -3,2) 处，
A < 0, 所以函数在 ( -3,2) 处有极大值
f ( -3,2) = 31.
求极值的步骤总结
yz + 2l ( y + z ) = 0
xz + 2l ( x + z ) = 0
xy + 2l ( y + x ) = 0
2xy + 2 yz + 2xz - a = 0
2
得到
6 x= y=z= a, 6
6 的正方体的体积为最大，最大体积 a 6
这是唯一可能的极值点。因此表面积为a 2 的长方体中， 以棱长为
3 3 2 2
的极值 解
先解方程组
2 f ( x , y ) = 3 x + 6 x - 9 = 0, x 2 f ( x , y ) = 3 y + 6 y = 0, y
多元函数取极值的条件
多元函数取极值的条件
多元函数取极值的条件是：
各个分量的偏导数为0，这是⼀个必要条件。
充分条件是这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式为正定或负定的。
如果这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式是半正定的则需要进⼀步判断三阶⾏列式。
如果这个多元函数的⼆阶偏导数的⾏列式是不定的，那么这时不是极值点。
以⼆元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。
,y。
）的某邻域内有连续且有⼀阶及⼆阶连续偏导数，⼜fx(x。
,y。
）,fy(x。
,y。
）=0,令
fxx(x。
,y。
)=A,fxy=(x。
,y。
）=B,fyy=(x。
,y。
）=C
则f(x,y)在（x。
,y。
）处是否取得极值的条件是
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B<0时没有极值
（3）AC-B*B=0时可能有极值，也有可能没有极值
如果是n元函数需要⽤⾏列式表⽰。
如果是条件极值，那么更复杂⼀些。
多元函数求极值的步骤
多元函数求极值的步骤
求多元函数的极值，通常需要以下步骤：
1. 找出多元函数的定义域，确定自变量的取值范围。
2. 求出多元函数的偏导数，并令其等于0，得到方程组。
3. 解方程组，求出所有的临界点（即偏导数为0的点）和自变量无定义的点。
4. 在临界点和自变量无定义的点中，通过二阶偏导数的判别来确定极值。
- 如果二阶偏导数全为正，那么该点为极小值点。
- 如果二阶偏导数全为负，那么该点为极大值点。
- 如果二阶偏导数有正有负，那么该点为鞍点。
5. 对于定义域的边界，使用拉格朗日乘数法确定极值。
6. 将临界点、鞍点和边界点的函数值进行比较，得到最大值和最小值。
高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例 3 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
练习题答案
一、1、(3,2),大,36； 二、(8 , 16).
55
2、大, 1； 4
练习题
一、
填空题:
1、
函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在
_______点取得极_________值为___________.
2、
函数 z xy 在附加条件 x y 1下
的极______值为_____________.
二、 在 平 面 xOy 上 求 一 点 , 使 它 到 x 0, y 0 及 x 2 y 16 0三平面的距离平方之和为最小.
求函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的极值。
(2)拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1） AC B2 0时具有极值，
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值； （3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
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(3)当 f ( x*)不定时，x * 不是f ( x)的极值点；
2
证明:
设x是x * 邻域内任意一点，不妨设x x * d，则
1 2 T 2 f ( x) f ( x*) d f ( x * d )d 2 由于函数f ( x)二阶连续偏导数，且 2 f ( x*)正定, 则可选择,
序列可行方向的性质 性 质 1 设ci(x)在x处可微，则 d SFD( x, X )有
T c j ( x) d 0, (j I ( x)) T c ( x ) d 0, (j E ) j
证明
d SFD( x, X ), d k (k 1,2,)和 k 0(k 1,2,)， 使得x k d k X , 且有d k d和 k 0，则
1 2 两边同除 ，取极限得 2 T 2 n d f ( x*)d 0, d R
二阶充分条件
设n元函数f ( x)存在二阶连续偏导数，f ( x*) 0, 则
(1)当 f ( x*)正定时，x * 是f ( x)的严格极小值点；
2
(2)当 f ( x*)负定时，x * 是f ( x)的严格极大值点；
时有极小值。
(2) AC B 2<0时没有极值
n元函数取得 极值的条件
(3) AC B 0
2
？
不能确定
设n元函数f ( x) f ( x1 , x2 ,, xn )
具有偏导数，
n
点x* Байду номын сангаас ( x1*, x2 *,, xn *) R
梯度
f f f T f ( x) [ , , , ] x1 x2 xn
必要条件
若 函 数 f(x,y) 在 点 P(x0,y0) 存 在 两 个 偏 导 数 ， 且
P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则
驻点
f x( x0 , y0 ) 0
充分条件 阶及二阶偏导数，又 令 则
与
f y ( x0 , y0 ) 0 与 f y ( x0 , y0 ) 0
必要条件
若 n 元函数 f(x) 在存在偏导数，且 x* 是函数 f(x) 的极值
一阶条件
二阶条件
点，则
f ( x*) 0
2
设n元函数f ( x)存在二阶连续偏导数，x * 是极小
值点，则
f ( x*) 0, 且 f ( x*)半正定
证明：f ( x*) 0显然。 d R n , 令x x * d，由Taylor公式有 1 2 T 2 0 f ( x) f ( x*) d f ( x * d )d 2
使得x * d U ( x*, )，且d T 2 ( x * d )d 0
所以
f ( x) f ( x*)，即x * 是f ( x)的严格极小值点。
对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。 Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否 是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。 问题： 对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？
起作用集
x X，集合A( x) E I ( x)称为在x处的起作用集。
起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微 离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长 多么小，都将违背这些约束。 对于非起作用约束（ci(x)>0），x是否是局部最优解与这些非起作 用约束无关。
序列设x* X , d R n , 如果存在序列d k (k 1,2,)和 k 0(k 1,2, 可行 使得 x * k d k X 方向：
且有d k d和 k 0，则称d是X在x * 处的序列可行方向
X在x * 处的所有序列可行方向的集合记为SFD( x*, X )
j I ( x),由Taylor公式，有 0 c j ( x k d k ) c j ( x) k c j ( x)T d k o(k )
两边除k，取极限得c j ( x)T d 0
可行域： X {x | x R n , ci ( x) 0, c j ( x) 0, i 1,2,, me ; j me 1,, m}
则称d是X在x * 处的可行方向。X在x * 处的所有可行方向集合记为FD( x*, X )
指 标 集
设x X，令 E {1,2,, me } I {me 1,, m} I ( x) { j | c j ( x) 0, j I }
若函数z= f(x,y) 在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一
f x( x0 , y0 ) 0
( x0 , y0 ), B f xy ( x0 , y0 ), C f yy ( x0 , y0 ) A f xx
(1) AC B 2 0
时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0
Hesse矩阵
2 f 2 x 21 f 2 f ( x) x x 2 1 2 f xn x1
2 f x1x2 2 f 2 x2 2 f xn x2
2 f x1xn 2 f x2 xn 2 f 2 xn
一般的 (1) 约束极 值问题：
min f ( x) st . ci ( x) 0, i 1,2, me c j ( x) 0, j me 1,, m 其中，x R n , f ( x), ci ( x)都是n元函数
几个概念：
n 设 x * X , 0 d R , 如果存在 0，使得 可行方向： x * td X , t [0, ]