导数专题练习汇总非常全面
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
高考数学专题：导数大题专练(含答案)
高考数学专题：导数大题专练(含答案)一、解答题1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；(2)设()2xg x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求实数a 的取值范围.2．已知函数1()2ln f x x x x=+-． (1)求函数的单调区间和极值；(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 3．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．4．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2xg x x x x x x =-++-，)2e ,x -∈+∞⎡⎣．(1)试讨论函数()f x 的单调性；(2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值．5．已知函数()2()2e =+-xf x x a ．(1)讨论函数的单调性；(2)若(0,),()x f x a ∈+∞≥-恒成立，求整数a 的最大值． 6．已知函数()e (1)()x f x a x a -=++∈R ． (1)当1a =时，求函数()y f x =的极值；(2)若函数()()ln e g x f x x =-+-在[1,)+∞有唯一的零点，求实数a 的取值范围．7．已知函数()()e ln 1xf x a x =+-+，()'f x 是其导函数，其中a R ∈．(1)若()f x 在(,0)-∞上单调递减，求a 的取值范围；(2)若不等式()()f x f x '≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，求a 的取值范围．8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若fx 是()f x 的导函数，()f x ''是fx 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x ''='+⎡⎤⎣⎦.(1)若曲线()ln f x x x =+与()g x x ()1,1处的曲率分别为1K ，2K ，比较1K ，2K 大小；(2)求正弦曲线()sin h x x =（x ∈R ）曲率的平方2K 的最大值. 9．已知函数()321623f x x ax x =+-+在2x =处取得极值． (1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在[]4,3-上的最小值和最大值．10．设函数()223ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．(1)求()f x 的单调区间；(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．【参考答案】一、解答题1．(1)答案见解析 (2)31a e ≤-【解析】 【分析】（1）由()()110ax f x a x xx+=+=>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)()(]110ax f x a x x x+'=+=>，①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a=-，在区间10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '>，在区间1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2)由题目知，只需要()()max max f x g x <即可又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，由变量分离可知2ln xa x-<，[]1,100x ∈， 令()2ln xh x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()23ln xh x x-+'=，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()33min 1h x h e e -==，所以31a e ≤-. 2．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)1()2ln (0)f x x x x x =+->，则()()2221111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，2101x <<令1()()2ln (0)h x f x a x x a x x=-=+-->，则()()120h x h x ==()()2221111()2x x h x x x x +-'=--=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()222212ln 0x x h x a x +=--=，得22212ln a x x x =+- 则2222222222211ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=⎪⎝⎝⎭⎭ 令21t x =，则222112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()22211210t t tt m t -'=+-=> 即()12ln (01)t m t t t t--<=<为增函数，又()11100m =--=，则()12ln 0m t t tt --<=在(0,1)上恒成立.则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫⎪< ⎝⎭， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2101x <<则211x x >，故121x x <3．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2()2f x x x'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()21()--'=x a x g x x，分0a ≤，012a <<，12a =，122a<<讨论求解. (1)解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，所以2()2f x x x'=-，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点；(2)当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+≥⎪⎩，即21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当012a <<，即02a <<时，02ax <<或1x >时，()0g x '>，12a x <<时，()0g x '<，所以当2ax =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>恒成立，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12ax <<时，()0g x '<，所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2ax =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x →-∞，因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛⎫=-+++> ⎪⎝⎭a a a g a a 恒成立，所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；当1a =-或 2ln 2a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当21ln 2-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.4．(1)答案见解析； (2)12a =. 【解析】 【分析】（1）由题可得()11ax f x a xx+'=+=，讨论0a ≥，0a <即得； （2）由题可得()g x '是一个单调递增的函数，利用零点存在定理可得()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，进而可得()0000111ln e e 1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，利用导数可得001e x x =，结合条件可得00ln 20x ax +=，即求. (1)()11ax f x a x x+'=+=，0x >， 当0a ≥时，函数()f x 在定义域()0,∞+上单调递增； 当0a <时，函数的单调性如表格所示：由题可得()()()22121e 1ln 2e ln 1x xg x x x x x x x x '=-++-++-=++-，0x >，则()g x '是一个单调递增的函数，当2e x -=时，()()2242ee e e e 30g ----'=+-<，当1x =时，()12e 10g '=->，故()2e ,1t -∃∈，使得()0g t '=，且所以0x t =，020000e ln 10x g x x x x '=++-=，整理该式有()02000e 1ln x xx x +=-，()000001111e ln xx x x x +=+， ∴()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令()()21ln ,e m x x x x -=+>，则()2ln 0m x x '=+>，所以函数在()2e ,-+∞上单调递增，故()000111ln ee1ln x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的解满足001e xx =；又()2ln h x x x ax x =++，()1ln 21h x x ax '=+++，()0002ln 22h x x ax '=++=，所以00ln 20x ax +=，由01e xx =知，0020x ax -+=，故12a =． 5．(1)答案见解析 (2)4 【解析】【分析】（1）求得()'f x ，对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）由(0,),()x f xa ∈+∞≥-恒成立分离常数a ，通过构造函数，结合导数求得a 的取值范围，从而求得整数a 的最大值. (1)()'2(22)e x f x x x a =++-①当1a≤时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上恒增； ②当1a >时，当(,1x ∈-∞-时()0f x '>，()f x 单调递增，(11x ∈--时()0f x '<，()f x 单调递减， (1)x ∈-+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述：当1a ≤时，()f x 在R 上恒增； 当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-++∞上单调递增，在(11--上单调递减.(2)2e (2)(e 1)xxx a +≥-，由于,()0x ∈+∞，2e (2)e 1x x x a +≤-，2e (2)()e 1x x x g x +=-，22e (2e 22)()(e 1)x x x x x x g x ---'=-， 令2()2e 22x h x x x x =---，()(e 1)(22)x h x x '=-+，由于,()0x ∈+∞，则()(e 1)(22)0x h x x '=-+>，故2()2e 22x h x x x x =---单调递增，3334443393338()e 2e 4(e )042162223h =---<-=-<，(1)2e 50h =->， 所以存在03(,1)4x ∈使得0()0h x =，即020002e 22xx x x =++，当00(0,)x x ∈时()0h x <，()g x 单调递减，当00(,)x x ∈+∞时()0h x >，()g x 单调递增； 那么()()00202000e 222e 1x x x a g x xx +≤==++-，03(,1)4x ∈，故034()()(1)54g g x g <<<=，由于a 为整数，则a 的最大值为4. 【点睛】求解含参数不等式恒成立问题，可考虑分离常数法，然后通过构造函数，结合导数来求得参数的取值范围. 6．(1)()f x 的极小值为2，无极大值； (2)(,e 1]-∞+ 【解析】 【分析】（1）当1a =时，求导分析()f x 的单调性，即可得出答案．（2）由题意可得()()ln e e ln e(1)x g x f x x ax a x x =-+-=-++-，求导得()g x '，从而可推出()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，分两种情况讨论：①当e 10a +-，②当e 10a +-<，分析()g x 的单调性，即可得出答案．(1)当1a =时，()(1)xf x e x -=++，1()1x xxe f x e e --+'=-+=，令1e 0x -+>，得0x >， 令1e 0x -+<，得0x <，则()f x 单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞， ∴()f x 存在极小值为()02f =，无极大值； (2)()()ln e e (1)ln e e ln e(1)x x g x f x x a x x ax a x x =-+-=+-++-=-++-，则1()xg x e a x'=-+，令1()xh x e a x =-+，则221()x x e h x x -'=，由1x >得，21x >，210x x e ->，则()0h x '>，故()g x '在(1,)+∞单调递增，(1)e 1g a '=+-，①当e 10a +-，即e 1a +时，即(1,)x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)0g =， ∴当1x >时，函数()g x 没有零点， ②当e 10a +-<，即e 1a >+时， 由e e (1)x y x x =->，得e e 0x y '=->， ∴e e x x >，∴11()e e xg x a x a x x '=+->+-，e ee 0e e a a g a a a⎛⎫'>⋅+-=> ⎪⎝⎭，又∵e 1e ea >=，∴存在01,e a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，当()01,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 又∵(1)0g =，∴当0(]1,x x ∈时，()0g x <，在()01,x 内，函数()g x 没有零点， 又∵()0,x x ∈+∞时，()0g x '>， ∴()g x 单调递增，又∵22e )e 1(ln e a a g a a a a a +-+>-=-+， 令2()e 1(1)>x k x x x =-+，()()e 2x s x k x x '==-，()e 2e 20x s x '=->->，∴()k x '在(1,)+∞上单调递增， 又∵(1)0k '>，∴1x >时，()0k x '>，()k x 在(1,)+∞上单调递增， ∴()(1)0k a k >>， ∴()0g a >， 又∵0eaa x >>， ∴由零点的存在定理可知存在()()101,,0x x a g x ∈=， ∴在()0,x a 内，函数()g x 有且只有1个零点， 综上所述，实数a 的取值范围是(,e 1]-∞+.7．(1)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)(],1-∞- 【解析】 【分析】（1）求出导函数()e x a f x x'=+，根据()f x 在(,0)-∞上单调递减，可得()e 0x af x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，分类参数可得e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0x g x x x =-⋅<，利用导数求出函数()g x 的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立，令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，在对a 分类讨论，求出()h x 的最大值小于等于0，即可求出答案. (1)解：()e xa f x x'=+，因为()f x 在(,0)-∞上单调递减，所以()e 0xa f x x'=+≤在(,0)-∞上恒成立，即e x a x ≥-⋅在(,0)-∞上恒成立，令()()e ,0xg x x x =-⋅<， 则()()e e 1e x x xg x x x '=--=-+，当1x <-时，()0g x '>，当10x -<<时，()0g x '<， 所以函数()g x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 11eg x g =-=，所以a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)解：由()()f x f x '≤得()ln 1aa x x-+≤，即()ln 10a a x x--+≤对(,0)x ∀∈-∞恒成立， 令()()()ln 1,0ah x a x x x=--+<，()()()221,0a x a a h x x x x x +'=+=<，当0a =时，()1h x =，不满足()0h x ≤；当0a >时，1x <-时，()0h x '<，10x -<<时，()0h x '>， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， 所以()()min 110h x h a =-=+>，不符合题意；当0a <时，1x <-时，()0h x '>，10x -<<时，()0h x '<， 所以函数()h x 在(),1-∞-上递增，在()1,0-上递减， 所以()()max 110h x h a =-=+≤，解得1a ≤-， 综上所述，a 的取值范围(],1-∞-. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力. 8．(1)12K K <； (2)1. 【解析】 【分析】（1）对()f x 、()g x 求导，应用曲率公式求出()1,1处的曲率1K ，2K ，即可比较大小；（2）由题设求出()h x 的曲率平方，利用导数求2K 的最大值即可. (1)由()11f x x '=+，()21f x x ''=，则()()()()13332222211112511f K f ''===+'+⎡⎤⎣⎦，由()g x '=，()3214g x x -''=-，则()()()2333222221124511112g K g ''===⎡⎤'+⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以12K K <； (2)由()cos h x x '=，()sin h x x ''=-，则()322sin 1cos xK x =+，()()2223322sin sin 1cos 2sin xxK x x ==+-，令22sin t x =-，则[]1,2t ∈，故232tK t -=， 设()32t p t t -=，则()()32643226t t t t p t t t----'==，在[]1,2t ∈时()0p t '<，()p t 递减，所以()()max 11p t p ==，2K 最大值为1.9．(1)增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2- (2)()max 312f x =，()min 163f x =- 【解析】 【分析】（1）根据题意得()20f '=，进而得12a =，再根据导数与单调性的关系求解即可；（2）由（1）知[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2-，进而求解()4f -，()3f -，()2f ，()3f 的值即可得答案. (1)解：（1）()226f x x ax '=+-，因为()f x 在2x =处取得极值，所以()24460f a '=+-=，解得12a =． 检验得12a =时，()f x 在2x =处取得极小值，满足条件.所以()26f x x x '=+-，令()0f x '>，解得3x <-或2x >，令()0f x '<，解得32x -<<， 所以()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； (2)解：令()260f x x x '=+-=，解得3x =-或2x =，由（1）知()f x 的增区间为(),3-∞-，()2,+∞，减区间为()3,2-； 当[]4,3x ∈-时，()f x 的增区间为[)4,3--，(]2,3，减区间为()3,2- 又()()()()321138444642323f -=⨯-+⨯--⨯-+=， ()()()()321131333632322f -=⨯-+⨯--⨯-+=，()321116222622323f =⨯+⨯-⨯+=-，()32115333632322f =⨯+⨯-⨯+=-，所以()max 312f x =，()min 163f x =-． 10．(1)在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (2)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解. (1)函数()f x 的定义域为()0+∞，， ()()()222231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x+-+-=+-==由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1x a=， 当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增． (2)要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭，解得1e >a ，即a 的取值范围为1(,)e+∞。
导数27个专题学生版
目录专题1:切线问题 1专题2:函数的图像 3专题3:单调性问题 9专题4:函数的极值问题 11专题5:函数的最值 14专题6:三次函数 18专题7:零点问题 20专题8:恒成立与存在性问题 26专题9:构造函数解不等式 30专题10:有关距离问题 34专题11:参数的值或范围问题 36专题12:分离参数法 40专题13:数形结合法 44专题14:构造函数 45专题15:不等式放缩法 48专题16:卡根法专题 50专题17:数列不等式 53专题18:极值点偏移问题 61专题19:双变量问题 64专题20:凹凸反转问题 68专题21:与三角函数有关题 70专题22:隐零点设而不求 74专题23:端点效应专题 77专题24:最大最小函数问题 81专题25:恒成立专题 83专题26：筷子夹汤圆专题 87专题27:找点专题 91专题1:切线问题1.若函数f (x )=ln x 与函数g (x )=x 2+2x +a (x <0)有公切线，则实数a 的取值范围是()A.ln 12e,+∞ B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln2,+∞)2.已知直线y =2x 与曲线f x =ln ax +b 相切，则ab 的最大值为()A.e4B.e2C.eD.2e3.已知P 是曲线C 1：y =e x 上任意一点，点Q 是曲线C 2：y =ln x x上任意一点，则PQ 的最小值是()A.1-2ln 2B.1+ln22C.2D.24.若曲线y =ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是()A.[-3，3]B.[-1，1]C.(-∞，1]D.[-3，1]5.已知关于x 不等式ae x ≥x +b 对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则a b 的最小值为()A.12B.1C.2D.26.若存在实数a ,b ，使不等式2e ln x ≤ax +b ≤12x 2+e 对一切正数x 都成立(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的最大值是()A.eB.2eC.2eD.27.若对函数f x =2x -sin x 的图象上任意一点处的切线l 1，函数g x =me x +m -2 x 的图象上总存在一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则m 的取值范围是()A.-e 2,0 B.0,e 2C.-1,0D.0,18.若过点P 1,m 可以作三条直线与曲线C :y =xe x 相切，则m 的取值范围是()A.-5e2,0 B.-5e2,e C.0,+∞D.-3e2,-1e9.已知y =kx +b 是函数f x =ln x +x 的切线，则2k +b 的最小值为______.10.存在k >0,b >0使kx -2k +b ≥x ln 对任意的x >0恒成立，则b k的最小值为________.11.若直线y =kx +b 是曲线y =e x 的切线，也是曲线y =x +2 ln 的切线，则k =.12.已知直线y =kx +b 与函数y =e x 的图像相切于点P x 1,y 1 ，与函数y =x ln 的图像相切于点Q x 2,y 2 ，若x 2>1，且x 2∈n ,n +1 ,n ∈Z ，，则n =_________.13.若直线y =kx +b 既是曲线y =x ln 的切线，又是曲线y =e x -2的切线，则b =______.14.已知实数a ,b ,c ,d ，满足aln b=2c d -1=1，那么a -c 2+b -d 2的最小值为.15.若直线y =kx +b 与曲线y =x ln +2相切于点P ，与曲线y =x +1 ln 相切于点Q ，则k =.专题2:函数的图像1.已知函数f (x )=ax 3+bx 2+c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的极大值是()121OxyA.a +b +cB.8a +4b +cC.3a +2bD.c2.设函数y =f (x )可导，y =f (x )的图象如图所示，则导函数y =f ′(x )可能为()OxyA.Oxy B.Oxy C.Oxy D.Oxy3.