树的结构定义和基本术语
树状结构知识点
树状结构知识点简介树状结构是一种非常重要的数据结构，它以分层的方式来组织数据。
在计算机科学中，树状结构被广泛应用于各种领域，如文件系统、数据库、编译器等。
本文将介绍树状结构的基本概念、特性和常见的应用。
1. 树状结构的定义和特点树状结构是一种由节点和边组成的层次化数据结构。
它具有以下特点：•树状结构中只有一个根节点，它是整个树的起始点。
•每个节点可以有零个或多个子节点，子节点又可以有自己的子节点，形成层次结构。
•除了根节点外，每个节点都有且只有一个父节点，即除了根节点外，每个节点都有唯一的直接上级。
•节点之间通过边连接，表示节点之间的关系。
2. 树状结构的基本术语在研究树状结构时，有几个基本的术语需要了解：•根节点（Root）：整个树的起始点，它没有父节点。
•叶节点（Leaf）：没有子节点的节点。
•父节点（Parent）：有子节点的节点，一个父节点可以有多个子节点。
•子节点（Child）：一个节点的直接下级节点。
•兄弟节点（Sibling）：有相同父节点的节点。
•子树（Subtree）：以某个节点为根节点的树，也是一个树状结构。
•深度（Depth）：从根节点到某个节点的路径的长度。
3. 常见的树状结构树状结构有很多种类，其中一些常见的包括：•二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点，分别为左子节点和右子节点。
•二叉搜索树（Binary Search Tree）：二叉树的一种特殊类型，左子节点的值小于根节点的值，右子节点的值大于根节点的值。
•AVL树：一种自平衡的二叉搜索树，用于提高搜索和插入的效率。
•B树（B-Tree）：一种自平衡的树状结构，通常用于文件系统和数据库中的索引结构。
•字典树（Trie）：用于高效存储和检索字符串的树状结构。
4. 树状结构的应用树状结构在计算机科学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•文件系统：计算机的文件系统通常使用树状结构来组织文件和文件夹。
《树的基本性质》课件
查找节点
总结词
查找节点是树的基本操作之一，用于在树中 查找指定的节点。
详细描述
查找节点通常从根节点开始，沿着树的分支 向下搜索，直到找到目标节点或搜索到叶子 节点。查找节点的效率取决于树的类型和结
构。
THANKS
感谢观看
有一个父节点。
树的根节点是层次结构的最高点，其他节点都是根节点的子节
03
点。
基本术语
节点
树中的元素，表示对象或实体。
边
连接节点的线段，表示节点之间的关系。
子节点
一个节点直接的下属节点。源自基本术语父节点一个节点的直接上级节点。
叶子节点
没有子节点的节点。
兄弟节点
具有相同父节点的节点。
根节点
没有父节点的节点，是树的最高点。
详细描述
插入节点通常在树的末尾进行，但也 可以在树的其他位置进行。插入节点 后，可能需要调整树的结构以保持树 的平衡。
删除节点
总结词
删除节点是树的基本操作之一，用于 从树中移除指定的节点。
详细描述
删除节点时，需要遵循一定的规则和 步骤，以保持树的完整性。例如，如 果被删除的节点有两个子节点，需要 选择一个合适的节点作为替代节点。
总结词
树中不存在任何形式的闭环。
详细描述
在树中，每个节点最多只能有一条边连接到其父节点，并且每个节点只能有一 个子节点。这意味着树的结构中不存在任何形式的闭环，即不存在从一个节点 出发可以沿着边回到原点的路径。
有根性
总结词
树有一个特定的根节点，所有其他节点都直接或间接连接到 这个根节点。
详细描述
树的有根性意味着树有一个特定的节点，被称为根节点，它 是树的起点。所有其他节点都直接或间接连接到这个根节点 。根节点没有父节点，而其他节点都有一个父节点。
数据结构第七章 树和森林
7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。
数据结构的树的概念和基本术语作业
数据结构的树的概念和基本术语作业嘿，朋友！咱们今天来聊聊数据结构里那神奇的树。
你知道吗？数据结构中的树，就像是一棵真实的大树。
它有根，有枝干，还有叶子。
只不过这里的根、枝干和叶子可不是真的植物部分，而是一些数据和它们之间的关系。
咱们先来说说根节点。
这根节点啊，就像是大树的树根，是整个树的起始点。
所有其他的节点都从它这儿延伸出去，你能想象到那种感觉吗？就好像树根给整棵树提供了支撑和养分，根节点也是整个树结构的基础和核心。
再说说子树，这子树就像是大树上分出的小树枝。
一棵大树可以有好多小树枝，每个小树枝又能自成一个小小的树的模样。
这是不是很神奇？还有父节点和子节点，这关系就像爸爸和孩子。
父节点有它的子节点，子节点依靠着父节点存在。
就像咱们生活中，孩子依赖着父母，而父母也为孩子遮风挡雨。
那兄弟节点呢？这就好比是兄弟姐妹呀，它们有着共同的父节点，相互之间有着类似的地位和关系。
度这个概念也很有趣。
节点的度，就好比一个人有多少只手。
有的节点“手多”，能连接的节点就多；有的节点“手少”，连接的就少。
层次呢，就像是大树的不同高度。
越往上层次越高，越往下层次越低。
