2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题

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2019年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______．答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =．分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种；长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种（一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ．（1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥．分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=．答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=，则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-，故2α<；若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意；另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类．假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两个除1k +外不交，故命题成立．综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件．任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立；若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立．综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

2019江西省预赛试题解答5-26

π 13
⎛⎜⎝
cos
2π 13
+
cos
4π 13
+
cos
6π 13
+
cos
8π 13
+
cos 10π 13
+
cos 12π 13
⎞⎟⎠
=
⎛⎜⎝ sin
3π 13
− sin
π 13
⎞⎟⎠
+
⎛⎜⎝ sin
5π 13
− sin
3π 13
⎞⎟⎠
+
⎛⎜⎝ sin
7π 13
− sin
5π 13
⎞⎟⎠
+
⎛⎜⎝ sin
3 、设 x > 0 ，且 x2 + 1 = 7 ，则 x5 + 1 =
．
x2
x5
答案：123 ．
解：⎛⎜⎝
x
+
1 x
⎞⎟⎠2
=
x2
+
1 x2
+
2
=
9 ，所以
x
+
1 x
=
3 ，由
49
=
⎛⎜⎝
x2
+
1 x2
⎞⎟⎠2
=
x4
+
1 x4
+
2
，
则
x4
+
1 x4
= 47 ，所以
x5
+
1 x5
= ⎛⎜⎝ x +
1 x
2−
12 + 22 +! + 192
⎤ ⎦⎥
= 1 [36100 − 2470] =16815．

2019年全国高中数学联赛江西赛区预赛试卷及答案

2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答（5月26日上午9:30−−12:00）一、填空题 (每小题7分，共56分)1、将集合1,2,!,19{}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为．答案：16815．解：所求的和为121+2+!+19()2−12+22+!+192()⎡⎣⎢⎤⎦⎥[]1361002470168152=−=． 2、公差为d ，各项皆为正整数的等差数列{}n a ，若11919,1949,2019m n a a a ===，则正整数m n +的最小值是．答案：15．解：设公差为d ，则()194919191m d =+−，()201919191n d =+−，显然有1,1m n >>，301d m =−，以及1001d n =−，消去d 得：1037m n −=，其通解为13110m t n t =+⎧⎨=+⎩，为使1,1m n >>且d 为正整数，则正整数t 只能在{}1,2,5,10中取值，当1t =时，4,11m n ==为最小，此时15m n +=．3、设0x >，且2217x x +=，则551x x+= ．答案：123．解：2221129x x x x ⎛⎞+=++=⎜⎟⎝⎠，所以13x x +=，由2242411492x x x x ⎛⎞=+=++⎜⎟⎝⎠，则44147x x +=，所以54325234111111x x x x x x x x x x x x ⎛⎞⎛⎞+=+−⋅+⋅−⋅+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠ ()4242111134771123x x x x x x ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=++−++=−+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦． 4、、若OAB Δ的垂心恰是抛物线24y x =的焦点，其中O 是原点，,A B 在抛物线上，则OAB Δ的面积S = ．答案：解：抛物线的焦点为(1,0)F ，因F 为OAB Δ的垂心，则OF AB ⊥，故可设,A B 的坐标为22(,2),(,2)A a a B a a −，()0a >；于是OA 的方程为2ay x =，2OA K a=， BF 的斜率221BF a K a −=−，据1BF OA K K ⋅=−，得a =，因此AB =25h a ==，所以OAB S Δ=5、,,a b c 是互异正整数，使得{}{}222,,,(1),(2)a b b c c a n n n +++=++，其中n 为正整数，则222a b c ++的最小值是．答案：1297．解：设a b c >>，由于()()()2()a b b c c a a b c +++++=++为偶数，所以三个连续平方数{}222,(1),(2)n n n ++中有两个奇平方数，一个偶平方数，于是n 为奇数，而1b c +>，则1n >；若3n =，则{}{}222222,(1),(2)3,4,5n n n ++=，且因222503452()a b c =++=++，则25a b c ++=，另一方面，最大平方数25a b +=，导致0c =，不合；若5n =，据{}{}222222,(1),(2)5,6,7n n n ++=，解得30,19,6a b c ===，因此222222301961297a b c ++=++=．6、P 是正四棱锥V ABCD −的高VH 的中点，若点P 到侧面的距离为3，到底面的距离为5，则该正四棱锥的体积为．答案：750．解：如图，PF VBC ⊥面，5,10VP VH ==，4VF ===，而PHMF 共圆，VP VH VF VM ⋅=⋅，所以252VM =；152HM ==；则15AB =，所以棱锥体积217503V VH AB =⋅⋅=． 7、ABC Δ的三个内角,,A B C 满足39A B C ==，则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++= ．答案：14−．解：设3,9C B A θθθ===，，由39θθθπ++=，得13πθ=，cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339cos cos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦ .