全同态加密算法研究与实现

全同态加密算法研究与实现素质拓展报告

FHE 的应用价值早就被众人所熟知，但是直到目前为止，还没有真正实用的FHE 方案。2009 年，Gentry 首次创造性地提出基于理想格的第一个 FHE 方案之后，FHE 的研究再一次成为了众多密码学家和公司关注的焦点。因此，FHE方案的构造是当前密码学领域的主要研究的问题之一。

在以前的基于“译码难题（其中包括格上难题）”陷门的非对称同态密码方案的构造过程中，密码学家所考虑的是如何将有限的双同态的“限”做大，使得它能够接近无限的双同态。其具体做法是将密文空间的“模”尽可能的做大而能够容纳大尺寸的误差。但是，这样做的代价是密文空间的尺寸将大得难以承受。

2009 年 Gentry 创造性的提出了一个新的 FHE 方案的构造方法 [2] 。由于明文比特之间的“异或”运算和“与”运算构成了操作完备集，Gentry 基于一个对“异或”操作（或者是 mod 2 加法运算）和“与”操作（或者是 mod 2 乘法运算）同态加密

方案来实现 FHE 方案的构造，其主要构造思想是：

构造一个支持有限次“异或”操作（或者是 mod 2 加法运算）和“与”操作（或者是 mod 2 乘法运算）同态的加密方案。在构造一般的同态加密方案时，为了保证安全性，Gentry 引入了噪声。但是随着同态操作的进行，噪声的值将迅速增长，当噪声的尺寸过大时，解密会出错。

为了降低噪声的尺寸，Gentry 考虑到可以对解密运算进行“密文端的同态运算”——重加密（recrypt），从而实现压缩噪声的尺寸进而继续进行加法同态和乘法同态运算。为此，Gentry 引入了重加密和自举的概念。Gentry 的构造方法完成了一个不可思议的功能：解密算法不但能够表示成简单的布尔运算，而且该运算竟然能够进行“密文端的同态运算”；通过递归式自嵌入的方式，一般地同态加密方案可以转化为 FHE 方案。

重加密技术是通过实施“密文端的同态运算”来实现的。假设消息 m 在公钥1pk 作用下的密文为1c ，符号 D 表示解密电路。如果使用加密公钥2pk 加密1sk 后的解密密钥为1sk ←Encrypt(2pk 1sk),通常情况下，对于一个加密方案实施二次加密的过程是：首先对外层加密进行解密，而后才能对内层加密进行解密。但是， Recrypt 算法的奇妙之处正在于它能够突破这种常规，具有直接对”内层加密”实施解密的能力。当然，在这个过程中，必须保证密文的噪声不会增大或者增长不能太大。