投资组合问题的动态规划方法

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1 模型
设有一笔资金M , 可在一个时期内投资于市场上的 n 种资产 (如股票、债券等)A 1, A 2, …, A n。除此之外, 资金也可以用于银行存款, 记为 A 0。投资方案的优劣, 有两个衡量指标:
(1) 净收益尽可能大; (2) 总风险尽可能小。 假定经过统计分析, 估算出购买 A i 的平均收益率为 ri, 并预测出购买 A i 的风险损失率为 qi。对银行存款A 0 来说, 利率为 r0 且无风险 (q0 = 0)。除银行存款之外, 购买每一种资产A i 都要 付交易费, 其规则如下: 一般的收费率为 p i, 但当购买量不足 u i 时, 交易费按购买 u i 计算。因此, 购买A i 的收益须扣除交易费之后才是净收益。关于风险的计算, 在M a rkow itz 的均值 2方差模 型中, 一种证券组合的风险是用其方差来表示的。在简化模型[ 2 ] 中, 总体风险以投资各个 A i 的最大风险来度量。我们将采取这种合理的度量。综上所述, 假定决策者已获得了如下的数据:
i= 0
Q=
m ax
1≤i≤n
qix
i
这里 R 和Q 就是两个目标函数。而主要约束条件是资金的限制:
n
∑[x i + ci (x i) ] = M
i= 0
处理多目标规划的实用方法较多, 如线性加权及将目标变为约束等。针对上述目标函数 R
和Q 的特点, 将Q 变为约束是方便的。因为欲使 Q ≤ t (其中 t 为变动参数) , 只要
A bs tra c t: M a rkow itz’s “m ean2va riance ”m odel lay s theo ret ic founda t ion on the po rtfo lio ana ly sis. M any sim p lified m odels have a risen recen t ly, one of w h ich is the m u lt ip le ob ject ive linea r p rog ramm ing. B u t th is k ind of linea r m ethod is no t su itab le to dea l w ith the non2linea r t ran sact ion co st s. T h is p ap er p resen t s a dynam ic p rog ramm ing m odel and recu rsive a lgo rithm s fo r the p rob lem. Ke y w o rds: po rtfo lio; dynam ic p rog ramm ing; recu rsive a lgo rithm
0 引言
投资组合分析在企业经济活动中有着重要的指导作用。M a rkow itz[1] 为近代证券投资组 合理论奠定了基础。其中的均值 2 方差模型实质上是一个以二次规划为主体的优化对策模型。 为了减少参数、简化计算, 不少文献 (如[ 224 ]) 提出了种种简化模型。当然最简单的就是线性 化模型: 二目标的线性规划 (见[ 2 ])。但是, 将一定数量的资金有选择地投入多种产业, 这自然 可以看作为一个多阶段决策过程, 即动态规划的传统课题。此外, 线性规划模型过于简化, 不便 于处理非线性的交易费。本文将以[ 2 ] 中的简化情形为例, 探讨用动态规划研究投资组合问题 的方法。
D k (s) 也是分段表示的:
{0},
s < p kuk
D k (s) =
0, m in s -
p kuk,
t qk
,
p kuk ≤ s < (1 + p k) uk
0, m in
1
s +
pk,
t qk
,
s ≥ (1 + p k) uk
在编程序时, 按照 s 的不同取值情形采取不同的表达式。
3 结束语
我们曾在计算机中对一些数值例子进行试算, 计算速度比较可观。这表明上述计算方案是 可行的。如下几个方面值得进一步研究:
(1) 线性化。如果资金M 充分大, 交易费 ci (x ) 可以不考虑起点金融 u i, 那末它就可以用线 性函数 p ix 来代替。这样一来, 决策集就只有一个表达式, 即
D k (s) =
收稿日期: 2000203216 作者简介: 林浩 (19742) , 男, 郑州大学在读硕士研究生。
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第 3 期 林浩: 投资组合问题的动态规划方法
m ax
1≤i≤n
qix
i
≤
t,
即
x
i
≤
t qi
(
i
=
1, 2, …, n)
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运 筹 与 管 理 2000 年第 9 卷
摘 要: 关于投资组合问题,M arkow itz 的均值2方差模型奠定了理论基础。近年来出现了许多简化 模型, 多目标线性规划模型是其中之一。但是这种线性化方法不便于处理非线性的交易费。本文建 立一种动态规划模型和递推算法。 关键词: 证券投资组合; 动态规划; 递推算法 中图分类号: F 830191∶O 221 文献标识码: A 文章编号: 100723221 (2000) 0320102205
c0 (x 0) = 0,
0,
xi = 0
ci (x i) = p iu i, 0 < x i ≤ u i (1 ≤ i ≤ n)
p ix i, x i ≥ u i
方案 x = (x 0, x 1, x 2, …, x n) 的总收益为
而总风险为
n
6 R =
[ rix i - ci (x i) ];
的最大值:
k
6 m ax [ rix i - ci (x i) ] i= 0
k
6 s. t.