注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边通乘4sin 13π，得到 246810124sin 2sin cos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎞⋅=+++++⎜⎟⎝⎠ 3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 1313131313131313ππππππππ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠+sin 11π13−sin 9π13⎛⎝⎜⎞⎠⎟+sin 13π13−sin 11π13⎛⎝⎜⎞⎠⎟=−sin π13. 所以14S =−． 8、数列{}n a 满足：0a =[]{}11n n n a a a +=+，（其中[]n a 和{}n a 分别表示实数n a 的整数部分与小数部分），则2019a = ．答案：130292−+．解：)011a =+，11122a −=+=+，)22341a ===+31452a −=+=+.归纳易得)2211311,322k k a k a k +−=++=++, 因此2019130292a =+．二、解答题（满分共64分）9、(本题14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q .证明：12,,,P F Q F 四点共圆．证：设椭圆方程为22221,(0)x y a b a b+=>>，据对称性知，点Q 在Y 轴上（如图）；记12QF QF m ==，11221122,,,PF r PF r PQ t M F M F k =====，则有：1121,2PF e r r a PM =+=，为证12,,,P F Q F 四点共圆，据托勒密定理，只要证， 1212mr mr t F F +=⋅，即22m a t c ⋅=⋅，也即m c e t a == ……………① 由1111QF OF QM HM =，即222m c c e a m k a c⎛⎞===⎜⎟+⎝⎠，所以21k e m k =−+，在1PM Q Δ中，由斯特瓦特定理，22211m k PF PM PQ mk m k m k =⋅+⋅−++ …………………………② 即222222112(1)(1)r m e r e t e m e e −⎛⎞=⋅+−−⋅⎜⎟⎝⎠………………………③ 因为210e −≠，由③得，222m e t =，即m e t =，故①成立，因此12,,,P F Q F 四点共圆．（也可不用托勒密定理证：由②得2()PQ m m k =+，则1PQF Δ∽1M QP Δ，于是11221QPF M M QF F ∠=∠=∠=∠，因此12,,,P F Q F 四点共圆．）10、(本题15分)将正整数数列1,2,3,!!中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列a 1,a 2,a 3,! ，再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列b 1,b 2,b 3,!；证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．证：易知a 2n −1=4n −2,a 2n =4n −1,n =1,2,3,!，因此，∀n ∈N ,a 4n +1=8n +2,a 4n +2=8n +3,a 4n +3=8n +6,a 4n +4=8n +7；在将{}n a 中的项4n a 及41n a +删去之后，所得到的数列{}n b ，其通项为：b 2n +1=8n +3,b 2n +2=8n +6,n =0,1,2,!；即数列{}n b 的项为：3,6,11,14,19,22,27,32,35,38,43,!，观察易知，222212346710113,5,7,9b b b b b b b b =+=+=+=+，……；若记(1)2k k k r += ，我们来证明，一般地有：21(21)k k r r k b b ++=+，1,2,3,k = …. 由于r 4m =8m 2+2m ,r 4m +1=8m 2+6m +1,r 4m +2=8m 2+10m +3,r 4m +3=8m 2+14m +6；所以[]44212(4)1,m m r r b b m ++=+ []4141212(41)1,m m r r b b m ++++=++[]4242212(42)1,m m r r b b m ++++=++ []4343212(43)1,m m r r b b m ++++=++ 合并以上四式得，对于每个正整数k ，21(21)k k r r b b k ++=+．其中(1)2k k k r +=．11、(本题15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：222=2019a b c ++．解：据对称性，不妨设a b c <<，由于奇平方数的末位数字只具有1,5,9形式，于是222,,a b c 的末位数字，要么是5,5,9形式，要么是1,9,9形式；又知，如果正整数n 是3的倍数，那么2n 必是9的倍数；如果n 不是3的倍数，那么2n 被3除余1．由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数,,a b c 皆不是3的倍数．注意44c ≤=，即奇数43c ≤，而222232019c a b c >++=，即2667c >，且c 不是3的倍数，故奇数29c ≥．因此奇数{}29,31,35,37,41,43c ∈；注意如下事实：如果奇数22N x y =+为两个正整数的平方和，那么偶数2N 必可表为两个互异正奇数的平方和．这是由于，222222()()()Nx y x y x y =+=−++；若43c =，方程化为：()2222221702852672(29)a b +==×=+=+，因此：2222170113711=+=+．于是得两解：{}{},,1,13,43a b c =，以及{}{},,7,11,43a b c =；若41c =，方程化为()22222223382132512717a b +==×=+=+；由此得：{}{},,7,17,41a b c =；若37c =，方程化为22222222222226502135=2(2+3)(3+4)=2(1+18)=2(6+17)=2(10+15)a b +==××，因此，22222265017191123525=+=+=+，得到三个解：{}{}{}{},,17,19,37,11,23,37,5,25,37a b c =.若35c =，方程化为：227942397a b +==×，而397是一个41N +形状的质数，HQP NMF E C BA 它可唯一地表为两平方和：22397619=+，所以2222222(619)1325a b +=+=+，得到一个解：{}{},,13,25,35a b c =.若31c =，方程化为：22211582529223a b +==×=×，而23是41N −形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；若29c =，方程化为：22117821931a b +==××，它含有41N −形状的单质因子，故不能表为两平方和；综合以上讨论，本题共有七个满足条件的解{},,a b c ，即为：1,13,43{},7,11,43{},13,25,35{},5,25,37{},11,23,37{},17,19,37{},7,17,41{}.12、(本题20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC Δ的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q . 证明：,,,M N P Q 四点共圆．证：如图设三角形ABC Δ的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF ⋅=−+ 22()()MF HF MF HF MF HF =−+=−222()AF FB AH AF AF AB AH =⋅−−=⋅−同理有，2PH HQ AE AC AH ⋅=⋅− 因BCEF 四点共圆，知AF AB AE AC ⋅=⋅，故由以上两式得MH HN PH HQ ⋅=⋅，所以,,,M N P Q 四点共圆．。

