质数 算术基本定理24页PPT
算术基本定理
算术基本定理关于质和计算基本定理的问题一、知识大于1的整数n总有两个不同的正约数：1和n.若n仅有两个正约数（称n没有正因子），则称n为质数（或素数）.若n有真因子，即n可以表示为a⋅b的形式（这里a,b 为大于1的整数），则称n为合数.正整数被分为三类：数1，素数类，合数类关于素数的一些重要理论1.大于1的整数必有素约数.2.设p为素数，n为任意一个整数，则或者p整除n，或者p与n互素. 事实上，p与n的最大公约数(p,n)必整除p，故由素数的定义推知，或者(p,n)=1，或者(p,n)=p，即或者p与n互素，或者p|n.3.设p为素数，a,b为整数.若p|ab，则a,b中至少有一个数被p整除. 事实上，若p 不整除a和b，由性质2知，p与a和b均互素，从而p与ab互素。
这与已知的p|ab矛盾.特别地：若素数p整除an(n≥1)，则p|a4.定理1 素数有无限多个 (公元前欧几里得给出证明)证明：（反证法）假设只有k个素数，设它们是p1，p2，，pk。
记N=p1p2 pw+1。
（N不一定是素数）由第一节定理2可知，p有素因数p，我们要说明p≠pi,1≤i≤k从而得出矛盾事实上，若有某个i,1≤i≤k使得p≠pi,则由p|N=p1p2 pw+1推出p|1，这是不可能的。
因此在p1，p2，，pk之外又有一个素数p，这与假设是矛盾的。
所以素数不可能是有限个。
5.引理1 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，即n=p1p2 pm (1)其中pi,1≤i≤m是素数。
证明当n=2时，结论显然成立。
假设对于2≤n≤k，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n=k+1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n成立。
如果k+1是素数，式(1)显然成立。
如果k+1是合数，则存在素数p与整数d，使得k+1=pd。
由于2≤d≤k，由归纳假定知存在素数q1,q2, ql，使得d=q1,q2, ql，从而k+1=pq1,q2, ql。
质数
• 例3、在乘积100×99×98×‥‥‥×3×2×1 中，末尾有多少个零？
• 分析：因10=2×5，所以某数的末尾有几个零， 就表示此数含有的质因数2和5至少有几个。
• 思考： • 1、在下面括号内填上15以内适当的质数 使算式成立，10=()+()=()×()=()-() 2、把质数填在括号内使算式成立，
（1）对于正整数a，若a无质因数2和5，a的末 尾是否有零？
（2）若a有质因数2或5，a的末尾是否有零？
（3）若a= 23 510 7 ，a的末尾有多少个零？
一般地可以得到什么结论？
分析：12 22 3, 13 13 15 3 5 25 52 20 22 5
第一次相乘后所得的两个数中含有质因数2，
由于1706末位数字为6,所以b,c应为两个奇质 数且一个末位为1,另一个末位为5,又末位为 5的质数只有5,所以令b=5,所以C=41
这个正整数为2×5×41=410
• 作业：
• 1、写出小于20的三个自然数，使它们最大公约数 是1，但两两不互质。
• 2、在一个两位质数之间添上6以后，所得的三位 数比原数大870，原数是多少？
• (3)当m末位数字为4时,即44,54,64,……,那么m=9+5k(k为大 于5的奇数),9,5k均为奇合数
• (4)当m末位数字为6时,即46,56,66,……,那么m=21+5k(k为 大于3的奇数),21,5k均为奇合数
• (5)当m末位数字为8时,即48,58,68,……,那么m=33+5k(k为 大于1的奇数),33,5k均为奇合数
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合数的分解质因数
定义
合数是可以被除了1和它本身以外的数整除的数。
分解质因数
合数可以表示为两个或多个质数的乘积。例如，60 = 2x2x3x5 = 2^2x3x5。
重要性质
合数的质因数分解是唯一的。
质数和合数在数学中的重要地位
01
质数是构成所有自然数的基石， 因为任何自然数都可以表示为质 数的乘积。
质数加密
质数加密是一种基于大质数的公钥加密方法，其安全性基于 质数计算的困难性。RSA算法是最著名的质数加密算法之一 ，广泛应用于数据传输和存储的加密。
合数加密
合数加密通常利用合数的性质，如中国剩余定理，来构建加 密方案。合数加密在某些情况下比质数加密更安全，因为合 数比质数更难以分解。
在计算机科学中的应用
约瑟夫斯问题法
利用约瑟夫斯问题的解法，通过 构造一个循环移除数字的序列， 如果最后剩下的数字是1，则给
定的数是合数。
检验特定范围内的质数和合数
逐一检验
对范围内的每个数字进行质数和合数的 检验，这种方法适用于较小的范围。
VS
筛选法
利用筛法排除合数，剩下的数字就是质数 。这种方法适用于大范围的质数检验。
02
合数在密码学、计算机科学等领 域有广泛应用，例如在RSA加密 算法中，合数的性质被用来实现 加密和解密。
THANKS
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质数和合数
目 录
• 质数和合数的定义 • 质数和合数的性质 • 质数和合数的应用 • 质数和合数的生成算法 • 质数和合数的检验方法 • 质数和合数的扩展知识
01
质数和合数的定义
质数的定义
总结词
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数称为质数 。
第二节 质数、合数和分解
第二节质数、合数和分解质因数一、基本概念和知识1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