叶子节点就像是大树最末梢的小叶子，它们没有孩子节点，孤孤单单但又有着自己独特的作用。
朋友，你想想，如果没有根节点，这树还能立得住吗？如果没有子节点，这树还能枝繁叶茂吗？所以啊，理解了这些基本术语，咱们就能更好地掌握树这个数据结构啦。
就像了解了大树的各个部分，咱们就能更清楚大树的整体模样一样。
咱们在处理数据的时候，树结构能帮咱们更高效、更有条理地组织和管理信息。
怎么样，是不是觉得很有意思？总之，数据结构中的树虽然看起来复杂，但只要咱们用心去理解，就会发现它就像咱们身边熟悉的事物一样，有着自己的规律和逻辑。
加油吧，朋友，相信你能把这树的概念和基本术语搞得明明白白！。
树和叉树(数据结构)
第六章树和二叉树 6.1树（tree）的概念在日常生活中，可以见到很多情形可以归结为树结构。
如：家族谱系、行政管理机构、DOS和Windows 磁盘文件管理系统等。
我们讨论的树和自然界的树在生长方向上正好相反，它是倒长的树，即根朝上，枝干和叶子朝下。
例1：某家族谱系的一部分例2：国家行政管理机构的一部分例3：DOS和Windows磁盘文件的一部分C:\TC20VC6.0数据结构课件数据结构讲稿第一章第二章……MyTc程序Tc1Tc2……MyVc程序Vc1Vc2……树是一种层次结构，属于非线性结构。
我们学过的线性表可以灵活组织数据，但它受到线性结构的限制，表达层次结构不太方便。
6.1.1树的定义·树T是n（n≥0）个结点的有限集合。
它满足：(1)仅有一个特定的结点，称为根（root）结点;(2)其余结点分为m(m≥0)个互不相交的非空有限集合T,1,T2,……,T m,其中每个集合自身又是一棵树，称为根的子树（subtree）。
·为了表述方便，把没有结点的树称为空树。
·树的定义具有递归性：即一棵树是由根及若干棵子树构成的，而子树又是由根及若干棵子树构成的，……。
表达树的方法通常有4种：树形、凹入、集合和广义表(1) 树形表示法AB C DE F G H(2)凹入表示法ABCEFDGH(3)集合嵌套表示法A○E C○F○G D○H B(4)广义表表示法T(A(B,C(E,F),D(G,H)))6.1.3 树的基本术语为了对树的形态表述清楚和形象，通常引用树和人的特征及术语来描述。
（1）结点和树的度（degree）结点所拥有的子树的个数称为该结点的度，而树中各结点的度的最大值称为该树的度。
AB C DE F G H如：·结点B、E、F、G和H的度数是0·结点C和D的度数都是2·结点A的度数是3；显然3也是树的度数（2）叶子（leaf）结点和分支结点度为0的结点称为叶子结点（终端结点）；度不为0的结点称为分支结点（非终端结点）。
《数据结构与算法设计》第5章 树
5.2.2 二叉树的性质
➢ 满二叉树和完全二叉树
满二叉树是指深度为h且节点数取得最大值2h-1的二叉树。 如果一棵深度为h的二叉树，除第h层外，其他每层的节点数 都达到最大，且最后一层的节点自左而右连续分布，这样的二 叉树称为完全二叉树。
5.2.2 二叉树的性质
5.2.2 二叉树的性质
性质6 对含有n个节点的完全二叉树自上而下、同一层从左往右 对节点编号0,1,2,…,n-1，则节点之间存在以下关系： （1）若i=0，则节点i是根节点，无双亲；若i>0，则其双亲节 点的编号为i/2-1； （2）若2×i +1≤n，则i的左孩子编号为2×i+1； （3）若2×i+2≤n，则i的右孩子编号为2×i+2； （4）若i>1且为偶数，则节点i是其双亲的右孩子，且有编号为 i-1的左兄弟； （5）若i<n-1且为奇数，则节点i是其双亲的左孩子，且有编号 为i+1的右兄弟。
5.3.3 二叉树的二叉链表类模板定义
//根据二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列创建以r为根的二叉树
void CreateBinaryTree(BTNode<DataType> * &r, DataType pre[], DataType
in[], int preStart, int preEnd, int inStart, int inEnd); int Height(BTNode<DataType> *r); //求以r为根的二叉树高度 //求以r为根的二叉树中叶子节点数目
5.1.2 树的术语
（9）节点的层次：从根节点开始，根为第一层，根的孩子为 第二层，根的孩子的孩子为第三层，依次类推，树中任一节 点所在的层次是其双亲节点所在的层次数加1。 （10）堂兄弟：双亲在同一层的节点互为堂兄弟。
树的基本构造
树的基本构造1. 什么是树树是一种非线性的数据结构，它由一组以边连接的节点组成。
树的基本构造包括根节点、子节点和父节点。
树的结构具有层次性，每个节点除了根节点外，都有一个父节点，可以有零个或多个子节点。
树是一种重要的数据结构，在计算机科学中广泛应用。
例如，文件系统就是一种树的结构，目录可以看作是树的节点，文件可以看作是树的叶子节点。
2. 树的基本术语在学习树的基本构造之前，我们首先需要了解一些树的基本术语。
•根节点（Root）：树的顶端节点，没有父节点。
•子节点（Child）：一个节点可以有零个或多个子节点。