【竞赛试题】2019年全国和高中数学联赛试卷及答案

æ 4ö 【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1. 已知实数集合{1, 2, 3, x } 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为．答案：-3 ．解：条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为 0 ．显然 x < 0 ，从而1 + 2 + x = 0 ，得 x = -3 ．2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m +1) 垂直，其中 m 为实数，则 a 的模为．答案： 10 ．解：令 2m = t ，则 t > 0 ．条件等价于 t ⋅ (t -1) + (-1) ⋅ 2t = 0 ，解得 t = 3 ．因此 a 的模为 32 + (-1)2 = 10 ．3. 设a , b Î (0, p ) ，cos a , cos b 是方程5x 2 -3x -1 = 0 的两根，则sin a sin b 的值为．答案：7 ．5解：由条件知 cos a + cos b = 3 , cos a cos b = - 1，从而5 5(s i n a sin b )2 = (1- c os 2 a )(1- c os 2 b ) = 1- cos 2 a - cos 2 b + cos 2 a cos 2 b2 2= (1+ cos a cos b )2 - (cos a + cos b )2 = ÷ æ 3ö - = 7 ． ç ÷ ç ÷ çè 5 ø çè5ø 25又由a , b Î (0, p ) 知sin a sin b > 0 ，从而sin a sin b = 7．54. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ，则该三棱锥的体积的最大值为．答案： 2 6 ．3解：设三棱锥 P - ABC 的高为 h ．取M 为棱 AB 的中点，则h £ PM = 32 -12 = 2 2 ．当平面 PAB 垂直于平面 ABC 时， h 取到最大值 2 2 ．此时三棱锥 P - ABC 的体r n -rnn积取到最大值 1S⋅= 1 ⋅ = 2 6 ．3 D ABC3 35. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行，拼成一个 8 位数（首位不为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为．答案：95 ．解：易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4´ 4! = 96 个．其中，除了 (2, 0, 1, 9, 2019) 和 (2019, 2, 0, 1, 9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ，其余的数互不相等．因此满足条件的 8 位数的个数为96 -1 = 95 ．6. 设整数 n > 4 ，( x + 2 的值为．答案：51． y -1)n 的展开式中x n -4 与 xy 两项的系数相等，则 nn解：注意到 ( x + 2 y -1)n= år =0C n x (2 y -1)r ．其中 x n -4 项仅出现在求和指标 r = 4 时的展开式 C 4 x n -4 (2 y -1)4中，其 x n -4 项系数为 (-1)4 C 4 = n (n -1)(n - 2)(n -3) ．n24而 xy 项仅出现在求和指标 r = n -1 时的展开式 C n -1x ⋅ (2y -1)n -1 中，其 xy 项系数为 n -1 2 n -3 n -3C n C n -1 4⋅ (-1) = (-1) 2n (n -1)(n - 2) ．因此有 n (n -1)(n - 2)(n - 3)= (-1)n -3 2n (n -1)(n - 2) ．注意到 n > 4 ，化简得24n - 3 = (-1)n -3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51 ．7. 在平面直角坐标系中，若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点 (a , b ) 满足b 2 ³ 4a ，则 r 的最小值为．答案： 4 ．解：由条件知 (a - r -1)2 + b 2 = r 2 ，故4a £ b 2 = r 2 - (a - r -1)2 = 2r (a -1) - (a -1)2 ．即 a 2 - 2(r -1)a + 2r +1 £ 0 ．上述关于 a 的一元二次不等式有解，故判别式(2(r -1))2 - 4(2r +1) = 4r (r - 4) ³ 0 ，解得 r ³ 4 ．经检验，当 r = 4 时， (a , b ) = (3, 2 3) 满足条件．因此 r 的最小值为 4 ．8. 设等差数列{a n } 的各项均为整数，首项 a 1 = 2019 ，且对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 a 1+ a 2 ++ a n = a m ．这样的数列{a n } 的个数为．答案：5 ．解：设{a n } 的公差为 d ．由条件知 a 1 + a 2 = a k （ k 是某个正整数），则2a 1 + d = a 1 + (k -1)d ，a 1即 (k - 2)d = a 1 ，因此必有 k ¹ 2 ，且d =k - 2．这样就有 a = a + (n -1)d = a + n -1a ， n 1 1 k - 2 1í而此时对任意正整数 n ，a +a++ a = a n + n (n -1) d = a + (n -1)a + n (n -1) d 1 2 n 1 2 1 12æ n (n -1) ö = a + (n -1)(k - 2) + d ，确实为{a n } 中的一项．ç 1 çè 2 ø 因此，仅需考虑使 k - 2| a 1 成立的正整数 k 的个数．注意到 2019 为两个素数3 与 673 之积，易知 k - 2 可取-1, 1, 3, 673, 2019 这5 个值，对应得到5 个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分 16 分）在椭圆G 中， F 为一个焦点， A , B 为两个顶点．若 FA = 3, FB = 2 ，求 AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆 G 的标准方程为 x2y 2+= 1 (a > b > 0) ，并记 c = a 2 b 2a 2 -b 2 ．由对称性，可设 F 为 G 的右焦点．易知 F 到 G 的左顶点的距离为 a +c ，到右顶点的距离为 a - c ，到上、下顶点的距离均为 a ．分以下情况讨论：(1) A , B 分别为左、右顶点．此时a + c = 3, a - c = 2 ，故 AB = 2a = 5 （相应地，b 2= (a + c )(a - c ) = 6 ，G 的方程为4 x 2y 2+ = 1 ）． …………………4 分25 6(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时 a + c = 3, a = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 3 ，所以 AB =a 2 +b 2= 7（相应的 G 的方程为 x + y = 1 ）．4 3…………………8 分(3) A 为上顶点或下顶点， B 为右顶点．此时 a = 3, a - c = 2 ，故 c = 1 ，进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 8 ，所以 AB =a 2 +b 2 = 17（相应的 G 的方程为 x + y= 1 ）．9 8…………………12 分综上可知， AB 的所有可能值为5, 7, 17 ． …………………16 分10. （本题满分 20 分）设 a , b , c 均大于 1，满足ìïlg a + log b c = 3, ïîlg b + log a c = 4. 求 lg a ⋅ lg c 的最大值．解：设lg a = x , lg b = y , lg c = z ，由 a , b , c >1可知 x , y , z > 0 ．由条件及换底公式知 x + z = 3, y + z= 4 ，即xy + z = 3y = 4x ． y x…………………5 分。

