第三章 一维定常流动的基本方程 气体动力学 教学课件

的流体质点。显然质点的空间位置不但与时间有关，而且还与该
质点起始时刻的空间位置有关。于是时刻任意流体质点的位置在
空间的坐标可表示为
x f1(a ,b, c,t)
y f2(a,b,c,t)
（3.1）
z f3(a,b,c,t)
式中(a,b,c)称为拉格朗日坐标，(a, b, c，t) 称为拉格朗日变 数。拉格朗日变数是各自独立的，质点的初始坐标(a,b,c)与t 无
有以上可知随流导数在拉格朗日法中是偏导数 ，在欧拉法 中是全导数。还可以看出流动参数的随流导数把该参数的瞬时 变化率与流场中该参数的导数联系起来。欧拉法描述中，特性 场是直接可以利用的，所以随流导数把拉格朗日法与欧拉法之 间建立了一种联系。由以上讨论可知，随流导数是对流体质点 的，它反映了流体质点物理量随时间的变化率，因此随流导数 本质上是拉格朗日观点下的概念。
量随时间的变化；以及找出任意相邻空间点之间这些物理量的变
化关系，即分析由空间某一点转到另一点时流动参数的变化。从
而得出整个流体的运动情况。可见，欧拉法不需要注意各个流体
质点的运动过程，而是研究运动流体所占空间各点的流体参数的
变化。研究一切描述流体运动的物理参数在空间的分布，即研究
各流动参数的场。如速度场、压强场、密度场等向量场和标量场。
对时间的偏V r导(a数,b,，c,t加)速rr度(a是,b,速c,度t)对时间的偏导数，即
r t
a r(a,b,c,t)V(a,b,c,t)
(3.6)
t
在欧拉法中，随流导数必须是跟随时刻位于空间点（ x, y, z ）
上的那个点的物理量随时间的变化率（该物理量是同一流体质 点而非同一空间点）。
若该物理量用 N(x, y,z,t) 表示，则的随流导数为
(a)固定控制体 (b)以船速运动的控制 (c)汽缸内的变形控制体 图3.1固定、运动和可变形的控制体
3.1.2描述流体运动的两种方法
目前，研究流体运动有两种不同的观点，因而形成两种不同 的方法：一种方法是从分析流体各个质点的运动着手，即跟踪 流体质点的方法来研究整个流体的运动，称之为拉格朗日法； 另一种方法则是从分析流体所占据的空间中各固定点处的流体 的运动着手，即设立观察站的方法来研究流体在整个空间里的 运动，称其为欧拉法。
式中
d dt
N(x,
y,
z,t)
d dt
N
x a, b, c, t ,
y
a, b, c, t ,
z
a,b,c,t
, t
= N x N y N z N x t y t z t t
=
N x
Vx
N y
Vy
N z
Vz
N t
（3.8）
=
N
r (Vg)N
t
d dttVxxVyyVzz
r i
r j
r k
x y z
式（3.8）表明，用欧拉法求质点物理量的随流导数由两项构成， 一项是表示在给定点上物理量N随时间的变化率 N ，称为局 部导数或当地导数，它是由r于流动的非定常性引起 的t ，对定常 流，该项等于零。第二项 (V)N 表示物理量N在空间分布不均 匀的情况下，流体质点运动时引起N的变化率，称为对流导数或 迁移导数。它表示在非均匀的流场中（有梯变 N ），由空间 位置变化引起的。该项反映了流场的非均匀性，对于均匀流场， 该项为零。
流体质点的速度。
同样，压强、温度和密度等物理量都可以表示成 x, y, z,t的函数。
3.1.3随流导数
一、随流导数 在流动过程中，流体质点的各物理量随时间的变化率称为相
应物理量的随流导数，也称为随体导数或质点导数。
物理量在随拉时格间朗的日导法数中，，这物时理（量a的,b,随c）流是导不数变是的跟。随如质速点度（是a,矢b,c径）rv的
关，仅影响运动坐标、速度和加速度。显然流体质点不管什么
时候运动到哪里，拉格朗日坐标并不改变。 当(a,b,c)一定时，上式代表某个流体质点的运动轨迹，代表时
刻流体质点所处的位置。因此任一流体质点的速度和加速度可表
示为
Vx
x t
f1(a ,b , c,t) t
Vy
ห้องสมุดไป่ตู้
y t
f2 (a ,b , c,t) t
（3.2）
Vz
zf3(a,b,c,t)
t
t
ax
Vx t
2
f1(a ,b , c,t) t2
ay
Vx t
2
f2 (a , b , c, t) t2
（3.3）
az
Vz t
2
f3 (a , b , c , t ) t2
2．欧拉（Euler)法
该方法着眼点是流场中的空间点或着眼于控制体。即研究运
动流体所占空间中某固定空间点流体的速度、压强和密度等物理
第三章 一维定常流动的基本方程
➢3.1 描述流体运动的两种方法及基本概念 ➢3.2 流体微团运动分析 ➢3.3 适合于系统的基本方程及雷诺输运定理 ➢3.4 连续方程 ➢3.5 动量方程 ➢3.6 动量矩方程 ➢3.7 能量方程 ➢3.8 柏努利方程
是随时间改变的，控制体的边界叫做控制面，它总是封闭的表 面。通过控制面，可以有流体流入或流出。在控制面上可以有 力的作用和能量的交换。控制体主要有三种类型，他们分别为 静止、运动和可变形，其中前两种控制体为固定形状，如图 3.1所示。本书仅考虑刚性的、没有运动的控制体。
在欧拉法中用流体质点的空间坐标 x, y, z 与时间变量 t 来 表达流体的运动规律，x, y, z,t 叫欧拉变数，欧拉变数不是各自独
立的，因为流体质点在场中的空间位置与时间 t 有关，不同的时
间 t ，流体质点有不同的空间坐标 x, y, z 。因此对于任一个流体
质点的位置变量 x 、 y 、 z 是时间 t 的函数，即
x x (t) y y (t)
(3.4)
z z(t)
设V x 、V y 和 V z 分别代表流体质点的速度在 x, y, z 轴上的分量，
则
Vx
dx dt
Vx x, y,z,t
Vy
dy dt
Vy x,
y, z,t
(3.5)
Vz
dz dt
Vz
x, y,z,t
上式表示在空间点 x, y, z 处 t 时刻的流体速度。这个速度是某 一流体质点的速度，即在 t 时刻运动到空间点 x, y, z 处的那个
1．拉格朗日(Lagrange)法
该方法着眼点是流体质点。即研究个别流体质点的速度、加 速度、压强和密度等参数随时间的变化，以及由某一流体质点 转向另一流体质点时这些参数的变化，然后再把全部流体质点 的运动情况综合起来，就得到整个流体的运动情况。此法实质 上就是质点动力学研究方法的延续。
通常利用初始时刻流体质点的坐标来标注不同流体质点的坐 标。设初始时刻流体质点的坐标是(a,b,c),不同的(a,b,c)代表不同