•父节点（Parent）：一个节点的直接上级节点。
•叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点。
•兄弟节点（Sibling）：具有相同父节点的节点。
•子树（Subtree）：节点及其所有后代节点构成的树。
•深度（Depth）：节点到根节点的边数。
•高度（Height）：树中节点的最大深度。
3. 树的表示方法树的结构可以通过不同的方式进行表示，常见的表示方法有以下几种：3.1. 嵌套列表表示法嵌套列表表示法是一种简单直观的表示方法。
每个节点用一个列表表示，列表的第一个元素表示节点的值，后续元素表示子节点。
例如，以下是一个用嵌套列表表示的树：[1, [2, [4], [5]], [3, [6], [7]]]3.2. 链表表示法链表表示法是一种常用的表示方法。
每个节点用一个对象表示，对象中包含节点的值和指向子节点的指针。
例如，以下是一个用链表表示的树：class TreeNode:def __init__(self, value):self.value = valueself.children = []3.3. 数组表示法数组表示法是一种紧凑的表示方法。
将树的节点按照层次遍历的顺序存储在一个数组中，数组中每个元素保存节点的值。
例如，以下是一个用数组表示的树：[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]4. 树的基本操作树的基本操作包括创建、插入、删除、查找和遍历等。
云大《数据结构》课程教学课件-第6章 树和二叉树(147P)_OK
^d ^ ^ e ^ 三叉链表
3）二叉链表是二叉树最常用的存储结构。还有其它链接方 法，采用何种方法，主要取决于所要实施的各种运算频度。
例:若经常要在二叉树中寻找某结点的双亲时，可在每个结 点上再加一个指向其双亲的指针域parent，称为三叉链表。
lchild data parent rchild
2021/8/16
2021/8/16
9
6.2 二 叉 树
6.2.1 二叉树的概念
一、二叉树的定义： 二叉树(Binary Tree)是n(n>=0)个结点的有限集，它或者是 空集(n=0)或者由一个根结点和两棵互不相交的，分别称 为根的左子树和右子树的二叉树组成。 可以看出，二叉树的定义和树的定义一样，均为递归定 义。
A
集合3
集合1
BCD
EF
G
集合2
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3
2、树的表示方法 1）树形图法
A
BCD
EF
G
2）嵌套集合法
3）广义表形式 ( A(B, C(E,F), D(G) )
4）凹入表示法
2021/8/16
A B
D
CG
EF
A B C E DF G
4
3、 树结构的基本术语
1）结点的度(Degree)：为该结点的子树的个数。 2）树的度：为该树中结点的最大度数。
7）路径(Path)：若树中存在一个结点序列k1,k2,…,kj,使得ki是 ki+1的双亲(1<=i<j)，则称该结点序列是从ki到kj一条路径 (Path)
路径长度：路径的长度为j-1,其为该路径所经过的边的数 目。
A
BCD
EF
G
树和二叉树知识考点整理
树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。
●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。
树的定义和基本术语
TreeDepth(T); 初始条件：树T存在。 操作结果：返回T的深度。
Root(T); 初始条件：树T存在。 操作结果：返回T的根。
Value(T, cur_e); 初始条件：树T存在，cur_e是T中某个结点。 操作结果：返回cur_e的值。
该树又可表示为如下三种形式：
A
KE L
B F
D
HJ MI
B(E(K, L), F), C(G), D(H(M), I, J))) (b) 广义表表示
A B E K L F C G D H M I J
(c) 凹入表示法
图6.2 树的其他3种表示法
〔3〕树的抽象数据类型定义
6.1 树的定义和根本术语
〔1〕定义 树〔Tree〕：是n〔n≥0〕个结点的有限集。
定义一：〔递归定义〕： ①在任意一棵非空树中，有且仅有一个特定的称为根〔root〕 的结点； ②当n>1时，其余结点可分为m〔m>0〕个互不相交的有限集 T1, T2, … , Tm，其中每一个集合本身又是一棵树。并且 T1, T2, … , Tm，称为根的子树〔SubTree〕。
树的定义和根本术语
树结构在客观世界中广泛存 在，如人类社会的族谱和各种社 会组织机构都可用树来形象表示。
树在计算机领域中也得到广 泛应用，如在编译程序中，可用 树来表示源程序的语法结构。
又如在数据库系统中，树形 结构也是信息的重要组织形式之 一。
6.1 树的定义和根本术语 6.2 二叉树 6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.4 树和森林 6.6 哈夫曼树及其应用
〔2〕表示形式