判断一个数是质数还是合数的常用方法：对于一个自然数N，先找到一个自然数 A，使得A2略大于或等于N，再用A以内的所有质数去试除N，若有质数能整除N，则N是合数；若没有质数能整除N，则N是质数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
分解质因数的方法可用短除法或直接法分解。
30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
在分解质因数时把相同的质因数相乘用乘方的形式写出来，这种书写形式叫做分解质因数的标准式。
如12=22×3就是把12分解质因数的标准式。
例题讲解例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？例3：连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？例4：写出10个连续的自然数，个个都是合数。
例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。
例7：有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？练习1、边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？2、两个质数的和是99，求这两个质数的乘积是多少？3、如果自然数有四个不同的质因数, 那么这样的自然数中最小的是多少？4、找出1992所有的不同质因数,它们的和是多少？5、三个连续自然数的积是1716,这三个自然数分别是多少6、把7、14、20、21、28、30分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等。
质数和合数课件pptPPT课件
自然数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
因数 1 1、2 1、3 1、2、4 1、5 1、2、3、6 1、7 1、2、4、8 1、3、9 1、2、5、10
个数 自然数
因数
个数
1
11 1 、11
2
2
12 1、2 、3、4、6 、12 6
2
13 1、13
2
3
14 1、2、7 、14
4
2
15 1、3、5、15
（2除外）
（3除外）
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利找出用1刚0才0以找内质的数质的数方。法，找出100以内的质数。
123
5
7
11
13
17
19
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25
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35
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85
89
91
划去2的倍数
（2除外）
95
97
划去3的倍数 划去5的倍数
（3除外） 第1（0页5/除共外23）页
18，20。
1、 一个数，如果只有1和它本身两 个因数,这个数叫做质数（或素数）。
2、一个数，如果除了1和它本身以 外还有别的因数,这个数叫做合数。
3、1既不是质数，也不是合数。
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自然数可以怎样分类？
自然数
（按因数的个数分类）
自然数
（按2的倍数分类）
1
第5页/共23页
练一练
27 51
利用刚才找质数的方法，找出100以内的质数。
质数和合数ppt
10=( 3 )+( 7 )
例1、找出100以内的质数，做一个质数表。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
判断：
（1）一个自然数不是奇数就是偶数。 （2）一个自然数不是质数就是合数。 （3）一个质数的因数都是质数。
（√ ） （×） （×）
（4）除2以外，所有的偶数都是合数。 （√ ）
（5）一个合数至少有三个因数。
（√ ）
（6）最小的质数是1。
（×）
你会在括号里填上合适的素数吗?
8=( 3 )+( 5 )
质数和合数
学习目标பைடு நூலகம்
1、理解质数、合数的意义。 2、会判断一个数是质数还是
合数。 3、知道100以内的质数，熟
悉20以内的质数。
复习
1、在1—20的各自然数中，奇数有哪些？ 偶数有哪些？
奇数 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 偶数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1 只有一个因数（只有1）。
自然数
质数 只有两个因数（1和它本身）。
合数 因数超过两个（除了1和它本身以 外还有别的因数）。
算数基本定理
定理1.4.4
n
若 ap11p22 pnn ，则 (a) (i 1)
i1
特别地，p为质数的充分必要条件是： ( p) 2.
2.自然数的正约数的个数及正约数的和
推论1：正整数n为完全平方数的充分必要
条件是 ( n为) 奇数。
推论2：若(a,b)=1，则 (ab)(a)(b)
例1 求 (300000)
▪定理1.4.6 自然数a的一切正约数的乘积：
1(a) a(a)
2.自然数的正约数的个数及正约数的和
例1 一个形如2k3m的正整数，其所有正约数 的和为403，求这个正整数.
例2 有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数， 其中有一个质约数的末位数字是1，求这个四位数.
例3 自然数A和B的正约数个数分别是12和10，且A， B的标准分解式中只含有质因数3和5，（A，B） =75，求A+B.