2019年江西高中数学竞赛试题(2019.5.26)

2019年江西高中数学竞赛试题（2019.5.26）
一、填空题(7*8=56分)
1.集全{1,2,...,19}中每两互异的数作乘积，所有这种乘积的各为 .
2.公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a ,11919,1949,2019m n a a a ===,
则正整数m n +的最小值是 .
3. 设220,7,x x x ->+=则55x x -+的值为 .
4. 三角形ABC 的垂心恰是抛物线24y x = 的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则三角形OAB
的面积是 .
5. ,,a b c 是互异的正整数,使得222
{,,}{,(1),(2)}a b a c b c n n n +++=++其中n 是正整数,则222a b c ++的最小值是 .
6. 已知P 是正四棱锥V ABCD -的高VH 的中点,若P 到侧面的距离为3,到底面的距离是5,则重心,则正四棱锥V ABCD -的体积是 .
7. 三角形ABC 中满足39A B C ==.则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++= .
8. 数列{}n a 满足02112,[]{}
n n n a a a a a +===+
(其中 [],{}n n a a 分别代表实数n a 的整数部分与小数部分),则2019a = . 二、解答题:。

2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案

2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题(每小题7分，共56分)1.集全{1,2,...,19}中每两互异的数作乘积，所有这种乘积的各为.2.公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a ,11919,1949,2019m n a a a ===,则正整数m n +的最小值是.3.设220,7,x x x ->+=则55x x -+的值为.4.三角形ABC 的垂心恰是抛物线24y x =的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则三角形OAB 的面积是.5.,,a b c 是互异的正整数,使得222{,,}{,(1),(2)}a b a c b c n n n +++=++其中n 是正整数,则222a b c ++的最小值是.6.已知P 是正四棱锥V ABCD -的高VH 的中点,若P 到侧面的距离为3,到底面的距离是5,则重心,则正四棱锥V ABCD -的体积是.7.三角形ABC 中满足39A B C ==.则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=.8.数列{}n a满足02112,[]{}n n n a a a a a +===+(其中[],{}n n a a 分别代表实数n a 的整数部分与小数部分),则2019a =.9、(14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q .证明：12,,,P F Q F 四点共圆．10、(15分)将正整数数列1,2,3 中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列123,,a a a 再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列123,,b b b 证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．11.(15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：2222019a b c ++=．12.(20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC ∆的两条高(如右图)，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q .证明：,,,M N P Q 四点共圆．2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答1.答案：16815．解：所求的和为()()()222211121912193610024701681522⎡⎤+++-+++=-=⎣⎦ 2.答案：15．解：设公差为d ，则()194919191m d =+-，()201919191n d =+-，显然有1,1m n >>，301d m =-，以及1001d n =-，消去d 得,1037m n -=，其通解为13110m t n t =+⎧⎨=+⎩，为使1,1m n >>且d 为正整数，则正整数t 只能在{}1,2,5,10中取值，当1t =时，4,11m n ==为最小，此时15m n +=．3.答案：123．解：2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，13x x +=，由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以551x x +42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()34771123=-+=4.答案：．解：抛物线的焦点为()1,0F ，因F 为OAB ∆的垂心，则OF AB ⊥，故可设,A B 的坐标为()2,2A a a ，()2,2B a a -，0a >；于是OA 的方程为2ay x =，2OA K a=，BF 的斜率221BF aK a -=-，据1OA BF K K =- ，得5a =，因此AB =，25H a ==，所以OAB S ∆= 5.答案：1297．解：设a b c >>，由于()()()()2a b b c c a a b c +++++=++为偶数，所以三个连续平方数()(){}222,1,2n n n ++中有两个奇平方数，一个偶平方数，于是n 为奇数，而1b c +>，则1n >；若3n =，则()(){}{}222222,1,2=3,4,5n n n ++，且因22250345=++()2a b c =++，则25a b c ++=，另一方面，最大平方数25a b +=，导致0c =，不合；若5n =，据()(){}{}222222,1,2=5,6,7n n n ++，解得30,19,6a b c ===，因此．222222301961297a b c ++=++=.6.答案：750．解：如图，PF VBC ⊥平面，5,10,VP VH ==4VF ===,而PHMFPHMF 共圆，,VP VH VF VM =所以2515,22VM HM ===;则15AB =，所以棱锥体积217503V VH AB == ．7.答案：14-．,3,9,39,,13C B A πθθθθθθπθ===++==解：设由得9339cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos131313131313S A B B C C A ππππππ=++=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边通乘4sin 13π，得到246810124sin 2sin cos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ 3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 1313131313131313ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1191311sin sin sin sin sin 1313131313πππππ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以14S =-.8.答案：3130292-+．解：()0131,a =+-113112,231a -=+=+-()2233431,31a =+=+=+--33145.231a -=+=+-归纳易得()23131,k a k =++-213132,2k a k +-=++因此20193130292a -=+.9.证：设椭圆方程为()22221,0x ya b a b+=>>，据对称性知，点Q在Y轴上（如图）；记12,QF QF m ==1122,,PF r PF r ==PQ t=,12,MF MF k ==则有：1121,2,PF e r r a PM =+=为证12,,,P F Q F 四点共圆，据托勒密定理，只要证，1212,mr mr t F F += 22,m c m a t c e t a=== 即也即……………①由1111,QF OF QM HM =即222,m c c e a m k a c⎛⎫=== ⎪+⎝⎭所以21,k e m k=-+在1PM Q ∆中，由斯特瓦特定理，22211m kPF PM PQ mk m k m k=+-++…………………………②即()()22222211211m e r r e t e me e -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭………………………③因为210e -≠，由③得，222,,m me e t t==即故①成立，因此12,,,P F Q F 四点共圆．（也可不用托勒密定理证：由②得()2PQ m m k =+，则11PQF M QP ∆∆ ，于是11221QPF M M QF F ∠=∠=∠=∠，因此12,,,P F Q F 四点共圆．）10.证：易知2142n a n -=-,241n a n =-,1,2,3n = ，因此，41,82,n n N a n +∀∈=+42434483,86,87n n n a n a n a n +++=+=+=+；在将{}n a 中的项4n a 及41n a +删去之后，所得到的数列{}n b ，其通项为：212283,86n n b n b n ++=+=+,1,2,3n = ；即数列{}n b 的项为：3,6,11,14,19,22,27,32,35,38,43 ，观察易知，222212346710113,5,7,9,b b b b b b b b =+=+=+=+……；若记()12k k k r +=，我们来证明，一般地有：()2121k k r r k b b ++=+,1,2,3k = .由于2222441424382,861,8103,8146;m m m m r m m r m m r m m r m m +++=+=++=++=++所以()()4444122111241,2411,m m m m r r r r b b m b b m +++++=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()42424343221112421,2431,m m m m r r r r b b m b b m ++++++++=+++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦合并以上四式得，对于每个正整数k ,()2121k k r r b b k ++=+．其中()12k k k r +=．11.解：据对称性，不妨设a b c <<，由于奇平方数的末位数字只具有1,5,9形式，于是222,,a b c 的末位数字，要么是5,5,9形式，要么是1,9,9形式；又知，如果正整数n 是3的倍数，那么2n 必是9的倍数；如果n 不是3的倍数，那么2n 被3除余1．由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数,,a b c 皆不是3的倍数．注意201944c ⎡⎤≤=⎣⎦，即奇数43c ≤，而222232019c a b c >++=，即2667c >，且c 不是3的倍数，故奇数29c ≥．因此奇数{}29,31,35,37,41,43c ∈；注意如下事实：如果奇数22=N x y +为两个正整数的平方和，那么偶数2N 必可表为两个互异正奇数的平方和．这是由于，()()()222222N x yx y x y =+=-++；若43c =，方程化为：()()222222170285267229a b +==⨯=+=+，因此：2222170113711=+=+．于是得两解：{}{},,1,13,43a b c =，以及{}{},,7,11,43a b c =；若41c =，方程化为：()22222223382132512717a b +==⨯=+=+，由此得：{}{},,7,17,41a b c =；若37c =，方程化为：()()2222222650213522334a b +==⨯⨯=++()()()2222222118261721015=+=+=+因此：22222265017191123525=+=+=+．得到三个解：{}{}{}{},,17,19,37,11,23,37,5,25,37a b c =.若35c =，方程化为：227942397a b +==⨯,而397是一个41N +形状的质数，它可唯一地表为两平方和：22397619=+，所以()22222226191325a b +=+=+，得到一个解：{}{},,13,25,35a b c =.若31c =，方程化为：2211582529a b +==⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；若29c =，方程化为：22117821931a b +==⨯⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；综合以上讨论，本题共有七个满足条件的解{},,a b c ，即为：{}{}{}{}{}{}{}1,13,43,7,11,43,13,25,35,5,25,37,11,23,37,17,19,37,7,17,41.12.证：如图设三角形ABC ∆的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF =-+ ()()()22222MF HF MF HF MF HF AF FB AH AF AF AB AH =-+=-=--=- 同理有，2PH HQ AE AC AH =- 因BCEF 四点共圆，知AF AB AE AC = ，故由以上两式得MH HN PH HQ = ，所以,,,M N P Q 四点共圆．。