(完整版)第一讲园林树木树体结构
管状突起物，特点是:数量多、密度大，寿 命短，在几天或者几个星期内死亡。
• 根据须根的结构和功能，分为生长根、吸 收根、过渡根、输导根。
• 生长根:促进根系的延长，扩大根系分布范 围并形成吸收根。
• 吸收根:有很多根毛，从土壤中吸收水分和 矿物质，施肥可以促进吸收根的吸收。
3.影响因素:影响树木根系在土壤中分布的因 素很多，但最主要的是根系类型和土壤条 件。一般主根型垂直分布深而水平分布较 窄;水平根型则相反;侧根型和须根型介于二 者之间。在干旱贫瘠的土壤中，根系分布 得更深更广;而在肥沃湿润的土壤中，根系 分布相对集中。
五、根系的生长
（一）影响根系生长的因素 1.土地温度:最小5-lo，最适15-20，最大40 2.土地湿度:达最持水量的60-80%时，为最适宜根系生长。 （1） 过干一木栓化(木栓化:是细胞壁内渗入了脂肪性的木
栓质的结果。木栓化的细胞壁不透水和空气，细胞内原生 质体与周围环境隔绝而死亡。木栓化细胞有保护作用，如 树皮外面的粗皮就是由木栓化细胞组成的木栓组织。)、 自疏; （2）过湿一影响通透性，抑制根的呼吸作用。沤根
3.土壤的通透性 (通气)
4.土壤营养(养分):一般不成为限制因素，不十分严 格;根有趋肥性;原始土;人造土、人工基质:泥炭、 蛙石 (保水、透气性好)、珍珠岩、锯木
(2) 分枝点 乔木主干上开始出现分枝的部位 。
(3) 主干 乔木或非丛生灌木地面上部与分枝 点之间部分，上承树冠，下接根系。
(4) 主枝 自主干生出，构成树骨架的粗壮枝 条。
(5) 侧枝 自主枝生出的较小枝条。 (6) 小侧枝 自侧枝上生出的较小枝条。
常用术语和定义
树的基本术语
树的基本术语一、树的定义树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由n（n>=1）个节点组成的有限集合。
其中，有且只有一个节点被称为根节点，其余节点被分为若干互不相交的、且看作一个整体（子树）来处理的、有限集合。
二、树的基本术语为了更好地理解树的概念，我们需要了解一些树的基本术语：1. 节点（Node）节点是树的基本构成单元，每个节点包含数据和指向其他节点的指针或引用。
节点可以有零个或多个子节点。
2. 根节点（Root）根节点是树的顶端节点，它是树中唯一一个没有父节点的节点。
根节点用于标识树的起点。
3. 父节点（Parent）一个节点的直接上层节点称为其父节点。
一个节点可以有零个或一个父节点。
4. 子节点（Child）一个节点的直接下层节点称为其子节点。
一个节点可以有零个或多个子节点。
5. 兄弟节点（Sibling）拥有共同父节点的节点称为兄弟节点。
兄弟节点之间的关系是平等的。
6. 叶节点（Leaf）没有子节点的节点称为叶节点，也可以叫做终端节点。
7. 子树（Subtree）子树是由一个节点及其所有子孙节点组成的树。
每个子节点可以看作是该子树的根节点。
8. 深度（Depth）节点的深度是指从根节点到该节点的唯一路径上的边的数量。
根节点的深度为0。
9. 高度（Height）节点的高度是指从该节点到最深叶节点的路径上的边的数量。
叶节点的高度为0。
整棵树的高度是指根节点的高度。
10. 祖先节点（Ancestor）一个节点的祖先节点是从根节点到该节点的路径上的所有节点。
11. 后代节点（Descendant）一个节点的后代节点是从该节点到叶节点的所有节点。
三、树的分类树可以分为多种不同的类型，常见的树包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
1. 二叉树（Binary Tree）二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以是空树，也可以是非空树。
2. 二叉搜索树（Binary Search Tree）二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中任意节点的左子树中的值都小于该节点的值，任意节点的右子树中的值都大于该节点的值。
《数据结构教程》第4章 树
数据结构
184
二叉树
三、二叉树的存储结构
1、顺序存储结构 连续的存储单元存储二叉树的数据元素。例如图6.4(b)的完全 二叉树, 可以向量(一维数组 ) bt(1:6)作它的存储结构，将二叉树中编 号为i的结点的数据元素存放在分量bt[i]中,如图6.6(a) 所示。但这种 顺序存储结构仅适合于完全二叉树,而一般二叉树也按这种形式来存 储,这将造成存 贮浪费。如和图6.4(c)的二叉树相应的存储结构图 6.6(b)所示，图中以“0”表示不存在此结点.
数据结构
183
二叉树
二、二叉树的重要性质
性质5：若对n个结点的完全二叉树进行顺序编号(1≤I≤n)，那么， 对于编号为i(i ≥1)的结点，有： (1)当i=1时，该结点为根，它无双亲结点； (2)当i>1时，该结点的双亲结点编号为[i/2]； (3)当2i<n，则有编号为2i 的左孩子，否则没有左孩子； (4)若2i+1<n，则有编号为2i+1的右孩子，否则没有右孩子。
7、权、网
数据结构 201
