二次函数-2021河南省中考数学第一轮复习课件
3.4 二次函数(课件)-2021年中考数学一轮复习课件与学案(全国通用)
真题训练
1.（2020年德州市）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所 示，则下列选项错误的是（ D ）
A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2； B．3a+c＝0 ;
例题精讲
【例1】（1）对于二次函数y=－
1 4
x2+x－4，下列说法正
确的是（ B）
A. 当x>0时，y随x的增大而增大
B. 当x=2时，y有最大值－3
C. 图象的顶点坐标为(－2，－7)
D. 图象与x轴有两个交点
（2）函数y＝ k 与y=－kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系
x
中的大致图象可能是（ B ）
6.若抛物线y＝x2－6x＋m与x轴没有交点，则m的取值范围
4．已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0)的顶点M关于坐标原 点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标
为( ) A．(1，－5) B．(3，－13) C．(2，－8) D．(4，－20)
5．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出， 足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距 离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单 位：s)之间的关系如下表：
C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根
；
D．当x≥0时，y随x的增大而减小.
2.（2020•贵州省安顺市）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过 （﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0 （m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程 ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是 （B ）
专题 二次函数的综合提升-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
△ACD的直角顶点D在x轴上,AD=3.现将△ACD沿x轴的正方向平移,则当点C
在函数图象上时,△ACD的平移距离为_4_或__6__.
y
y
A
C
DP
C
B0
x
D
AO B x
培优训练
抛物线的变换
知识点二
3.如图,抛物线y=x2-4x(0≤x≤4)记为l1,l1与x轴分别交于点O,A1；将l1绕
=
x1
+ 2
x2
时,
函数值为q,则p-q的值为( A ) A.a B.c C.-a+c
D.a-c
2.已知A(x1,2022),B(x2,2022)是抛物线y=ax2+bx+2021(a≠0)上的两点,则
当x=x1+x2时,二次函数的值是( D )
A. 2b2 5
a
B. b2 5
4a
C.2022
D.2021
2.如图,抛物线
y
=
1 4p
x
2
(
p
>
0)
,点F(0,p),直线l:y=-p,已知抛物线上的点到点
F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l
于点A1,BB1⊥l于点B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F=a,B1F=b,则△A1OB1的面
积=_14_a_b_(只用a,b表示). A C B
9.若P1(x1,x1),P2(x2,x2)是抛物线y=ax2-4ax上两点,则当|x1-2|＞|x2-2|时, 下列不等式一定正确的是( D )
二次函数-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
A.x1=1,x2=-1
B.x1=1,x2=2
C.x1=1,x2=0
D.x1=1,x2=3
(2)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象则不等式的ax2+bx+c＜0解集是( C )
A.x＜-1 B.x＞3 C.-1＜x＜3 D.x＜-1或x＞3 y
-1 O 3 x
课堂小结
二次函数
知识梳理
强化 训练
二次函数图象与性质
查漏补缺
5.抛物线y=(x+3)(x-1)的对称轴是直线_x_=_-_1___. 6.若抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上,则c=_-_1____.
7.若抛物线y=x2-4x+k的顶点在x轴下方,则k的取值范围是_k_＜__4__.
8.若抛物线yy==xk2x-22-x6+xm+-34与x轴有交点,则m的取值范围是_k_m≤_≤_3_5且__k_≠__0__. 9.若抛物线y=x2+2x+c与坐标轴只有两个交点,则c的值为__0_或__1_.
1.下列关于抛物线的y=ax2-2ax-3a(a≠0)性质中不一定成立的是( C )
A.该图象的顶点为(1,-4a)； B.该图象与x轴的交点为(-1,0),(3,0)；
C.当x＞1时,y随x的增大而增大；D.若该图象经过(-2,5),一定经过(4,5).