函数y =sin2x 1-cos x的部分图象大致为()A.Oxy-π11π B.Oxy-π11πC.Oxy-π11π D.Oxy-π11π4.若函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()11O xyA.f (x )=x2ln |x |B.f (x )=ln |x |-x 2C.f (x )=1x+ln |x |D.f (x )=x ln |x ||x |5.函数f (x )=x ln |x |x 2+1的图象大致为()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy6.函数f (x )=x ln x x 2+1,x >0x ln (-x )x 2+1,x <0的图象大致为()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy7.函数f (x )=x ln |x ||x |的大致图象是()A.O xyB.O xyC.OxyD.Oxy8.函数f (x )=x -1xcos x (-π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为()A.Oxy-ππ B.Oxy-ππ C.Oxy-ππ D.Oxy-ππ9.已知f (x )=14x 2+sin π2+x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是()A.OxyB.OxyC.OxyD.Oxy10.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是()OxyOxyOxyOxyA.①②B.③④C.①③D.①④11.已知R 上的可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x -2)f (x )>0的解集为()2121O xyA.(-∞，-2)∪(1，+∞)B.(-∞，-2)∪(1，2)C.(-∞，1)∪(2，+∞)D.(-1，1)∪(2，+∞)12.函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象如图所示，则x 21+x 22等于()Oxyx 1x 2-12A.89 B.109 C.169D.28913.如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象，则x 1+x 2=()Oxyx 1x 2-12A.23 B.109 C.89 D.28914.函数f (x )=ax +b (x +c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是()OxyA.a <0，b >0，c <0B.a >0，b <0，c <0C.a >0，b <0，c >0D.a <0，b >0，c >015.函数f (x )=ax +b (x +c )2的图象大致如图所示，则下列结论正确的是()OxyA.a >0，b >0，c >0B.a <0，b >0，c <0C.a <0，b <0，c >0D.a >0，b >0，c <016.函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则下列结论成立的是()OxyA.a >0，b <0，c >0，d >0B.a >0，b <0，c <0，d >0C.a <0，b <0，c >0，d >0D.a >0，b >0，c >0，d <017.函数y =x 2sin x(2x 2-e |x |)在[-2，2]的图象大致为()A.1111O xyB.1111O xyC.1111OxyD.1111O xy18.函数y =2x 2-2|x |在[-2，2]的图象大致为()A.O xy-2-112-4B.OxyC.Oxy-2-1124D.Oxy 19.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是()Oxy 1A.f (x )=ln |x |-x 2B.f (x )=ln |x |-|x |C.f (x )=2ln |x |-x 2D.f (x )=2ln |x |-|x |21111OxA.f (x )=ln |x |-1x B.f (x )=ln |x |+1x C.f (x )=1x-ln |x |D.f (x )=ln |x |+1|x |21.函数f (x )的图象如图所示，则它的解析式可能是()212111OxyA.f (x )=x 2-12x B.f (x )=2x (|x |-1) C.f (x )=|ln |x || D.f (x )=xe x -122.已知函数f (x )的图象如图所示，则该函数的解析式可能是()O xyA.f (x )=ln |x |e xB.f (x )=e x ln |x |C.f (x )=ln |x |xD.f (x )=(x -1)ln |x |23.已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是()96342423OxyA.f (x )=2xln |x |B.f (x )=2|x |ln |x |C.f (x )=1x 2-1D.f (x )=1|x |-1|x |14321321321OxA.f (x )=e |x |∙cos xB.f (x )=ln |x |∙cos xC.f (x )=e |x |+cos xD.f (x )=ln |x |+cos x25.已知函数f (x )的局部图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()13π2ππ23π2ππ21OxyA.f (x )=e 1|x |∙sin π2xB.f (x )=e 1|x |∙cos π2xC.f (x )=ln |x |∙sin π2xD.f (x )=ln |x |∙cos π2x专题3:单调性问题1.已知函数f (x )=ln x +ln (a -x )的图象关于直线x =1对称，则函数f (x )的单调递增区间为()A.(0,2)B.[0，1)C.(-∞，1]D.(0，1]2.若函数f (x )的定义域为D 内的某个区间I 上是增函数，且F (x )=f (x )x在I 上也是增函数，则称y =f (x )是I 上的“完美函数”，已知g (x )=e x +x -ln x +1，若函数g (x )是区间m 2，+∞ 上的“完美函数”，则正整数m 的最小值为()A.1B.2C.3D.43.设函数f (x )=e 2x +ax 在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A.[-1，+∞)B.(-1,+∞)C.[-2，+∞)D.(-2,+∞)4.若函数f (x )=2x 2-ln x 在其定义域内的一个子区间[k -1，k +1]内不是单调函数，则实数k 的取值范围是()A.[1，2)B.(1,2)C.1,32D.1,325.若函数f (x )=ln x +ax 2-2在区间12,2 内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是()A.(-∞，-2]B.(-2,+∞)C.-2,-18D.-18,+∞6.若函数f (x )=ln x +(x -b )2(b ∈R )在区间12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是()A.-∞,32B.-∞,94C.-32，94D.32，+∞ 7.设1<x <2，则ln x x 、ln x x 2、ln x 2x 2的大小关系是()A.ln x x 2<ln x x <ln x 2x2B.ln x x <ln x x 2<ln x 2x 2C.ln x x 2<ln x 2x2<ln x x D.ln x 2x2<ln x x 2<ln x x8.已知函数y =f (x -1)的图象关于直线x =1对称，且当x ∈(0,+∞)时，f (x )=ln x x .若a =f -e 2，b=f (2)，c =f 23 ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.a >c >bD.c >b >a9.下列命题为真命题的个数是()①e 2e >2；②ln2>23；③lnππ<1e ；④ln22<lnππ.A.1B.2C.3D.410.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②lnπ<πe；③215<15；④3e ln2<42A.1B.2C.3D.411.已知函数f (x )=e x ln x -ae x (a ∈R )，若f (x )在(0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是.12.已知函数f (x )=e -x -2,x ≤02ax -1,x >0(a >0)，对于下列命题：(1)函数f (x )的最小值是-1；(2)函数f (x )在R 上是单调函数；(3)若f (x )>0在12，+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是a >1，其中真命题的序号是.13.已知函数f (x )=ln x +(x -a )2(a ∈R )在区间12，2上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是14.设函数f (x )=3x 2+ax e x(a ∈R )，f (x )在[3，+∞)上为减函数，则a 的取值范围是.专题4:函数的极值问题1.若函数f(x)=e x(x-3)-13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为()A.(-∞,e)B.[0，e]∪12e2C.(-∞,2)D.(0，2]2.已知函数f(x)=e x x-k12x2-1x，若x=1是函的f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为() A.(-∞，e] B.-∞,-1eC.-∞，-1e∪{0} D.-∞，-1e∪{0，e}3.已知函数f(x)=e x(x2-4x-4)+12k(x2+4x)，x=-2是f(x)的唯一极小值点，则实数k的取值范围为() A.[-e2，+∞) B.[-e3，+∞) C.[e2，+∞) D.[e3，+∞)4.已知函数f(x)=x2-2x+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则()A.f(x1)<3+2ln24 B.f(x1)<-1+2ln24C.f(x1)>1+2ln24 D.f(x1)>-3+2ln245.已知函数f(x)=x2-2x+1+a ln x有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则()A.f(x2)<-1+2ln24 B.f(x2)<1-2ln24C.f(x2)>1+2ln24 D.f(x2)>1-2ln246.已知t为常数，函数f(x)=(x-1)2+t ln x有两个极值点a、b(a<b)，则()A.f(b)>1-2ln24 B.f(b)<1-2ln24 C.f(b)>1+2ln24 D.f(b)<1-3ln247.若函数y=ae x+3x在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是()A.(-3,+∞)B.(-∞,-3)C.-13，+∞D.-∞,-138.若函数f (x )=e x -ax -b 在R 上有小于0的极值点，则实数a 的取值范围是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,-1)D.(1,+∞)9.已知函数f (x )=x ln x -ax 2有两个极值点，则实数a 的取值范围为()A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.0,12D.(0,1)10.已知函数f (x )=x ln x -12ax 2-x +3a 3-4a 2-a +2(a ∈R )存在两个极值点.则实数a 的取值范围是()A.(0,+∞)B.0,1eC.1e,+∞ D.1e,e 11.若函数f (x )=e x (e x -4ax )存在两个极值点，则实数a 的取值范围为()A.0,12B.(0,1)C.12,+∞ D.(1,+∞)12.若函数f (x )=ax 22-(1+2a )x +2ln x (a >0)在区间12,1 内有极大值，则a 的取值范围是()A.1e,+∞ B.(1,+∞) C.(1,2) D.(2,+∞)13.已知f (x )=a 2x 2-(1+2a )x +2ln x (a >0)在区间(3,4)有极小值，则实数a 的取值范围是()A.(4-1，3-1)B.(3,4)C.(3-1，4)D.(4-1，3)14.已知a ∈R ，函数f (x )=-32x 2+(4a +2)x -a (a +2)ln x 在(0,1)内有极值，则a 的取值范围是()A.(0,1)B.(-2，0)∪(0，1)C.-2，-12 ∪-12，1D.(-2,1)15.已知函数f (x )，对∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为一个三角形的三边长，则称f (x )为“三角形函数”，已知函数f (x )=m cos 2x +m sin x +3是“三角形函数”，则实数m 的取值范围是()A.-67，1213B.-2，1213C.0，1213D.(-2,2)16.已知x=0是函数f(x)=(x-2a)(x2+a2x+2a3)的极小值点，则实数a的取值范围是.17.已知x=1是函数f(x)=(x-2)e x-k2x2+kx(k>0)的极小值点，则实数k的取值范围是.18.若函数f(x)在区间A上，对∀a，b，c∈A，f(a)，f(b)，f(c)为一个三角形的三边长，则称函数f(x)为“三角形函数”.已知函数f(x)=x ln x+m在区间1e2,e上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为.专题5:函数的最值1.已知函数f (x )=e x -3，g (x )=12+ln x 2，若f (m )=g (n )成立，则n -m 的最小值为()A.1+ln2B.ln2C.2ln2D.ln2-12.已知函数f x =x +ln x -1 ，g x =x ln x ，若f x 1 =1+2ln t ，g x 2 =t 2，则x 1x 2-x 2 ln t 的最小值为().A.1e2B.2eC.-12eD.-1e3.若对任意x ∈0,+∞ ，不等式2e 2x -a ln a -a ln x ≥0恒成立，则实数a 的最大值为()A.eB.eC.2eD.e 24.已知函数f (x )=ln x x，g (x )=xe -x ，若存在x 1∈(0,+∞),x 2∈R ，使得f (x 1)=g (x 2)=k (k <0)成立，则x 2x 1 3e k的最小值为()A.-1e2B.-4e2C.-9e3D.-27e 35.已知函数f (x )=-1x ,x <0e 2x,x ≥0，若关于x 的方程f (x )-a =0(a ∈R )恰有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则e x 2-x 1的最小值为()A.12ln2+12B.2+eC.2eD.2e6.已知函数f x =e xx-ax +ln x (1)a =1时,求函数f (x )的极值；(2)若a ∈1，e 24+12,求f (x )的最小值g (a )的取值范围.7.已知函数f x =e x -x +t 2x 2(t ∈R ，e 为自然对数的底数)，且f x 在点1,f 1 处的切线的斜率为e ，函数g x =12x 2+ax +b a ∈R ,b ∈R .(1)求f x 的单调区间和极值；(2)若f x ≥g x ，求b a +12的最大值.8.已知函数f x =x -a ln x +1(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当1<a <e 时，记函数f (x )在区间1,e 的最大值为M .最小值为m ，求M -m 的取值范围.9.已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (a ∈R )两个极值x 1,x 2x 1<x 2 点.(1)当a =5时，求f x 2 -f x 1 ；(2)当a ≥2e +2e时，求f x 2 -f x 1 的最大值.10.已知函数f(x)=ln x x+1x+a.(1)当a=-1时，求f x 的最大值；(2)对任意的x>0，不等式f(x)≤e x恒成立，求实数a的取值范围.11.已知函数f x =xe x(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f x 的最小值；(2)求证：f x >e x+ln x-12.12.已知函数f(x)=ax2-x+(1+b)ln x(a、b∈R).(1)当a=1，b=-4时，求y=f(x)的单调区间；(2)当b=-2，x≥1时，求g(x)=|f(x)|的最小值.13.已知函数f (x )=12(x +a )2+b ln x ，a ,b ∈R .(1)若直线y =ax 是曲线y =f (x )的切线，求a 2b 的最大值；(2)设b =1，若函数f (x )有两个极值点x 1与x 2，且x 1<x 2，求f x 2x 1的取值范围.14.已知函数f x =ae x -x .(1)求f x 的极值；(2)求f x 在0,1 上的最大值.15.已知函数f x =14x 3-x 2+x .(1)当x ∈-2，4 时，求证：x -6≤f x ≤x ；(2)设F x =f x -x +a a ∈R ，记F x 在区间-2，4 上的最大值为M a .当M a 最小时，求a 的值.专题6:三次函数1.已知f (x )=x 3+3ax 2+bx +a 2在x =-1时有极值0，则a -b =()A.-7B.-2C.-7和-2D.以上答案都不对2.已知函数f (x )=x 3-3x 2+5，g (x )=m (x +1)(m ∈R )，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<g (x 0)，则实数m 的取值范围是()A.0,54B.13,54C.13,54D.0,133.设函数f (x )=x 3-3x 2-ax +5-a ，若存在唯一的正整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是()A.0,13B.13，54C.13，32D.54，324.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-x -1在(-∞,+∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,-3]∪[3,+∞)B.[-3,3]C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,3)5.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是()A.2,52B.2，52C.2,103D.2，1036.若f (x )=x 3+ax 2+bx -a 2-7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为()A.-32或-12B.-32或12C.-32D.-127.如果函数f (x )=13x 3-12ax 2+(a -1)x +1在区间(1,4)上为减函数，在(6,+∞)上为增函数，则实数a的取值范围是()A.a ≤5B.5≤a ≤7C.a ≥7D.a ≤5或a ≥78.已知函数f (x )=13x 3-12ax 2+x 在区间12，3上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是()A.(2,+∞)B.[2，+∞)C.2,52D.2,1039.已知函数f (x )=a 3x 3-12x 2-x (a ≥0)在区间(0,1)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是()A.(0,2)B.[0，1)C.(0,+∞)D.(2,+∞)10.函数f (x )=13x 3-12(m +1)x 2+2(m -1)x 在(0,4)上无极值，则m =.11.设函数f (x )=x 3+(1+a )x 2+ax 有两个不同的极值点x 1，x 2，且对不等式f (x 1)+f (x 2)≤0恒成立，则实数a 的取值范围是.12.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间12,3上单调递减，则实数a 的取值范围是.13.若函数f (x )=13x 3+x 2-23在区间(a ,a +5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是.14.已知函数f (x )=13x 3-12(a +1)x 2+ax +1，a ∈R .若函数f (x )在区间(-1,1)内是减函数，则实数a 的取值范围是.专题7:零点问题1.设函数f (x )=x 2-2ex -ln x x+a (其中e 为自然对数的底数，若函数f (x )至少存在一个零点，则实数a的取值范围是()A.0,e 2-1eB.0,e 2+1eC.e 2-1e ,+∞D.-∞,e 2+1e2.设函数f (x )=x 3-2ex 2+mx -ln x ，记g (x )=f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是()A.-∞，e 2+1eB.0，e 2+1eC.e 2+1e，+∞ D.-e 2-1e ，e 2+1e3.已知函数f (x )=me x2与函数g (x )=-2x 2-x +1的图象有两个不同的交点，则实数m 取值范围为()A.[0，1)B.[0,2)∪-18e 2C.(0,2)∪-18e 2D.[0,2e )∪-18e 24.已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意x ∈R 都满足f (1+x )=f (1-x )，当x ≤1时，f (x )=ln x ,0<x ≤1e x ,x ≤0 .(其中e 为自然对数的底数)，若函数g (x )=m |x |-2与y =f (x )的图象恰有两个交点，则实数m 的取值范围是()A.m ≤0或m =eB.0<m ≤32C.32<m <eD.m >e5.定义：如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，满足f ′(x 1)=f (b )-f (a )b -a，f ′(x 2)=f (b )-f (a )b -a，则称函数y =f (x )在区间[a ，b ]上的一个双中值函数，已知函数f (x )=x 3-65x 2是区间[0，t ]上的双中值函数，则实数t 的取值范围是()A.35,65B.25,65C.25,35D.1,656.定义：如果函数y =f (x )在定义域内给定区间[a ，b ]上存在(a <x 0<b )，满足f (x 0)=f (b )-f (a )b -a，则称函数y =f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点.则下列叙述正确的个数是()①y =x 2是区间[-1，1]上的平均值函数，0是它的均值点；②函数f (x )=-x 2+4x 在区间[0，9]上是平均值函数，它的均值点是5；③函数f (x )=log 2x 在区间[a ，b ](其中b >a >0)上都是平均值函数；④若函数f (x )=-x 2+mx +1是区间[-1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是(0,2)A.1B.2C.3D.47.若存在正实数m ，使得关于x 的方程x +a (2x +2m -4ex )[ln (x +m )-ln x ]=0有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0)B.0,12eC.(-∞，0)∪12e，+∞ D.12e，+∞ 8.已知函数u (x )=(2e -1)x -m ，υ(x )=ln (x +m )-ln x 若存在m ，使得关于x 的方程2a ∙u (x )∙υ(x )=x 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是()A.(-∞,0)∪12e,+∞ B.(-∞,0)C.0,12eD.(-∞,0)∪12e ,+∞9.若关于x 的方程x e x +e x x +e x+m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<0<x 2<x 3，其中m ∈R ，e 为自然对数的底数，则x 1e x 1+1 2x 2e x 2+1 x3e x 3+1 的值为()A.1+mB.eC.m -1D.110.若关于x 的方程|e x -1|+2|e x-1|+1+m =0有三个不相等的实数解x 1、x 2、x 3，(x 1<0<x 2<x 3)其中m ∈R ，e =2.71828⋯，则(|e x 1-1|+1)∙(|e x 2-1|+1)∙(|e x 3-1|+1)2的值为()A.eB.4C.m -1D.m +111.已知函数f (x )=-2x ,x <0-x 2+2x ,x ≥0若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是()A.0,34B.0,34C.0,916D.0,91612.已知函数f (x )=(3x +1)e x +1+mx (m ≥-4e )，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是()A.5e ，2B.-52e ，-83e2 C.-12，-83e2 D.-4e ，-52e13.已知函数f (x )=ln (x +1)-ax x +a，a 是常数，且a ≥1.(Ⅰ)讨论f (x )零点的个数；(Ⅱ)证明：22n +1<ln 1+1n <33n +1，n ∈N +.14.已知函数f (x )=ae 2x +(a -2)e x -x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.15.已知函数f (x )=(ex -e )e x +ax 2，a ∈R .(Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.16.已知函数f(x)=(x-2)e x+a(x-1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.17.已知函数f(x)=e x[ax2+(a-2)]-x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.18.已知函数f(x)=x3+ax+14，g(x)=-ln x(i)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(ii)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.19.已知函数f(x)=-x2+a-14x(a∈R),g(x)=ln x x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线，(2)用max{m，n}表示m，n中的最大值，设函数h(x)=max{xf(x)，xg(x)}(x>0)，当0<a<3时，讨论h(x)零点的个数.20.