（2）416 ×525是多少位数？
3、将下列8个数平均分成两组，使这两组的乘 积相等:14，33，35，30，75，39，143，169
2.自然数的正约数的个数及正约数的和
引例：求360的所有正约数的个数及正约数的和。
定义1.7 ( n ) 表示自然数n的所有正约数的个数. ( n ) 表示自然数n的所有正约数的和.
推论：设 有
ap11p22 pnn bp11p22 pnn
(a,b)p11p22 pnn
i mini,(i)
[a,b]p 11p22 pnn i maix , (i)
指出：此为分解质因数法。
思考题
1、用分解质因数法求：[56，36，284]， （180，840，150）。
2、（1）要使935×972×975×（ ）这个乘 积的最后4位数字都是0，在括号内最小应填什 么数？
质数
上面我们已经提及了几类猜想， 如梅森素数无限的猜想， 费马素数有限的猜想等等。以下列举其他一些重要猜想。 （1）黎曼猜想。 黎曼通过研究发现， 素数分布的绝大部分猜想都取决于黎曼zeta函数ζ（s）的零点位置。他猜测那些非平凡零点都落在复平面中实部为1/2的直线上， 这就是被誉为千禧年世界七大数学难题之一的黎曼猜想， 是解析数论的重要课题。 （2）孪生素数猜想。 如果p和p+2都是素数， 那么就称他们为孪生素数。一个重要的问题就是：是否存在无限多对孪生素数？这一问题至今没有突破性进展。 （3）哥德巴赫猜想 （Goldbach Conjecture) （a）所有的不小于6的偶数，都可以表示为两个奇素数之和 (一般用代号“1+1”表示)。 （b）每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。 问题的第二部分，利用解析数论中的圆法估计，已被证明。 真正困难的是第一部分。
分布问题
构造
各类猜想
哥德巴赫猜想
英文解释
筛法
孪生素数普遍公式
C语言打印100以内的质数
JAVA质数升成简介
入门
基本定理
基本特点
判断质数的技巧
分布问题
构造
各类猜想
哥德巴赫猜想英文解释筛法孪生素数普遍公式C语言打印100以内的质数JAVA质数升成展开 编辑本段简介
就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终规只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？ 质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。 有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41*41。 被称为“17世纪最伟大的法国数学家”费尔马，也研究过质数的性质。他发现，设Fn=2^(2^n)，则当n分别等于0、1、2、3、4时，Fn分别给出3、5、17、257、65537，都是质数，由于F5太大（F5=4292967297），他没有再往下检测就直接猜测：对于一切自然数，Fn都是质数。但是，就是在F5上出了问题！费尔马死后67年，25岁的瑞士数学家欧拉证明：F5=4292967297=641*6700417，并非质数，而是合数。 更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部Байду номын сангаас是合数。目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。质数和费尔马开了个大玩笑！ 17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1代数式，当p是质数时，2^p-1是质数。他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。 p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。 还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721*761838257287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。 还有一种质数叫费马数。形式是:Fn=2^(2^n)+1 是质数的猜想。 如F1=2^(2^1)+1=5 F2=2^(2^2)+1=17 F3=2^(2^3)+1=257 F4=2^(2^4)+1=65537 F5=2^(2^5)+1=4294967297 前4个是质数,因为第5个数实在太大了,费马认为是实数,并提出(费马没给出证明) 后来欧拉算出F5=641*6700417. 目前只有n=0,1,2,3,4,Fn才是质数. 现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。数学虽然可以找到很大的质数，但质数的规律还是无法循通。
质数
算术基本定理
任何一个大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 N=(P_1^a1)*(P_2^a2)......(P_n^an) , 这里P_1<P_2<...<P_n是质数，其诸方幂 ai 是正整数。
这样的分解称为N 的标准分解式。
算术基本定理的内容由两部分构成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考虑排列的顺序，正整数分解为素数乘积的方式是唯一的）。
素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：p(n)～n/ln n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 :π(x)=Li (x) + O (x^(1/2) ln x) 至於大O项的常数则还未知道。
素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明於1949年由匈牙利数学家保罗·艾狄胥（“爱尔多斯”，或“爱尔多希”）和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。 在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的「深度」。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。 但是，有必要指出的是，虽然该初等证明只用到初等的办法，其难度甚至要比用到复分析的证明远为困难。
质数
质数（prime number）又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称为合数。