2.抛物线y=(x-t)(x-t-2)(t为常数)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),
当堂训练
二次函数的基本性质
查漏补缺
1.抛物线y=(x-m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( B )
A.m＞1
B.m＞0
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
人教版初中数学中考复习 一轮复习 二次函数及其应用2(课件)
解方程，得 m1=-2，m2=3（不符合题意，舍去） ∴m=-2
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
9. （2021•泸州）直线 l 过点（0，4）且与 y 轴垂直，若二次函数 y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+
（x﹣3a）2﹣2a2+a（其中 x 是自变量）的图象与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴
解方程，得 m1= 41-1 ，m2= - 41+1 （不符合题意，舍去）
4
4
∴m= 41-1 ， 4
1 - m＞3，即 m＜-3，当 x=3 时，y=6.∴9来自6m+2m2-m=6,
解方程，得 m1=-1，m2= - 3 （均不符合题意，舍去）. 2
综上所述，m=-2 或 m=
41-1
.
4
2 1＜- m≤3，即-3≤m＜-1，当 x=-m 时，y=6. ∴m2-m=6
bx＋c＝0有 两个不相等的 实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴 只有一个 交点，则一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0有两个 相等 的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0 没有 实数根．
知识点梳理——知识点4：二次函数与一元二次方程及不等式的关系
A(1，0)，B(m，0)(－2＜m＜－1)，下列结论①2b＋c＞0；②2a＋c＜0；
③a(m＋1)－b＋c＞0；④若方程a(x－m)(x－1)－1＝0有两个不等实数根，
A 则4ac－b2＜4a；其中正确结论的个数是(
)
A．4
B．3
C．2
D．1
典型例题——二次函数与方程、不等式的关系
数学中考一轮复习专题15二次函数的图象及其性质课件
知识点1：二次函数的概念
典型例题
【例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. y=3x-1
B. y=ax2+bx+c
C. s=2t2-2t+1
D. y x2 1 x
【考点】二次函数的定义.
【解析】解：根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)判定即可．
A. y=3x-1是一次函数；B. y=ax2+bx+c不一定是几次函数；
C. s=2t2-2t+1符合二次函数定义；D. y x2 1 不符合二次函数定义． x
故答案为：C．
典型例题
知识点1：二次函数的概念
【例2】（4分）（202X·甘肃庆阳）将二次函数y＝x2－4x＋5化 成y＝a(x－h)2＋k的情势为________．
【答案】 y＝(x－2)2＋1． 【分析】将二次函数y＝x2－4x＋5按照配方法化成y＝a(x－h)2＋k的情势即可． 【解答】y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1．
典型例题
知识点2：二次函数的图象和性质
【例5】（3分）（202X•包头10/26）已知二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经
过第一象限的点（1，-b），则一次函数y=bx-ac的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质；二次函数的性质 【分析】根据二次函数y=ax2-bx+c (a≠0)的图象经过第一象限的点（1，-b）， 可以判断b＜0和ac异号．再根据一次函数的性质即可求解．
知识点梳理
知识点1：二次函数的概念
第13节二次函数的应用-中考数学一轮知识复习课件
4m＋n＝0，
n＝2.
解得m＝－12， n＝2.
∴BC 的解析式为 y＝－12 x＋2.
设 Et，－12t2＋23t＋2 ，则 Gt，－12t＋2 ，
其中 0＜t＜4.
∴EG＝－12 t2＋32 t＋2－－21t＋2
＝－12 (t－2)2＋2.∴DEFF ＝－12 (t－2)2＋2.
∵－12 ＜0，∴当 t＝2 时，DEFF 有最大值，最大值为 2，此时点 E 的坐标为(2，3).
出，小球达到的离地面的最大高度为( C )
A．23.5 m
B．22.5 m
C．21.5 m
D．20.5 m
4．(2020·坪山区一模)在美化校园的活动 中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角 (两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩 形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB ＝x m.
