理论力学第一章习题答案

理论力学第一章习题答案

设开始计时的时刻速度为,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为. 则有:

由以上两式得

再由此式得

证明完毕.

{

{

S

S

t t 题1.1.1图

0v a ()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+-+=-=2

2121021102122

1t t a t t v s at t v s 1102

1

at t s v +=

()

()

2121122t t t t t t s a +-=

()

1第1.3题图

由题分析可知，点的坐标为

又由于在中，有

（正弦定理）所以

联立以上各式运用

由此可得

得

得

化简整理可得

此即为点的轨道方程. （2）要求点的速度，分别求导

y

题1.3.2图

C ⎩

⎨

⎧=+=ψψ

ϕsin cos cos a y a r x ∆AOB ϕ

ψsin 2sin a r =

r

y

r a 2sin 2sin ==

ψϕ1cos sin 22=+ϕϕr

y

a x r a x 2

2cos cos --=

-=ψϕ12422

222222=---++r

y

a x y a x r y 22222223y a x r a x y -=-++()()

2

222222234r a y x y a x -++=-C C ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x

又因为

对两边分别求导 故有

所以

①② 对①求导

③ 对③求导

④ 对②求导

⑤ 对⑤求导

⑥ 对于加速度，我们有如下关系见题1.7.1图

ϕ

ω =ψϕsin 2sin a r =ψ

ϕ

ωψ

cos 2cos a r = 22y x

V +=4cos sin cos 2cos sin 2222

ϕ

ωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=()ψϕψϕϕψ

ω

++=

sin cos sin 4cos cos 22r ⎩

⎨

⎧==θθ

sin cos r y r x θθθ sin cos r r x

-=θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r r

r x ---=θθθcos sin r r y

+=θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r r

r y -++=

a 题1.7.1图

⎩⎨

⎧+=-=θ

θθθθθcos sin sin cos a a y a a x

r r ⑦--⑧ 对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦，⑧ 即得

⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθθθθθsin cos sin sin cos sin cos cos 2

2a a y

a a x

r r ⑨--⑩ ⑨+⑩得

⑾ 把④⑥代入 ⑾得

同理可得

则点坐标

对两式分别求导

故

如图所示的椭圆的极坐标表示法为

θcos ⨯θsin ⨯θθsin cos y

x a r +=2θ

r r a r -=θθ

θ r r a 2+=

F

题1.8.1图

M ⎩

⎨

⎧==θθsin cos r y r x y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r y

r r x

()()

2

2

222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y x

v ++-=+=222ωr r

+=

对求导可得（利用）又因为 即

所以

故有

即

（其中为椭圆的半短轴）

令为位矢与轴正向的夹角，所以

所以

()

θ

cos 112

e e a r +-=r ωθ

= ()()

2

21cos 111e a e e a r -+-=θ

()

re

r

e a --=

21cos θ()()2

2222

222

2

1211cos 1sin e r e ar r e a --+--

=-=θθ()

2222

224222

sin 1ωθωr e a r e v +-=

(

)

2

224221e

a r e -=

ω()

()]

1211[2

22

2

2

22

e r e ar r e

a --+--

22ωr +()()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=22222222

21121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω()r a r b

r v -=

2ω

()b a e b ,1222-=j i v y x v v +=dt d v dt dv dt d v dt dv dt d y y x x j j i i v a +++==j i ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv []j i a ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y

y x v dt dv v dt dv ()j i y x v v +⋅