人教版初中数学三角形解析

人教版初中数学三角形解析

一、选择题

1．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，

AB＝1

2

BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S△ABC＝AB•AC；③S△ABE＝2S△AOE；④OE

＝1

4

BC,成立的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明

△ABE是等边三角形，然后推出AE=BE=1

2

BC，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三

线合一进行推理即可．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠EAD=60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，

∵AB=1

2 BC，

∴AE=BE=1

2 BC，

∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°

∴∠BAC=90°，

∴S△ABC=1

2

AB•AC，故②错误；

∵BE=EC，

∴E为BC中点，O为AC中点，∴S△ABE=S△ACE=2 S△AOE，故③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=CO，

∵AE=CE，

∴EO⊥AC，

∵∠ACE=30°，

∴EO=1

2 EC，

∵EC=1

2 AB，

∴OE=1

4

BC，故④正确；

故正确的个数为3个，

故选：C．

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题关键．

2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（）

A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求其周长.

【详解】

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠EBD.

又∵∠A＝∠DEB＝90°，BD是公共边，

∴△ABD≌△EBD (AAS)，

∴AD＝ED，AB＝BE，

∴△DEC的周长是DE＋EC＋DC

＝AD＋DC＋EC

＝AC＋EC＝AB＋EC

＝BE＋EC＝BC

＝10 cm.

故选B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

3．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，最小边BC＝4cm，则最长边AB的长为()cm A．6 B．8 C．5D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】

设∠A＝x，

则∠B＝2x，∠C＝3x，

由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C＝x+2x+3x＝180°，

解得x＝30°，

即∠A＝30°，∠C＝3×30°＝90°，

此三角形为直角三角形，

故AB＝2BC＝2×4＝8cm，

故选B．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.

4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（）

A．6

5

B．

8

5

C．

12

5

D．

24

5

【解析】

【分析】

连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．

【详解】

解：连接AD

∵AB=AC ，D 为BC 的中点，BC=12，

∴AD ⊥BC ，BD=DC=6，

在Rt △ADB 中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD =+=， ∵S △ADB=

12×AD×BD ＝12×AB×DE ， ∴DE=8624105

AD BD AB ⨯⨯==， 故选D ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解此题的关键．

5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交

BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于

12

MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）

A ．BP 是∠ABC 的平分线

B ．AD=BD

C ．:1:3CB

D ABD S S =V V D ．CD=12

BD 【答案】C

【解析】