[x i + ci (x i) ] ≤ s
i= 0
0
≤xi
≤
t (i
qi
=
0,
1, …,
k)
根据B ellm an 最优化原理, 最优值函数序列满足如下的递推方程:
f k (s) =
m ax
x ∈D k (s)
(3) 投资组合。在传统的投资组合理论中, 投资策略是用资金分配于各种资产的比例来表
A D ynam ic P rog ramm ing M e thod fo r the P o rtfo lio P rob lem
L IN H ao (D ep t. of M a them a tics, Z heng z hou U n iv ersity , Z heng z hou 450052, C h ina )
在上述模型中, 对 n + 1 种资产的资金分配可以看成 n + 1 阶段决策过程, 其中 x i 作为第 i 阶段的决策变量, 从第 0 阶段到第 i 阶段所分配的资金, 记为 si, 作为第 i 阶段的状态变量 (关 于多阶段决策过程的原理可参见[ 5, 6 ])。那末, n + 1 阶段所分配的总资金为 sn = M , 且状态转 移规则为:
这样一来, 我们得到如下的数学规划: m ax R =
n
∑[ rix i -
i= 0
ci (x i) ]
n
∑ s. t.
[x i + ci (x i) ] = M
(1)
i= 0
0
≤
xi
≤
t qi
(i
=
0, 1, …, n)
其中 t 为参变量。当交易费函数 ci (x i) 为线性函数时, 这是一个线性规划, 但现在 ci (x i) 是一个 分段线性函数 (在 x i = 0 处不连续) , 所以这是一个非线性规划问题。
投资项目 平均收益率 风险损失率 交易费收费率 交易费起算量
A0
A1
A2
r0
r1
r2
0
q1
q2
0
p1
p2
0
u1
u2
…
An
…
rn
…
qn
…
pn
…
un
问题是如何设计一个投资方案, 即将资金M 分配给各种投资项目, 使上述两项指标达到 最优。
首先引进一组变量来描述投资方案: 设 x i 表示购买资产A i 的资金量 (1 ≤ i ≤ n) , x 0 为银 行存款金额。则交易费可表为
ci (x ) ≤ si,
0
≤x
≤
t qi
}
(1
≤
i
≤ n).
在每一阶段决策时都要求 x i ∈D i (si)。这样一来, 静态模型 (111) 就转化为一个动态决策过程。
2 动态规划算法
根据前一节的分析, 总资金M 作为第 n 阶段的状态 (终止状态) , 我们可以采取已知终止状
态的顺推算法。设最优值函数 f k (s) = 直至第 k 阶段投资金额不超过 s 的最大收益, 即如下问题
sn = M ,
sn- 1 = sn -
x
3 n
-
cn
(x
3 n
)
,
……
x
3 n
=
x n (sn)
x
3 n-
1
=
x n- 1 (sn- 1)
……
s1 = s2 -
x
3 2
-
c2
(x
3 2
),
x
3 1
=
x 1 (s1)
s0 = s1 -
x
3 1
-
c1
(x
3 1
),
x
3 0
=
s0
注意在数值计算中, 必要时运用插值公式。此外, 由于函数 ck (x ) 是分段线性的, 所以决策集
si- 1 = si - x i - ci (x i)
(2)
当状态变量 si 给定时, 决策变量 x i 的取值范围称为第 i 阶段的决策集, 记为D i (si)。根据上述模
型。我们有
D 0 (s0) = {x ∈ R 1 0 ≤ x ≤ s0},
D i (si) =
{x ∈ R 1
x+
0, m in
1
s +
pk,
t qk
,
计算程序可略为简单一点。
(2) 多目标。在上述模型中, 我们把风险 Q 作为约束, 对变动的参数 t 限定Q ≤ t。因此, 最
优的净收益应为 t 的函数, 记为 R 3 ( t)。我们应对不同的风险水平 t, 反复调用上述动态规划算
法, 计算出函数 R 3 ( t) , 用曲线表示, 供决策者参考。
{百度文库
rk
x
-
ck (x ) + f k- 1 (s -
x-
ck (x ) ) }
f 0 (s) = r0s 事实上, 在前一递推式中, x ∈D k (s) 表示购买资产A k 的投资金额, 在此阶段可获得净收益 rkx - ck (x ) ; 按照状态转移规则 (112) , 剩余的资金 s - x - ck (x ) 可用于对A 0, …, A k- 1 的投资, 而 这些前期投资方式必须是最优的, 所以可获得净收益 f k- 1 (s - x - ck (x ) ) ; 对于全过程的收益 rkx - ck (x ) + f k- 1 (s - x - ck (x ) ) 来说, 第 k 阶段的决策 x ∈D k (s) 又必须是最优的, 这就是
为求解这一递推方程, 得到最优值函数序列{f k (s) }, 我们可以采取数值解法。首先, 将 s 的 取值区[ 0,M ] 离散化, 插入分点 0, ∃s, 2∃s, …, m ∃s = M (其中 ∃s 为一定的步长) )。其次, 从 f 0 (s) = r0s, x 0 (s) = s 出发, 利用递推方程, 计算出 f 1 (s) 在所有离散点上的值, 同时记下相应 的最优决策 x 1 (s)。进而计算 f 2 (s) 及 x 2 (s) , 如此类推, 直至计算出 f n (s) 及 x n (s) 为止。最后, 进 行“代回”过程, 得出最优解:
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第 3 期 林浩: 投资组合问题的动态规划方法
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式中m ax 的意义。后一式 f 0 (x ) = r0s, 称为初始条件, 表示除投资 n 种资产之外, 如果剩余资金 为 s, 则全部存入银行生息。
第 9 卷 第 3 期 2000 年 9 月
运 筹 与 管 理
O PERA T ION S R ESEA RCH AND M ANA GEM EN T SC IEN CE
V o l. 9, N o. 3 Sep. , 2000
投资组合问题的动态规划方法
林 浩
(郑州大学数学系, 河南 郑州 450052)