2019年全国高中数学联赛试卷及答案-10页文档资料

2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…，则数列{b n } 【答】（） (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2＜2的整点(x ,y )的个数是【答】（） (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253．若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-，则【答】（）(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4．给定下列两个关于异面直线的命题：命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a ,b 中的一条相交；命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么【答】（） (A ) 命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是【答】（） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ，那么，△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定【答】（）二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案

2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题(每小题7分，共56分)1.集全{1,2,...,19}中每两互异的数作乘积，所有这种乘积的各为.2.公差为d ,各项均为正整数的等差数列{}n a ,11919,1949,2019m n a a a ===,则正整数m n +的最小值是.3.设220,7,x x x ->+=则55x x -+的值为.4.三角形ABC 的垂心恰是抛物线24y x =的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则三角形OAB 的面积是.5.,,a b c 是互异的正整数,使得222{,,}{,(1),(2)}a b a c b c n n n +++=++其中n 是正整数,则222a b c ++的最小值是.6.已知P 是正四棱锥V ABCD -的高VH 的中点,若P 到侧面的距离为3,到底面的距离是5,则重心,则正四棱锥V ABCD -的体积是.7.三角形ABC 中满足39A B C ==.则cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=.8.数列{}n a满足02112,[]{}n n n a a a a a +===+(其中[],{}n n a a 分别代表实数n a 的整数部分与小数部分),则2019a =.9、(14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q .证明：12,,,P F Q F 四点共圆．10、(15分)将正整数数列1,2,3 中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列123,,a a a 再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列123,,b b b 证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．2010-2019历年全国高中数学联赛江西省预赛试题汇总含答案11.(15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：2222019a b c ++=．12.(20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC ∆的两条高(如右图)，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q .证明：,,,M N P Q 四点共圆．2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答1.答案：16815．解：所求的和为()()()222211121912193610024701681522⎡⎤+++-+++=-=⎣⎦ 2.答案：15．解：设公差为d ，则()194919191m d =+-，()201919191n d =+-，显然有1,1m n >>，301d m =-，以及1001d n =-，消去d 得,1037m n -=，其通解为13110m t n t =+⎧⎨=+⎩，为使1,1m n >>且d 为正整数，则正整数t 只能在{}1,2,5,10中取值，当1t =时，4,11m n ==为最小，此时15m n +=．3.答案：123．解：2221129x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，13x x +=，由2242411492x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，则44147x x +=，所以551x x +42421111x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()34771123=-+=4.答案：．解：抛物线的焦点为()1,0F ，因F 为OAB ∆的垂心，则OF AB ⊥，故可设,A B 的坐标为()2,2A a a ，()2,2B a a -，0a >；于是OA 的方程为2ay x =，2OA K a=，BF 的斜率221BF aK a -=-，据1OA BF K K =- ，得5a =，因此AB =，25H a ==，所以OAB S ∆= 5.答案：1297．解：设a b c >>，由于()()()()2a b b c c a a b c +++++=++为偶数，所以三个连续平方数()(){}222,1,2n n n ++中有两个奇平方数，一个偶平方数，于是n 为奇数，而1b c +>，则1n >；若3n =，则()(){}{}222222,1,2=3,4,5n n n ++，且因22250345=++()2a b c =++，则25a b c ++=，另一方面，最大平方数25a b +=，导致0c =，不合；若5n =，据()(){}{}222222,1,2=5,6,7n n n ++，解得30,19,6a b c ===，因此．222222301961297a b c ++=++=.6.答案：750．解：如图，PF VBC ⊥平面，5,10,VP VH ==4VF ===,而PHMFPHMF 共圆，,VP VH VF VM =所以2515,22VM HM ===;则15AB =，所以棱锥体积217503V VH AB == ．7.答案：14-．,3,9,39,,13C B A πθθθθθθπθ===++==解：设由得9339cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos131313131313S A B B C C A ππππππ=++=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边通乘4sin 13π，得到246810124sin 2sin cos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭ 3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 1313131313131313ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1191311sin sin sin sin sin 1313131313πππππ⎛⎫⎛⎫+-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以14S =-.8.答案：3130292-+．解：()0131,a =+-113112,231a -=+=+-()22233431,31a =+=+=+--313145.231a -=+=+-归纳易得()23131,k a k =++-213132,2k a k +-=++因此20193130292a -=+.9.证：设椭圆方程为()22221,0x ya b a b+=>>，据对称性知，点Q在Y轴上（如图）；记12,QF QF m ==1122,,PF r PF r ==PQ t=,12,MF MF k ==则有：1121,2,PF e r r a PM =+=为证12,,,P F Q F 四点共圆，据托勒密定理，只要证，1212,mr mr t F F += 22,m c m a t c e t a=== 即也即……………①由1111,QF OF QM HM =即222,m c c e a m k a c⎛⎫=== ⎪+⎝⎭所以21,k e m k=-+在1PM Q ∆中，由斯特瓦特定理，22211m kPF PM PQ mk m k m k=+-++…………………………②即()()22222211211m e r r e t e me e -⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭………………………③因为210e -≠，由③得，222,,m me e t t==即故①成立，因此12,,,P F Q F 四点共圆．（也可不用托勒密定理证：由②得()2PQ m m k =+，则11PQF M QP ∆∆ ，于是11221QPF M M QF F ∠=∠=∠=∠，因此12,,,P F Q F 四点共圆．）10.证：易知2142n a n -=-,241n a n =-,1,2,3n = ，因此，41,82,n n N a n +∀∈=+42434483,86,87n n n a n a n a n +++=+=+=+；在将{}n a 中的项4n a 及41n a +删去之后，所得到的数列{}n b ，其通项为：212283,86n n b n b n ++=+=+,1,2,3n = ；即数列{}n b 的项为：3,6,11,14,19,22,27,32,35,38,43 ，观察易知，222212346710113,5,7,9,b b b b b b b b =+=+=+=+……；若记()12k k k r +=，我们来证明，一般地有：()2121k k r r k b b ++=+,1,2,3k = .由于2222441424382,861,8103,8146;m m m m r m m r m m r m m r m m +++=+=++=++=++所以()()4444122111241,2411,m m m m r r r r b b m b b m +++++=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()42424343221112421,2431,m m m m r r r r b b m b b m ++++++++=+++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦合并以上四式得，对于每个正整数k ,()2121k k r r b b k ++=+．其中()12k k k r +=．11.解：据对称性，不妨设a b c <<，由于奇平方数的末位数字只具有1,5,9形式，于是222,,a b c 的末位数字，要么是5,5,9形式，要么是1,9,9形式；又知，如果正整数n 是3的倍数，那么2n 必是9的倍数；如果n 不是3的倍数，那么2n 被3除余1．由于2019是3的倍数，但不是9的倍数，因此奇数,,a b c 皆不是3的倍数．注意201944c ⎡⎤≤=⎣⎦，即奇数43c ≤，而222232019c a b c >++=，即2667c >，且c 不是3的倍数，故奇数29c ≥．因此奇数{}29,31,35,37,41,43c ∈；注意如下事实：如果奇数22=N x y +为两个正整数的平方和，那么偶数2N 必可表为两个互异正奇数的平方和．这是由于，()()()222222N x yx y x y =+=-++；若43c =，方程化为：()()222222170285267229a b +==⨯=+=+，因此：2222170113711=+=+．于是得两解：{}{},,1,13,43a b c =，以及{}{},,7,11,43a b c =；若41c =，方程化为：()22222223382132512717a b +==⨯=+=+，由此得：{}{},,7,17,41a b c =；若37c =，方程化为：()()2222222650213522334a b +==⨯⨯=++()()()2222222118261721015=+=+=+因此：22222265017191123525=+=+=+．得到三个解：{}{}{}{},,17,19,37,11,23,37,5,25,37a b c =.若35c =，方程化为：227942397a b +==⨯,而397是一个41N +形状的质数，它可唯一地表为两平方和：22397619=+，所以()22222226191325a b +=+=+，得到一个解：{}{},,13,25,35a b c =.若31c =，方程化为：2211582529a b +==⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；若29c =，方程化为：22117821931a b +==⨯⨯，而23是41N -形状的质数，它不能表为两个正整数的平方和；综合以上讨论，本题共有七个满足条件的解{},,a b c ，即为：{}{}{}{}{}{}{}1,13,43,7,11,43,13,25,35,5,25,37,11,23,37,17,19,37,7,17,41.12.证：如图设三角形ABC ∆的垂心为H ，则()()MH HN MF HF NF HF =-+ ()()()22222MF HF MF HF MF HF AF FB AH AF AF AB AH =-+=-=--=- 同理有，2PH HQ AE AC AH =- 因BCEF 四点共圆，知AF AB AE AC = ，故由以上两式得MH HN PH HQ = ，所以,,,M N P Q 四点共圆．2018年全国高中数学联赛江西省预赛试题1.a b 、为正整数，满足112018a b-=，则所有正整数对(),a b 的个数为．2.若双曲线L 的两个焦点恰是椭圆22:1169x y T +=的两个顶点，而双曲线L 的两个顶点恰是椭圆T 的两个焦点，则双曲线L 的方程为．3.函数y =+．4.若三个角,,x y z 成等差数列，公差为3π，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=．5.设,,x y z R *∈，满足x y z xyz++=，则函数()()2,,1f x y z x yz =-()()2211y zx z xy +-+-的最小值是．6.正整数数列{}n a 满足32n a n =+,{}n b 满足53n b n =+,n N ∈.在{}1,2,,2018M = 中两数列的公共项的个数是.7.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个顶角为60 的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60 ，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为．8.对于正整数n ，将其各位数字之和记为()s n ，各为数字之积记为()p n .若()()s n p n n +=成立，就称为“巧合数”。

