西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案2

试 题 二
一、填空（每小题 4 分，共 32 分） 1．若矩阵 A 相似于矩阵 diag { 1,−1,2} ，则 A
（考试时间：120 分钟）
−1 3
=
T
。
2．设 A = ( aij ) 3×3 是实正交矩阵且 a11 = 1 ， b = (1,0,0) ，则方程组 A X =b 的解为 3．设 n 阶方阵 A 满足 A − 3 A + 4 E = 0 ，则 ( A + 4 E ) =
T
由
⎡1 ⎢4 ( AB) = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣2
2 0 3 ⎤ ⎡1 2 0 3 ⎤ ⎥ ⎢ 7 1 10⎥ ⎢0 − 1 1 −2 ⎥ ⎥ → 1 − 1 b ⎥ ⎢0 0 a − 1 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 3 a 4 ⎦ ⎣0 0 0 b − 2⎦
(1) 当 b ≠ 2 时，方程组无解，故 β 不能由 α1 , α 2 , α 3 线形表出。 (2) 当 b=2 时且 a ≠ 1 时方程组有唯一解，且 β = − α1 + 2α 2 ， 当 b=2 时且 a = 1 时方程组有无穷解，由 ⎨ 得 β = (−1 − 2k )α1 + (2 + k )α 2 + kα 3 。 六 解：(1) 由 λ1 = λ2 = 6 是 A 的 2 重特征值，所以 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 有 2 个，由题设可得的一个极大无关组是 α1 ,α 2 , 故 α1 ,α 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的 特征向量。由Ｒ(A)=2 可得|A|=0.所以 λ3 = 0 。 设 λ3 = 0 所对应的特征向量为 α = ( x1 , x2 , x3 ) ,则 α1 α = 0, α 2 α = 0 ，即
(2) ( β1 , β 2 , β 3 ) =( α1 , α 2 , α 3 )B= (ε1 , ε 2 , ε 3 ) A B
2 ⎞ ⎟ − 2⎟ 。 4 ⎟ ⎠ 1⎞ ⎟ 1⎟ . 1⎟ ⎠
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ − 1 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) ⎜ 0 1 1⎟ ⎜ 1 0 0 ⎟ = (ε1 , ε 2 , ε 3 ) ⎜ 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝
（3） 已知向量 ξ 在基 β1 , β 2 , β 3 的坐标为 (1,2,3) ，求 ξ 在基 α 1 , α 3 , α 3 的坐标。
T
八、设 A
= E − uu T ， E 为 n 阶单位阵， u 为 n 维非零向量， u T 为 u 的转置，
2
证明: （1） A
= A 的充要条件是 u T u = 1 ；
α 1 = (1,1,0 )T ，
α 2 = (2,1,1)T ， α 3 = (− 1,2,−3)T 都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。
（1）求 A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵 A。 七、 （12 分）已知 R 中两组基 ε 1 = (1,0,0)
3
T
ε 2 = (0,1,0) T ， ε 3 = (0,0,1)T ；及 α 1 = (1,0,0)T ，
T
η = (1,0,1,0)T 。
所以方程组的通解为 x = kη + η0 。
⎛ 2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 四 解：(1) f = x Ax = ( x1 , x2 , x3 )⎜ 0 3 2 ⎟⎜ x2 ⎟ . ⎜ 0 2 3 ⎟⎜ x ⎟ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝
T
λ−2
(2) 由 λE − A =
讨论 λ 为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。 四、 （10 分）已知二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x1 + 3 x 2 + 3 x3 + 4 x 2 x3
2 2 2
（1）把二次型 f 写成 f ( x1，x2，x3 ) = x Ax 的形式；
T
（2）求矩阵 A 的特征值和特征向量； （3）求正交阵 Q，使 f 通过正交变换 X = QY 化为标准形。 五、 （10 分） 已知向量组 α 1 = (1,4,0,2) ， α 2 = (2,7,1,3) ， β = (3,10, b,4) ， α 3 = (0,1,−1, a) ，
T
（2）当 u u = 1 时，A 是不可逆的。
试题二参考答案
一、填空 1、 – 1/8 2 、(1,0,0) 8、 ⎜ ⎜
T
3、 –( A-7E)/31 4、0 5、 −
2 < t < 2 6、192 7、4
⎛ 1 0⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 2k 1 ⎠
− a1 0 L 0 n 0 − a2 L 0 n =(-1) (n+1) ∏ ai . 二 解： 提示， 第 i 列加至第 i+1 列， i=1,…,n,则 D= M M M M i =1 1 2 L n +1
⎡ 0 1 ⎢ (3) 将 α1 ,α 2 ,α 3 正交化后得正交阵 Q= ⎢ 1 2 0 ⎢ −1 2 0 ⎣
2 2 。 f = y12 + 2 y2 + 5 y3
0 ⎤ ⎥ ，相应的正交变换为 X=QY,使得 2⎥ 1 ⎥ 2⎦
1
五 解：令 A=( α1 , α 2 , α 3 ),X= ( x1 , x2 , x3 ) ,B= β ,既讨论方程组 AX=B 是否有解。
0
0 − 2 = 0 ，得 λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 5 。
0 0
λ −3
−2
λ −3
T
当 λ1 = 1 时，得对应的特征向量 α1 = (0 1 − 1) ； 当 λ2 = 2 时，得对应的特征向量 α 2 = (1 0
0)T ；
T
当 λ3 = 5 时，得对应的特征向量 α 3 = (0 1 1) ；
所以 ξ 在 α1 , α 2 , α 3 下的坐标为(-2,1,3) 。
T
八 证明：当 ξ 是 n 维列向量时， ξ
2
T
ξ T 是 n 阶方阵， ξ T ξ 是数。
T T T
(1) 因为 A = ( I − ξξ )( I − ξξ ) = I − 2ξξ + ξξ = I − 2ξξ + (ξ
T
所以 β1 =(0,1,0) ,
T
⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 0 1⎟ 。 ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
β 2 =(1,0,0)T , β 3 =(0,1,1)T。
⎛1⎞ ⎛ − 1 1 − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ − 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ (3) ξ = ( β1 , β 2 , β 3 ) ⎜ 2 ⎟ = ( α1 ,α 2 ,α 3 ) ⎜ 1 0 0 ⎟ ⎜ 2 ⎟ =( α1 ,α 2 ,α 3 ) ⎜ 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠
a1 −a2 0 M 0 1
0 a2 − a3 M 0 1
L 0 L 0 L 0 O M L −an L 1
0 0 0 M an 1
⎧ x1 + 2 x 2 − x3 + 4 x 4 = 2 ⎪ 三、 （10 分）设线性方程组 ⎨ x1 + 3 x 2 − x3 + 4 x 4 = 3 ⎪ x + 2 x − x + λx = 3 2 3 4 ⎩ 1
⎡1 2 − 1 4 2⎤ ⎡1 0 − 1 4 0⎤ ⎥ ⎢ ⎢ 三 解：增广矩阵 B= 1 3 − 1 4 3 → 0 1 0 0 1⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎦ ⎣1 2 − 1 λ 3⎦ ⎣0 0 0 λ − 4 1⎥
(1) 当 λ =4 时，R(B)=3,R(A)=2,所以无解。 (2) 当 λ ≠ 4 时，R(B)=R(A)=3<4,方程组有无穷解。 令 x3 = 0 , 得一特解η0 = (− λ 4 ,1,0, λ 1 ) ；易得方程组的基础解系 −4 −4
T
(2) 用反证法： ξ
ξ =1 时，由(1)知 A2=A。如果 A 可逆，则有 A−1 A2 = A−1 A ，从而有 A=I，
这与已知矛盾。从而 A 不可逆。
T T
Baidu Nhomakorabea
T
T
试讨论（1）a,b 取何值时， β 不能由 α 1 , α 3 , α 3 线性表出； （2）a,b 取何值时， β 可以由 α 1 , α 3 , α 3 线性表出。此时写出具体的表达式。 六、 （10 分） 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2，λ1 = λ 2 = 6 是 A 的二重特征值，
T
⎧ x1 = −1 − 2 x3 ， x3 ∈ R = 2 + x x 2 3 ⎩
T
T
⎧ x1 + x2 = 0 T 得基础解系 α =(-1,1,1) ,所以属于 λ3 = 0 的特征向量为 c α . ⎨ 2 + + = 0 x x x ⎩ 1 2 3
(2) 令 P = (α1 ,α 2 , α 3 ) ，则 P
。 。 。
2
2
2
t 满足
6．已知三阶方阵 A 的特征值为 2，3，4，则 2 A =
7．已知五阶实对称方阵 A 的特征值为 0，1，2，3，4，则 R(A)= 8．设 A = ⎜ ⎜
⎛1 0⎞ k ⎟ ⎟则 A = 2 1 ⎝ ⎠
。 （k 为正整数） 。
−a1 0 0 二、 （10 分）计算行列式： D = M 0 1
2
ξξ T = I − 2ξξ T + ξ (ξ T ξ )ξ T
T
ξ )ξξ T 。
T T
从而 由 A =A 可写为： I − 2ξξ + (ξ (ξ 因为
T
ξ )ξξ T = I − ξξ T ，化简得：
ξ − 1 ) ξξ T =0.
ξ 是非零向量所以 ξξ T ≠ 0 ,故 A2=A 当且仅当 ξ T ξ =1。
2
−1
。
⎛ 4 0 2⎞ ⎜ ⎟ 4．设 A 为 4×3 阶矩阵，且 R(A)=2，又 B = ⎜ 0 2 0 ⎟ ，则 R(AB)- R(A)= ⎜ 1 0 3⎟ ⎝ ⎠
5．若二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3 是正定的，则
α 2 = (1,1,0)T ， α 3 = (1,1,1)T 。
（1） 求由基 ε 1 , ε 2 , ε 3 到基 α 1 , α 3 , α 3 的过渡矩阵 A；
⎛ − 1 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ （2） 设由基 α 1 , α 3 , α 3 到基 β1 , β 2 , β 3 的过渡矩阵为 B = ⎜ 1 0 0 ⎟ ，求 β1 , β 2 , β 3 ； ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝
−1
⎛6 ⎜ AP = ⎜ ⎜ ⎝
6
⎞ ⎟ ⎟ ，所以 0⎟ ⎠
⎛6 ⎞ ⎛4 2 ⎜ ⎟ −1 ⎜ 6 A = P⎜ ⎟P = ⎜ 2 4 ⎜ ⎜2 − 2 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛1 1 ⎜ 七 解： (1) ( α1 , α 2 , α 3 )= (ε1 , ε 2 , ε 3 ) A= (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) ⎜ 0 1 ⎜0 0 ⎝