二、图的存储结构
(一)邻接矩阵表示法 用两个数组分别存储数据元素(顶点)的信息和数据元素之间的 关系(边或弧)的信息
010100 001000 100001 001001 000100 100010 数据结构 202
数据结构
186
二叉树
四、遍历二叉树
遍历二叉树(traversing binary tree)的问题， 即如何按某条搜索 路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访 问一次。 其中常见的有三种情况：分别称之为先(根)序遍历，中(根) 序遍历和后(根)序遍历。 1、先根(前序)遍历 访问根节点 前序遍历左子树 前序遍历右子树
树,二叉树,森林
二叉树
二叉树性质（续） ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明：
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时，整个二叉树的结点数 才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时（性质 2），对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组， 对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子 结点序号都可由公式计算得到，具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
A B E K L F C G H M D I J
back
树的基本概念
3、树的表示方法 （4种）
树形表示 文氏图表示 凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型，许多实际问题抽象 出来的数据结构都是二叉树的形式，此外一般的树也可以 简单的转换为二叉树，因此二叉树是特别重要的一种树结 构。 1、二叉树的定义： 二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个有限结点构成、 每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点 和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树 构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法（二叉链表表示法）： 链表中每个结点设有两个链域，分别指向该结点的第一个孩 子结点和下一个兄弟（右兄弟）结点。
树、森林和二叉树的关系
树形结构
树的例子
A
T1 E
B
C
D
F
G
H
I
J
K
L
T2
M
T3
树结构中的常用术语： 树结构中的常用术语：
结点（ 结点 （ Node）： 树中的元素 ， 包含数据项及若干指向其 ） 树中的元素， 子树的分支。 子树的分支。 结点的度（ 结点的度 （ Degree） ： 结点拥有的子树数 。 树中最大结 ） 结点拥有的子树数。 点的度数称为树的度数。 点的度数称为树的度数。 结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。 结点的层次：从根结点开始算起，根为第一层。
(4)二叉树的存储结构 (4)二叉树的存储结构 对于二叉树，我们既可采用顺序存储，又可采用 链式存储。 ①顺序存储结构
顺序存储就是将一棵二叉树的所有结点按照一定的次序 顺序存储就是将一棵二叉树的所有结点按照一定的次序 顺序存放到一组连续的存储单元中 为此， 到一组连续的存储单元 顺序存放到一组连续的存储单元中，为此，必须把二叉树中 所有结点构成一个适当的线性序列，以使各个结点在这个序 所有结点构成一个适当的线性序列， 列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系 相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。 列中的相互位置能反映出结点之间的逻辑关系。 对于完全二叉树按结点的编号顺序，就能得到一个足以 对于完全二叉树按结点的编号顺序， 完全二叉树按结点的编号顺序 反映整个二叉树结构的线性序列。因此， 反映整个二叉树结构的线性序列。因此，可将完全二叉树中 所有结点按编号顺序依次存储到一组连续的存储单元(即向量 即向量) 所有结点按编号顺序依次存储到一组连续的存储单元 即向量 这样既不浪费内存， 中，这样既不浪费内存，又可以利用地址公式确定其结点的 位置。但对于一般的二叉树，顺序分配常会造成内存的浪费， 位置。但对于一般的二叉树，顺序分配常会造成内存的浪费， 因为一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储 一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储。 因为一般的二叉树也必须按完全二叉树的形式来存储。