3 3
x－32
－
3 2
，
BC＝ 3 CD，B(3，0)，∴D 的横坐标为－ 3 . 代入抛物线解析式得
y＝3＋6
3
×3＋1＋
3 3
×
3
－32
－
3 2
＝3＋2
3＋
3
＋1－
3 2
－32
＝
3 ＋1.
∴D(－ 3 ， 3 ＋1). 设 BD 的解析式为 y＝kx＋m.－ 0＝3k＋m.
易求出 Q3 的坐标为4 3 3－1，0 .
④当△PQB∽△BAD 时，如图 4. tan ∠PBQ＝tan ∠BDA， tan ∠PQM＝tan ∠DAE，
易求出 Q4 的坐标为(5－2 3 ，0).
3．(2020·东莞市一模)草莓是云南多地盛产的一种 水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本 为每千克 18 元的草莓，规定试销期间销售单价不低 于成本单价，也不高于每千克 40 元．经试销发现，销 售量 y (kg)与销售单价 x (元/kg)符合一次函数关系， 如图是 y 与 x 的函数关系图象．
2024年中考第一轮复习 二次函数的图象与性质 课件
∴|-m+1|=|m-(m- - + 1)|,解得 m=0 或 1,
∴存在 m=0 或 1,使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形,故结
论②正确;
∵x1+x2>2m,
1 + 2
∴
>m.
2
∵二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)的图象的对称轴为直线 x=m,
数y=ax2+bx+c(a≠0)在-3≤x≤3内既有最大值又有最小值,∴结论④正确.
2.[2020·温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是 [答案]B
抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则
(
[解析] 由对称轴
-12
x=- ==-2,知
2 2×(-3)
)
(-3,y1)和(-1,y1)关于对称轴对称.因为
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与
x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
中考数学专题复习之 二次函数的应用 课件
二次函数的应用
考点精讲·导析探究
B
（ 1 ）设 y ＝ kx ＋ b ，
把( 22 ， 36 )与( 24 ， 32 )代入得：
则 y ＝－ 2x ＋ 80 ；
（ 2 ）设当文具店每周销售这种纪念册获得 150元的利润时，每本纪念册的销售单价是
x 元，根据题意得：( x － 20 ) y ＝ 150 ，
润是 192 元．
（1）∵ B （ 4 ， m ）在直线 y ＝ x ＋ 2 上
∴ m ＝ 4 ＋ 2 ＝ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，∴ B （ 4 ， 6 ）
∵抛物线 y ＝
ax2＋
1 5
bx＋ 6经过 A （ ， ），B （ 4 ， 6 ）
2 2
∴抛物线的解析式为 y ＝ 2x2 － 8x ＋ 6 ．
（ 2 ）设 P （ m ， m ＋ 2 ），则 D （ m ， 2m2－ 8m ＋ 6 ）．
整理得 w ＝－( x － 25 ) 2 ＋ 225
∵－ 1 ＜ 0
∴当 x ＝ 25 时， w 取得最大值，最大值为 225 元．
1
（ 1 ）根据题意得， y ＝－ x ＋ 50 ；
2
1
（ 2 ）根据题意得，( 40 ＋ x )(－ x ＋ 50 )＝ 2 250 ，
2
解得： x 1 ＝ 50 ， x 2＝ 10 ，
＝－ 2 ( x － 30 ) 2 ＋ 200 ，
此时当 x ＝ 30 时， w 最大，
又∵售价不低于 20 元且不高于 28 元，
∴ x ＜ 30 时， y 随 x 的增大而增大，即当 x ＝ 28时， w 最大 ＝－ 2 ( 28 － 30 ) 2 ＋ 200 ＝
2024年中考数学一轮复习考点精讲课件—二次函数的图象与性质
前提条件
当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用
一般式求其表达式.
顶点式
y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数， 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用
a≠0），顶点坐标是（h，k）
交点式
y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0)
顶点式求其表达式.