2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为．答案：5．解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为．答案：3．解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---．因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø，确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø．当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<．证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå．综上，结论获证． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设正实数12100,,,a a a 满足101(1,2,,50)i i a a i -³=．记112(1,2,,99)k k kka x k a a a +==+++．证明：29912991x x x £．证明：注意到12100,,,0a a a >．对1,2,,99k =，由平均值不等式知121210kk k k a a a a a a æöç<£çç+++èø， ……………10分从而有9999299112991111212kk k k k k k k ka k x x x a a a a a a a ++==æö÷ç÷=£ç÷÷ç+++èø ． ①………………20分记①的右端为T ，则对任意1,2,,100i =，i a 在T 的分子中的次数为1i -，在T 的分母中的次数为100i -．从而10121005050210121012(101)101101101111ii i i i i i i i i i ia T a a a a -------===æö÷ç÷===ç÷ç÷èø ．………………30分又1010(1,2,,50)i i a a i -<£=，故1T £，结合①得29912991x x x T ££． ………………40分二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数n ：(1) n 至少有4个正约数；(2) 若12k d d d <<< 是n 的所有正约数，则21321,,,k k d d d d d d ---- 构成等比数列．解：由条件可知4k ≥，且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--． ………………10分易知112231,,,k k k n nd d n d d d d --====，代入上式得3222231n n d d d n n d d d --=--，化简得223223()(1)d d d d -=-． ………………20分由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3d 是平方数，故只能23d p =． ………………30分从而序列21321,,,k k d d d d d d ---- 为23212,1,,,k k p p p p p p p ------ ，即123,,,,k d d d d 为21,1,,,k p p p - ，而此时相应的n 为1k p -．综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥． ………………40分三、（本题满分50分）如图，点,,,,A B C D E在一条直线上顺次排列，满足BC CD ==，点P 在该直线外，满足PB PD =．点,K L 分别在线段,PB PD 上，满足KC 平分BKE ，LC 平分ALD ．证明：,,,A K L E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：令1,(0)AB BC CD t ===>，由条件知2DE t =．注意到180BKE ABK PDE DEK < = < - ，可在CB 延长线上取一点A ¢，使得A KE ABK A BK ¢¢ = = ． ………………10分此时有A BK A KE ∽¢¢D D ，故A B A K BKA K A E KE¢¢==¢¢． ………………20分又KC 平分BKE ，故211BK BC t KE CE t t t===++．于是有 22112A B A B A K BK AB A E A K A E KE t t AEæö¢¢¢÷ç=⋅===÷ç÷ç¢¢¢èø++． …………30分由上式两端减1，得BE BEA E AE=¢，从而A A ¢=．因此AKE A KE ABK ¢ = = ．同理可得ALE EDL = ．而ABK EDL = ，所以AKE ALE = ．因此,,,A K L E 四点共圆． ………………50分四、（本题满分50分）将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条．证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染AA (为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．证明：我们对5n ≥归纳证明加强的命题：如果将凸n 边形的边染为三种颜色,,a b c ，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分． ………………10分当5n =时，若三种颜色的边数为1，1，3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．若三种颜色的边数为1，2，2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．………………20分假设结论对(5)n n ≥成立，考虑1n +的情形，将凸1n +边形记为121n A A A + ．情形1：有两种颜色的边各只有一条．不妨设,a b 色边各只有一条．由于16n +≥，故存在连续两条边均为c 色，不妨设是111,n n n A A A A ++．作对角线1n A A ，并将1n A A 染为c 色，则三角形11n n A A A +的三边全部同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．………………30分情形2：某种颜色的边只有一条，其余颜色的边均至少两条．不妨设a 色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a 色，不妨设111,n n n A A A A ++均不是a 色，作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分． ………………40分情形3：每种颜色的边均至少两条．作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．综合以上3种情形，可知1n +的情形下结论也成立．由数学归纳法，结论获证． ………………50分。

2019江西省预赛试题5-26

H QPNMFECBA2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题（5月26日上午9:30−−12:00）一、填空题(每小题7分，共56分)1、将集合1,2,!,19{}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为． 2、公差为d ，各项皆为正整数的等差数列{}n a ，若11919,1949,2019m n a a a ===，则正整数m n +的最小值是．3、设0x >，且2217x x +=，则551x x+= ． 4、若OAB Δ的垂心恰是抛物线24y x =的焦点，其中O 是原点，,A B 在抛物线上，则OAB Δ的面积S = ．5、,,a b c 是互异正整数，使得{}{}222,,,(1),(2)a b b c c a n n n +++=++，其中n 为正整数，则222a b c ++的最小值是．6、P 是正四棱锥V ABCD −的高VH 的中点，若点P 到侧面的距离为3，到底面的距离为5，则该正四棱锥的体积为．7、ABC Δ的内角,,A B C 满足39A B C ==，则cos A cos B +cos B cos C +cos C cos A = ． 8、数列{}n a满足：0a =a n +1=a n ⎡⎣⎤⎦+1a n{}，（其中[]n a 和{}n a 分别表示实数n a 的整数部分与小数部分），则2019a = ．二、解答题 (本题共64分)9、(14分)设椭圆C 的两焦点为12,F F ，两准线为12,l l ，过椭圆上的一点P ，作平行于12F F 的直线，分别交12,l l 于12,M M ，直线11M F 与22M F 交于点Q . 证明：12,,,P F Q F 四点共圆．10、(15分)将正整数数列1,2,3,!!中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的数按自小到大的顺序排成数列a 1,a 2,a 3,! ，再将数列{}n a 中，凡是下标被4整除以及被4除余1的项全部删去，剩下的项按自小到大的顺序排成数列b 1,b 2,b 3,!. 证明：每个大于1的奇平方数，都是数列{}n b 中的两个相邻项的和．11、(15分)试求所有由互异正奇数构成的三元集{},,a b c ，使其满足：a 2+b 2+c 2=2019． 12、(20分),BE CF 分别是锐角三角形ABC Δ的两条高(如右图)，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点,M N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点,P Q . 证明：,,,M N P Q 四点共圆．。

2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

3 22 s-1
=
¥ k=s+1
3 22k-1
¥
=
k=s+1
z2k-1 + z2k
，
故
å å z1 + z2 ++ zm
£
æçççè
k
s =1
z2k-1 + z2k ÷ö÷÷ø+
z2 s+1
¥
<
k =1
z2k-1 + z2k
=
2
3 3
．
综上，结论获证．
…………………20 分
2019 年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准
3. 设 a, b Î (0, p) ，cosa, cosb 是方程 5x2 -3x -1= 0 的两根，则 sin asin b 的
值为
．
答案：
7 5
．
解：由条件知 cosa + cosb = 3 , cosa cos b = -1 ，从而
5
5
(sin a sin b)2 = (1-cos2a)(1- cos2 b) = 1- cos2a - cos2 b + cos2a cos2 b
=
(-1)n-32n(n -1)(n
- 2)
．
因此有
n(n
-1)(n 24
2)(n
-
3)
=
(-1)n-3
2n(n
-1)(n
-
2)
．注意到
n
>
4
，化简得
n -3 = (-1)n-3 48 ，故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 ．解得 n = 51．