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树（一）树的基本知识
树（⼀）树的基本知识树结构1） 了解树的定义、表⽰形式和基本术语2） 了解⼆叉树的概念和性质3） 掌握⼆叉树的⼏种遍历⽅法4） 理解⼆叉树的遍历⽅法的C语⾔代码实现5） 了解树的存储结构6）了解哈夫曼树和哈夫曼编码的基本概念树的定义树（Tree），是n（n≥0）个结点的有限集。
若n=0时称为空树；若n>0时为⾮空树。
在⼀个⾮空树中，有且仅有⼀个称为根的结点。
除根以外的其他结点划分为m（m>0）个互不相交的有限集T1，T2，. . .，Tm，其中每⼀个集合本⾝⼜是⼀棵树，并且称为根的⼦树（SubTree）。
例如下图是只有⼀个结点的树，这个唯⼀的结点也是这棵树的根节点：再⽐如下⾯这棵树：这棵树有9个结点，其中A是根，其余结点组成2个互不相交的⼦集：T1={B, D, E, I}，T2={C, F, G, H}，T1和T2都是A的⼦树，其本⾝也是⼀棵树：在树T1中，B是根节点，其余结点⼜分为两个互不相交的⼦树：T11={D, I}，T12={E}。
在树T11中D是根，其包含由结点I组成的⼦树。
从这个概念上我们可以看出树的定义是⼀个递归的定义，即在树的定义中⼜⽤到了树的定义，⽽递归也将是实现树的相关操作的⼀个重要⼿段。
树的表⽰⽅法树形表⽰法⽬录结构表⽰韦恩图表⽰法⼴义表表⽰法凹⼊表⽰法树的基本概念（※有关术语※重点※）以下图为例⼦：结点：数据元素以及指向⼦树的分⽀。
图中的A,B,C等都是结点。
根结点：⾮空树中⽆前驱结点的结点。
图中的A结点。
结点的度(Degree)：结点拥有的⼦树数量。
图中度为3的有：A、D，度为2的有：B、E、H，度为1的有：C、H。
：树内各结点的度的最⼤值。
上图中树的度为3。
叶⼦结点(终端结点)(Leaf)：树没有⼦结点，即度为0的结点。
图中的F，G，I，J，K，L，M 都是叶⼦结点。
分⽀结点(分⽀点或⾮终端结点)：不属于叶⼦结点的结点，即度不为0的结点。
A,B,C,D等都是分⽀结点。
第6章-1( 树的基本概念)
10．层数 根结点的层数为1，其它结点的层数为从根结点到该 结点所经过的分支数目再加1。 11. 树的高度（深度） 树中结点所处的最大层数称为树的高度，如空树的 高度为0，只有一个根结点的树高度为1。 12.树的度 树中结点度的最大值称为树的度。
13. 有序树
若一棵树中所有子树从左到右的排序是有顺序的，不 能颠倒次序。称该树为有序树。 14. 无序树
性质3 对任意一棵二叉树，如果叶子结点个数为n0， 度为2的结点个数为n2，则有n0=n2+1。 证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1，根据二叉树 的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2。又因为 在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩 子结点数为 n0*0+n1*1+n2*2 ，而一棵二叉树中，除根 结点外所有都为孩子 结点，故该二叉树的结点数应为 孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1因此,有 n=n0+n1+n2=n0*0+n2*1+n2*2+1，最后得到n0=n2+1。 先定义两种特殊的二叉树:
初始化树T。 (2) root(T) 求树T的根结点。
(3) parent(T,x)
求树T中，值为x的结点的双亲。 (4) child(T,x,i)
求树T中，值为x的结点的第i个孩子。
(5) addchild(y,i,x) 把值为x的结点作为值为y的结点的第i个孩子插入到树 中。 (6) delchild(x,i)
图 6-1 树的示意图
2. 凹入法表示法
具体参见图6-3 。
A B E J K L F C G D H M I 图 6-3 图 6-1(c)的树的凹入法表示
第五章二叉树-.ppt
1
2
3
4
5
6
7
图5.9 满二叉树
则称这样的二叉树为完全二叉树，图5.10（b）、 (c）是2棵非完全二叉树。满二叉树是完全二叉树的 特例。
1
2
3
45
6
(a)完全二叉树
1
2
3
4
5
7
(b)非完全二叉树
图5.10 完全二叉树
1
2
3
6
7
( c)非完全二叉树
完全二叉树的特点是：
（1)所有的叶结点都出现在第k层或k－1层。
n0，度为2的结点数为n2，则n0＝n2＋1。
设二叉树中度为1的结点数为n1，二叉树中总结点数 为N，因为二叉树中所有结点均小于或等于2，所以
有：N＝n0＋n1＋n2
(5-1)
再看二叉树中的分支数，除根结点外，其余结点都
有一个进入分支，设B为二叉树中的分支总数，
则有：N＝B＋1。
由于这些分支都是由度为1和2的结点射出的，所有有： B＝n1+2*n2 N＝B＋1＝n1＋2×n2＋1 （5－2)
5.1 树的定义和基本术语
定义：树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集T，T为 空时称为空树，否则它满足如下两个条件：