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
最小的质数是2。
合数，数学用语，英文名为Composite number，指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除（不包括0)的数。
与之相对的是质数（因数只有1和它本身，如2,3,5,7,11,13等等，也称素数）,而1既不属于质数也不属于合数。
最小的合数是4。
∙所有大于2的偶数都是合数。
∙所有大于5的奇数中，个位是5的都是合数。
∙最小的合数为4。
∙每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。
(算术基本定理)∙对任一大于5的合数。
(威尔逊定理)约数，又称因数。
整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
a称为b的倍数，b称为a的约数。
在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。
约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。
一个整数的约数是有限的。
同时，它可以在特定情况下成为公约数。
在自然数（0和正整数）的范围内，任何正整数都是0的约数。
4的正约数有：1、2、4。
6的正约数有：1、2、3、6。
10的正约数有：1、2、5、10。
12的正约数有：1、2、3、4、6、12。
15的正约数有：1、3、5、15。
18的正约数有：1、2、3、6、9、18。
20的正约数有：1、2、4、5、10、20。
注意：一个数的约数必然包括1及其本身。
枚举法枚举法：将两个数的因数分别一一列出，从中找出其公因数，再从公因数中找出最大的一个，即为这两个数的最大公因数。
例：求30与24的最大公因数。
30的正因数有：1,2,3,5,6,10,15,3024的正因数有：1,2,3,4,6,8,12,24易得其公因数中最大的一个是6，所以30和24的最大公因数是6。
质数和合数 ppt
9
10
12
除了1和它本身还有别的因数
例题
一个数，如果只有1和它本身两个因数， 这样的数叫做质数．（或素数） 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数， 这样的数叫做合数．
1既不是质数，也不是合数．
1、
下面的判断对吗？说出理由。
(1)所有的奇数都是质数。( ) (2)所有的偶数都是合数。( ) (3）在自然数中，除了质数以外都是合数。 ( ) (4)1既不是质数，也不是合数。( √ ) (5）在自然数中，有无限多个质数，没有最 大的质数。( √ )
【学一学】
5、一个数，如果只有1和它本身两个因 数，这样的数叫做（ ）或（ ） 6、一个数，如果除了1和它本身还有别的 因数，这样的数叫做（ ） 7、1是质数还是合数？
例题
写出下面各数的所有因数
1的因数： 1
2的因数：1 3的因数：1 4的因数： 1 5的因数： 1
1 6的因数： 2 3 2 5 2 3 6 4
二百多年前，德国有一位名叫哥 德巴赫的数学家。他发现任何一个大 于2的偶数，都可以写成两个质数的 和。例如：4 ＝ 2 + 2,６＝３＋３， 10 ＝３＋７......因为这个问题他 还没有证明出来，人们把它称为 哥德巴赫猜想。 我国的数学家陈景润已经证明了任何一个 充分大的偶数都可以表示为一个质数加上两个 质数的积。例如：８＝２＋２×３，20＝５＋ ３×５......这称为陈氏定理，在国际数学界 引起了强烈的反响。但彻底证明哥德巴赫猜想 还差最后一步，这最后一步称为数学皇冠上的 明珠。
100以内有哪些质数
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 10 20 30 40 50 60 70 80 90
2019年质数与合数ppt精品教育.ppt
100以内质数表：
1、 2、 3、 5、 11、 13、 15、 21、 23、 25、 31、 33、 35、 41、 43、 45、 51、 53、 55、 61、 63、 65、 71、 73、 75、 81、 83、 85、 91、 93、 95、
7、 17、 27、 37、 47、 57、 67、 77、 87、 97、
质数与合数
复习
1、由1—20的各自然数中，奇数有哪些？偶数有哪些？
奇数 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 偶数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2、想一想：自然数分成偶数和奇数,是按什么标准分的? 自然数分成偶数和奇数是按能否被2整除来分的。
3、7的因数有哪些？ 16的因数有哪些？
7、 17、 27、 37、 47、 57、 67、 77、 87、 97、
9、 19、 29、 39、 49、 59、 69、 79、 89、 99、
100以内质数表：
1、 2、 3、 5、
11、 13、
23、 25、
31、
35、
41、 43、
53、 55、
61、
65、
71、 73、
83、 85、
5的因数 6的因数 7的因数 8的因数 9的因数 10的因数
1 12 13 124
15 1236 17 1248 13 9 1 2 5 10
11的因数 12的因数 13的因数 14的因数
15的因数 16的因数 17的因数 18的因数 19的因数 20的因数
1 11 1 2 3 4 6 12 1 13 1 2 7 14
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10、 11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、 21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、 31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、 41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、 51、52、53、54、55、56、57、58、59、60、 61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、 71、72、73、74、75、76、77、78、79、80 81、82、83、84、85、86、87、88、89、90、 91、92、93、94、95、96、97、98、99、100