已知函数f(x)=-x2+a-14x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y=f(x)的切线；(2)设函数g(x)=xf(x)，讨论g(x)在区间(0,1)上零点的个数.21.已知函数f(x)=2x2-1x-a ln x(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)=e x-sin x，若h(x)=g(x)(f(x)-2x)且y=h(x)有两个零点，求a的取值范围.22.已知函数f(x)=ae x-ln(x+1)+ln a-1.(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围.专题8:恒成立与存在性问题1.设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是()A.-32e ,1B.-32e ,34C.32e ,34D.32e ,12.设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在两个整数x 1，x 2，使得f (x 1)，f (x 2)都小于0，则a 的取值范围是()A.53e 2，32eB.-32e ，32eC.53e 2，1 D.32e ，1 3.已知函数f (x )=(x 2-a )ln x ，曲线y =f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是()A.-1e2,0 B.(-1,0)C.-1e2,+∞ D.(-1,+∞)4.已知函数f (x )=x a -1ex ，曲线y =f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是()A.(-e 2，+∞)B.(-e 2，0)C.-1e2，+∞ D.-1e2，0 5.已知f (x )=a ln x +12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2≥2恒成立，则a的取值范围是()A.(1,+∞)B.[1，+∞)C.(0，1]D.(0,1)6.已知f (x )=a ln x +12x 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立，则实数a 的取值范围是()A.[0，+∞)B.(0,+∞)C.(0,1)D.(0，1]7.已知函数f(x)=a ln(x+1)-x2，若对∀p，q∈(0,1)，且p≠q，有f(p+1)-f(q+1)p-q>2恒成立，则实数a的取值范围为() A.(-∞,18) B.(-∞，18] C.[18，+∞) D.(18,+∞)8.已知函数f(x)=a ln(x+1)-12x2，在区间(0,1)内任取两个数p，q，且p≠q，不等式f(p+1)-f(q+1)p-q>3恒成立，则实数a的取值范围是()A.[8，+∞)B.(3，8]C.[15，+∞)D.[8，15]9.设函数f(x)=e x(x3-3x+3)-ae x-x(x≥-2)，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e-1B.2-2eC.1-1eD.1+2e210.设函数f(x)=x(ln x)3-(3x+1)ln x+(3-a)x，若不等式f(x)≤0有解，则实数a的最小值为()A.2e-1B.2-2eC.1+2e2D.1-1e11.设函数f(x)=e x x3+32x2-6x+2-2ae x-x，若不等式f(x)≤0在[-2，+∞)上有解，则实数a的最小值为()A.-32-1eB.-32-2eC.-34-12eD.-1-1e12.已知函数f(x)=ln x+(x-b)2x(b∈R)，若存在x∈12，2，使得f(x)>-x∙f′(x)，则实数b的取值范围是() A.(-∞,-2) B.-∞,32C.-∞,94D.(-∞,3)13.已知f (x )=xe x ，g (x )=-(x +1)2+a ，若存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围为()A.1e ，+∞ B.-1e ，+∞ C.(0,e )D.-1e ，0 14.设过曲线g (x )=ax +2cos x 上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线f (x )=-e x -x 上一点处的切线l 2，使得l 1⎳l 2，则实数a 的取值范围为()A.[1，+∞)B.[1，+∞]C.(-∞，-3]D.(-∞,-3)15.设函数f (x )=x 2+4x ,g (x )=xe x ，若对任意x 1，x 2∈(0，e ]，不等式g (x 1)k +1≤f (x 2)k恒成立，则正数k 的取值范围为()A.4e e +1,1eB.(e ，4]C.0,e e +14-eD.0,4e e +1-416.设e 表示自然对数的底数，函数f (x )=(e x -a )24+(x -a )2(a ∈R )，若关于x 的不等式f (x )≤15有解，则实数a 的值为.17.已知f (x )=a ln x +12x 2+x ，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f (x 1)-f (x 2)x 12-x 22<1恒成立，则a 的取值范围是.18.(1)设函数f (x )=e x (2x -1)-ax +a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是.(2)已知f (x )=xe x ，g (x )=-(x +1)2+a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围.19.当x∈(0,+∞)时，不等式c2x2-(cx+1)ln x+cx≥0恒成立，则实数c的取值范围是.20.若关于x的不等式(ax+1)(e x-aex)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.21.关于x的不等式(ax-1)(ln x+ax)≥0在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.22.已知关于x的不等式ax3+x2+x≤ln x+1x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是.23.已知函数f(x)=x-1-a ln x(a<0)，g(x)=4x，若对任意x1，x2∈(0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤|g(x1)-g(x2)|成立，则实数a的取值范围为.24.若f(x)=x-1-a ln x，g(x)=exe x，a<0，且对任意x1，x2∈[3，4](x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<1 g(x1)-1 g(x2)的恒成立，则实数a的取值范围为.25.设过曲线f(x)=-e x-x+3a上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)=(x-1)a+2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为.26.设函数f(x)=e2x2+1x,g(x)=e2xe x，对任意x1、x2∈(0,+∞)，不等式f(x1)k+1≥g(x2)k，恒成立，则正数k的取值范围是.27.已知函数f(x)=x-1-a ln x(a∈R)，g(x)=e x x，当a<0时，且对任意的x1，x2∈[4，5](x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|恒成立，则实数a的取值范围为.专题9:构造函数解不等式1.设函数f (x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf (x)-f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-∞，-1)∪(-1，0)B.(0，1)∪(1，+∞)C.(-∞，-1)∪(0，1)D.(-1，0)∪(1，+∞)2.函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f (x)<1，则不等式e x f(x)>e x+1的解集为() A.{x|x>0} B.{x|x<0}C.{x|x<-1，或x>1}D.{x|x<-1，或0<x<1}3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)>x-1，则不等式f(x)<12x2-x+1的解集为() A.{x|-2<x<2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}4.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x+2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)<e x的解集为() A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,e4) D.(e4，+∞)5.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x+2)=f(x-2)，f(4)=1，则不等式f(x)<e x的解集为()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(4,+∞)D.(-2,+∞)+1(e为自然对数的底数6.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式f(x)>3e x)的解集为() A.(0,+∞) B.(-∞，0)∪(3，+∞)C.(-∞，0)∪(0，+∞)D.(3,+∞)7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)> 2f′(x)若2<a<4则() A.f(2a)<f(3)<f(log2a) B.f(log2a)<f(3)<f(2a)<f(3)<f(2a)C.f(3)<f(log2a)<f(2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(3)8.已知函数y=f(x)对于任意的x∈-π2,π2满足f′(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是()A.2fπ3 <fπ4B.2f-π3<f-π4C.f(0)<2fπ4D.f(0)<2fπ39.已知函数y=f(x)对于任意的x∈-π2，π2满足f (x)cos x+f(x)sin x>0(其中f (x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.2f-π3>f(0) B.f(0)>2fπ4 C.f(-1)>f(1) D.f(1)>f(0)cos110.函数f(x)的导函数为f′(x)，对∀x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，若f(ln4)=2，则不等式f(x)>e x2的解是()A.x>1B.0<x<1C.x>ln4D.0<x<ln411.函数f(x)的导函数f′(x)，对∀x∈R，都有f′(x)>f(x)成立，若f(2)=e2，则不等式f(x)>e x的解是()A.(2,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,ln2)12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有xf′(x)-f(x)x2<0恒成立，则不等式xf(x)>0的解集是() A.(-2，0)∪(2，+∞) B.(-2，0)∪(0，2)C.(-∞，-2)∪(0，2)D.(-∞，-2)∪(2，+∞)13.已知一函数满足x>0时，有g′(x)=2x2>g(x)x，则下列结论一定成立的是()A.g(2)2-g(1)≤3 B.g(2)2-g(1)≥2 C.g(2)2-g(1)<4 D.g(2)2-g(1)≥414.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中f′(x)为f(x)的导数，则()A.8<f(2)f(1)<16 B.4<f(2)f(1)<8 C.3<f(2)f(1)<4 D.2<f(2)f(1)<315.已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，图象关于y轴对称，且当x<0时，f′(x)>f(x)x恒成立，设a>1，则4af(a+1)a+1，2a f(2a)，(a+1)f4aa+1的大小关系为()A.4af(a+1)a+1>2a f(2a)>(a+1)f4aa+1B.4af(a+1)a+1<2a f(2a)<(a+1)f4aa+1C.2a f(2a)>4af(a+1)a+1>(a+1)f4aa+1D.2a f(2a)<4af(a+1)a+1<(a+1)f4aa+116.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若∀x∈(0,+∞)，都有xf′(x)<2f(x)成立，则()A.2f(3)>3f(2)B.2f(1)<3f(2)C.4f(3)<3f(2)D.4f(1)>f(2)17.已知函数f(x)的导函数为f (x)，若f(x)<xf (x)<2f(x)-x对x∈(0,+∞)恒成立，则下列不等式中，一定成立的是()A.f(2)3+12<f(1)<f(2)2 B.f(2)4+12<f(1)<f(2)2C.3f(2)8<f(1)<f(2)3+12 D.f(2)4+12<f(1)<3f(2)818.若a=67 -14，b=76 15，c=log278，定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞)且x1≠x2都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为()A.f(b)<f(a)<f(c)B.f(c)>f(b)>f(a)C.f(c)>f(a)>f(b)D.f(b)>f(c)>f(a)19.设定义在R上的奇函数f(x)满足，对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x2)-f(x1)x2-x1<1，且f(3)=3，则不等式f(x)x>1的解集为()A.(-3，0)∪(0，3)B.(-∞，-3)∪(0，3)C.(-∞，-3)∪(3，+∞)D.(-3，0)∪(3，+∞)20.设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且有3f(x)+xf′(x)>0，则不等式(x+2015)3f(x+2015)+27f(-3)>0的解集是.21.设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，∀x∈R，有f(-x)+f(x)=x2，在(0,+∞)上f′(x)<x，若f(4-m)-f(m)≥8-4m，则实数m的取值范围是.22.已知定义在R上函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f′(x)<-2，则不等式f(ln x)>5-2ln x的解集为.23.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f (x)<1，f(0)=4，则不等式e x[f(x)-1]>3(e为自然对数的底数)的解集为.24.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)>1-f′(x)，f(0)=0，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x-1(其中e为自然对数的底数)的解集为.25.函数f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为26.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-1)=0，若不等式x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2<0对区间(-∞,0)内任意两个不相等的实数x1，x2都成立，则不等式xf(2x)<0解集是.专题10:有关距离问题1.设点P在曲线y=12e x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|最小值为()A.1-ln2B.2(1-ln2)C.1+ln2D.2(1+ln2)2.设点P在曲线y=e2x上，点Q在曲线y=12ln x上，则|PQ|的最小值为()A.22(1-ln2)B.2(1-ln2)C.2(1+ln2)D.22(1+ln2)3.设点P在曲线y=x上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|PQ|的最小值为()A.1-ln22 B.22(1-ln2) C.1+ln22 D.2(1+ln2)24.设动直线x=m与函数f(x)=x3，g(x)=ln x的图象分别交于点M、N，则|MN|的最小值为()A.13(1+ln3)B.13ln3C.13(1-ln3)D.ln3-15.设动直线x=m与函数f(x)=e x，g(x)=ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|最小值的区间为()A.12,1B.(1,2)C.2,52D.52,36.已知直线y=a分别与函数y=e x+1和y=x-1交于A，B两点，则A，B之间的最短距离是()A.3-ln22 B.5-ln22 C.3+ln22 D.5+ln227.若实数a，b，c，d满足|b+a2-4ln a|+|2c-d+2|=0，则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()A.3B.4C.5D.68.已知函数f(x)=e x-1,x≤012x-1,x>0，若m<n且f(m)=f(n)，则n-m的最小值为()A.2ln2-1B.2-ln2C.1+ln2D.29.已知函数f (x )=x 3+sin x ，g (x )=12x +1,x <0ln (x +1),x ≥0，若关于x 的方程f (g (x ))+m =0有两个不等实根x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2-x 1的最小值是()A.2B.3-ln2C.4-2ln2D.3-2ln210.已知函数f (x )=-32x +1,x ≥0e -x-1,x <0，若x 1<x 2且f (x 1)=f (x 2)，则x 2-x 1的取值范围是()A.23，ln2B.23，ln 32+13C.ln2，ln 32+13D.ln2,ln 32+1311.已知点M 在曲线y =3ln x -x 2上，点N 在直线x -y +2=0上，则|MN |的最小值为.12.已知直线y =b 与函数f (x )=2x +3和g (x )=ax +ln x 分别交于A ，B 两点，若AB 的最小值为2，则a +b =.13.若实数a ，b ，c ，d 满足2a 2-ln a b =3c -2d=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.14.若实数a 、b 、c 、d 满足a 2-2ln a b =3c -4d=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.15.已知实数a ，b ，c ，d 满足a -2e a b =1-c d -1=1，则(a -c )2+(b -d )2的最小值为.专题11:参数的值或范围问题1.已知函数f (x )=x -ln x ，g (x )=x 2-ax .(1)求函数f (x )在区间[t ，t +1](t >0)上的最小值m (t )；(2)令h (x )=g (x )-f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图象上任意两点，且满足h (x 1)-h (x 2)x 1-x 2>1，求实数a 的取值范围；(3)若∃x ∈(0，1]，使f (x )≥a -g (x )x成立，求实数a 的最大值.2.已知函数f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -3.(Ⅰ)求f (x )在[t ，t +2](t >0)上的最小值；(Ⅱ)若存在x ∈1e ，e(e 是常数，e =2.71828⋯)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)证明对一切x ∈(0,+∞)都有ln x >1ex -2ex 成立.3.已知函数f (x )=x ln x ，g (x )=-x 2+ax -2(Ⅰ)求函数f (x )在[t ，t +2](t >0)上的最小值；(Ⅱ)若函数y =f (x )+g (x )有两个不同的极值点x 1，x 2(x 1<x 2)且x 2-x 1>ln2，求实数a 的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x，g(x)=12x2-bx+1(b为常数).(1)函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切，求实数b的值；(2)若b=0，h(x)=f(x)-g(x)，∃x1、x2[1，2]使得h(x1)-h(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；(3)当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f(x1)-f(x2)|>|g(x1)-g (x2)|成立，求b的取值范围.5.设函数f(x)=ax2-a-ln x，g(x)=1x-e⋯为自然对数的底数.e x，其中a∈R，e=2.718(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x>1时，g(x)>0；(3)确定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.6.已知函数f(x)=x+a ln x在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直.(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)函数g(x)=f(x)+12x2-bx，若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围；(Ⅲ)设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b≥72，求g(x1)-g(x2)的最小值.7.已知函数f (x )=a ln x +a +12x 2+1(1)当a =12时，求f (x )在区间1e ,e上的最值(2)讨论函数f (x )的单调性(3)当-1<a <0时，有f (x )>1+2aln (-a )恒成立，求a 的取值范围.8.已知函数f (x )=ax +x ln x 的图象在点x =e (e 为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)若f (x )≤kx 2对任意x >0成立，求实数k 的取值范围；(Ⅲ)当n >m >1(m ,n ∈N *)时，证明：nm m n>m n .9.已知函数f (x )=x -ln (x +a )的最小值为0，其中a >0.设g (x )=ln x +m x，(1)求a 的值；(2)对任意x 1>x 2>0，g (x 1)-g (x 2)x 1-x 2<1恒成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论方程g (x )=f (x )+ln (x +1)在[1，+∞)上根的个数.10.设函数f(x)=ln x+a(1-x).(Ⅰ)讨论：f(x)的单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.专题12:分离参数法1.已知函数f x =e x -ae -x ，若f (x )≥23恒成立，则实数a 的取值范围是.2.已知函数f x =ln x -a x ，若f x <x 2在1,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是.3.若对任意x ∈R ，不等式3x 2-2ax ≥x -34恒成立，则实数a 的范围是.4.设函数f (x )=x 2-1，对任意的x ∈32,+∞ ,f x m -4m 2f (x )≤f (x -1)+4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是.5.若不等式x 2+2+x 3-2x ≥ax 对x ∈0,4 恒成立，则实数a 的取值范围是.6.设正数f x =e 2x 2+1x ,g x =e 2x ex ，对任意x 1,x 2∈0,+∞ ，不等式g x 1 k ≤f x 2 k +1恒成立，则正数k 的取值范围是.7.已知函数f x =ax 2-2a +1 x +ln x ,a ∈R ,g x =e x -x -1，若对于任意的x 1∈0,+∞ ,x 2∈R ，不等式f x 1 ≤g x 2 恒成立，求实数a 的取值范围.8.若不等式x +22xy ≤a x +y 对任意正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值是()A.1B.2C.2+12D.22+19.已知函数f x =1+ln x x ，如果当x ≥1时，不等式f x ≥k x +1恒成立，求实数k 的取值范围.10.已知函数f x =x +x ln x ,若k ∈Z ,且k <f x x -1对任意x >1恒成立,则k 的最大值为________.。