（1）有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
(2)其余的结点可分为m(m>=0)个互
不相交的子集T1,T2,T3…Tm，其中每 个子集又是一棵树，并称其为子树
(Subtree)。
第五章 二叉树
树型结构是一类重要的非线性结构。树型结 构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构， 它非常类似于自然界中的树。树结构在客观世界 国是大量存在的，例如家谱、行政组织机构都可 用树形象地表示。树在计算机领域中也有着广泛 的应用，例如在编译程序中，用树来表示源程序 的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信 息；在分析算法的行为时，可用树来描述其执行 过程。等等。
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2
6.1 树的定义和基本术语
定义： 树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。在任意一棵非空树
中： (1) 存在唯一的称为根的结点root, (2) 当n>1时，其余结点可分为m (m>0)个互不相交的有
限集T1, T2, …, Tm, 其中每一个集合本身又是一棵符合本 定义的树，并且称为根的子树。
归纳基：
2i-1 = 20 = 1；
归纳假设： 假设对i-1层，命题成立;即有2i-2个结点 归纳证明： 二叉树上每个结点至多有两棵子树，
则第 i 层的结点数 = 2i-2 2 = 2i-1 。
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13
性质 2 ： 深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个（k≥1）
证明：
基于性质1，深度为 k 的二叉树上的结点数至多为
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பைடு நூலகம்
18
6.2.3 二叉树的存储结构
一、 二叉树的顺序存储表示 二、二叉树的链式存储表示
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19
一、 二叉树的顺序存储表示
用一组地址连续的存储单元存储完全二叉树的数据元 素。即将完全二叉树中编号为i的结点的数据元素存放在 分量bt[i-1]中。但这种顺序存储结构仅适合于满二叉树 和完全二叉树,而一般二叉树按这种形式存储将造成存贮 浪费。
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20
二叉树顺序存储描述
#define MAX_TREE_SIZE 100 // 二叉树的最大结点数
typedef TElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; // 0号单元存储根结点
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 – 1
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（1） （2）
15
两类特殊的二叉树：
1
满二叉树：指的是深度为k且含
2
有2k-1个结点的二叉树。
4
5
3
6
7
8 9 10 11 12 13 14 15
完全二叉树：树中所含的 n
个结点和满二叉树中编号为
a
1 至 n 的结点一一对应。
b
c
d
e
f
g
hi j
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16
性质4：完全二叉树具有n个结点的完全二叉树的深度为
log2n +1 证：(1)设树深度为k，根据性质2，n<=2k-1
(2)由定义：n大于深度为k-1的满二叉树的结点数2k-1-1 因此 2k-1-1<n<=2k-1 即 2k-1<=n<2k （不等式原理） k-1<=log2n<k k是整数 k-1= log2n 成立 (取等号式子)
根结点 B
A C
左子树
D
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右子树
E F
G
H
K
11
二叉树的五种基本形态：
空树
只含根结点
N
右子树为空树 N
左子树为空树 N
左右子树均 不为空树
N
L
R
L
R
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12
6.2.2 二叉树的特性
性质 1
在二叉树的第 i 层上至多有2i-1 个结点。
(i≥1)
用归纳法证明： i = 1 层时，只有一个根结点，
第6章 树
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1
