平行线拐点专题

第二讲平行线的拐点问题

（一）情景引入

1、设计情景：

2、知识点归纳：

我们把实际问题图形抽象成几何图形，来看看∠A、∠B、∠C之间有什么数量关系下面我们就来研究下。（二）新课教学：

师：观察以上几个图形，由题目所给的平行线我们能否利用所学的平行线的性质得角度的关系

师：如果不行，是什么原因

师：有两直线却没有截线，下面老师来给大家演示增添一条辅助线，使得平行线都有截线。

师：通过过拐点A作平行线，我们可以把原本的两直线平行转化为多组两直线平行，从而运用平行线的性质来找∠A、∠B、∠C之间的数量关系。

板书：

解析：以（1）为例：

过A点做AD∥EB ∴∠B=∠BAD

EB∥FC ，AD∥EB ∴AD∥FC

∴∠C=∠CAD

∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C

（2）∠A+∠B+∠C=180°

（3）∠A+∠B=∠C

（4）∠A+∠C=∠B

归纳总结：上述是常见的平行线拐点问题的基本模型，证明方法都是过拐点作平行线。

巩固练习：

答案：B

解析：过B点作BF∥CD，则可以得出两组同位角，其中∠ABC的一部分等于90°，另外一部分和∠BCD 互补。

答案：155°或115°

解析：画出图形，过P点作出平行线求解，注意P的不同位置，两种情况。

师：图中有没有我们刚刚讲过的平行线拐点基本图形

师：同学们习惯于看水平方向的平行线，对于非水平的平行线，可以转动书本变成熟悉的水平平行线来看。师：看懂图形后，谁知道该如何求解

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解析：过C点作CH∥AE ，易得∠C=∠1-∠2=

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归纳总结：过拐点作平行线解决拐点求值问题。

师：平行线的判定的有哪些根据题目所给条件我们应该用哪个判断来证明平行

师：题目中有没有点H没有我们就需要先画出图形。

师：H点到底在D点的左边还是右边我们需要分类讨论；

板书：

（1） BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠EDB

∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=180°∴AB∥CD

（2）分析：根据双角平分线可设参数x,y，然后用含x,y的代数式表示∠EBI和∠BHD

①当H点在D点右侧时：2∠EBI+∠BHD=180°

②当H点在D点左侧时：∠BHD=2∠EBI

归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。

巩固练习：

师：下面大家仿照前面所讲的例题自己来证明；

答案：

（1）①∠ABE+∠E=∠D；②∠D－∠E+∠BFD=∠ABE （2）①∠E=∠D+∠E；②∠E=∠D+∠ABE+∠BFD

归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。

（1）答案：540°

（2）成立

答案：C

答案：∠GHM=40°

师：第（1）问我们能够根据平行线的性质很快得证；

师：第（2）问已知角度很少，两条角平分线会有两组角相等，我们应该怎么办 师：根据图中的平行线，哪个点是拐点那么我们的辅助线是过哪个点作平行 师：设了未知数，作了辅助线，下面我们应该怎么办

板书及答案：

（1） CE ∥AB ∴∠B=∠ECD ，∠A=∠ACE ∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B ；

（2）设∠HAF=∠DAF=x ，则∠HAB=∠BAD+∠HAD=70°+2x

AH ∥BD ∴∠BAH+∠B=180° ∴∠B=180°-(70°+2x)=110°-2x CE ∥AB ∴∠HCD=∠B=110°-2x FC 平分∠ECD ，∴∠HCF=∠FCD=

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∠HCD=55°-x 过F 作平行线，易得：∠F=∠HAF+∠HCD=x+55°-x=55° （3）∠ACB=2∠MQN

归纳总结：利用参数思想，过拐点作平行线解决拐点证明问题。 探究题：

1、如图，AB ∥CD ，直线l 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，点M 在线段EF 上（点M 不与E ，F 重合），N 是直线CD 上的一个动点（点N 不与F 重合）。

（1）当点N 在射线FC 上运动（点F 除外）时，则∠FMN+∠FNM=∠AEF 成立吗说明理由。

（2）当点N 在射线FD 上运动（点F 除外），则∠FMN+∠FNM 和∠AEF 有什么关系，请画图证明。

l l

2、如图，AB ∥CD ，P 为定点，E ，F 分别是AB ，CD 上的动点。 （1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD ；

（2）若M 为CD 上一点，∠FMN=∠BEP ，且MN 交PF 于N ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你的结论。

（3）移动E ，F 使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP ，求

PFD

AEG

∠∠的值。

图1

图2

图3