2019年全国高中数学联赛模拟试卷9套及答案

全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）的面积最小，则l 的方程为（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝0 4、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜15、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝．3、数799被2550除所得的余数是． 4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝．5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin 和cos ，则的取值范围是． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是．三、（20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．四、（20分）（1）求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．（2）试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a ＝0有三个整数根．五、（20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋x cos ＋y ≥0}之中．第二试一、（50分）设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2－(a －c )z －b ＝0．求证：()12=-+-+bac zc a b a 的充分必要条件是(a －c )2＋4b ≤0．二、（50分）如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：（1） AK ⊥BC ；ACBD QK P（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j j i a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．参考答案第一试二、填空题：1、38181-或381587； 2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{|＝2n ＋或2n －2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．全国高中数学联赛模拟试题(二)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集（C ）二元集（D ）无穷集2、若多项式x 2－x ＋1能除尽另一个多项式x 3＋x 2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a ＋b等于（A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、设a 是整数，关于x 的方程x 2＋(a －3)x ＋a 2＝0的两个实根为x 1、x 2，且tan(arctanx 1＋arctan x 2)也是整数．则这样的a 的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 4、设一个四面体的体积为V 1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V 2．则12V V 为（A ）21 （B ）32 （C ）常数，但不等于21和32（D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）10136、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线x cos ＋y sin ＝cos2－sin2（0＜＜＝与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于． 3、若常数a 使得关于x 的方程lg(x 2＋20x )－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是．4、 f (x )＝82x ＋x cos x ＋cos(2x )(x ∈R )的最小值是．5、若k 是一个正整数，且2k整除20034006400624006124006040063C 3C 3C C +++++ i i 则k 的最大值为．6、设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a ,b ] ．则a ＋b ＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF 1F 2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a 0＝1，a 1＝2，a n +1＝2a n -1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出a n 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(a ,b )，使得关于x 的方程x 4＋(2b －a 2)x 2－2ax ＋b 2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC ＝60°，且PQPC BP 111=+．求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2b a >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f (a ,b )＝a 2－3ab ＋b 2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a 1,a 2,…,a k（允许相等），必定存在相应的k 的整数x 1,x 2,…,x k （也允许相等），且|x i |≤2(i ＝1,2,…,k )，|x 1|＋|x 2|＋…＋|x k |≠0，使得2003整除x 1a 1＋x 2a 2＋…＋x k a k ．参考答案第一试二、填空题：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ；2、5615±；3、⎪⎭⎫⎝⎛--21,6163；4、－1；5、2004；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a 2n ＝2n +2－2n －3；a 2n +1＝3×2 n +1－2n －4．五、(a ,b )＝(2l ―1,l 2―l ―1)(∀l ∈Z )第二试一、证略（提示：将条件变形为PQPCPB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、k min ＝7．1全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题（每小题6分，共36分）：1、函数()aaxxaxf-+-=22是奇函数的充要条件是（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1（C）a＞0 （D）a＜02、已知三点A(－2,1)、B(－3,－2)、C(－1,－3)和动直线l：y＝kx．当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时，下列结论中，正确的是（A）点A在直线l上（B）点B在直线l上（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过顶点A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于60°．这样的直线l可以做（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条4、整数的100200C=n两位质因数的最大值是（A）61 B）67 （C）83 （D）975、若正整数a使得函数()axxxfy213-+==的最大值也是整数，则这个最大值等于（A）3 （B）4 （C）7 （D）86、在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006二、填空题（每小题9分，共54分）：1、在复平面上，Rt△ABC的顶点A、B、C分别对应于复数z＋1、2z＋1、(z＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|z m∈R，m∈N+}，P＝{x|x＝m21，m∈M}．则集合P所有元素之和等于．2、函数f(x)＝|sin x|＋sin42x＋|cos x|的最大值与最小值之差等于．3、关于x的不等式()()074547422222222<-+--++-+-++aaxaaxaaxax的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是．4、银行计划将某项资金的40%给项目M 投资一年，其余的60%给项目N ．预计项目M 有可能获得19%到24%的年利润，N 有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．5、已知点(a ,b )在曲线arcsin x ＝arccos y 上运动，且椭圆ax 2＋by 2＝1在圆x 2＋y 2＝32的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsin b 的取值范围是．6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan(＋)的值是．三、（20分）△ABC 的三边长a 、b 、c （a ≤b ≤c ）同时满足下列三个条件（i ）a 、b 、c 均为整数；（ii ）a 、b 、c 依次成等比数列；（iii ）a 与c 中至少有一个等于100．求出(a ,b ,c )的所有可能的解．四、（20分）在三棱锥D -ABC 中，AD ＝a ，BD ＝b ，AB ＝CD ＝c ，且∠DAB ＋∠BAC ＋∠DAC ＝180°，∠DBA ＋∠ABC ＋∠DBC ＝180°．求异面直线AD 与BC 所成的角．五、（20分）设正系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．证明：（1） max{a ,b ,c }≥94(a ＋b ＋c )；（2） min{a ,b ,c }≤41(a ＋b ＋c )．第二试一、（50分）已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径的圆分别交BC、CA于点P、Q．求证：线段PQ平分△ABC的周长．二、（50分）已知x0＝1，x1＝3，x n+1＝6x n－x n-1（n∈N+）．求证：数列{x n}中无完全平方数．三、（50分）有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．参考答案第一试一、选择题：二、填空题： 1、71； 2、2； 3、[1,3]；4、10%；5、⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,44,6ππππ ；6、aR334-．三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，(100,140,196)，(100,150,225)，(100,160,256)，(49,70,100)，(64,80,100)，(81,90,100)，(100,100,100)．四、222arccos a c b -．五（1）证略（提示：令a ＋b ＋c ＝t ，分b ≥t 94和b ＜t 94讨论）；（2）证略（提示：分a ≤t 41和a ＞t 41讨论）；第二试一、证略；二、证略（提示：易由特征根法得x n ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++nn22322321，设y n ＝()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+nn223223221，于是1222=-n n y x，原结论等价于方程x 4－2y 2＝1无整数解，由数论只是可证）．三、43．全国高中数学联赛模拟试题(四)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、空间中n （n ≥3）个平面，其中任意三个平面无公垂面．那么，下面四个结论（1）没有任何两个平面互相平行；（2）没有任何三个平面相交于一条直线；（3）平面间的任意两条交线都不平行；（4）平面间的每一条交线均与n -2个平面相交．其中，正确的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2、若函数y =f (x )在[a ,b ]上的一段图像可以近似地看作直线段，则当c ∈(a ,b )时，f (c )的近似值可表示为（A ）()()2b f a f +（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+2b a f（C ）()()()()()a b b f a c a f c b --+-（D ）()()()[]a f b f ab ac a f ----3、设a ＞b ＞c ，a +b +c =1，且a 2+b 2+c 2=1，则（A ）a +b ＞1 （B ）a +b =1 （C ）a +b ＜1 （D ）不能确定，与a 、b 的具体取值有关4、设椭圆12222=+b y a x 的离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 到椭圆上的点的最远距离是47，则短半轴之长b = （A ）161 （B ）81（C ）41（D ）21 5、 S ={1,2,…,2003}，A 是S 的三元子集，满足：A 中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A 的个数是（A ）32003C（B ）2100221001C C +（C ）2100221001A A +（D ）32003A6、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，AC 1为体对角线．现以A 为球心，AB 、AD 、AA 1、AC 1为半径作四个同心球，其体积依次为V 1、V 2、V 3、V 4，则有（A ）V 4＜V 1+V 2+V 3 （B ）V 4=V 1+V 2+V 3 （C ）V 4＞V 1+V 2+V 3（D ）不能确定，与长方体的棱长有关二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知k ==βαβαcos cos sin sin 33，则k 的取值范围为． 2、等差数列{a n }的首项a 1=8，且存在惟一的k 使得点(k ,a k )在圆x 2+y 2=102上，则这样的等差数列共有个． 3、在四面体P -ABC 中，PA =PB =a ，PC =AB =BC =CA =b ，且a ＜b ，则ba的取值范围为．4、动点A 对应的复数为z =4(cos +isin )，定点B 对应的复数为2，点C 为线段AB 的中点，过点C 作AB 的垂线交OA 与D ，则D 所在的轨迹方程为．5、∑=200313k k被8所除得的余数为．6、圆周上有100个等分点，以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为．三、（20分）已知抛物线y 2=2px (p ＞0)的一条长为l 的弦AB ．求AB 中点M 到y 轴的最短距离，并求出此时点M 的坐标．四、（20分）单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，正方形ABCD 的中心为点M ，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为点N ，连AN 、B 1M ．（1）求证：AN 、B 1M 为异面直线；（2）求出AN 与B 1M 的夹角．五、（20分）对正实数a 、b 、c ．求证：cabc b ac b a bc a 888222+++++≥9．第二试一、（50分）设ABCD 是面积为2的长方形，P 为边CD 上的一点，Q 为△PAB 的内切圆与边AB 的切点．乘积PA ·PB 的值随着长方形ABCD 及点P 的变化而变化，当PA ·PB 取最小值时，（1）证明：AB ≥2BC ；（2）求AQ ·BQ 的值．二、（50分）给定由正整数组成的数列⎩⎨⎧+===++n n n a a a a a 12212,1（n ≥1）．（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a 1,a 2)，(a 3,a 4)，…，(a 2k -1,a 2k )，…均在曲线x 2+xy -y 2+1=0上．（2）若设f (x )=x n +x n -1-a n x -a n -1，g (x )=x 2-x -1，证明：g (x )整除f (x )．三、（50分）我们称A 1,A 2,…,A n 为集合A 的一个n 分划，如果（1）A A A A n = 21；（2）∅≠j i A A ，1≤i ＜j ≤n ．求最小正整数m ，使得对A ＝{1,2,…,m }的任意一个13分划A 1,A 2,…,A 13，一定存在某个集合A i (1≤i ≤13)，在A i 中有两个元素a 、b 满足b ＜a ≤89b ．参考答案第一试二、填空题：1、⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--1,2121,1 ；2、17；3、⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；4、()134122=+-y x ；5、4；6、117600．三、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<2222,2,2,20,8,20,8p pl p l M p l p l p l M p l p l ．