其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题
【详解】解：∵二次方程 2 + + = 0的两根为−1和 5，
∴
1−+ =0
= −4
，解得
，
25 + 5 + = 0
= −5
∴二次函数 = 2 + + = 2 − 4 − 5 = ( − 2)2 − 9，
∵ 1 > 0，
∴当 = 2时，有最小值，最小值为−9，
2）自变量的最高次数是2；
3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零.
根据实际问题列二次函数关系式的方法：
1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；
2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；
3）列出相应二次函数的关系式.
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的常见表达式：
名称
解析式
一般式
y=ax²+bx+c (a≠0)
状相同，
∴可设该二次函数的解析式为 = ±3 − ℎ
2
+ ，
∵该二次函数的顶点为 1，4 ，
∴该二次函数的解析式为 = ±3 − 1
2
+ 4，
∴该二次函数的解析式为 = 3 2 − 6 + 7或 = −3 2 +
中考数学一轮复习学案：第12讲 二次函数
第12讲 二次函数【考纲要求】1．理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【命题趋势】二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.【考点探究】考点一、二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4)(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1________y 2.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求．∵－b2a ＝－－62×(－3)＝－1，4ac －b 24a ＝4×(－3)×5－(－6)24×(－3)＝8， ∴二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是(－1,8)．故选A.(2)点(－1，y 1)，(2，y 2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y 1，y 2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可．设抛物线经过点(0，y 3)，∵抛物线对称轴为直线x ＝1，∴点(0，y 3)与点(2，y 2)关于直线x ＝1对称．∴y 3＝y 2. ∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． ∴y 1＞y 3.∴y 1＞y 2. 答案：(1)A (2)＞方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k )，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－b 2a ，顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 来求对称轴及顶点坐标． 2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．触类旁通1 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大C ．c ＜0D ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，给出下列命题：①a ＋b ＋c ＝0；②b ＞2a ；③ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3和1；④a －2b ＋c ＞0.其中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到a ＋b ＋c ＝0；根据－b2a＝－1，推出b ＝2a ；根据图象关于对称轴对称，得出与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)；由a －2b ＋c ＝a －2b －a －b ＝－3b ＜0，根据结论判断即可．答案：①③方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．触类旁通2 小明从如图的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，观察得出了下面五个结论：①c ＜0；②abc ＞0；③a －b ＋c ＞0；④2a －3b ＝0；⑤c －4b ＞0，你认为其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( ) A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y ＝－2x 2的图象．答案：C方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．触类旁通3 将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x ＋1)2＋2C ．y ＝(x －1)2－2D ．y ＝(x ＋1)2－2 考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是(0，3)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 恰好经过x 轴上A ，B 两点．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式． 解：(1)由抛物线的对称性可知AE ＝BE . ∴△AOD ≌△BEC . ∴OA ＝EB ＝EA .设菱形的边长为2m ，在Rt △AOD 中， m 2＋(3)2＝(2m )2，解得m ＝1.∴DC ＝2，OA ＝1，OB ＝3.∴A ，B ，C 三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，3)．(2)解法一：设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，代入A 的坐标(1,0)，得a ＝－ 3. ∴抛物线的解析式为y ＝－3(x －2)2＋ 3.解法二：设这个抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知抛物线经过A (1,0)，B (3,0)，C (2，3)三点，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝3，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝43，c ＝－3 3.∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2＋43x －3 3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．触类旁通4 已知抛物线y ＝－12x 2＋(6－m 2)x ＋m －3与x 轴有A ，B 两个交点，且A ，B 两点关于y 轴对称．(1)求m 的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标． 考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)． (2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地额为x 万元，则外地额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎡⎦⎤－1100(x －60)2＋41＋⎝⎛⎭⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量．【经典考题】1．(乐山)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜12．(菏泽)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是()'3．(上海)将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．4．(枣庄)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．(第4题图)5．(珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(第5题图)(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．6．(益阳)已知：如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－3，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．(1)求原抛物线的解析式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P ′作x 轴的平行线交抛物线于C ，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD )的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号)【模拟预测】1．抛物线y ＝x 2－6x ＋5的顶点坐标为( ) A ．(3，－4) B ．(3,4)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)2．由二次函数y ＝2(x －3)2＋1，可知( ) A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x ＝－3C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大3．已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜4 B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图)A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第5题图)6．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …－2－1012…y …04664…从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x＝1 2；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．7．抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．8．长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.(1)分别求y1和y2的函数解析式；(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．9．如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y 轴交于点C.(1)写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)研究二次函数L 2：y ＝kx 2－4kx ＋3k (k ≠0)．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y ＝8k 与抛物线L 2交于E ，F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．参考答案【考点探究】触类旁通1．D触类旁通2．C ∵抛物线开口向上，∴a ＞0； ∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c ＜0；对称轴在y 轴右侧，a ，b 异号，故b ＜0，∴abc ＞0. 由题图知当x ＝－1时，y ＞0， 即a －b ＋c ＞0.对称轴是直线x ＝13，∴－b 2a ＝13，即2a ＋3b ＝0；由⎩⎨⎧a －b ＋c >0，2a ＋3b ＝0，得c －52b ＞0.又∵b ＜0，∴c －4b ＞0.∴正确的结论有4个．触类旁通3．A 因为将二次函数y ＝x 2向右平移1个单位，得y ＝(x －1)2，再向上平移2个单位后，得y ＝(x －1)2＋2，故选A.触类旁通4．解：(1)∵抛物线与x 轴的两个交点关于y 轴对称，∴抛物线的对称轴即为y 轴．∴－6－m 22×⎝⎛⎭⎫－12＝0.∴m ＝±6.又∵抛物线开口向下，∴m －3＞0，即m ＞3.∴m ＝6. (2)∵m ＝6，∴抛物线的关系式为y ＝－12x 2＋3，顶点坐标为(0,3)．触类旁通5．解：(1)(10＋7x ) (12＋6x ) (2)y ＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x . (3)∵w ＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x ＋4， ∴w ＝－2(x －0.5)2＋4.5. ∵－2＜0,0＜x ≤11，∴当x ＝0.5时，w 最大＝4.5(万元)．答：当x 为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．【经典考题】1．B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的顶点在第一象限， 且经过点(－1,0)，∴a －b ＋1＝0，a ＜0，b ＞0.由a ＝b －1＜0得到b ＜1，结合上面b ＞0，∴0＜b ＜1①； 由b ＝a ＋1＞0得到a ＞－1，结合上面a ＜0， ∴－1＜a ＜0②.∴由①②得－1＜a ＋b ＜1，且c ＝1， 得到0＜a ＋b ＋1＜2， ∴0＜t ＜2.2．C ∵二次函数图象开口向下，∴a ＜0.∵对称轴x ＝－b2a＜0，∴b ＜0.∵二次函数图象经过坐标原点，∴c ＝0.