中考一元二次方程的解法归纳总结

中考复习10 一元二次方程的解法

知识考点：

理解一元二次方程的概念及根的意义，掌握一元二次方程的基本解法，重点是配方法和公式法，并能根据方程特点，熟练地解一元二次方程。

精典例题：

【例1】分别用公式法和配方法解方程：2322=-x x

分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。

用公式法解：

解：化方程为标准形式得：02322=--x x

∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2 ∴a ac b b x 242-±-=＝2

2)2(24)3()3(2⨯-⨯⨯--±--＝453± ∴1x ＝2，2x ＝2

1-

。 用配方法解： 解：化二次项系数为1得：12

32=-x x 两边同时加上一次项系数一半的平方得：22221231212323⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+-x x 配方得：16

25)43(2=

-x 开方得：4

543±=-x 移项得：4

543±=x ∴1x ＝2，2x ＝21-。 【例2】选择适当的方法解下列方程：

（1）28)32(72=-x ； （2）039922

=--y y （3）x x 52122

=+； （4）02)12(3)12(2=++++x x

分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

解：（1）∵28)32(72=-x

∴4)32(2=-x

232±=-x

232±=x

∴1x ＝

25，2x ＝21。 （2）∵039922=--y y

∴39922

=-y y 1399122+=+-y y

400)1(2

=-y

201±=-y

201±=y

∴1y ＝21，2y ＝－19。

（3）∵x x 52122=+ ∴015222=+-x x

∵a ＝2，b ＝52-，c ＝1 ∴a ac b b x 242-±-=＝22124)52()52(2⨯⨯⨯--±--＝43252± ∴1x ＝235+，2x ＝2

35-。 （4）∵02)12(3)12(2=++++x x

∴0]2)12[(]1)12[(=++⋅++x x

即0)32)(22(=++x x

022=+x 或032=+x

∴1x ＝－1，2x ＝23-

。 【例3】已知06)()(22222=-+-+b a b a ，求22b a +的值。

分析：已知等式可以看作是以22b a +为未知数的一元二次方程，并注意22b a +的值应为非负数。

解：把22b a +看作一个整体，分解因式得：0]2)[(]3)[(2222=++⋅-+b a b a

∴03)(22=-+b a 或02)(22=++b a

∴22b a +＝3或22b a +＝－2

但是22b a +＝－2不符合题意，应舍去。

∴22b a +＝3

探索与创新：

【问题一】解关于x 的方程：02)1(2=+--a ax x a

分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a ＝1时，是一元一次方程；当a ≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

解：（1）当a ＝1时，原方程可化为：02=+-a ax ，是一元一次方程，此时方程的根为2

1=x ； （2）当a ≠1时，原方程是一元二次方程。 ∵判别式△＝)1(4)2(2---a a a ＝a 4

∴①当a ＜0时，原方程没有实数根；

②当a ＝0时，原方程有两个相等的实数根1x ＝2x ＝0；

③当a ＞0且a ≠1时，原方程有两个不相等的实数根21，x ＝1

-±a a a ； 【问题二】在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。

略解：设计方案各取所好，若按左图设计，则有：

30502

1)230)(250(⨯⨯=--x x 解得：1x ＝6.05，2x ＝56.95（舍去）

同学们可放开思路，大胆设计。

跟踪训练：

一、填空题：

1、方程x x 52=的根是 ；方程2)1(=+x x 的解是 。

2、设0)2)(1(=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x ＞2x ，则212x x -＝ 。

3、已知关于x 的方程04422=++k kx x 的一个根是－2，那么k ＝ 。

4、++x x 3

42 ＝2________)(+x 二、选择题： 1、用直接开平方法解方程8)3(2=-x ，得方程的根为（ ）

A 、323+=x

B 、223-=x

C 、2231+=x ，2232-=x

D 、3231+=x ，3232-=x

2、在实数范围内把222+

-+x x 分解因式得（ ） A 、2)1)(2(+

-+x x B 、2)1)(2(++-x x C 、)21)(2(-++

x x D 、)21)(2(+--x x 3、方程0232=+-x x 的实数根有（ ）个

A 、4

B 、3

C 、2

D 、1

4、若关于x 的方程5)12()15(2

22-+=-x k x k 有无穷多个解，则（ ）

A 、k ≠－3且k ≠5

B 、k ＝3或k ＝5

C 、k ＝5

D 、k 为任意实数

5、如果α是方程032=+-m x x 的一个根，α-是方程032=-+m x x 的一个根，那么α的值等于（ ）

A 、1或2

B 、0或－3

C 、－1或－2

D 、0或3 问题二图