【全国百强校】河北衡水中学17-18高一《函数的最值(一)》学案(答案不全)

1.3.1 函数的最值（第一课时）学案

归纳新知：

1. 函数最大值的定义：

一般地，设函数()x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤

（2）存在I x ∈0，使得()M x f =0，那么我们就称M 是函数()x f y =的最大值，记作()0max x f y =

2. 思考并类比函数最大值的定义，给出函数最小值的定义.

题型一：二次函数在闭区间上的最值问题

例1 已知函数()51232

+-=x x x f ，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：

（1）R x ∈ （2）[]3,0 （3）[]1,1-

变式迁移1: 已知函数()222

+-=x x x f （1）求()x f 在⎥⎦

⎤⎢⎣⎡3,2

1上的最大值和最小值； （2）若()()mx x f x g -=在[]4,2上是单调函数，求m 的取值范围

例2 求函数()532-+=x x x f ，求[]1,+∈t t x 时函数的最小值 变式迁移2 已知二次函数()122

++=ax ax x f 在区间[]2,3-上的最大值为4，求a 的值. 例3 （1）已知函数322

+-=x x y 在区间[]m ，0上有最大值3，最小值2，求m 的取值范围.

（2）若x y x 92322=+，且2

2y x p +=有最大值，求p 的最大值. （3）试求函数()221-++=x x y 的最值

题型二：利用函数单调性求最值

例4 求下列各函数的值域

（1）12-+=x x y （2）292++-=

x x y ） 随堂练习：

1. 若[]1,4,2--∈-=x x

y ，则函数y 的最大值为_________ 2. 函数()()()0122<-++-=a a ax x x f 在区间[]1,0上有最大值2，则=a _____

3. 已知函数()[]1,0,42

∈++-=x a x x x f ，若()x f 有最小值2-，则()x f 的最大值为_____ 4. 若不等式022

≥+-ax x 在区间[]2,0上恒成立，则实数a 的取值范围是__________ 5. 函数1

2+=x y 的值域是_______ 问题与建议

本课时主要讲解二次函数在闭区间上的最值问题，讨论三种情况：开口方向、对称轴与给定的区间.

学生在解题时往往对分类讨论分不清楚，不能理解分类的原则和根据，建议讲解时注重分类的过程，学生的计算能力也比较低，注意计算方面的训练.

1.3.1 函数的最值（一）自助

1. 函数x x y 22

-=的定义域为{}3,2,1,0，则其值域为______________ 2. 若函数()a x x x f +-=

221的定义域与值域均为[]b ，1()1>b ，则b a ,的值为_________ 3. 函数962++-=x x y 在区间[]b a ,()3<

4. 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=122的最大值为______，最小值为_______

5. 已知函数()122-+-=a x ax x f ，其中0≥a ，R a ∈

（1）若1=a ，作函数()x f 的图像；

（2）设()x f 在区间[]2,1上的最小值为()a g ，求()a g 的表达式

6. 已知函数()R x a ax x x f ∈++-=,6242

（1）求函数的值域为[)∞+，

0时a 的值； （2）若函数的值域均为非负值，求函数()32+-=a a a f 的值域

7. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为m 30，问：每间笼舍的宽度x 取多少时，才能使每间笼舍面积y 达到最大？每间笼舍最大面积为多少？

自助答案