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一、 分类讨论：分类讨论复杂影响定义域， 导是否有根，最高次项系数(开口方向) 例1.(大兴19)已知函数f(x) (22 m)X .x m(I)当m 1时，求曲线f (x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求函数f(x)的单调区间.(2 m)(x 2m) (2 m)x 2x fW--- K (1 )当 m 0时，f(x)-.x因为f '(x)当 f'(x) 0 时，x 0,或x 0.所以函数f (x)的单调减区间为(，0),(0,)，无单调增区间(2) 当m 0时，f (x)的定义域为{xxm}.当 f'(x) 0时，x 、、 m 或.m x . m 或x 、. m ,所以函数f (x) 的单调减区间为(,j m ),( —, —),(~m, 单调增区间•(3) 当 m 0时，f'(x) (m 2)(x 2 而2x 扁).(x 2 m)2①当0 m 2时，若 f '(x) 0，则 x. m 或x . m ，(13分)解：(I)当 m 1 时，f(x)x x 2 1.因为f '(x)x 2 1 22-(x 1)所以k 所以函数f (x)在点1 1(訐(2))处的切线方程为12x 25y4(m 2)(x 2m) 2 2(x m))，无f'121 25 .因为f (2若f '(x) 0 ,贝y m x 、、m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,,m),C，m,),函数f(X)的单调增区间为(、、m,、、m).②当m 2时，f (x) 0 ,为常数函数，无单调区间•③当m 2时，若f '(x) 0，贝U 、、m x .. m，若f '(x) 0 ,则x 、、m或x m ,所以函数f(x)的单调减区间为(,函数f(x)的单调增区间为(，.m),( . m,).综上所述，当m 0时，函数f (x)的单调减区间为(,0),(0,)，无单调增区间；当m 0时，函数f(x)的单调减区间为(，■-m),(、._m,, _m),(、~~m,)无单调增区间；当m 0时，①当0 m 2时，函数f (x)的单调减区间为(,x m),^ m,),函数f (x)的单调增区间为(•、一 m, •、_ m)；②当m 2时，f(x) 0 ,为常数函数，无单调区间；③当m 2时，函数f (x)的单调减区间为(、、m,-、m)，函数f(x)的单调增区间为(，吊),(、m, ) —13根与定义域，最值处需要比较例2. (2012年北京理科)已知函数f(x) ax2 1(a 0)，g(x) x3 bx -(i)若曲线y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a, b的值;2(n )当a 4b时，求函数f(x) g(x)的单调区间，并求其在区间(-上的最大值解：(1 )由1, c为公共切点可得：2f (x) ax 1(a 0)，贝U f (x) 2 ax, K 2a ,3 2g(x) x bx，贝U f (x)=3x b , k2 3 b,2a 3 b ①又 f(1) a 1 , g(1) 1 b ,a 11 b ，即a b ，代入①式可得:(2) Q a 24b ,设 h(x) f(x)g(x) x 321 2 ax ax41 则 h (x) 3x 22ax 1 2a ，令 h (x)0，解得 a :x 1x ?a —;426Q a 0 ,aa26，原函数在a单调递增，在a-单调递减， 在a 上单调递增22， 66，①若1< a，即a < 2时，最大值为 h(1) a 2a” ,•24②若a 1 a 即2 a 6时， 最大值为 h -12 62③若1> 6时，即a >6时，最大值为h综上所述:当a 0,2时，最大值为h(1)2a ta；当 a 2 ,4时，最大值为h ?1•二、恒成立问题例3( 2014海淀一模)已知函数 f (x) xln x .(I )求 f(x)的单调区间；(n )当k 1时，求证：f (x) kx 1恒成立.(I )定义域为0,---------------------------------- 1分 f '(x) In x 1---------------------------------- 2分1令 f '(x) 0 ,得 x ----------------------------------- 3分f '(x)与f (x)的情况如下:分1 1所以f(X)的单调减区间为(0,—)，单调增区间为(―，)--------------------------- 6分e e(n )分离参数，证明1:1设g(x) ln x , x 0 ----------------------------- 7分X八1 1 X 1g(X) 2 2 ------------------------------------------- 8分X X Xg'(x)与g(X)的情况如下：所以g(x) g(1) 1，即1ln x 1在x 0时恒成立， ------------- 10 分x, 1 ,所以，当k 1时，ln x k，x所以xlnx 1 kx，即xlnx kx 1，X|k | B| 1 . c|O |m所以，当k 1时，有f (x) kx 1. -------------------- 13 分证明2：直接作差构造新函数令g(x) f (x) (kx 1) xlnx kx 1 ----------------------------- 7分g'(x) In x 1 k ----------------------------- 8分令g '(x) 0 ,得x e k 1------------------------------ 9 分g'(x)与g(x)的情况如下:2x)x证明：设g （x ）f(x)xe ^(xxX( 20)，则 g '(x)4x------------------- 10分g(x)的最小值为g(e k1) 1 e k 1--------------- 11分当 k 1 时，e k1 1，所以 1 e k1 0 故 g(x) 0----------------------- 12 分 即当 k 1 时，f(x) kx 1. ------------------------------ 13 分xe 例4.（ 2015海淀期末文科20题）已知函数f （x ） .x（I ）若曲线y f （x ）在点（x 。
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完整版)导数求导练习题1.若 $f(x) = \sin\alpha - \cos x$，则 $f'(\alpha)$ 等于什么？答：$f'(\alpha) = \cos\alpha$。
2.函数 $f(x) = ax^3 + 3x^2 + 2$，若 $f'(-1) = 4$，则 $a$ 的值等于什么？答：$f'(x) = 3ax^2 + 6x$，代入 $x=-1$ 得 $-3a + (-6) = 4$，解得 $a = -\frac{10}{3}$。
3.函数 $y=x\sin x$ 的导数是什么？答：$y' = \sin x + x\cos x$。
4.函数 $y=x^2\cos x$ 的导数是什么？答：$y' = 2x\cos x - x^2\sin x$。
5.若 $y=(2x^2-3)(x^2-4)$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = 4x^3 - 16x$。
6.若 $y=3\cos x - 4\sin x$，则 $y'$ 等于什么？答：$y' = -3\sin x - 4\cos x$。
7.与直线 $2x-6y+1=0$ 垂直，且与曲线 $y=x^3+3x^2-1$ 相切的直线方程是什么？答：曲线在点 $(-1.-1)$ 处的斜率为 $9$，所以切线方程为$y+1 = 9(x+1)$。
8.质点运动方程是 $s=t^2(1+\sin t)$，则当 $t=2$ 时，瞬时速度为什么？答：$v(t) = 2t(1+\sin t) + t^2\cos t$，代入 $t=2$ 得 $v(2) = 8+4\sqrt{2}$。
9.求曲线 $y=x^3+x^2-1$ 在点 $P(-1,-1)$ 处的切线方程。
答：曲线在点 $(-1,-1)$ 处的斜率为 $3(-1)^2+2(-1) = -1$，所以切线方程为 $y+1 = -(x+1)$。
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ln x 1.导数应用之函数单调性题组 1：1.求函数f ( x) =x3 - 3x2 - 9x +12 的单调区间.2.求函数f ( x) =x2 - 3x + ln x 的单调区间.3.求函数f ( x) =x2 + 3x - ln x 的单调区间.4.求函数f ( x) =1x ln x的单调区间.5.求函数f (x) =- ln x + ln(x +1) 的单调区间.1+x题组 2：1.讨论函数f (x) =1x4+1ax3-a2x2+a4 (a > 0) 的单调区间.4 32.讨论函数f ( x) =x3+ 3ax2- 9x -12 的单调区间.3.求函数f ( x) =1mx3 - (2 +m)x2 + 4x + 1 (m > 0) 的单调递增区间.3 24.讨论函数f (x) = (a +1) ln x +ax 2+1的单调性.5.讨论函数f (x) = ln x -ax +1-a-1 的单调性. x题组 3：1.设函数f (x) =x3+ax2+x +1.(1)讨论函数f (x) 的单调区间；2 1(2)设函数f (x) 在区间(- ，-)内是减函数,求a 的取值范围．3 32.(1)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递增,求实数a 的取值范围.(a>=-2/9)(2)已知函数f (x) =ax2+x + ln x 在区间(1, 3) 上单调递减,求实数a 的取值范围.(a<=-1)3.已知函数f (x) = (x3+ 3x2+ax +b)e-x.(1)若a =b =-3 ,求f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 在(-∞,),(2,) 单调递增,在(, 2),(, +∞) 单调递减,证明: -< 6 .4.设函数f (x) =x3+ax2-a2x +1 , g(x) =ax2- 2x +1 ,(1)若a > 0 ,求函数f (x) 的单调区间；(2)若f (x) 与g(x) 在区间(a, a + 2) 内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数f (x) =x2e x-1+ax3+bx2,且x =-2 和x =1 均为f (x) 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论f (x) 的单调性；(2)设g(x) =2x3-x2,试比较f (x) 与g(x) 的大小．32.设函数f (x) =x2 (x -a) .(1)若f '(1) = 3 ,求曲线y = f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；(2)求函数y = f (x) 在区间[0,2]上的最大值.3.设函数f (x) =ax3- 3x 2．(1)若x = 2 是函数y = f (x) 的极值点,求a 的值；(2)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0，2],在x=0处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数f (x) =1x3+x2- 2 . 3(1)设S 是正项数列{a }的前n 项和, a = 3,且点(a , a2-2a ) 在函数y = f '(x) 的图象上,求证:点n(n, Sn ) 也在y =n 1f '(x) 的图象上；n n+1 n+1(2)求函数f (x) 在区间(a -1, a) 内的极值.5.设函数f (x) =ax3+bx2- 3a2x +1在x =x ,x =x 处取得极值,且x -x = 2 ．1 2 1 2(1)若a =1 ,求b 的值,及函数f (x) 的单调区间；(2)若a > 0 ,求实数b 的取值范围．6.设函数f (x) =1ax3-bx2+ (2 -b)x +1 在x 处取得极大值,在x 处取得极小值,且0 <x <1 <x < 2 .3 1 2 1 2证明: a > 0 ,并求a + 2b 的取值范围.7.已知x =1 是函数f (x) =1ax3-3x2+ (a +1)x + 5 的一个极值点, 3 2(1)求函数f (x) 的解析式；(2)若y =f (x) 的图像与直线y = 2x +m 有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知x = 3 是函数f (x) =a ln(1+x) +x2-10x 的一个极值点.(1)求f (x) 的解析式及其单调区间；(2)若直线y =b 与曲线y = f (x) 有三个交点,求b 的取值范围.9.设函数f (x) =x4+ax3+ 2x2+b(x ∈R) ．(1)若函数f (x) 仅在x = 0 处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的a∈[-2，2],不等式f (x) ≤1在[-1，1]上恒成立,求b的取值范围．10.设x = 3 是函数f (x) = (x2+ax +b)e3-x的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数f (x) 的单调区间；(2)设a > 0 ,g(x) = (a2+25)e x.若存在x , x ∈[0, 4],使f (x ) -g(x ) < 1总成立,求a 的取值范围.4 1 2 1 211.已知函数f (x) = kx +1x2+c(c > 0 且c ≠ 1)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x =-c ．(1)求函数f (x) 的另一个极值点；(2)求函数f (x) 的极大值M 和极小值m ,并求M -m ≥1 时k 的取值范围．12.设函数f (x) =ax3+bx2+cx +d 的图像∏上有两个极值点P, Q ,其中P 为坐标原点,(1)当点Q 的坐标为(1, 2) 时,求f (x) 的解析式；(2)当点Q 在线段x +y - 5 = 0 (1 ≤x ≤ 3) 上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.13.导数应用之函数的零点题组 1：1. 函数 f (x ) = 3x - x 2 在区间[-1, 0] 内有没有零点？为什么？2. 函数 f (x ) = 2x + 3x 的零点所在的一个区间是【】.A. (-2, -1)B. (-1, 0)C. (0,1)D. (1, 2)3. 函数 f (x ) 的零点与 g (x ) = 4x + 2x - 2 的零点之差的绝对值不超过0.25 ,则 f (x ) 可以是【】.A. f (x ) = e x -1C. f (x ) = (x -1)2B. f (x ) = 4x -1D. f (x ) = ln(x - )24. 若2 < a < 3 < b < 4 ,且函数 f (x ) = log a x + x - b 的零点 x 0 ∈(n , n +1) (n ∈ Z ) ,则 n = 【】.A.1B. 2C. 3D. 4题组2：5. 设函数 y =f (x ) 的图像在[a , b ] 上连续,若满足,则方程 f (x ) = 0 在[a , b ] 上有实根.6. 已知 x 是函数 f (x ) = 2x +1的一个零点.若 x ∈(1, x ) , x ∈(x , +∞) ,则【 】.1- x1 02 0A. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) < 0C. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) < 01B. f (x 1) < 0 , f (x 2 ) > 0D. f (x 1) > 0 , f (x 2 ) > 0 7. 函数 f ( x ) = x +的零点个数为.x8.求证:函数 f (x ) = x 2 - 2 -题组 3：3x -1在区间(0, 2) 内没有零点.9. 函数 f ( x ) = x + log 2 x 在区间(0,1) 内是否有零点？为什么？10. 求证:函数 f (x ) = x 4 - 2x -1在区间[-1, 2] 内至少有两个零点.11. 求证:函数 f (x ) = (x - 3)(x - 8) -1有且只有两个零点.12. 求证:函数 f (x ) = ln x - x 2 + x +1有且只有两个零点.13. 设函数 f (x ) = ax 2+ bx + c ,若 f (1) > 0 , f (2) < 0 ,则 f (x ) 在区间(1,2) 上的零点个数为【 】.n1 A.至多有一个 B.有且只有一个 C.有一个或两个 D.一个也没有14.设 m ∈(1, +∞) ,求证:函数 f (x ) = x - ln(x + m ) 有且只有两个零点.15.判断函数 f (x ) = x 2 - lg x 在区间(0,10) 内的零点个数,并说明理由.题组 4：16.设函数 f (x ) = x n + x -1 (n ∈ N *, n ≥ 2) . 1(1)证明: f n (x ) 在区间( 2 ,1) 内存在唯一的零点；1(2) 设 x n 是 f n (x ) 在( 2,1) 内的零点,判断数列 x 2 , x 3 , , x n 的增减性．17. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．218. 设函数 f (x ) = 2 l n x + mx - x 2有两个零点 x , x ,求证: f '( x 1 + x 2 ) < 0 .219. 设函数 f (x ) = ln x - ax 有两个零点 x , x ,求证: x x> e 2 .121 220. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当 为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；n11! 2!n ! +nn当 n 为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n21.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.24.导数应用之图像的切线题组 1：1.求平行于直线9x -y +1= 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.2.求垂直于直线x - 3y + 2 = 0 ,且与曲线y =x3+ 3x2-1相切的直线方程.3.求与直线3x -y + 2 = 0 夹角为45︒,且与抛物线y = 2x2相切的直线方程.4.设函数f(x)=sin x图像上动点P处切线的倾斜角为,求的取值范围.题组 2：5.求函数f ( x) = 2x3的图像C 在点P(1, 2) 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, 2) 的切线方程.7.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1,10) 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数f (x) = x +9x +5的图像相切的直线方程.9.设函数f (x) =ax -bx,曲线C : y = f (x) 在点(2，f (2)) 处的切线为7x - 4 y -12 = 0 ．(1)求函数f (x) 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y =x ,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线2x +y - 3 + ln 2 = 0 是函数f (x) = ln x +(1)求f (x) 的解析式；m的图像C 的一条切线. x(2)若P(s, t) 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值.题组 3：11.已知直线y =x 是函数f ( x) =x3 - 3x2 +ax -1图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知a > 0 ,且过点P(a, b) 可作函数f (x) =x3-x 图像的三条切线,证明: -a <b < f (a) .13.设函数f (x) =1x3-1ax2+bx +c (a > 0) 的图像C 在点P(0, f (0)) 处的切线为y =1.3 2(1)确定b, c 的值；(2)设曲线C 在A( x1, f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 处的切线都过Q(0, 2) ,证明:若x1 ≠x2 ,则f '(x1 ) ≠f '(x2 ) ；(3)若过点Q(0, 2) 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数f (x) =1x3+1ax2+bx 在区间[-1，1),(1，3]内各有一个极值点．3 2(1)求a2- 4b 的最大值；(2)当a2-4b =8 时,设曲线C :y = f (x) 在点A(1，f (1)) 处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求f (x) 的表达式．15.由坐标原点O(0,0) 向曲线y =x3- 3x 2+x 引切线,切于不同于点O 的点P ( x , y ) ,再由P 引切1 1 1 1线切于不同于P1的点P2( x2, y2) ,如此继续下去……,得到点Pn( xn, yn) ,求xn+1与xn的关系,及xn的表达式.巩固练习：1.求函数f ( x) = 2x3的图像经过点P(1, -8) 的切线方程.2.求函数f (x) = x +3x2+31的图像经过点P(3, ) 的切线方程.23. 如图,从点 P (0, 0) 作 x 轴的垂线交于曲线 y = e x于点Q (0, 1) ,11曲线在Q 1 点处的切线与 x 轴交与点 P 2 ；再从 P 2 作 x 轴的垂线交曲线于点Q 2 ,依次重复上述过程得到一系列的点: P 1 , Q 1 , P 2 , Q 2 ,…, P n , Q n ,记点 P k 的坐标为 P k ( x k , 0) (k = 1, 2,3, , n ) . (1)求 x k +1 与 x k 之间的等量关系；(2) 求 P 1Q 1 + P 2Q 2 + P 3Q 3 +... + P n Q n .5.导数应用之存在与任意a 1.已知函数 f (x ) = x + +b (x ≠ 0) ,其中 a , b ∈ R ．x(1) 若曲线 f (x ) 在点 P (2, f (2)) 处的切线方程为 y = 3x +1,求函数 f (x ) 的解析式；1 1(2) 若对于任意的 a ∈[ , 2] ,不等式 f (x ) ≤ 10 在 x ∈[ ,1] 恒成立,求b 的取值范围．2 42.已知函数 f (x ) = (1+ x )2 - 2ln(1+ x ).(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 f (x ) < m 对 x ∈[e -1 -1,e -1]恒成立,求m 的取值范围；3. 设函数 f (x ) =1 .x ln x1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若 2 x> x a 对 x ∈(0,1) 恒成立,求 a 的取值范围.4. 已知函数 f (x ) = ln 2(x +1) -x 2. x +1(1)求 f (x ) 的单调区间；(2)若(1+ 1)n +α ≤ e 对n ∈ N n+都成立,求α 的最大值.5. 设函数 f (x ) = x (e x -1) - ax 2 .1(1)若 a =,求 f (x ) 的单调区间； (2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 0 ,求 a 的取值范围.26. 设函数 f (x ) = e x - ax 2 - x .(1)若 a = 0 ,求 f (x ) 的最小值；(2)若当 x ≥ 0 时, f (x ) ≥ 1恒成立,求 a 的取值范围.7. 设函数 f ( x ) = e x - ax 的图象与 y 轴交于点 A ,曲线 y = f ( x ) 在点 A 处的切线斜率为-1.(1) 求 f ( x ) 的极值；(2) 证明:当 x > 0 时, x 2 < e x ；(3) 证明:对任意给定的正数c ,总存在 x ,使得当 x ∈(x ，+∞) ,恒有 x 2 < ce x . 8.设函数 f ( x ) = ax + cos x ,(1) 讨论函数 f (x ) 在区间[0,] 内的单调性；(2) 若 f (x ) ≤ 1+ sin x 对 x ∈[0,]恒成立,求实数 a 的取值范围.9. 设函数 f (x ) = x cos x - sin x , x ∈[0, ].2(1)求证: f (x ) ≤ 0 ；sin x(2)若 a < < b 对 x ∈(0, ) 恒成立,求 a 的最大值与b 的最小值.x 210. 已知函数 f (x ) = (a + 1) ln x + ax 2+ 1,(1)讨论函数 f (x ) 的单调性；(2)设 a < -1,且对任意的 x 1 , x 2 ∈ (0,+∞) ,都有| f (x 1 ) - f (x 2 ) ≥ 4 | x 1 - x 2 | ,求 a 的取值范围.11. 已知 x = 3 是函数 f (x ) = (x 2 + ax + b )e 3-x 的一个极值点.(1)求 a 与b 的关系式(用 a 表示b ),并求函数 f (x ) 的单调区间；(2)设 a > 0 , g (x ) = (a 2 +25)e x.若存在 x , x ∈[0, 4],使得 f (x ) - g (x ) < 1成立,求 a 的取值范围.41 2 1 212.已知函数 f (x ) = ax 3 + 1x 2 cos - 2x + c 的图像过点(1,37) ,且在[-2,1] 上递减,在[1, +∞) 上递增. 26(1) 求 f (x ) 的解析式；45 1 1 2 2 1 1 2 2 (2) 若对任意的 x , x ∈[m , m + 3] 都有 f (x ) - f (x ) ≤ 成立,求正实数 m 的取值范围.1212213.设函数 f (x ) = 1 mx 3 - (2 +m )x 2 + 4x + 1, g (x ) = mx + 5 .32(1) 当m > 0 时,求函数 f (x ) 的递增区间；(2) 是否存在负实数 m ,使得对任意的 x 1, x 2 ∈[1, 2],都有 g (x 1 ) - f (x 2 ) ≤ 1？若存在,求 m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在二次函数 f (x ) = ax 2 + bx + c ( abc ≠ 0 )的图像上,记直线 AB的斜率为 k ,求证: k =f '(x 1 + x 2) ； 2(2)设不同的两点 A (x , y ), B (x , y ) 均在“伪二次函数” g (x ) = ax 2+ bx + c ln x (abc ≠ 0 )的图像上,记 直线 AB 的斜率为 k ,试问: k = g '(x 1 + x 2 ) 还成立吗？22.设函数 f (x ) = ax 2 + (1 - 2a )x - ln x (a ∈ R ) ．(1) 当 a > 0 时,求函数 f (x ) 的单调递增区间；(2) 记函数 y = f (x ) 的图像为曲线C ,设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) 是曲线C 上不同的两点, M 为线段 AB 的中点,过点 M 作 x 轴的垂线交曲线C 于点 N ．试问:曲线C 在点 N 处的切线是否平行于直线 AB ？3. 设函数 f (x ) = x 2 - (a - 2)x - a ln x ．(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3) 若方程 f (x ) = c 有两个不等实根 x 1 , x 2 ,求证: f '(x 1 + x 2 ) > 0 ．24.设函数f (x) = 2 ln x +mx -x2.