2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题

2019年全国高中数学联赛

（考试时间：9月24日上午8:30-11:00）

一．填空题（共2题，每题10分，合计80分）

1．设多项式()f x 满足：对于任意x R ∈，都有2(1)(1)24,f x f x x x ++-=-则()f x 的最小值是＿＿＿＿＿＿.

2．数列{},{}n n a b 满足：1,1,2,

,k k a b k ==已知数列{}n a 的前n 项和为1

n n A n =+，则数列{}n b 的前n 项和n B =＿＿＿＿＿＿. 3

．函数()f x =＿＿＿＿＿＿. 4．过抛物线28y x =的焦点F ,作一条斜率为2的直线l ，若l 交抛物线于,A B 两点，则OAB ∆的面积是＿＿＿＿＿＿.

5.若ABC ∆为锐角三角形，满足sin cos()sin A A B B

=+，则t a n A 的最大值为＿＿＿＿＿＿.

6.若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为＿＿＿＿＿＿.

7.将1,2,,9随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率p =＿＿＿＿＿＿.

8.将集合{1,2,12}M =的元素分成不相交的三个子集：M A B C =⋃⋃，其中123412341234{,,,}{,,,}{,,,}A a a a a B b b b b C c c c c ===，1c ＜2c ＜3c ＜4c ，且k k k a b c +=，1,2,3,4,k =则集合C 为：＿＿＿＿＿＿.

二．解答题（共2题，合计70分）

9.（20分）如图，AB 是圆的一条弦，它将圆分成两部分，M 、N 分别是两段弧

的中点，以点B 为旋转中心，将弓形AMB 顺时针旋转一个角度成弓形1A MB ，

1AA 的中点为P ，MN 的中点为Q .求证：2MN PQ =.

10.（25分）给定椭圆22

22:1,(x y C a a b

+=＞b ＞0)以及圆222:O x y b +=，自椭圆

上异于其顶点的任意一点P ，做O 的两条切线，切点为,M N ，若直线MN 在,x y

轴上的截距分别为,m n ；证明：222

222a b a n m b

+=.

11.（25分）对于2n 个素数组成的集合122{,,

,}n M p p p =，将其元素两两搭配成n 个乘积，得到一个n 元集，如果1234212{,,,,}n n A a a a a a a -=与1234{,B b b b b =,,

212}n n b b -是由此得到的两个n 元集，其中122{,,,}n a a a =122{,,,}n b b b M =，且A B ⋂=∅，就称集合对{,}A B 是由M 炮制成的一副“对联”.(例如当2n =时，由四元集{,,,}a b c d 可炮制成三副“对联”：{,}

ab cd {,}ac bd ，{,}ab cd {,}ad bc

{,}ac bd {,}ad bc ). (1).当3n =时，求6元素集M {,,,,,}a b c d e f =所能炮制成的“对联”数；

（2）对于一般的2n ≥，求由2n 元素集M 所能炮制成的“对联”数()T n .

2019年全国高中数学联赛

江西省预赛试题答案

1.-2

2.(1)(2)3

n n n ++

3.0,3⎡⎢⎣⎦

4.

5.4

6.7.89!

8.{8,9,10,12},{7,9,11,12},{6,10,11,12}

9.思路：取AB 中点E ，1A B 中点F ，可证PEBF 为菱形； 证明角MFP=角PEN ； 再证角PNE=角MPF ； 然后证角MPN 为直角

10.关键步骤：设P 点坐标00(,)x y ，易的OMPN 四点共圆，此圆方程减圆O 方程得直线MN 方程200x x y y b +=

11.（1）60; (2)1211()!2n n n T n C D n --=⋅⋅ (其中n D =1111!1(1)1!2!3!!n n n ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭)