复旦大学量子力学考题3

(3.22)
将（3.21） 、 （3.22）二式代入（3.20）式，有
⎧ ⎞ * dψ ( x) ⎪⎛ = 2 d 2 + En ⎟ F = ∫ ⎨⎜ ψ n ( x) n 2 −∞ dx ⎪ ⎠ ⎩⎝ 2m dx
∞
+
∞
⎫ ⎞ dψ *n ( x) ⎛ = 2 d 2 ⎪ + En ⎟ψ n ( x) ⎬ dx ⎜ 2 dx ⎝ 2m dx ⎪ ⎠ ⎭
(3.19)
（3.20）
由于
x →∞ ψ n ( x) ⎯⎯⎯ → 0 ，故
V ( x) ψ n ( x)
2 ∞ −∞
=0
(3.21)
=2 d 2 又由定态薛定谔方程 ( − + V ( x))ψ n ( x) = Enψ n ( x) ， 有 2m dx 2
V ( x)ψ n ( x) = (
=2 d 2 + En )ψ n ( x) 2m dx 2
所以
n
ˆ n −1 ˆ + nβ α
(3.4)
ˆ nα ˆ n −1 ˆ ˆ n −β ˆ = nβ αβ
证毕
(3.5)
2. 证明
p × l + l × p = 2i=p
2 i= ( p × l − l × p ) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦
ˆ, B ˆ 和B ˆ, B ˆ ˆ − BA ˆ ˆ ⎤ 叫对易式，对任意算符 A ˆ ⎤ = AB ˆ ˆ ，如果说 A ˆ ，有 ⎡ A 解题思路：式中 ⎡ A
因此
2 i= ( p × l − l × p ) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦
(3.10)
(3.11)
证毕
3. 粒子在一维空间中运动处于势场
V ( x) = A x , −∞ < x < ∞
中，使用测不准关系估算体系基态能。
n
解题思路：该题同样是应用不确定关系 ∆x ⋅ ∆p ≥ E。当然，其中的能量还包括势能。 解：经典力学中，体系能量为
复旦大学量子力学 典型考题分析 3
ˆ 满足条件 αβ ˆ ˆ =1（假定 α ˆ 为线性） ˆ ˆ − βα ˆ ，β ˆ ，β 1. 如果算符 α ，求证： ˆ ˆ 2α ˆ ˆ 2 −β ˆ = 2β αβ ˆ 3α ˆ2 ˆ ˆ 3 −β ˆ = 3β αβ ˆ nα ˆ n −1 ˆ ˆ n −β ˆ = nβ αβ
J G
G
(3.28) (3.29)
h =2 Ze 2 于是 P～ ,E～ 2 − Ze µ R r
由极值条件
dE =2 =0 得 r= 2 Ze µ dr Z 2e4 µ 2= 2
2 2
(3.30)
即
E=−
(3.31)
2
（2）由题给， L 和 LZ 在某态下的测量值为 6= 和 = ，可知 l =2，m=1。此状态为 L 和 LZ 的共同本征态 2,1 > 。 方法 1 设
得到 4 C1 = 1 ，取 C1 =
2
2
2
2
2
2
(3.39) (3.40)
1 2
所以 LX 的可能值： 2=, =, 0, −=, −2= 对应的几率：
1 1 1 1 , , 0, , 4 4 4 4
同理 Ly 的可能值为 ±2=, ± = 。
2
dE 2 （2）方法 1 是在 L ， LX 表象中利用升降算符 L′ ± ， = 0 从而解得能量 E 。 dr
2 2 2
把 L 和 LZ 的共同本征态 2,1 > z 按 L 、 LX 表象中 L 和 LX 的共同本征态展开， 得到对应 L
ˆ 的可能值， L ˆ 的可能值同理可得到。方法 2 和 LX 的共同本征态的各个系数，进而得到 L X Y
证明：方法一 粒子在势场 V ( x) 中所受的力为
ˆ ( x) = − dV ( x) F dx
在束缚定态ψ n ( x) 中，粒子受势场作用力的平均值为
∞ ˆ ( x)ψ ( x)dx = ∞ − dV ( x)ψ *n ( x)ψ ( x)dx F = ∫ ψ *n ( x ) F n n ∫−∞ dx −∞ ∞ d ⎡V ( x)ψ *n ( x)ψ n ( x) ⎤ = −∫ ⎦ dx −∞ dx ⎣ ∞ ⎧⎡ ⎫ dψ ( x) ⎤ dψ *n ( x) + ∫ ⎨ ⎢ψ *n ( x)V ( x) n ⎥ + V ( x)ψ n ( x) ⎬ dx −∞ dx ⎦ dx ⎩⎣ ⎭
(3.26)
{
}
得证
5. 计算 （1）忽略其他电子对核场的屏蔽作用，试用不确定关系估计在原子序数为 Z 的原子的 K 壳层上一个电子的能量。 （2）假设体系处于某一个状态中，在该态下测量力学量 L 和 LZ 分别得到值 6= 和 = ，
2
2
ˆ 和L ˆ 的可能值。 求： L X Y
解题思路： （1）主要应用不确定关系得出 p 与 r 的关系，进而得到能量 E 与 r 的关系，再应 用极值条件
对 E 取极小值以选取 ∆x ：
（3.13）
dE =0 ， d (∆x)
即 有
(3.14)
−
=2 + nA(∆x) n −1 = 0 3 4m(∆x)
(3.15)
(∆x)
故基态能量
n+2
=2 = 4mnA
⎡ =2 =2 n + 2 n+2 ⎤ A ( x ) + ∆ = ⎢ 8m ⎥ 8mn (∆x) 2 ⎣ ⎦
1 ˆ⎤ ˆ = − d V ( x) = 1 [ p ˆ x , V ( x)] = ⎡ p ˆx, H F ⎦ i= i= ⎣ dx ˆ 的期望值为 于是在体系束缚定态ψ n ( x) 中，此力 F F= 1 1 ∞ ˆ ⎤ψ ( x)dx ˆ x , V ( x ) ] = ∫ ψ n* ( x ) ⎡ p ˆx, H [p ⎣ ⎦ n −∞ i= i= 1 ∞ * * ˆ ψ ( x)dx − ∞ ( H ˆxH ˆ xψ n ( x)dx = ψ n ( x) p n ∫−∞ ˆψ n ( x)) p ∫ i= −∞ =0
利用基本对易式 (3.6)
⎡ ⎣lα , pβ ⎤ ⎦=⎡ ⎣ pα , lβ ⎤ ⎦ = i=ε αβγ pγ
即得
(3.7)
( p × l + l × p) x = 2i=px
因此
(3.8)
p × l + l × p = 2i=p
其次，由于 px 和 l x 对易，所以
2 ⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ ⎣l , px ⎤ ⎦ = ⎣l y , p x ⎦ + ⎣ l z , p x ⎦
ˆ ˆ ⎤ = −i= dG ⎡p ˆx,G ⎣ ⎦ dx
(3.24)
ˆ 是由坐标算符 x 及动量算符 p ˆ x 为动量算符的 x 分量， G ˆ x 构成的标量算符，并 式中: p
ˆ为 注意到体系的哈密顿算符 H
ˆ 2x ˆ = p H + V ( x) 2m
(3.25)
ˆ为 得到粒子所受势场作用的力算符 F
= En ∫
= 2 ∞ d dψ * dψ n d * (ψ ψ n )dx + ( )dx −∞ dx 2m ∫−∞ dx dx dx
= En ψ n
2 ∞ −∞
+
= 2 dψ * dψ n ( ) 2m dx dx
∞ −∞
=0
(3.23)
即粒子受势场作用力的平均值等于零，得证。 方法二 利用算符对易关系式
∫
∞
−∞
ˆ ( x)ψ ( x)dx 来算 ψ *n ( x ) F n
ˆ 写成 p ˆ 的对易形式 ˆx 和 H 其平均值，并巧妙的使用薛定谔方程而证得。而方法二是把 F 1 ˆ ⎤ ，进而证得命题。 ˆ = − d V ( x) = 1 [ p ˆx, H ˆ x , V ( x) ] = ⎡ p F ⎦ i= i= ⎣ dx
= dE 和极值条件 = 0 来求得基态能量 2 d (∆x)
E=
p2 n +Ax 2m
（3.12）
在体系基态下，x=0 和 p=0，因而 E基 = 0 。现在应用不确定关系 ∆x ⋅ ∆p ≥ 量作修正。
= 对体系基态能 2
( ∆p ) 2 =2 n E～ + A(∆x) ≈ + A(∆x) n −1 = 0 3 2m 8 m ( ∆x )
用 Lz 作用于（3.32）式两边，
(3.34)
2i 2,1 > Z = 2C1 2, 2 > X + ( 6C0 − 2C2 ) 2,1 > X + ( 6C−1 − 6C1 ) 2, 0 > X
+ (2C−2 − 6C0wenku.baidu.com) 2, −1 > X − 2C−1 2, −2 > X
将（3.32）式两边乘以 2i 与（3.35）式比较，可得： (3.35)
(3.16)
E基 ≅
1 ( ∆x ) 2
=
即