(1)若曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为y = 2x +n ,求实数m, n 的值；f (a) -f (b)>-2 ；(2)若m >-4 ,求证:当a >b > 0 时,有a2-b2(3)若函数f (x) 有两个零点x1 , x2 (x1 <x2 ) ,且x0 是x1 , x2 的等差中项,求证: f '(x0 ) < 0 .5.设函数f (x) = ln x -ax 有两个零点x ,x ,求证: x x >e2.1 2 1 26.设函数f ( x) =e x-ax +a 的两个零点为x ,x ,求证: x x <x +x .1 2 1 2 1 27.设函数f (x) =e x-ax ,其中a >e ,(1)求证:函数f (x) 有且仅有两个零点x1 ,x2 ,且0 <x1 < 1 <x2 ；(2)对于(1)中的x1 , x2 ,求证: f '(x1 ) +f '(x2 ) > 0 .1 8. 设函数 f (x ) = e x + mx 的图像在点 P (0, f (0)) 处的切线方程为 2x - y +1 = 0 ,求证:对满足 a < b < c 的实数 a , b , c ,都有 f (b ) - f (a ) < f (c ) - f (b )成立.b - ac - b7.导数应用之不等式证明(1)1 1 11.证明:对任意的n ∈ N + ,都有ln( n + 1) > n 2 - n3 .2.已知 m , n ∈ N + ,且1 < m < n ,求证: (1+ m )n > (1+ n )m .3. 设函数 f (x ) =+ a ln(x -1), （1- x )n(1) 当 n = 2 时,求函数 f (x ) 的极值；(2) 当 a = 1 时,证明:对任意的n ∈ N + ,当 x ≥ 2 时,都有 f (x ) ≤ x -1.4. 已知函数 f (x ) = e x - a ln(x +1) -1 在点 P (0, f (0)) 处的切线垂直于 y 轴,(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2)当 m > n > 0 时,求证: e m -n -1 > ln(m +1) - ln(n +1) .n n +2 n n +15. 设函数 f (x ) = xex,且 f 1 (x ) =f '(x ) , fn +1 (x ) = f n '(x ) (n ∈ N + ) .(1)求 f 1 (x ) , f 2 (x ) , f 3 (x ) , f n (x ) 的解析式；(2)求证:对任意的实数 a , b ,以及任意的正整数 n ,都有 f 2n (a ) - f 2n -1 (b ) <f (n ) .6. 设函数 f (x ) = mx - x ln x 在 x = 1 处取得极值,数列{a }满足e -1 < a < 1 , a= f (a ) (n ∈ N + ) .n1n +1n(1) 求函数 f (x ) 的单调区间；(2) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有e -1 < a <1；(3) 求证:对任意的 n ∈ N * ,都有 a + a < 2a .7. 记函数 f 2 n (x ) = +x + x + + x(n ∈ N ) ,求证:当 为偶数时,方程 f (x ) = 0 没有实数根；当n11! 2!n !+nnn为奇数时,方程 f n (x ) = 0 有唯一实数根 x n ,且 x n +2 < x n .xx 2 x 3 x n8.设函数 f n ( x ) = -1 + 12 + 22 + 32 + + n2 ( x ∈ R , n ∈ N + ) ,2(1) 证明:对每个n ∈ N + ,存在唯一的 x n ∈[ 3,1] ,满足 f n ( x n ) = 0 ；1 (2) 证明:对任意 p ∈ N + ,由(1)中 x n 构成的数列{x n }满足0 < x n - x n + p <n.8.导数应用之不等式证明(2)1. 设函数 f (x ) =1- x + ln x .ax(1) 若函数 f (x ) 在[1,+∞) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围； (2) 当 a = 1 时,求证:对大于1的任意正整数 n ,都有ln n >1 + 1 + 1 + ⋅⋅⋅ + 1 .234 n2. 设函数 f (x ) = x - ln(x + a ) 的最小值为0 ,其中 a >0 .(1) 若对任意的 x ∈[0,+∞) ,有 f (x ) ≤ kx 2 成立,求实数 k 的最小值； (2) 证明:对大于1的任意正整数 n ,都有1 + 3 1+ + 51 < 2n -1 1 ln(2n +1) .23. 设函数 f (x ) = kx 2 , g (x ) = ln x ,(1) 讨论关于 x 的方程 f (x ) = g (x ) 在区间[e -1, e ] 内的实数根的个数；ln1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有 14 + + 24 34 + 44 + + n 4 < 2e.e 1 1 1 14. 设函数 f ( x ) = x - a ln(1 + x 2 ) ,1 2(1) 若函数 f ( x ) 在区间( , ) 上递增,求实数a 的取值范围；3 3(2)证明:当 x > 0 时, ln(1+ x 2 ) < x ；(3)证明:对大于1的任意正整数 n ,都有(1 +14 )(1 + 24 )(1 + 34 ) (1 + n4 ) < 2e .5.设函数 f (x ) =2x,其中 f (1) = 1 , f ( 1 ) = 2 .在数列{x }中, x = 1,且 x= f (x ) .ax + b(1) 求数列{x n }的通项 x n .2 3n1 12n +1n(2) 求证:对任意的正整数n ,都有 x 1x 2 x 3 x n >2e.6. 设函数 f (x ) = e x - ax -1 ,(1) 若 f (x ) ≥ 0 对 x ∈ R 均成立,求正实数 a 的取值集合；(2)求证:对任意的正整数 n ,都有( 1 )n + ( 2)n + ( 3)n + + ( n )n <e.nn n n e -17. 设函数 f ( x ) = e x - x - 1 ,(1) 求证:函数 f (x ) 有且只有一个零点；1 n 3 n 5 n 2n - 1 n(2) 求证:对任意的正整数 n ,都有( ) 2n + ( ) 2n + ( ) 2n + + ( 2n) < .e - 1k k 1 1 2 2 n n 1 2 1 2 n8.(1)设函数 f (x ) = rx - x r +1- r (x > 0) ,其中0 < r < 1.求函数 f (x ) 的最小值；(2) 用(1)的结果证明命题:设 a ≥ 0 , a ≥ 0 , b , b 为正实数,若b + b = 1,则 a b 1 a b 2 ≤ a b + a b ；121212121 12 2(3) 请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数 f (x ) = ln x - x + 1的最大值；(2) 设a , b 均为正实数,证明:若a b + a b+ + a b ≤ b + b + + b ,则a b 1 a b 2 a b n ≤ 1 ；(3) 设a , b 均为正实数,证明:若b + b + + b = 1 ,则 1 ≤ b b b b b b ≤ b 2 + b 2 + + b 2 . k k 1 2 1 2 n n1 2 nn 1 2 nn。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
导数经典专题最新整理版
导数在研究函数中的应用知识点一、导数的几何意义函数()y f x =在0x x =处导数()0f x '是曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的 ，即_______________;相应地，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处的切线方程是例1.(1)曲线x e x y +=sin 在点)1,0(处的切线方程为（ ）A.033=+-y xB.022=+-y xC.012=+-y xD.013=+-y x（2）若曲线x x y ln =上点P 处的切线平行于直线012=+-y x ，则点P 的坐标是（ ）A.),(e eB.)2ln 2,2(C.)0,1(D.),0(e【变式】（1）曲线21x y xe x =++在点)1,0(处的切线方程为（ ）A.13+=x yB.12+=x yC.13-=x yD.12-=x y（2）若曲线x ax y ln 2-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则a 的值为（ ）A.1B.2C.21 D.21- 知识点二、导数与函数的单调性（1）如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间；(2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间. 例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ）A.)0,(-∞B.),0(+∞C.)1,3(-D.),1()3,(+∞--∞和（2）函数x x y ln 212-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像.（1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+=(3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 331)(23++-=知识点三、导数与函数的极值函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）例1.（1）求函数1331)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值例2.（1）已知函数x x x f ln )(=，则下列关于)(x f 说法正确的是（ ）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，有无极小值（2）已知函数bx ax x f +=3)(在1=x 处有极值2-，则b a ,的值分别为（ ）A.1,3-B.1,3C.1-,3D.1-,3-（3）函数2)()(m x x x f -=在1=x 处取得极小值，则m 的值为（ ）A.1B.3C.31或D.0知识点四、导数与函数的最值例1.（1）求函数1331)(23+--=x x x x f 在]4,2[-的最大值和最小值 （2）求32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值和最小值（3）求函数x x x f ln 2)(2-=的最小值【思考】（1）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像的特征有哪些？（2）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(在定义域R 是严格单调还是不单调由什么决定？（3）三次函数d cx bx ax x f +++=23)(的图像与x 轴的交点个数（或函数的零点个数）由什么决定？（4）函数有没有极值对其单调性有怎样的影响？（5）函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系？【注意】（1）在区间),(b a 内)0)((0)(<'>'x f x f 是函数)(x f 在此区间上为增函数（减函数）的充分不必要条件.（2）函数在),(b a 上是增函数的充要条件是对任意的),(b a x ∈，0)(≥'x f 恒成立（3）函数在),(b a 上是减函数的充要条件是对任意的),(b a x ∈，0)(≤'x f 恒成立（4）0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的必要不充分条件（即导数值为0的点0x 不一定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于0） 知识点五、有关参数的取值范围问题例1.（1）已知函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞ （2）若()()3261f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）A.()1,2-B.()3,2-C.()(),12,-∞-+∞D.()(),36,-∞-+∞(3)若函数32()4f x x ax =-+在)2,0(内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]3,0B.(]1,0C.[)+∞,3D.),0(+∞(4)若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞例2.（1）函数13)(23+-=x ax x f ，若)(x f 存在唯一的零点0x ，且00>x ，则a 的范围是（ ）A ．()+∞,2B ．()+∞,1C ．()2,-∞-D ．()1,-∞-（2）函数ax x y +=ln 有两个零点，则a 的取值范围（ ）A ．()e ,1B ．()+∞-,1C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,1eD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【经典训练题】1、设曲线2ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ( )A ．1B ．12C ．12-D ．1-2、曲线21x y x =-在点()1,1处的切线方程为( ) A. 20x y --= B. 20x y +-= C.450x y +-= D. 450x y --=3、已知曲线x x y ln 342-=在点）（)(,00x f x 处的切线与直线012=-+y x 垂直，则0x 的值为( ) A.3 B.0 C.2 D.14、直线12y x b =+与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．15、 函数x x y +=3的递增区间是（ ）A.），（∞+0B. ）（1,∞-C. ）（+∞∞-,D.）（∞+16、函数x x y ln =的单调递减区间是( )A ．),(1+∞-eB ．),(1--∞eC ．),0(1-eD ．),(+∞e7、0)(0='x f 是可导函数()y f x =在点0x x =处有极值的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件8、函数331x x y -+=的极大值，极小值分别是 （ ）A. 极小值-1，极大值1B. 极小值-2，极大值3C. 极小值-2，极大值2D. 极小值-1，极大值39、函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（）A.2B.3C.4D.510、32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A.2-B.0C.2D.111、函数x e x x f )3()(-=在]4,0[上的最大值和最小值为（ ）A.3,2-eB.3,4-eC.24,e e -D.2,3e --12、已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是（ ）A.0x R ∃∈，0()0f x =B.函数()y f x =的图象是中心对称图形C.若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减D.若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =13、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如右图所示，则导函数)(x f y '=的图象可能为()14、设)(x f y '=是函数()y f x =的导函数，)(x f y '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是( )(A) (B) (C) （D ）16、已知函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A.），（∞+0B. ]3,∞-（C.）（+∞∞-, D.）∞+1[ 17、 已知函数x ax x x f 1)(2++=在),21(+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A.]0,1[- B. ]3,0[ C. ）+∞,3[ D.）∞+1[18、函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域的子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）A.]2,1[B. )23,23(-C. ）23,1[ D.）∞+1[ 19、已知函数x x x f 3)(3-=在)6,(2a a -上有最小值，则实数a 的取值范围（ ）A.]1,2[--B. ]1,5(-C. )1,5(-D.）1,2(- 20、函数a x x x x f +++-=93)(23与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围（ ）A.)27,(--∞B. ),5(+∞C. ),5()27,(+∞--∞D.）5,27(-导数经典解答题典例1.已知函数1331)(23+--=x x x x f ，求函数)(x f 在区间]6,2[-上的最大值和最小值.【思考】在下列区间上的最大值和最小值（1）在区间]4,2[-（2）在区间]2,2[-（3）在区间]2,0[（4）在区间]5,4[【注意】题型1、求函数)(x f 的单调区间（或讨论单调性）典例2.（1）已知函数ax x x x f ++=2331)(，讨论()f x 的单调性； （2）已知函数1)(--=ax e x f x ，求)(x f 的单调增区间；（3）已知函数)1(ln )(x a x x f -+=，讨论()f x 的单调性；题型二、利用导数求函数的极值和最大（小）值典例3.已知函数1)1(32)(23+--=x a x x f ，其中1≥a（1）求)(x f 的单调区间（2）讨论)(x f 的极值典例4.已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=（1）当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程；（2）求函数)(x f 的极值.典例5.已知函数ax x x f -=ln )(.（1）当1=a 时，求曲线)(x f 在点），（)1(1f 处的切线方程；（2）若0<a ，且函数)(x f 在区间],1[e 上的最大值为2，求a 的值.典例6.已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明：对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.题型三、利用导数求参数的取值范围典例7.已知()322f x x bx cx =+++（1）若()f x 在1x =时有极值1-，求,b c 的值；（2）若函数()y f x =的图象与函数y k =的图象恰有三个交点，求实数k 的取值范围典例8.设函数2()2ln f x x x =-.（1）求函数()f x 的单调递增区间;（2）若函数()22f x x x a +---在[1,3]内恰有两个零点，求实数a 的取值范围.典例9.已知函数c bx ax x x f +++=3)(在32-=x 与1=x 处都取得极值. （1）求实数b a ,的值；（2）若对]2,1[-∈x ，不等式2)(c x f <恒成立，求c 的取值范围.典例10.已知函数123)(23+-=x ax x f ，其中0>a .（1）若1=a ，求曲线)(x f y =在点），（)2(2f 处的切线方程； （2）若在区间]21,21[-上，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围.典例11.设函数x x xe e x x f -+=221)(.（1）求)(x f 的单调区间；（2）若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f >)(恒成立，求实数m 的取值范围.典例12.已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.典例13.已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；（2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．典例14.已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式；（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围.典例15.已知函数()ln f x x =,()(0)a g x a x =>,设()()()F x f x g x =+． （1）求函数()F x 的单调区间；（2）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值。
导数考试题型及答案详解
导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。
答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。
答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
2. 已知函数y = ln(x)，求y'。
解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。
四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。
五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。
解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。
然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。
因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。
六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。
(完整版)导数的运算经典习题
（完整版）导数的运算经典习题1. 概述本文档列举了一些有关导数的运算的经典题，以帮助读者巩固和提高对该知识点的理解和应用能力。
2. 题集2.1 一阶导数1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \sqrt{x}$ 的导数 $g'(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x - \sin(x)$ 在 $x = 0$ 处的导数 $h'(0)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x)$ 的导函数 $k'(x)$。
2.2 高阶导数1. 计算函数 $f(x) = \cos(x)$ 的二阶导数 $f''(x)$。
2. 求函数 $g(x) = \frac{1}{x^2}$ 的二阶导数 $g''(x)$。
3. 计算函数 $h(x) = e^x \cos(x)$ 的二阶导数 $h''(x)$。
4. 求函数 $k(x) = \ln(x^2)$ 的二阶导数 $k''(x)$。
2.3 乘积法则和商积法则1. 使用乘积法则计算函数 $f(x) = (3x^2 + 2x + 1)(4x + 1)$ 的导函数 $f'(x)$。
2. 使用商积法则计算函数 $g(x) = \frac{x^2 + 1}{x}$ 的导数$g'(x)$。
2.4 链式法则1. 使用链式法则计算函数 $f(x) = \sin(3x^2 + 2x + 1)$ 的导数$f'(x)$。
2. 使用链式法则计算函数 $g(x) = e^{2x^3}$ 的导函数 $g'(x)$。
3. 总结本文档提供了一些有关导数的运算的经典习题，涵盖了一阶导数、高阶导数、乘积法则和商积法则、链式法则等知识点。
通过完成这些习题，读者可以巩固对导数运算的理解，并提高应用能力。
希望这些习题对您有所帮助！。
完整版)导数大题练习带答案
完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。
Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。
+\infty)$。
Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。
m+3]$ 上的最值。
$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。
m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。
Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。
证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。
2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。
Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。
$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。
导数应用精选50题(含有答案)
C.2
D. 3
2
13.对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ a 0 ），定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的
导数，若方程 f (x) 0 有实数解 x0，则称点（x0，（f x0））为函数 y f (x) 的“拐点”．有
同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
常数 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证：当 x > 时，总有 x > f (x) 成立； (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1－ | < 1,| x2－ | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2.
