波动光学方法

模式正交归一性
• 数学表达式：


Et
Et*
dxdy

0 1
• 物理意义：

– 光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸） 相互正交，模式独立载运光能量，光波场总 功率等于各个模式携带功率的迭加；
– 光波导实际场分布可以表示为各个模式本征 函数的迭加。
模式命名
• 根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可 将模式命名为：
• (1)横电磁模(TEM)： Ez＝0，Hz＝0；
• (2)横电模(TE)：
Ez＝0，Hz≠0；
• (3)横磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；
• (4)混杂模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。
平面光波导中的场分布
波导场方程：
2 y
x 2

2j y
0
n2
d
n1

2 j

k02n
2 j
对称平板波导的本征值方程
对称平板波导：n2=n3。
边界条件：TE模式: Ey,Hz在上下界面连续； TM模式: Hy,Ez在上下界面连续。
TE模的本征值方程：
场分布偶对称： 场分布奇对称：
U tanU W
U tanU W
2
模式分析
平板波导的特征方程都是超越方程，一般只能用数值方法求 解。对称波导的特征方程可以用图解法求得近似解。
分析思路
分离变量
• 电矢量与磁矢量分离: 可得到只与电场强 度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度 H(x,y,z,t)有关的方程式；
• 时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于 E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；
• 空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关 于E(x,y)和H(x,y)的方程式；
U2 +W2 = V2
关系式：
U2 W 2 V 2
条形光波导
场求解思路
• 由波导场方程求取Ez • 由纵横关系式求取横向场分量 • 由边界条件获得本征值方程 • 由本征值方程求取本征值
各区域本征值
12

k
2 x

k
2 y

n12 k02

2

0

2 2

k
2 y


2 2

n22k02
22<0，消逝场；
23, 210，传播场
• 辐射模： n2k0> 0
21，22 ，23 0，传播场
归一化工作参数
芯区：
U d n12k02 2 1/ 2
覆盖层：
W2 d 2 n22k02 1/ 2
衬底：
W3 d 2 n32k02 1/ 2
归一化频率：V k0d n12 n32
导模(TE)本征解
• 覆盖层：x>0 Ey=Aexp(-W2x/d)
• 芯区： -d<x<0 Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d)
• 衬底： x<-d Ey= (AcosU-BsinU)exp[(W3(x+d)/d]
• 纵向：Hz=(j/w0dEy/dx)
2 r 2

1 r
r

1 r2
2 2

2

Ez Hz


0

2
(r)

nn2 (22rk)02k02



2
2
0<r<a ra
分离变量
Ez H z



A B
r
1/
2(r
)
exp(il
)
代入波导场方程得到：

2
<
0

2 3

k
2 y


2 3

n32k02

2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
<
0

2 4

k
2 x


2 4

n42k02

2
<
0

2 5

k
2 x


2 5

n52k02

2
<
0
本征值方程
• Exmn模式 • Eymn模式
tg(2kxa)

n12kx (2n32 3n22 )
n22
n32
k
2 y

n14 2 3
• 边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢 量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。
用纵向场表示横向场
波导场方程


t2

E( x, H (x,
y) y)


2

E( x, H (x,
y) y)

0
波导场方程：
波动光学方法的最基本方程。它是一 个典型的本征方程。当给定波导的边界条 件时，求解波导场方程可得本征解及相应 的本征值。通常将本征解定义为“模式”。
tg (2k y d )

ky (4 5
k
2 y
4 5
)
tg (2k y d )

n12k y (4n52 5n42 )
n42n52
k
2 y

n14 4 5
tg(2kxa)

kx (2 3 )
k
2 x
2 3
模式场分布
• Exmn模：Ex(x,y)=E1sin(xm/2a) sin(yn/2d) • Ex11模：Ex(x,y)=E1sin(x/2a) sin(y/2d) • Ex21模：Ex(x,y)=E1sin(x/a) sin(y/2d) • Ex12模：Ex(x,y)=E1sin(x/2a) sin(y/d) • Ex22模：Ex(x,y)=E1sin(x/a) sin(y/d)
d
2(r) dr 2

n
2

(r )k02

l
2
1/ r2
4


2
(r)
(0<x<2a; 0<y<2d)
m代表x方向亮斑数目；n代表y方向亮斑数目
光纤中模式的初步分析
• 当采用波动理论来分析光波在光纤中的 传输时，须求解波导场方程。其方法是 首先求出纵向场分量Ez和Hz，然后利用 纵横关系式求出场的横向分量。
• 在园柱坐标系中，Ez和Hz满足的波导场 方程为：



2
n3
折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为：
n2 , n1, n3
n1 n3 n2
场分量：TE模式: Ey,Hx,Hz TM模式: Hy,Ex,Ez
场分布特点
• 禁区：
n1k0
• 导模：
n1k0> n3k0

210，传播场

22, 23<0，消逝场
• 衬底辐射模：n3k0> n2k0
模式的基本特征
• 每一个模式对应于沿光波导轴向传播的 一种电磁波；
• 每一个模式对应于某一本征值并满足全 部边界条件；
• 模式具有确定的相速群速和横场分布。
• 模式是波导结构的固有电磁共振属性的 表征。给定的波导中能够存在的模式及 其性质是已确定了的，外界激励源只能 激励起光波导中允许存在的模式而不会 改变模式的固有性质。