探索四边形的重心

四边形重心的探索

四边形重心的探索是人教版八年级数学第十九章的一节内容，课文中论述了线段，三角形以及一些其他规则平面图形的重心确定方法，多边形重心一般用悬挂法确定其重心。 对于四边形，除此之外，还可用以下方法来确定其重心，方法如下：

如图1，在四边形ABCD 中，先连接它的一条对角线AD ，这个四边形被分成了两个三角形⊿ADC 和⊿ABC ，取AD 中点E ，DC 中点M ，BC 中点N ，连接AM, DE 相交于P, 连接AN,BE 相交于点Q ，连接PQ 相交于点F, 在PQ 上截取QO=PF, 则O 点为四边形ABCD 的重心。

图1

这样作图的依据是：因为M,E,N 都是中点，所以P 和Q 分别是⊿ADC 和⊿ABC 的重心。，这时可将这两个三角形看作两个质点，如图2，则四边形ABCD 的重心必在PQ 的连

图2

线上，可将连线段视作杠杆，两个三角形的面积视为重量，那么支点就是四边,若O 点为四边形重心，则必有下式成立:：S ⊿ABC ×OQ=S ⊿ADC ×OP 。 因为P,Q 分别是两个三角形的重心，由重心性质可知32==AN AQ AM AP ,所以P Q ∥MN ，由三角形相似得NE QF ME PF =,所以NE

ME QF PF =,由中位线定理MN ∥BD,所以PQ ∥BD,设BD 和AC 相交于T ，所以PF:DT=QF:BT 即PF ：QF=DT ：BT=S ⊿ADC:S ⊿ABC,而S ⊿ADC:S ⊿ABC=OQ:OP,故只须PF:QF=OQ:OP 即可。因为PF+QF=OQ+OP,所以PF=OQ,QF=OP. A

B C D

N M

E P

Q F ·O T

P

Q ·F

·O