25.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax3 bx2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
f
( ) ， f 3
(x ) 为 f(x)的导函数，令 a＝
12，b＝log32，则下列关系
正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b)
D．f(|a|)<f(b)
16.设在函数 y x sin x cos x 的图象上的点 x0, y0 处的切线斜率为 k，若 k g x0 ，则
导数练习(全)
导数的计算基本初等函数的导数公式1、基本初等函数的导数公式：()1若()f x c =，则()0f x '=；()2若()()*n f x x x Q =∈，则()1n f x nx -'=； ()3若()sin f x x =，则()cos f x x '=；()4若()cos f x x =，则()sin f x x '=-；()5若()x f x a =，则()ln x f x a a '=；()6若()x f x e =，则()x f x e '=； ()7若()log a f x x =，则()1ln f x x a '=；()8若()ln f x x =，则()1f x x'=． 2、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3、对于两个函数()y f u =和()u g x =，若通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，则称这个函数为函数()y f u =和()u f x =的复合函数，记作()()y f g x =．复合函数()()y f g x =的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系是x u x y y u '''=⋅．习题1、 已知()2f x x =，则()3f '=( )．A ．0B ．2xC ．6D ．9 解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.答案 C 2、 ()0f x =的导数为( )．A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定 解析 常数函数导数为0.答案 A3、 曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 对y ＝x n 进行求导，得n ·2n －1＝12，代入验证可得n ＝3.答案 C4、 设函数()y f x =是一次函数，已知()01f =，()13f =-，则()f x '=________.解析 ∵f (x )＝ax ＋b ，由f (0)＝1，f (1)＝－3，可知a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.5、 函数()f x =的导数是________． 解析 ()78fx x =，∴()1878f x x -'=⋅6、 在曲线31y x x =+-上求一点P ，使过P 点的切线与直线47y x =-平行． 解 ∵y ′＝3x 2＋1. ∴3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. 当x 0＝1时，y 0＝1，此时切线为y －1＝4(x －1) 即y ＝4x －3与y ＝4x －7平行． ∴点为P (1,1)，当x 0＝－1时，y 0＝－3， 此时切线y ＝4x ＋1也满足条件． ∴点也可为P (－1，－3)，综上可知点P 坐标为(1,1)或(－1，－3)．7、 设()()()()()()()01021+1sin ,,,,n n f x x f x f x f x f x f x f x '''==== ，n N ∈，则()2010f x =( )．A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x .8、 下列结论①()sin cos x x '=-；②211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()31log 3ln x x '=；④()1ln x x '=.其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 在①中(sin x )′＝cos x ，在②中⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，在③中(log 3x )′＝1x ln 3，④正确．答案 B9、 曲线y =()16,8Q 处的切线的斜率是________． 解析 ∵34y x =∴1434y x -'=∴1638x y ='=答案 3810、曲线9y x=在点()3,3M 处的切线方程是________． 解析 ∵y ′＝－9x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.答案 x ＋y －6＝011、已知()()cos ,f x x g x x ==，求适合()()0f x g x ''+≤的x 的值． 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1， 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .12、求下列函数的导数：⑴3244log log y x x =-；⑵2212x y x x +=-；⑶22sin 2sin 124x x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4. (2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x .∴y ′＝(1x )′＝－1x 2.(3)∵y ＝－2sin x 2(2sin 2x 4－1)＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x .∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．13、函数y ＝cos x1－x的导数是( )．A.()2sin sin 1x x xx -+- B.()2sin sin cos 1x x x xx ---C.()2cos sin sin 1x x x xx -+- D.cos sin sin 1x x x xx-+-解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝－sin x 1－x －cos x · －1 1－x 2＝cos x －sin x ＋x sin x1－x 2.答案 C14、已知()3232f x ax x =++，若()14f '-=，则a 的值为( )．A.193 B.103 C.133D.163 解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.答案 B15、已知11x f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x '等于( )．A.11x + B ．11x -+ C.()211x + D ．()211x -+ 解析 令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t ＝11＋t ，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－11＋x 2.答案 D16、若质点的运动方程是sin s t t =，则质点在2t =时的瞬时速度为________． 解析 s ′＝(t sin t )′＝sin t ＋t cos t ，∴s ′(2)＝sin 2＋2cos 2.答案 sin 2＋2cos 2 17、若()()3log 1f x x =-，则()2f '=________. 解析 f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1x－1l n 3，∴f ′(2)＝1ln 3.答案 1ln 318、过原点作曲线x y e =的切线，求切点的坐标及切线的斜率． 解 ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)， 则过该切点的直线的斜率为e x 0， ∴所求切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)． ∵切线过原点，∴－e x 0＝－x 0·e x 0，x 0＝1. ∴切点为(1，e)，斜率为e.19、函数()()y x a x b =--在x a =处的导数为( )．A ．abB ．()a a b --C ．0D ．a b -解析 ∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝2x －(a ＋b )，∴y ′|x ＝a ＝2a －(a ＋b )＝a －b .答案 D20、当函数()220x a y a x+=>在0x x =处的导数为0时，那么0x =( )．A ．aB ．a ±C ．a -D ．2a解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －x 2＋a 2x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .答案 B 21、若()()22f x x a =+，且()220f '=，则a =_______.解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案 1 22、函数()345f x x x =++的图象在1x =处的切线在x 轴上的截距为________．解析 f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，∴y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37.答案 －3723、曲线2cos3x y e x =⋅在()0,1处的切线与直线L ，求直线L 的方程． 解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′ ＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x, ∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1. 设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ， 根据题意，得5＝|b －1|5，∴b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4. 24、求证：可导的奇函数的导函数是偶函数．证明 设f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，两边对等求导，得f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )， 即－f ′(－x )＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )． 故命题成立.导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导.（1）如果在(,)a b 内'()0f x >，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调递增； （2）如果在(,)a b 内'()0f x <，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调递减． 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ⑴确定函数的()f x 的定义区间；⑵求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；⑶把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把 函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；⑷确定'()f x 在各个区间内的符号，根据'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区间内的增减性． 习题1、 在下列结论中，正确的有( )．⑴单调增函数的导数也是单调增函数； ⑵单调减函数的导数也是单调减函数； ⑶单调函数的导数也是单调函数； ⑷导函数是单调的，则原函数也是单调的．A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个 解析 分别举反例：(1)y ＝ln x ． (2)y ＝1x (x >0)．(3)y ＝2x . (4)y ＝x 2，故选A.2、 函数21ln 2y x x =-的单调减区间是( )． A ．()0,1 B ．()()0,1,1-∞- C ．(),1-∞ D ．(),-∞+∞解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x <0，解得：0<x <1或x <－1.又∵x >0，∴0<x <1，故选A.3、 若函数()326f x x ax x =--+在()0,1内单调递减，则实数a 的取值范围是( )．A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1<0在(0,1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1.答案 A4、 函数()2ln 2y x x =--的递减区间为________． 解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．5、 若三次函数()3f x ax x =+在区间(),-∞+∞内是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f (x )在R 上为增函数，∴3ax 2＋1≥0在R 上恒成立．又a ≠0，∴a >0. 答案 (0，＋∞)6、 已知1x >，证明：()ln 1x x >+． 证明 设f (x )＝x －ln(1＋x )(x >1)， f ′(x )＝1－11＋x ＝x1＋x，由x >1，知f ′(x )>0.∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝1－ln 2>0， 即f (1)>0.∵x >1，∴f (x )>0，即x >ln(1＋x )． 7、 当0x >时，()2f x x x=+的单调递减区间是( )．A ．()2,+∞B ．()0,2C ．)+∞ D ．(解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝x －2x ＋2x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x <2，故选D.8、 已知函数()y f x =的导函数()2f x ax bx c '=++的图象如图所示，则()y f x =的图象可能是( )．解析 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间上单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项满足题意．9、 使sin y x ax =+为R 上的增函数的a 的范围是________．解析 ∵y ′＝cos x ＋a >0，∴a >－cos x ，对x ∈R 恒成立．∴a >1.答案 (1，＋∞) 10、已知()()221f x x xf '=+，则()0f '=________. 解析 ∵f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2×1＋2f (1)，∴f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2×0＋2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.11、已知函数()38f x x ax =++的单调递减区间为()5,5-，求函数()y f x =的递增区间． 解 f ′(x )＝3x 2＋a .∵(－5,5)是函数y ＝f (x )的单调递减区间，则－5,5是方程3x 2＋a ＝0的根， ∴a ＝－75.此时f ′(x )＝3x 2－75，令f ′(x )>0，则3x 2－75>0，解得x >5或x <－5，∴函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．12、求下列函数的单调区间，并画出大致图象：（1）9y x x=+； （2）()2ln 23y x x =++. 解 (1)函数y ＝x ＋9x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．∵y ＝x ＋9x ，∴y ′＝1－9x 2.当y ′＞0，即x ＞3或x ＜－3时，函数y ＝x ＋9x 单调递增；当y ′＜0，即－3＜x ＜0或0＜x ＜3时，函数y ＝x ＋9x单调递减．故函数y ＝x ＋9x 的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．函数y ＝x ＋9x的大致图象如图(1)所示．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2， ∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2 2x ＋1 x ＋1 2x ＋3.当y ′＞0，即－32＜x ＜－1或x ＞－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′＜0，即－1＜x ＜－12时，函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－32，－1，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1，－12. 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的大致图象如图(2)所示.函数的极值与导数函数的极值函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()(),f x f x <则称0()f x 是函数的一个极大值，记作0=()y f x 极大值；如果对0x 附近的所有点都有0()(),f x f x >则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0=().y f x 极小值极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点． 求函数的极值的三个基本步骤 ⑴求导数'()f x ；⑵求方程'()0f x =的所有实数根；⑶检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()f x 在这个根处取得极大（小）值． 求函数最值⑴求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值；⑵将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 习题1、 下列函数存在极值的是( )．A ．1y x=B ．x y x e =-C ．3223y x x x =++-D ．3y x = 解析 A 中f ′(x )＝－1x 2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲函数，∴A 中函数无极值．B 中f ′(x )＝1－e x ，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y ＝f (x )无极值，D 也无极值．故选B. 2、 函数313y x x =+-有( )．A ．极小值1-，极大值1B ．极小值2-，极大值3C ．极小值2-，极大值2D ．极小值1-，极大值3 解析 f ′(x )＝－3x 2＋3，由f ′(x )＝0可得x 1＝1，x 2＝－1.由极值的判定方法知f (x )的极大值为f (1)＝3，极小值为f (－1)＝1－3＋1＝－1，故选D. 3、 函数()f x 的定义域为R ，导函数()f x '的图象如图所示，则函数()f x ( )．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点解析 f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值，f ′(x )的符号由负变正，则f (x 0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．答案 C4、 设方程33x x k -=有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是________．解析 设f (x )＝x 3－3x －k ，则f ′(x )＝3x 2－3.令f ′(x )＝0得x ＝±1，且f (1)＝－2－k ，f (－1)＝2－k ，又f (x )的图象与x 轴有3个交点，故⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，－2－k <0，∴－2<k <2.答案 (－2,2)5、 已知函数21x y x =-，当x =_______时取得极大值________；当x =________时取得极小值________．解析 y ′＝(x 2x －1)′＝x 2′x －1 －x 2x －1 ′x －1 2＝x 2－2x x －1 2.y ′＞0⇒x ＞2，或x ＜0，y ′＜0⇒0＜x ＜2，且x ≠1，∴y ＝x 2x －1在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2处取得极小值4. 答案 0 0 2 4 6、 求函数()2x f x x e -=的极值．解 函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·e －x ·(－x )′＝2x e －x －x 2 ·e －x ＝x (2－x )e －x .令f ′(x )＝0，即x (2－x )·e－x＝0；得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极小值 极大值＝4e－2＝4e2. 7、 函数()3226187f x x x x =--+ ( )A ．在1x =-处取得极大值17，在3x =处取得极小值47-B ．在1x =-处取得极小值17，在3x =处取得极大值47-C ．在1x =-处取得极小值17-，在3x =处取得极大值47D ．以上都不对解析 f ′(x )＝6x 2－12x －18，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：极大值极小值∴当8、 三次函数当1x =时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )．A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-解析 三次函数过原点，可设f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1＝3＋2b ＋c ＝0，f ′ 3＝27＋6b ＋c ＝0，解得b ＝－6，c ＝9.∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)．当x ＝1时，函数f (x )取得极大值4，当x ＝3时，函数取得极小值0，满足条件．答案 B9、 函数()()323323f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10、函数36y x x a =-+的极大值为________，极小值为________．解析 ∵y ′＝3x 2－6，令y ′＝0，得x ＝±2，当x ＜－2或x ＞2时，y ′＞0；当－2＜x ＜2时，y ′＜0，∴函数在x ＝－2时取得极大值a ＋42，在x ＝2时取得极小值a －4 2. 答案 a ＋42 a －4 211、已知函数32y ax bx =+，当1x =时函数有极大值3，（1）求a 、b 的值； （2）求函数y 的极小值．解 (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′＝3a ＋2b ＝0，又y ＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.经检验，x ＝1是极大值点，符合题意，故a ，b 的值分别为－6,9. (2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1.∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0. 12、设函数()()3203a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1、4. （1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(),-∞+∞ 内无极值点，求a 的取值范围． 解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋(2b －9)x ＋c ＝0的两个根分别为1,4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0，(*)(1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝0，8b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12，又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . (2)由于a >0，∵f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点，∴f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a ，又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．解⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9 a －1 a －9 ≤0.得a ∈[1,9]，即a 的取值范围为[1,9]．函数的最大(小)值与导数1、 函数x y xe -=，[]0,4x ∈的最大值是( )．A ．0 B.1e C.44e D.22e解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )，令y ′＝0，∴x ＝1， ∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e，∴f (1)为最大值，故选B. 2、 函数()33f x x ax a =--在()0,1内有最小值，则a 的取值范围为( )．A ．01a ≤<B ．01a <<C ．11a -<<D ．102a << 解析 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1，故选B.3、 设()()()20f x x ax bx c a =++≠在1x =和1x =-处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )．A ．(),a bB ．(),a cC ．(),b cD ．(),a b c +解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知－1,1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－2b 3a，所以b ＝0，故选A 4、 函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是________． 解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3. 5、 函数()sin cos f x x x =+在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的最大、最小值分别是________． 解析 f ′(x )＝cos x －sin x ＝0，即tan x ＝1，x ＝k π＋π4，(k ∈Z )， 而x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，当－π2＜x ＜π4时，f ′(x )＞0； 当π4＜x ＜π2时，f ′(x )＜0，∴f ⎝⎛⎭⎫π4是极大值． 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， ∴函数最大值为f ⎝⎛⎭⎫π4＝2，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π2＝－1. 答案2 －16、 求函数()543551f x x x x =+++在区间[]1,4-上的最大值与最小值．解 f ′(x )＝5x 4＋20x 3＋15x 2＝5x 2(x ＋3)(x ＋1)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－1或x ＝－3(舍)，列表： 1 2 625又f (0)＝1，∴函数y ＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1,4]上的最大值为2 625，最小值为0.7、 函数32343x y x x =+--在[]0,2上的最小值是( )． A ．173- B ．103- C ．4- D ．643- 解析 y ′＝x 2＋2x －3(x ∈[0,2])，令x 2＋2x －3＝0，知x ＝－3或x ＝1为极值点．当x ＝1时，y min ＝－173，故选A. 8、 已知函数()3226f x x x m =-+(m 为常数)在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为( )．A ．37-B ．29-C ．5-D ．11-解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝m ，f (2)＝－8＋m ，f (－2)＝－40＋m ，显然f (0)>f (2)>f (－2)，∴m ＝3，最小值为f (－2)＝－37. 答案 A9、 函数()241x f x x =+，[]2,2x ∈-的最大值是________，最小值是________． 解析 ∵y ′＝4 x 2＋1 －2x ·4x x 2＋1 2＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0可得x ＝1或－1. 又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2. 答案 2 －210、如果函数()3232f x x x a =-+在[]1,1-上的最大值是2，那么()f x 在[]1,1-上的最小值是________． 解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ， f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.答案 －1211、已知函数()3239f x x x x a =-+++（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间[]2,2-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，∴f (2)＞f (－2)．于是有22＋a ＝20，∴a ＝－2.∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.∵在(－1,3)上f ′(x )＞0，∴f (x )在[－1,2]上单调递增． 又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值， ∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f (x )最小值为－7.12、已知函数()()20ax f x x e a -=>，求函数在[]1,2上的最大值． 解 ∵f (x )＝x 2e－ax (a >0)， ∴f ′(x )＝2x e －ax ＋x 2(－a )e－ax ＝e －ax (－ax 2＋2x )． 令f ′(x )>0，即e －ax (－ax 2＋2x )>0，得0<x <2a. ∴f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎭⎫0，2a 上是增函数． 当0<2a<1，即a >2时，f (x )在(1,2)上是减函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝e －a . 当1≤2a≤2，即1≤a ≤2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，2a 上是增函数， 在⎝⎛⎭⎫2a ，2上是减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝4a 2e －2. 当2a>2，即0<a <1时，f (x )在(1,2)上是增函数， ∴f (x )max ＝f (2)＝4e －2a .综上所述，当0<a <1时，f (x )的最大值为4e－2a ；当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a 2e －2； 当a >2时，f (x )的最大值为e －a .。
导数专项训练及答案
