人教版九年级数学与圆有关的位置关系讲义(含解析)(2020年最新)

第11讲与圆有关的位置关系

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础偏上

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有

关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。

知识梳理

讲解用时：25分钟

与圆有关的位置关系

（1）点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：

⊙点P在圆外⊙ｄ＞r

⊙点P在圆上⊙d=r

⊙点P在圆内⊙ｄ＜r

注意：

点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆

心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。

（2）直线与圆的位置关系

直线和圆的3种位置关系：

⊙相离：一条直线和圆没有公共点；

⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点；

⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线；

判断直线和圆的位置关系：

⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r

⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r

⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r

（3）圆与圆的位置关系

⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；

⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部；

⊙相交：两个圆有两个公共点；

⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；

⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。

判断圆和圆的位置关系：

⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r；

⊙两圆外切⊙d=R+r；

⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）；

⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）；

⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）．

切线的性质与判定

（1）切线的性质

⊙圆的切线垂直于经过切点的半径；

⊙经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

⊙经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：⊙直线过圆心；⊙直线过切点；⊙直线与圆的切线垂直。（2）切线的判定

切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

注意：

⊙切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线；

⊙切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆

相切“这个结论直接得出来的；

⊙在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否

有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简

单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有

公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单

地说成“有交点，作半径，证垂直”。

切线长定理

（1）圆的切线长定义

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；

（2）切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

三角形外接圆与内切圆

（1）三角形的外接圆与外心

外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；

外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。

概念说明：

⊙“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点；

⊙锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部；

⊙找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。（2）三角形的内切圆与内心

内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆；

内心：三角形的内切圆的圆心是三角形三个内角角平分线的交点。

概念说明：

⊙任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形；

⊙三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角。

课堂精讲精练

【例题1】

到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）。A ．圆的外部B ．圆的内部

C ．圆

D ．圆的内部和圆

【答案】D

【解析】此题考查圆的认识以及点与圆的位置关系，

根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．

所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．

故选：D ．讲解用时：3分钟

解题思路：根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即

可解决。

教学建议：理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件。难度：3 适应场景：当堂例题

例题来源：盱眙县校级月考

年份：2016秋

【练习1】

已知Rt ⊙ABC 中，⊙C=90°，AC=3，BC=7，CD ⊙AB ，垂足为点D ，以点D 为圆心作⊙Ｄ，使得点A 在⊙Ｄ外，且点B 在⊙Ｄ内，设⊙Ｄ的半径为r ，那么r 的取值范围是。【答案】

4

94

7

r

【解析】本题考查的是点与圆的位置关系，⊙Rt ⊙ABC 中，⊙ACB=90，AC=3，BC=7，⊙AB=4)

7(3

2

2

，

⊙CD ⊙AB ，⊙CD=

4

73，