6.1 树的结构定义和基本术语
6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的定义
6.2.2 二叉树的性质
6.2.3 二叉树的存储结构
6.3 遍历二叉树和线索二叉树 6.3.1 遍历二叉树 6.3.2 线索二叉树
6.4 树和森林的遍历
6.5 哈夫曼树及其应用 5.5.1 最优二叉树(哈夫曼树) 5.5.2 哈夫曼编码
有序树： 子树之间存在确定的次序关系。
无序树： 子树之间不存在确定的次序关系。
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8
对比树型结构和线性结构的结构特点
线性结构
树型结构
关系: (1 : 1)
关系: (1 : M)
第一个数据元素 (无前驱)
根结点 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
多个叶子结点 (无后继)
其它数据元素 (一个前驱、
一个后继)
其它数据元素 (一个前驱、
多个后继)
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9
6.2 二叉树
6.2.1 二叉树的概念
二叉树(binary tree)是另一种树型结构，它的特点是 每个结点至多只有二棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结 点)，并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠 倒。
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10
定义: 二叉树或为空树；或是由一个根结点加上两棵分别称为 左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。这也是一个递归定 义。二叉树不是树的特殊情况，它们是两个独立的概念。
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3
例如：
(a)
(b)
A( B (E (K, L) , F), C ( G ), D ( H ( M ) , I , J ) )
树根
T1
T2
T3
•上面是图的广义表表示形式 •图的嵌套形式表示和凹入表示法见图6.2
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4
基本术语
结点:
数据元素+若干指向子树的链接
结点的度: 分支的个数
20+21+ +2k-1 = 2k-1
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性质 3 ： 对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度
为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1
证明：
设 二叉树上结点总数
n = n0 + n1 + n2
又 二叉树上分支总数
b = n1+2n2
由此， n0 = n2 + 1
故k= log2n +1
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性质５：完全二叉树中,已知点i可推知其父点，子点位置。 有n个结点的完全二叉树（即其深度为log2n +1），
是如上述有序表示的，则对任一结点i,１<=i<=n，则有： （１）如果i=1,则i是根无双亲； 如果i>1,i的双亲是 PARENT（i）是 i/2 。 （２）如果2i<=n, 则i的左子LCHILD(i)是结点2i, 否则i无左子。 （3）如果2i+1<=n,则i的右子RCHILD(i)是结点2i+1, 否则,则i无右子。
树的深度：树中叶子结点所在的最大层次 森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合
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6
F
root
A
B
C
D
E
F G H IJ
K
L
M
任何一棵非空树是一个二元组 Tree = （root，F）
其中：root 被称为根结点， F 被称为子树森林
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7
有向树：
(１) 有确定的根； (２) 树根和子树根之间为有向关系。
树的度: 树中所有结点的度的最大值
D
叶子结点: 度为零的结点 分支结点: 度大于零的结点
H
I
J
M
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5
路径：
由从根到该结点所经分支 和结点构成
孩子结点、双亲结点、 兄弟结点、堂兄弟 祖先结点、子孙结点
A
B
C
D
E
F G H IJ
K
L
M
结点的层次: 假设根结点的层次为1,第l 层的结点的子树根结点 的层次为l+1