四、（1）证略；（2）32arccos ．五、证略．第二试一、（1）证略（提示：用面积法，得PA ·PB 最小值为2，此时∠APB ＝90°）；（2）AQ ·BQ =1．二、证略（提示：用数学归纳法）．三、m =117．全国高中数学联赛模拟试题(五)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、在复平面上，非零复数z 1、z 2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上，21z z ⋅的实部为零，arg z 1=6π，则z 2= （A ）i 2323+-（B ）i 2323- （C ）i 2323+- （D ）i 2323- 2、已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21log 2x ax x f a 在[1,2]上恒正，则实数a 的取值范围是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛85,21（B ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛,2385,21（D ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 3、已知双曲线过点M (-2,4)，N (4,4)，它的一个焦点为F 1(1,0)，则另一个焦点F 2的轨迹方程是（A ）()()116425122=-+-y x （y ≠0）或x =1（y ≠0）（B ）()()125416122=-+-y x （x ≠0）或x =1（y ≠0）（C ）()()116125422=-+-y x （y ≠0）或y =1（x ≠0）（D ）()()125116422=-+-y x （x ≠0）或y =1（x ≠0）4、已知正实数a 、b 满足a +b =1，则b a M 2112+++=的整数部分是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）45、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（A ）9米（B ）10米（C ）12米（D ）15米6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站（n ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15二、填空题：（每小题6分，共36分）1、长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的32倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是．2、在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a 2+b 2=2c 2，则角C 的最大值是．3、从盛满a 升（a ＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．4、已知函数f (x )与g (x )的定义域均为非负实数集，对任意x ≥0，规定f (x )*g (x )=min{f (x ),g (x )}．若f (x )=3-x ，g (x )=52+x ，则f (x )*g (x )的最大值为．5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有不同的取法．6、若实数a ＞0，则满足a 5-a 3+a =2的a 值属于区间：①()63,0；②()663,2；③()+∞,36；④()32,0．其中正确的是．三、（20分）求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面的面积四、（20分）直线Ax +Bx +C =0（A ·B ·C ≠0）与椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，且OP ⊥OQ ．求证：2222222BA b a C b a ++=．五、（20分）某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？第二试一、（50分）矩形ABCD 的边AD =·AB ，以AB 为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ，连PC 、PD 交AB 于E 、F ，若AE 2+BF 2=AB 2，试求正实数的值．二、（50分）若a i ∈R +（i =1,2,…,n ），∑==ni iaS 1，且2≤n ∈N ．求证：∑=-nk kk a S a 13≥∑=-n k k a n 1211．三、（50分）无穷数列{c n }可由如下法则定义：c n +1=|1-|1-2c n ||，而0≤c 1≤1．（1）证明：仅当c 1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c 1值，使得数列自某项之后以T 为周期（对于每个T =2,3,…）？参考答案第一试二、填空题：1、6π； 2、3π；3、na ⎪⎭⎫ ⎝⎛-11；4、132-；5、2500；6、③④．三、证略．四、证略．五、8，23，29或10，20，30（万元），对应40，92，58或50，80，60（人）．第二试一、22=λ；二、证略．三、（1）证略．（2）无穷个．全国高中数学联赛模拟试题(六)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）7、 a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）无数条8、已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，则f (x )+g (x )=（A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +39、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =32π，则使AB +BC +CA ≥m (AO +BO +CO )成立的m 的最大值是（A ）2（B ）35（C ）3（D ）23 10、设x =0.820.5，y =sin1，z =log 37则x 、y 、z 的大小关系是（A ）x ＜y ＜z （B ）y ＜z ＜x（C ）z ＜x ＜y（D ）z ＜y ＜x11、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10 （B ）01 （C ）00 （D ）2012、设(a ,b )表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a ,b )=1，则(a 2+b 2,a 3+b 3)为（A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f (x )=x 10+2x 9-2x 8-2x 7+x 6+3x 2+6x +1，则f (2-1)= ．2、设F 1、F 2是双曲线x 2-y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是．3、给定数列{x n }，x 1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x 1999-x 601= ．4、正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB 1中点，则四面体AD 1EF 的体积是．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A (1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y |=x 的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M (m ,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围．四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a ≠b ，b ≠c ，c ≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2．五、（20分）已知f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx ，满足（i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{-2, -1,0,1,2}，f (x )为整数；（iii ）f (1)=1,f (5)=70．试说明，对于每个整数x ，f (x )是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C 1、B 1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C 1K 交于点B 2，直线AB 于B 1K 交于点C 2．若△AB 2C 2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sini 5cosππ+=w ，f (x )=(x -w )(x -w 3)(x -w 7)(x -w 9)．求证：f (x )为一整系数多项式，且f (x )不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案第一试二、填空题： 1、4； 2、x 2+y 2=4； 3、0； 4、245； 5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．全国高中数学联赛模拟试题(七)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设log a b 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②log a b +log b a =0； ③0＜a ＜b ＜1； ④ab -1=0．其中正确结论的个数是（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为（A ）222ba al + （B ）222ba l a ++（C ）()2222ba a l a +- （D ）()2222ba a l a ++4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为（A ）0（B ）1（C ）2（D ）35、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是（A ）6（B ）2（C ）6.5（D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααc os sin c os 2c os sin 2c os 3c os sin 3c os 4c os sin +++的值等于．2、2004321132112111+++++++++++= ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为．三、（20分）已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值．四、（20分）经过点M (2,-1)作抛物线y 2=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ M P MQ M P MQ MP MQ M P ->-．五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分）非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2．三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子．A CBC B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案第一试二、填空题：1、33； 2、20054008； 3、36-； 4、816； 5、81；6、112．三、最大值5627+，最小值10327-．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 n =1．全国高中数学联赛模拟试题(八)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是（A ）奇数集（B ）所有形如6k +1的数集（C ）偶数集（D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）170093、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=1n i ia等于（A ）2（B ）-1（C ）1（D ）04、已知、是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A 的值是（A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是（A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、，F (a ,)的最大值和最小值分别是．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ）．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB 的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 2、5； 3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．全国高中数学联赛模拟试题(九)第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）112、已知sin2=a ，cos2=b ，0＜＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案：①ab-1； ②b a-1； ③ab+1； ④b a +1； ⑤11-++-b a b a ．其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是（A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为（A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、 14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为（A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n （C ）⎪⎭⎫⎝⎛+-4cos 22211πn nn （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn nn 6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =PH （≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角（0＜＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f ()= ．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为．4、设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数-2的辐角主值的取值范围是． 5、设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a 1a 2…a 2002的最小值是．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为．三、（20分）已知数列{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为S n ．（1）用S n 表示S n +1；（2）是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立．四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．五、（20分）已知定义在R +上的函数f (x )满足（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )；（ii ）当x ＞1时，f (x )＜0；（iii ）f (3)=-1．现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (q p )+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若POQ O S S △⊙32π=，求证：∠POQ =60°．二、（50分）已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1）三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点；（2）三角形的内心是坐标原点．参考答案第一试一、选择题：PQ二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33；2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan； 5、40022002；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++63142789102111n n ．三、（1）2211+=+n n S S ；（2）不存在．四、1922=+y x ．五、不存在．第二试一、证略；二、n =3．三、 p ≠2,7,11,13时，324个；p =2时，162个；p =7,11,13时，180个．。