导数专项训练 例题讲解【1】导数的几何意义及切线方程1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________.2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________.3. 曲线xy 1=和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______.5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+,则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________.7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________.10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x )在它们的交点(1, c )处具有公 共切线,则c 的值是___________.【2】常见函数的导数及复合函数的导数1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1xx +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______.3．函数333()(1)(2)(100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________.4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________.5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则20131201322013320132012log log log log x x x x ++++的值为 ．6. 设f 1(x )=cos x ,定义)(1x f n +为)(x f n 的导数,即)(' )(1x f x f n n =+,n ∈N *,若ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=,则sin A 的值是______.【3】导数与函数的单调性22x xe e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为______. 2. 已知函数()ln ()f x x a R =∈，若任意12[2,3]x x ∈、且12x x >，t =()2121()f x f x x x --,则实数t的取值范围____________.3. 已知函数f (x )=x 3-6x 2+9x +a 在x R ∈上有三个零点，则实数a 的取值范是 ．4.设'()f x 和'()g x 分别是f (x )和()g x 的导函数，若'()'()0f x g x ≤在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性相反.若函数f(x)=3123x ax -与g (x )=x 2+2bx 在开区间(a , b )上单调性相反(a >0)，则b -a 的最大值为 ． 【4】导数与函数的极值、最值1. 已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n += ． 2. 已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .3. 已知函数f (x )=x 4+ax 3+2x 2+b ,其中a , b R ∈.若函数f (x )仅在x =0处有极值,则a 的取值范围是______________.4. 设曲线(1)x y ax e =-在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点02(,)B x y 处的切 线为2l .若存在030,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为____________.5.已知函数f (x )=e x -1, g(x )= -x 2+4x -3若有f (a )=g (b ),则b 的取值范围为______.6. '()f x 是函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+的导函数，若函数['()]y f f x =在区间[m ，m+1]上单调递减，则实数m 的取值范围是__________. 【解答题】1. 某企业拟建造如上图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为803π立方米,且2l r ≥.假设该容器的建造 费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米 建造费用为()3c c >.设该容器的建造费用为y 千元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的r2. 已知函数f （x ）＝2ax －（a ＋2）x ＋ln x .（1）当a ＝1时，求曲线y = f(x )在点(1, f(1))处的切线方程；（2）当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e ）上的最小值为－2，求a 的取值范围．3. 已知函数x a x x f ln )()(-=,(0≥a ).(1)当0=a 时,若直线m x y +=2与函数)(x f y =的图象相切,求m 的值; (2)若)(x f 在[]2,1上是单调减函数,求a 的最小值;(3)当[]e x 2,1∈时,e x f ≤)(恒成立,求实数a 的取值范围.(e 为自然对数的底).4.已知函数2()ln ,af x x a x=+∈R ． （1）若函数()f x 在[2,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值为3，求实数a 的值．5.设函数2()1x f x e x ax =---（1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围导数专项练习答案 【1】导数的几何意义及切线方程1. 2；2. y =-2或9x +y -16=03.34； 4. 2e ； 5. 3； 6.201232y x =+; 7. 2； 8. 2； 9. 13a < 10. ()0,3e -11. 4【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1. e -1e; 2. 12- 3. 3⨯99! 4. 2x -y -1=0； 5. -1 ; 6. 1;【3】导数与函数的单调性1. (0, 1);2. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭; 3. (-4, 0); 4. 12【4】导数与函数的极值、最值1. 11；2. 2ln2-2；3. 88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦; 4. 312a ≤≤; 5. []1,3 ; 6.0m ≥[5] 解答题 1. 答案解:(1)由题意可知()23480233r l r l r πππ+=≥,即2804233l r r r =-≥,则02r <≤. 容器的建造费用为2228042346433y rl r c r r r c rππππ⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪⎝⎭, 即2216084y r r c rπππ=-+,定义域为{}02x r <≤. (2)2160168y r rc r πππ'=--+,令0y '=,得3202r c =-.令32022r c ==-,得92c =,①当932c <≤时,32022c ≥-,当02r <≤时,0y '<,函数单调递减,∴当2r =时y有最小值;②当92c >时,32022c <-,当32002r c <<-时,0y '<;当3202r c >-时,0y '>, ∴当3202r c =-时y 有最小值. 综上所述,当932c <≤时,建造费用最小时2r =;当92c >时,建造费用最小时3202r c =-2. 答案()()()()()()()22(2)2ln 0+22110220......5f x ax a x x ax a a f x ax a x x x =-++∞-+-'>=-++=>函数的定义域是，，当时，分()()()()()22212110=0,11..............................................................62ax a x ax f x f x x xx x a -+---''=====⋯⋯⋯令，即所以或分3. 解答4.若21a <，则20x a ->，即()0f x '>在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上是增函数．5. 解答导数专题复习（配详细答案）体型一:关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。
(完整版)导数大题练习带答案
导数解答题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 21-成立．2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令xx x x F 2ln )(++= ， 则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ， 因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分 设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'xexx -=1)(，易知eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=， 由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当02a x <<或2a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1， 函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x ＞2 ； 由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。
导数的基本公式14个例题
导数的基本公式14个例题一、导数的基本公式。
1. 常数函数的导数：若y = C（C为常数），则y^′=0。
- 例如：y = 5，求y^′。
- 解析：根据常数函数导数公式，y^′ = 0。
2. 幂函数的导数：若y=x^n，则y^′ = nx^n - 1。
- 例如：y=x^3，求y^′。
- 解析：根据幂函数导数公式，n = 3，所以y^′=3x^2。
- 例如：y = x^(1)/(2)，求y^′。
- 解析：n=(1)/(2)，根据公式y^′=(1)/(2)x^(1)/(2)-1=(1)/(2)x^-(1)/(2)=(1)/(2√(x))。
3. 正弦函数的导数：若y = sin x，则y^′=cos x。
- 例如：y=sin x，求y^′。
- 解析：根据正弦函数导数公式，y^′=cos x。
4. 余弦函数的导数：若y=cos x，则y^′ =-sin x。
- 例如：y = cos x，求y^′。
- 解析：根据余弦函数导数公式，y^′=-sin x。
5. 指数函数y = a^x的导数（a>0,a≠1）：y^′=a^xln a。
- 例如：y = 2^x，求y^′。
- 解析：根据指数函数导数公式，a = 2，所以y^′=2^xln2。
6. 对数函数y=log_ax的导数（a>0,a≠1,x>0）：y^′=(1)/(xln a)。
- 例如：y=log_2x，求y^′。
- 解析：根据对数函数导数公式，a = 2，所以y^′=(1)/(xln2)。
- 特别地，当a = e时，y=ln x，y^′=(1)/(x)。
- 例如：y=ln x，求y^′。
- 解析：根据自然对数函数导数公式，y^′=(1)/(x)。
7. 正切函数的导数：若y=tan x=(sin x)/(cos x)，则y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
- 例如：y = tan x，求y^′。
- 解析：根据正切函数导数公式，y^′=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
导数专题的题型总结
导数专题的题型总结一、导数的概念与运算题型1. 求函数的导数- 题目：求函数y = x^3+2x - 1的导数。
- 解析：- 根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，对于y = x^3+2x - 1。
- 对于y = x^3，其导数y^′=(x^3)^′ = 3x^2；对于y = 2x，其导数y^′=(2x)^′=2；对于y=-1，因为常数的导数为0，所以y^′ = 0。
- 综上，函数y = x^3+2x - 1的导数y^′=3x^2+2。
2. 复合函数求导- 题目：求函数y=(2x + 1)^5的导数。
- 解析：- 设u = 2x+1，则y = u^5。
- 根据复合函数求导公式y^′_x=y^′_u· u^′_x。
- 先对y = u^5求导，y^′_u = 5u^4；再对u = 2x + 1求导，u^′_x=2。
- 所以y^′ = 5u^4·2=10(2x + 1)^4。
二、导数的几何意义题型1. 求切线方程- 题目：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
- 解析：- 对y = x^2求导，根据求导公式(x^n)^′=nx^n - 1，可得y^′ = 2x。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2×1=2。
- 由点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（其中(x_0,y_0)=(1,1)，k = 2），可得切线方程为y - 1=2(x - 1)，即y = 2x-1。
2. 已知切线方程求参数- 题目：已知曲线y = ax^2+3x - 1在点(1,a + 2)处的切线方程为y = 7x + b，求a和b的值。
- 解析：- 先对y = ax^2+3x - 1求导，y^′=2ax + 3。
- 把x = 1代入导数y^′中，得到切线的斜率k = 2a+3。
- 因为切线方程为y = 7x + b，所以切线斜率为7，即2a + 3=7，解得a = 2。
导数常用公式及练习题（最新最全）
导数常用公式及练习题（最新最全）常用导数公式表如下：c''=0(c为常数）(x^a)''=ax^(a-1),a为常数且a≠0(a^x)''=a^xlna(e^x)''=e^x(logax)''=1/(xlna),a>0且a≠1(lnx)''=1/x(sinx)''=cosx(cosx)''=-sinx(tanx)''=(secx)^2(secx)''=secxtanx(cotx)''=-(cscx)^2(cscx)''=-csxcotx(arcsinx)''=1/√(1-x^2)(arccosx)''=-1/√(1-x^2)(arctanx)''=1/(1+x^2)(arccotx)''=-1/(1+x^2)(shx)''=chx(chx)''=shxd(Cu)=Cdud(u+-v)=du+-dvd(uv)=vdu+udvd(u/v)=(vdu-udv)/v^21．已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，且恒成立，求实数的取值范围.2．已知函数，，，令.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；3．已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，.4．已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设，证明：.5．已知函数，其中且，为自然常数.（1）讨论的单调性和极值；（2）当时，求使不等式恒成立的实数的取值范围.6．已知函数，且.（1）求的解析式；（2）证明：函数的图象在直线的图象下方.7．已知函数.（1）函数在点处的切线与直线平行，求函数的单调区间；（2）设函数的导函数为，对任意的，若恒成立，求的取值范围.8．设函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当时，证明：．9．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．参考答案1．（1）函数极小值为，无极大值；（2）.【解析】试题分析：（1）当时，，通过二次求导可知函数在上单调递增，且，所以当时，当时，因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以的极小值点为，无极大值点；（2）对函数求导可得，分和讨论，显然时，，函数在上单调递增，研究图象可知一定存在某个，使得在区间上函数的图象在函数的图象的下方，即不恒成立，舍去；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，，解得.试题解析：（1）函数的定义域是,当时，,易知函数的定义域是上单调递增函数，且,所以令，得；令，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数极小值为，无极大值.（2），则.①当时，恒成立，所以函数在上单调递增，且数形结合易知，一定存在某个，使得在区间上，函数的图象在函数的图象的下方，即满足的图象即.所以不恒成立，故当时，不符合题意，舍去；②当时，令，得；，得；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以函数定义域上的最小值为.若恒成立，则需满足，即，即，即.又因为，所以，解得，所以.综上，实数的取值范围是.考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值.2．（1）；（2）最小值为．【解析】试题分析：（1）当时,对求导求其单调增区间；（2）先化简为,恒成立问题,转化为求的最大值来求解.试题解析：（1），，，（）.由得又，所以，所以的单增区间为.（2）令.所以当时，因为，所以所以在上是递增函数，又因为.所以关于的不等于不能恒成立.当时，.令得，所以当时，；当时，，因此函数在是增函数，在是减函数.故函数的最大值为.令，因为，.又因为在上是减函数，所以当时，，所以整数的最小值为2.3．（1）函数在上为减函数；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数的单调性；（2）对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,求导,利用导数,求出的最大值小于零.试题解析：解：（1）当时，，，，∵当时，，∴.∴在上为减函数.（2）设，，，令，，则，当时，，有，∴在上是减函数，即在上是减函数，又∵，，∴存在唯一的，使得，∴当时，，在区间单调递增；当时，，在区间单调递减，因此在区间上，∵，∴，将其代入上式得，令，，则，即有，，∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，∴，即任意，，∴，因此任意，.考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,利用单调性,求出函数的最大值, 即,把看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,难度大,综合性强.4．（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当时，得其零点，判断在上的单调性，可知有极小值；（2）把函数放缩，构造函数，利用导数研究函数的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论.试题解析：（1），所以，观察得，而在上单调递增，所以当时，当时；所以在单调递减，在单调递增，故有极小值．证明：（2）因为，所以，令，则，易知在单调递增，，，所以设，则；当时，，当时，；所以在上单调递减，上单调递增，所以，又因为，故，所以，所以当且仅当，即时等号成立，而，所以，即，所以，即．考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题（1）中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是（2）证明不等式，可利用函数的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧.5．（1）当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；当时，，，所以在上单调递增，无极值；（2）．【解析】试题分析：（1）求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值．试题解析：（1）因为，所以当时，的定义域为；当，的定义域为.又，，故当时，，在上单调递减，在上单调递增，有极小值；当时，，，所以在上单调递增，无极值.（2）解法一：当时，，由（1）知当且仅当时，，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，当且仅当时，.当时，由于，所以恒成立；当时，，要使不等式恒成立，只需，即.综上得所求实数的取值范围为.解法二：当时，所以，故令，则.由（1）可知，所以当时，，当时，，所以.故当时，不等式恒成立.考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用．【方法点睛】本题考查导数在研究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用恒成立转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.6．（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求导，由求出即可；（2）“函数的图象在直线的下方”等价于，构造函数，，求导，研究函数的单调性与最值，证即可.试题解析：对求导，得，，，所以（2）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于即要证，所以只要证.，，趋于0时，，存在一个极值使得等价于所以故函数的图象在直线的下方.2考点：1.导数的运算法则；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与不等式.7．（1）的单调区间为，单调减区间为；（2）.【解析】试题分析：（1）根据在点处的切线与直线平行，可得，据此可求得，研究的符号变化即得函数的单调区间；（2）若对任意的，若恒成立，则有，分别求出和的最大值即可求得的取值范围.试题解析：（1），即，令，解得或，所以函数的单调区间为，单调减区间为；（2），令函数的单调为，单调减区间为.当时，，又，恒成立，.考点：导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等.8．（Ⅰ）的单调增区间为，的单调减区间为；（Ⅱ）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值．（Ⅲ）证明详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用一阶导数的符号来求单调区间．（Ⅱ）对进行分类讨论，的极值．（Ⅲ）把证明不等式转化求函数的最小值大于0．试题解析：（Ⅰ）．令，即，得，故的增区间为；令，即，得，故的减区间为；∴的单调增区间为，的单调减区间为．（Ⅱ），当时，恒有∴在上为增函数，故在上无极值；当时，令，得,当单调递增，当单调递减．∴，无极小值；综上所述：时，无极值时，有极大值,无极小值．（Ⅲ）证明：设则即证，只要证．∵∴，又在上单调递增∴方程有唯一的实根，且．∵当时，．当时，∴当时，∵即，则∴9．（Ⅰ）的单调递增区间是；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，令导数大于0得增区间．（Ⅱ）令，求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最大值小于0即可．（Ⅲ）由（Ⅱ）知或时均不成立．当时，令，求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间．根据单调性可得其最大值，使其最大值大于0即可．试题解析：（Ⅰ），．由得解得．故的单调递增区间是．（Ⅱ）令，．则有．当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，则，从而不存在满足题意．当时，令，，则有．由得，．解得，．当时，，故在内单调递增．从而当时，，即，综上，的取值范围是．考点：用导数研究函数的性质．答案第1页，总2页答案第1页，总2页。
导数经典练习100例
导数及其应用1．已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则=a （ ） A ．-1 B ．-2 C ．0 D ．2 2．设函数]65,0[,142cos 3sin 3)(23πθθθ∈-++=x x x x f ，则导数)1('-f 的取值范围是（ ）A ．]343[+，B ．]63[，C ．]634[，- D ．]3434[+-， 3．2222π=--⎰-dx x x m，则m 等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．24．曲线3:(0)C y x x =≥在点1x =处的切线为l ，则由曲线C 、直线l 及x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）． A ．1 B ．112 C ． 43 D ．345．定义方程()'()f x f x =的实数根0x 叫做函数()f x 的 “新驻点”，若函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，3()1x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ） A ．γαβ>> B ．βαγ>> C ．αβγ>> D ．βγα>> 6．若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()3f x dx =⎰( )A ．16B ．54C ．﹣24D ．﹣187．若)(x f 满足23'22)2(,)(2)(e f e x x xf x f x x-==-．则0>x 时，)(x f （ ） A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，又有极小值D ．既无极大值，也无极小值8．已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且p≠q，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[15,)+∞B ．](,15-∞C ．](12,30D ．](12,15- 9．已知()()201f x x xf '=--，则()2014f 的值为（ ）A ．20122014⨯B ．20132014⨯C ．20132015⨯D ．20142016⨯10．若函数()y f x '=在区间()12,x x 内是单调递减函数，则函数()y f x =在区间()12,x x 内的图象可以是（ ）11.设a 为实数，函数f （x ）=x 3+ax 2+（a-2）x 的导数是)('x f ，且)('x f 是偶函数，则曲线y=f （x ）在原点处的切线方程为（ ）A ．y=-2xB ．y=3xC ．y=-3xD ．y=4x12．已知定义在R 上的函数)(x f 满足(1)1f =，且对于任意的x ，21)(<'x f 恒成立，则不等式22lg 1(lg )22x f x <+的解集为（ ） A ．1(0,)10 B ．1(0,)(10,)10+∞ C ．1(,10)10D ．(10,)+∞13．曲线y ＝2x 3－3x ＋1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝4x －5 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋4 D ．y ＝3x －314．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为（ ） A ．1 B 2 C ．22D 315．已知函数2221y x x =-+的导数为y '，y '=（ ）A ．22x -B ．41x +C ．42x -D ．21x + 16．已知曲线f （x ）＝ln x 在点（x 0，f （x 0））处的切线经过点（0，－1），则x 0的值为（ ） A ．1eB ．1C ．eD ．10 17．已知)(x f '是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时，0)()(>-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)1,0()1,( --∞B ．),1()0,1(+∞-C ．)1,0()0,1( -D ．),1()1,(+∞--∞18．曲线sin e x y x =+（其中e ＝2．71828…是自然对数的底数）在点(01)，处的切线的斜率为 （ ）（A ）2 （B ）3 （C ）13（D ）1219．曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ）A ．30° B．45° C．60° D．120°20.若曲线ln y kx x =+在点(1,)k 处的切线平行于x 轴,则k =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．221.计算120(11)x dx +-⎰的结果为（ ）.A ．1B ．4πC ．14π+D ．12π+ 22.函数xxx f +=1cos )(在)1,0(处的切线方程是（ ） A ．01=-+y x B ．012=-+y x C ．012=+-y x D ．01=+-y x 23.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①31y x x =-++;②32(sin cos )y x x x =--;③1xy e =+;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩.以上函数是“H 函数”的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个24.【函数f （x ）=（x 2﹣2x ）e x（e 为自然数的底数）的图象大致是（ ）.25.若0cos2cos tt xdx =-⎰,其中(0,)t π∈,则t =( ).A.6π B.2π C.56πD.π26.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d(b 、c 、d 为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237B.)5,5(C.)25,437(D.(5,25)27.已知函数()()12ln +=x x f ，则()='0f （ ） A ． 0 B ． 1C ． 2D ．28.⎰+1)2(dx x e x 等于 （ ）A. 1B. eC. 1-eD. e + 129.已知函数()()y f x x R =∈上任一点00(,())x f x 处的切线斜率200(2)(1)k x x =-+，则该函数()f x 的单调递减区间为（ ）A.[1,)-+∞B.(,2]-∞C.(,1),(1,2)-∞-D.[2,)+∞ 30.函数1)(23++-=x x x x f 在点（1，2）处的切线的斜率是（ ） A ．B ． 1C ． 2D ． 331.设()x f '是函数()x f 的导函数，将()x f y =和()x f y '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．32.曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 42ln 2- B. 2ln 2- C. 4ln 2- D. 2ln 233.函数a ax x x f --=3)(3在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．10<≤a B ．10<<aC ．11<<-aD ．210<<a34.已知定义域为R 的奇函数()x f 的图象是一条连续不断的曲线，当()+∞∈,1x 时，()0<'x f ；当()1,0∈x 时()0>'x f ，且()02=f ，则关于x 的不等式()()01>+x f x 的解集为（ ） A ．（﹣2，﹣1）∪（0，2） B ． （﹣∞，﹣2）∪（0.2）C ．（﹣2，0）D ． （1，2）35．曲线sin e x y x =+（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）在点(01)，处的切线的斜率为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）13（D ）1236．已知函数32()1f x x bx cx =+++有两个极值点12,x x 且12[2,1],[1,2]x x ∈--∈，则(1)f -的取值范围是（ ）A ．[3,12]B ．3[,6]2-C ．3[,3]2-D ．3[,12]2- 37．已知函数f （x ）=﹣x 3+ax 2﹣x ﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a 的取值范围是A ． B ．C ．D ．38．已知函数()sin cos f x x x =+，且'()3()f x f x =，则x 2tan 的值是（ ）A 39.过原点作曲线ln y x =的切线，则切线斜率为 （ ） A ．2eB ．21e C ．e D ．1e40．曲线sin xy x e =+在点()0,1处的切线方程是( )A ．330x y -+=B ．220x y -+=C ．210x y -+=D ．310x y -+= 41，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．4B ．6C 42． ()f x '是函数()f x 的导数，函数是增函数（ 2.718281828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数），()f x '与()f x 的大小关系是（ ）A ．()()f x f x '=B ．()()f x f x '>C ．()()f x f x '≤D ．()()f x f x '≥43．已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x ()f x e '≤-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）（ ）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,+∞D 44.设''()y f x =是'()y f x =的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数32()f x ax bx cx d =+++（0a ≠）都有对称中心00(,())x f x ，其中x 0满足''0()0f x =．已知2014(2015f ++ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．201545.①),1(+∞是)(x f 的单调递减区间；②当)1,(e k -∞∈时，直线k y =与)(x f y =的图象有两个不同交点； ③函数)(x f y =的图象与12+=x y 的图象没有公共点. 其中正确结论的序号是（ ）A.①②③B.①③C.①②D.②③ 46.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，且恒有()()'tan f x f x x >⋅成立．则（ ）A ．3()()63f f ππ<B ．)1(1cos 2)6(3f f ⋅>⋅πC ．6()2()64f f ππ>D ．2()()43f f ππ> 47.