线性习题答案(1)线性代数答案 北京邮电大学出版社 戴斌祥主编

线性代数习题及答案

习题一 （A 类）

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n (n 1)…3〃2〃1)= 0+1+2 +…+(n 1)=

(1)

2

n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1).

2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意. 所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。 解：D 4=1234()

11223344(1)

j j j j j j j j a a a a τ- 由题意有：232,

4.j j ==

故1234141243

243241j j j j j j ⎧==⎨

⎩

D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-

即为：1122344313223441a a a a a a a a -+

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；

解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a =

因为(431265)6τ=，(431265)6(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。 （2）324314516625a a a a a a

解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

0200001030000004； (2)12

30

0020

3045

00

1

. （3）0

100

0200

001000

n n

-

【解】(1) D =(1)

τ(2314)

4!=24; (2) D =12.

（3）由题意知：12231,,112

10

n n

n ij a a a n a n a -=⎧⎪=⎪⎪⎪

⎨=-⎪⎪=⎪=⎪⎩ 其余

所以

12()112233(2341)1223341,11

1(1)(1)(1)

123(1)(231)1

(1)!

n j j j n j j j njn

n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅

6. 计算下列各行列式.

(1)

21

41

3121

1232

5062

-----； (2) ab

ac ae bd cd de bf

cf ef

-------；

(3)100110011001a b c d ---； (4)

1234234134124

123

. 【解】(1) 12

50

623121

0123250

6

2

r r D

+---=--; (2) 111

4111111

D abcdef abcdef --==------;

210110

111(3)(1)111011001011;b c D a a b cd c c d d d d

abcd ab ad cd --⎡--⎤

=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++

32122113314214

41

210

2341023410234

1034101130113

(4)160.104120222004410

1

2301110004

r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=

==

=-------

7. 证明下列各式.

(1) 2

2322()1

1

1

a a

b b a

a b b a b +=-；

(2)

222222222

2

2

2

22

22

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)

(2)

(3)

(1)(2)(3)a a a a b b b b c

c c c

d d d d ++++++=++++++；

(3) 2

3

2

2

322

32

111()111a a a a b

b ab b

c ca b b c c c c =++