2 n + 2 =2 = 2 − n+ ( )( ) 2 2 4mn 4mnA
(3.17)
n n + 2 = 2 A2 n n + E基 ≈ ( ) 2 2 4mn
，n ≠ 2
(3.18)
例如：
n=2 ， E基 =
1 =2 A 1 2 ( ) 2 m
n=1 ， E基 =
(3.9)
=⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ ly + ly ⎡ ⎣l y , p x ⎤ ⎦ + [l z , px ] lz + [lz , px ] l z = i= ( p y l z + l z p y − p z l y − l y p z ) = i= ( p × l − l × p ) x
2,1 > = C2 2, 2 > X + C1 2,1 > X + C0 2, 0 > X + C−1 2, −1 > X
在 L ， LX 表象中引入上升，下降算符 L′ ± ，将 Lz 用 L′ ± 表示，
2
(3.32)
Lz =
利用公式
1 ′ − L− ′) ( L+ 2i
(3.33)
L±′ 2m > x = = 6 − m(m ± 1) 2, m ± 1 > x
2iC2 = 2C1 , 2iC1 = 6C0 − 2C2 , 2iC0 = 6C−1 − 6C1 , 2iC−1 = 2C−2 − 6C0 , 2iC−2 = −2C−1
解出
(3.36) (3.37) (3.38)
C0 = 0, C1 = iC2 = C−1 = −iC−2
利用归一化条件。
C0 + C2 + C1 + C−1 + C−2 = 1
3 = 2 A2 1 3 = 2 A2 1 3 ( ) ≈ 0.94( ) 25 3 m m = 2 A2 1 3 ) ） m
（精确解， E基 ≈ 0.89(
2mA2 n=-1 ， E基 = − ，与精确解一致 =2
n=1/2 ， E基 = 解毕
5 = 2 A4 1 5 ( ) 4 m
4. 粒子在势场 V ( x) 中运动处于束缚定态ψ n ( x) 中，试证明：粒子所受势场作用力的期望值 等于零。 解题思路：在算作用力的期望值时，方法一直接应用公式 F =
解出其本征值方程， 获得各个本征态， 再把 2,1 > 是先求得 Lx 在 L 、Lz 对角表象中的矩阵，
2
ˆ 照此也可获得。 往各个本征态投影，得到其几率，几率不为零的既为其可能取的值。 L Y
解
（1） E =
P 2 Ze 2 − ， 由不确定关系 ∆p∆r ～h r 2µ
(3.27)
因为 p =0 r =0，所以 ∆p =p, ∆r =r
所以有
(3.1)
ˆ ˆ 2α ˆ ˆ 2 −β ˆ = 2β αβ
（2）如果
(3.2)
ˆ n −1α ˆ n−2 ˆ ˆ n −1 − β ˆ = nβ αβ
成立，利用数学归纳法可以证明第三式，实际上
(3.3)
ˆ = (β ˆ ˆ n −1 α ˆ n−2 )β ˆ ˆ n = αβ ˆ ˆ n −1 β ˆ + (n − 1) β αβ ˆ n −1 (αβ ˆ n −1 ˆ ˆ ) +(n − 1) β =β ˆ ˆ + 1) +(n − 1) β ˆ n −1 ( βα ˆ n −1 =β ˆ =β
ˆ ˆ =1 ，而证得，且在 ˆ ˆ − βα 解题思路：在解此题中，把算符很好地组合，并应用所给条件 αβ
（2）中使用了数学归纳法。 证明： （1）因为有
ˆ ) = (α ˆ) β ˆ =β ˆ ( βα ˆ ˆ β ˆ = ( βα ˆ ˆ +1) β ˆ ˆ + 1) + β ˆ =β ˆ 2α ˆβ ˆ ˆ2 = α ˆ (β ˆ +2β αβ
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ, B ˆ ⎤ = 0 。对于有三个分量 x，y，z 的算符，在证明中往往只证明 ˆ 对易，就是说， ⎡ A 和B
⎣ ⎦
其中的任一个分量，其余分量类推。 证：
( p × l + l × p ) x = p y l z − pz l y + l y pz − lz p y
=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , p z ⎤ ⎦