已知函数)(x f 满足x e x xf x f x x =+')(2)(2，8)2(2e f =，则当0>x 时，)(x f （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值，也有极小值D ．既无极大值，也无极小值48.定义在R 上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，()()()()12,3,2122a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a c b << D ．c b a <<49.若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]2,0∈t 上恒成立,则a 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,61 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡134,61 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,132 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,6150.已知函231()1()32mx m n x f x x +++=+两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,3 B ． ()3,+∞ C ．()1,3 D ．[)3,+∞51．若存在直线l 与曲线1C 和曲线2C 都相切,则称曲线1C 和曲线2C 为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线l 使得曲线221:4C x y +=和曲线222:4240C x y x y +-++=为“相关曲线”； ②曲线211:12C y x =+和曲线221:12C y x =-是“相关曲线”； ③当0b a >>时，曲线21:4C y ax =和曲线2222:-C x b y a +=（）一定不是“相关曲线”； ④必存在正数a 使得曲线1C ：ln y a x =和曲线2:C 2y x x =-为“相关曲线”. 其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 52.已知函数()12()ln ,(2f x xg x x a a ==+为常数），直线l 与函数()(),f x g x 的图像都相切，且l 与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1，则a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12-D ．2 53．某工厂生产的机器销售收入1y （万元）是产量x （千台）的函数:2117x y =,生产总成本2y （万元）也是产量x （千台）的函数;)0(2232>-=x x x y ,为使利润最大,应生产（ ）A ．9千台B ．8千台C ．7千台D ．6千台54.函数32()393,f x x x x =--+若函数()()[2,5]g x f x m x =-∈-在上有3个零点，则m 的取值范围为 ．55.已知函数()x f y =的图象在3=x 处的切线方程为72+-=x y ，则()()33f f '+的值是 56.已知()f x 为定义在(0,+∞)上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为 ．57.已知函数f （x ）=x 3+ax 2﹣a （a∈R），若存在x 0，使f （x ）在x=x 0处取得极值，且f （x 0）=0，则a 的值为 ．58.若函数()x f 在定义域D 内某区间I 上是增函数，且()xx f 在I 上是减函数，则称()x f y =在I 上是“弱增函数”．已知函数()()b x b x x h +--=12在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为 59．已知点P 在曲线14+=xe y α为曲线在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是 ．60．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点ACP BDD ．设CP =x ， △CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 ．61．曲线y ＝xln x 在点（e ，e ）处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________． 62．函数()3123f x x x =-+，()3xg x m =-，若对[]11,5x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，()()12f x g x ≥，则实数m 的最小值是 ．63．若曲线ln y ax x =-在()1,a 处的切线平行于x 轴，则实数a = ．64．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如下，则()y f x =有 个极大值点.65．已知函数()326)1(f x x mx m x ++++＝存在极值，则实数m 的取值范围为_ _________．66．求曲线y=ln （2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离_______．67．曲线21y x =-与直线2,0x y ==所围成的区域的面积为 ． 68．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．69．已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数，()1f e =，()()()g x f x f x '=-，()10g =，()g x 的导数恒大于零，函数()()xh x f x e =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）的最小值是 ． 70．对于函数b x a x a x x f +-+-=)3(231)(23有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为 ．71．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),3A B ϕ>；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上） 72．已知22:1O x y +=．若直线2y k x =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为 ． 73．已知()1cos f x x x =，则()2f f ππ⎛⎫'+= ⎪⎝⎭． 74．已知函数),(ln )(R n m nx x m x f ∈+= ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．（1）=+n m ；（2）若1x >时，()0kf x x+<恒成立，则实数k 的取值范围是 ．75．对于函数()f x ，若对于任意的123,,x x x R∈，()()()123,,f x f x f x 为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构成三角形的函数”．已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构成三角形的函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]0,1C ．[]1,2D ．()0,+∞76.已知函数2()ln()f x x a x x =+--在0x =处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）若关于x 的方程5()2f x x b =-+在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；（3）证明:对任意的正整数n ,不等式34249+++ (21)ln(1)n n n++>+都成立. 77.已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ＜0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g （x ）=x 3+x 2[f′（x ）+m]在区间（t ，2）上总不是单调函数，其中f′（x ）为f （x ）的导函数，求实数m 的取值范围．78.已知函数()ln 1,.f x x ax a R =++∈ （Ⅰ）求()1f x x =在处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）数列11{},2,21n n n a a a a +==+中，数列{}n b 满足ln ,{}n n n b n a b =记的前n 项和为n T ，求证：124.2n n n T -+<-79.已知函数()23bx ax x f +=的图象经过点M （1，4），曲线在点M 处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．（1）求实数b a ,的值；(2)若函数()x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，求m 的取值范围80.已知函数()()R a ax x f ∈=，()1ln -=x x g ． （1）若函数()()()x x f xx g x h 221--+=存在单调递减区间，求a 的取值范围； （2）当0>a 时，试讨论这两个函数图象的交点个数．81.已知()x a x f ln =，()()cx bx x f x g ++=2，且()12='f ，()x g 在21=x 和2=x 处有极值．（1）求实数c b a ,,的值；（2）若0>k ，判断()x g 在区间()k k 2,内的单调性．82.设函数()()0ln >--=a x a x x f .（1）若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值；（2）若0>a ,求()x f 的单调区间；（3）试比较222222ln 33ln 22ln nn +++ 与()()()12121++-n n n 的大小.其中()2≥∈*n N n 且,并证明你的结论.83.已知函数)0()(>++=a c xb ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y ． （1）用a 表示出b ，c ；（2）证明：当21≥a 时，x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立； （3）证明：)()1(2)1ln(131211*N n n n n n ∈+++>++++．84．已知函数()()2f x x x a =-，()()21g x x a x a =-+-+(其中a ∈R ). （Ⅰ）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值，并直接写出函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()()F x f x g x =-，讨论函数()y F x =在区间[]1,3-上零点的个数。
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1.导数应用之函数单调性题组1：1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间.2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间.3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间.4.求函数1()ln f x x x=的单调区间.5.求函数ln ()ln ln(1)1xf x x x x=-+++的单调区间. 题组2：1.讨论函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>的单调区间.2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间.3.求函数321()(2)4132mf x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间.4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性.5.讨论函数1()ln 1af x x ax x-=-+-的单调性. 题组3：1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数,求a 的取值范围．2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围.(a>=-2/9) (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a 的取值范围.(a<=-1)3.已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-<.4.设函数322()1f x x ax a x =+-+,2()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数2132()x f x x eax bx -=++,且2x =-和1x =均为()f x 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论()f x 的单调性； (2)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小．2.设函数2()()f x x x a =-.(1)若'(1)3f =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()y f x =在区间[]2,0上的最大值.3.设函数233)(x ax x f -=．(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；(2)若函数()()()g x f x f x '=+,[02]x ∈，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数321()23f x x x =+-. (1)设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和,13a =,且点211(,2)n n n a a a ++-在函数'()y f x =的图象上,求证:点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；(2)求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值.5.设函数322()31f x ax bx a x =+-+在1x x =,2x x =处取得极值,且122x x -=．(1)若1a =,求b 的值,及函数()f x 的单调区间； (2)若0a >,求实数b 的取值范围．6.设函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,且12012x x <<<<.证明:0a >,并求2a b +的取值范围.7.已知1x =是函数3213()(1)532f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()y f x =的图像与直线2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点. (1)求()f x 的解析式及其单调区间；(2)若直线y b =与曲线()y f x =有三个交点,求b 的取值范围.9.设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ．(1)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围．10.设3x =是函数23()()xf x x ax b e-=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4xg x a e =+.若存在．．[]12,0,4x x ∈,使12()()1f x g x -<总成立,求a 的取值范围.11.已知函数21()kx f x x c+=+(0c >且1c ≠)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-． (1)求函数()f x 的另一个极值点；(2)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围．12.设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像∏上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点, (1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在线段50x y +-=(13)x ≤≤上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.3.导数应用之函数的零点题组1：1.函数2()3xf x x =-在区间[1,0]-内有没有零点？为什么？ 2.函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是【 】.A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2)3.函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是【 】.A.()1xf x e =- B.()41f x x =- C.2()(1)f x x =- D.1()ln()2f x x =-4.若234a b <<<<,且函数()log a f x x x b =+-的零点0(,1)x n n ∈+()n Z ∈,则n =【 】.A.1B.2C.3D.4题组2：5.设函数)(x f y =的图像在[,]a b 上连续,若满足____________,则方程0)(=x f 在[,]a b 上有实根.6.已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点.若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则【 】. A.1()0f x <,2()0f x < B.1()0f x <,2()0f x > C.1()0f x >,2()0f x < D.1()0f x >,2()0f x >7.函数1()f x x x=+的零点个数为____________. 8.求证:函数23()21f x x x =---在区间(0,2)内没有零点.题组3：9.函数2()log f x x x =+在区间(0,1)内是否有零点？为什么？ 10.求证:函数4()21f x x x =--在区间[1,2]-内至少有两个零点. 11.求证:函数()(3)(8)1f x x x =---有且只有两个零点. 12.求证:函数2()ln 1f x x x x =-++有且只有两个零点.13.设函数c bx ax x f ++=2)(,若0)1(>f ,0)2(<f ,则)(x f 在区间)2,1(上的零点个数为【 】.A.至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个D.一个也没有14.设(1,)m ∈+∞,求证:函数()ln()f x x x m =-+有且只有两个零点.15.判断函数2()lg f x x x =-在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由. 题组4：16.设函数()1n n f x x x =+-*(,2)n N n ∈≥.(1)证明:()n f x 在区间)1,21(内存在唯一的零点； (2)设n x 是()n f x 在)1,21(内的零点,判断数列23,,,nx x x 的增减性．17.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>．18.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=有两个零点21,x x ,求证:12()02x x f +'<.19.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.20.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根； 当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.21.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =； (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.4.导数应用之图像的切线题组1：1.求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.3.求与直线320x y -+=夹角为45︒,且与抛物线22y x =相切的直线方程.4.设函数()sin f x x =图像上动点P 处切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围. 题组2：5.求函数3()2f x x =的图像C 在点(1,2)P 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.7.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数9()5x f x x +=+的图像相切的直线方程.9.设函数()bf x ax x=-,曲线C :()y f x =在点(2(2))f ，处的切线为74120x y --=． (1)求函数()f x 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y x =,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线23ln 20x y +-+=是函数()ln mf x x x=+的图像C 的一条切线. (1)求()f x 的解析式；(2)若(,)P s t 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值. 题组3：11.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.13.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠； (3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．15.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.巩固练习：1.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,8)P -的切线方程. 2.求函数23()3x f x x +=+的图像经过点1(3,)2P 的切线方程.3.如图,从点1(0, 0)P 作x 轴的垂线交于曲线xy e =于点1(0, 1)Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交与点2P ；再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系 列的点:1P ,1Q ,2P ,2Q ,…,n P ,n Q ,记点k P 的坐标为(, 0)k k P x (1,2,3,,)k n =.(1)求1k x +与k x 之间的等量关系； (2)求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++.5.导数应用之存在与任意1.已知函数()(0)af x x b x x=++≠,其中,a b R ∈． (1)若曲线)(x f 在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ,求函数()f x 的解析式； (2)若对于任意的1[,2]2a ∈,不等式10)(≤x f 在1[,1]4x ∈恒成立,求b 的取值范围．2.已知函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x m <对1[1,1]x e e -∈--恒成立,求m 的取值范围；3.设函数1()ln f x x x=. (1)求()f x 的单调区间； (2)若12axx >对(0,1)x ∈恒成立,求a 的取值范围.4.已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若1(1)n e n+α+≤对n N +∈都成立,求α的最大值.5.设函数2)1()(ax e x x f x--=. (1)若21=a ,求)(x f 的单调区间； (2)若当0≥x 时,0)(≥x f ,求a 的取值范围.6.设函数x ax e x f x--=2)(.(1)若0=a ,求)(x f 的最小值； (2)若当0≥x 时,()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.7.设函数()xf x e ax =-的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-<a . (1)求()f x 的极值；(2)证明:当0>x 时,xe x <2；(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有xce x <2. 8.设函数()cos f x ax x =+,(1)讨论函数()f x 在区间[0,]π内的单调性；(2)若()1sin f x x ≤+对[0,]x π∈恒成立,求实数a 的取值范围.9.设函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈.(1)求证:()0f x ≤； (2)若sin x a b x <<对(0,)2x π∈恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.10.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f , (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)设1-<a ,且对任意的),0(,21+∞∈x x ,都有||4)()(|2121x x x f x f -≥-,求a 的取值范围.11.已知3x =是函数23()()xf x x ax b e-=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4xg x a e =+.若存在[]12,0,4x x ∈,使得12()()1f x g x -<成立,求a 的取值范围.12.已知函数321()cos 22f x ax x x c θ=+-+的图像过点37(1,)6,且在[2,1]-上递减,在[1,)+∞上递增.(1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的12,[,3]x x m m ∈+都有1245()()2f x f x -≤成立,求正实数m 的取值范围.13.设函数5)(,14)22(31)(23+=+++-=mx x g x x mmx x f . (1)当0m >时,求函数)(x f 的递增区间；(2)是否存在负实数m ,使得对任意的12,[1,2]x x ∈,都有1)()(21≤-x f x g ？若存在,求m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2x x k f +=； (2)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2x x k g +=还成立吗？2.设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ． (1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间；(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>．4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=.(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值； (2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--ba b f a f ； (3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .5.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.6.设函数()xf x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<.7.设函数()xf x e ax =-,其中a e >,(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<； (2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>.8.设函数()xf x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有()()()()f b f a f c f b b a c b--<--成立.7.导数应用之不等式证明(1)1.证明:对任意的n N +∈,都有3211)11ln(nn n ->+.2.已知,m n N +∈,且1m n <<,求证:(1)(1)nmm n +>+.3.设函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（(1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的n N +∈,当2x ≥时,都有() 1.f x x ≤-4.已知函数()ln(1)1xf x e a x =-+-在点(0,(0))P f 处的切线垂直于y 轴, (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当0m n >>时,求证:1ln(1)ln(1)m ne m n -->+-+.5.设函数x exx f =)(,且)(')(1x f x f =,)(')(1x f x f n n =+()n N +∈. (1)求)(1x f ,)(2x f ,)(3x f ,)(x f n 的解析式；(2)求证:对任意的实数b a ,,以及任意的正整数n ,都有)()()(122n f b f a f n n <--.6.设函数x x mx x f ln )(-=在1=x 处取得极值,数列}{n a 满足111<<-a e ,1()n n a f a +=()n N +∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证:对任意的*N n ∈,都有11<<-n a e ；(3)求证:对任意的*N n ∈,都有122++<+n n n a a a .7.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根；当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.8.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈,(1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =； (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.8.导数应用之不等式证明(2)1.设函数1()ln xf x x ax-=+. (1)若函数()f x 在),1[+∞上为增函数,求正实数a 的取值范围； (2)当1a =时,求证:对大于1的任意正整数n ,都有1111ln 234n n>+++⋅⋅⋅+.2.设函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数n ,都有)12ln(211215131+<-+++n n .3.设函数2()f x kx =,()ln g x x =,(1)讨论关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e -内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数n ,都有44444ln1ln 2ln 3ln 4ln 112342n n e+++++<.4.设函数2()ln(1)f x x a x =-+,(1)若函数()f x 在区间12(,)33上递增,求实数a 的取值范围； (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<； (3)证明:对大于1的任意正整数n ,都有44441111(1)(1)(1)(1)2123e n ++++<.5.设函数2()x f x ax b =+,其中(1)1f =,12()23f =.在数列{}n x 中,112x =,且1()n n x f x +=.(1)求数列{}n x 的通项n x .(2)求证:对任意的正整数n ,都有12312n x x x x e>.6.设函数()1xf x e ax =--,(1)若()0f x ≥对x R ∈均成立,求正实数a 的取值集合； (2)求证:对任意的正整数n ,都有123()()()()1nnnn n ennnn e ++++<-.7.设函数()1x f x e x =--,(1)求证:函数()f x 有且只有一个零点；(2)求证:对任意的正整数n ,都有13521()()()()2222n n n n n n n nn -++++<8.(1)设函数r x rx x f r-+-=1)()0(>x ,其中10<<r .求函数)(x f 的最小值；(2)用(1)的结果证明命题:设01≥a ,02≥a ,21,b b 为正实数,若121=+b b ,则22112121b a b a a a bb +≤； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数1ln )(+-=x x x f 的最大值； (2)设,k k a b 均为正实数,证明:若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++,则12121n b b b n a a a ≤；(3)设,k k a b 均为正实数,证明:若121n b b b +++=,则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++.。