∴一次函数y ＝bx ＋c 过第二、四象限且经过原点，反比例函数y ＝ax 位于第二、四象限，故选C.3．y ＝x 2＋x －2 因为抛物线向下平移2个单位，则y 值在原来的基础上减2，所以新抛物线的表达式是y ＝x 2＋x －2.4．－1＜x ＜3 因为二次函数的图象与x 轴两个交点的坐标分别是(－1,0)，(3,0)，由图象可知，当y ＜0时，自变量x 的取值范围是－1＜x ＜3.5．解：(1)由题意，得(1－2)2＋m ＝0，解得m ＝－1，∴y ＝(x －2)2－1.当x ＝0时，y ＝(0－2)2－1＝3，∴C (0,3)． ∵点B 与C 关于直线x ＝2对称，∴B (4,3)．于是有⎩⎨⎧ 0＝k ＋b ，3＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1.∴y ＝x －1.(2)x 的取值范围是1≤x ≤4.6．解：(1)∵P 与P ′(1,3)关于x 轴对称， ∴P 点坐标为(1，－3)．∵抛物线y ＝a (x －1)2＋c 过点A (1－3，0)，顶点是P (1，－3)，∴⎩⎨⎧a (1－3－1)2＋c ＝0，a (1－1)2＋c ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－3.则抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－3，即y ＝x 2－2x －2. (2)∵CD 平行于x 轴，P ′(1,3)在CD 上， ∴C ，D 两点纵坐标为3，由(x －1)2－3＝3，得x 1＝1－6，x 2＝1＋6， ∴C ，D 两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)， ∴CD ＝26，∴“W ”图案的高与宽(CD )的比＝326＝64(或约等于0.612 4)． 【模拟预测】1．A 2．C3．D 由题意，得22－4(k －3)≥0，且k －3≠0，解得k ≤4且k ≠3，故选D. 4．A5．3 ∵把A (－1,0)，B (1，－2)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得⎩⎨⎧ 1－b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2，∴y ＝x 2－x －2，解x 2－x －2＝0得x 1＝－1，x 2＝2，∴C 点坐标为(2,0)，∴AC ＝3.6．①③④ 由图表可知当x ＝0时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝6，∴抛物线的对称轴是直线x ＝12，③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为(－2,0)，对称轴是直线x ＝12，∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，①正确；由图表可知，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，④正确；当x ＝12时，y取得最大值，②错误．7．y ＝－x 2－2x 由题中图象可知，对称轴为直线x ＝1，所以－b－2＝1，即b ＝2.把点(3,0)代入y ＝－x 2＋2x ＋c ，得c ＝3.故原图象的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4，然后向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得y ＝－(x －1＋2)2＋4－3，即y ＝－x 2－2x .8．解：(1)由题意，得5k ＝2，∴k ＝25，∴y 1＝25x ；⎩⎨⎧4a ＋2b ＝2.4，16a ＋4b ＝3.2，∴⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝85，∴y 2＝－15x 2＋85x . (2)设该农户t 万元购Ⅱ型设备，(10－t )万元购Ⅰ型设备，共获补贴Q 万元．∴y 1＝25(10－t )＝4－25t ，y 2＝－15t 2＋85t .∴Q ＝y 1＋y 2＝4－25t －15t 2＋85t ＝－15t 2＋65t ＋4＝－15(t －3)2＋295.∴当t ＝3时，Q 最大＝295.∴10－t＝7.即7万元购Ⅰ型设备，3万元购Ⅱ型设备，能获得最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元．9．解：(1)二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标(2，－1)．(2)①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为直线x＝2或顶点的横坐标为2；都经过A(1,0)，B(3,0)两点．②线段EF的长度不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，∴kx2－4kx＋3k＝8k，∵k≠0，∴x2－4x＋3＝8，解得x1＝－1，x2＝5.∴EF＝x2－x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．11 / 11。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
中考数学第一轮系统复习夯实基础第三章函数及其图象第13讲二次函数课件
1．将抛物线解析式写成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h，k)， 对称轴为直线 x＝h，也可应用对称轴公式 x2．解题时尽可能画出草图．
【解析】如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故①错 误；根据图象有a＞0, b＜0, c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x＝－1时 ，a－b＋c＞0，故③错误；二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标纵坐 标为－2，∵关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的 实数根，∴m＞－2，故④正确．故选B.
二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2实际情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实 际问题． 3在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知 识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
1．(2016·衢州)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x， y)对应值列表如下：
(2)∵将 x＝0 代入 y＝12x＋32得 y＝32，将 x＝1 代入得 y＝2，∴直线 y＝12x ＋32经过点(0，32)，(1，2)．直线 y＝12x＋32的图象如图所示，由函数图象可 知：当 x＜－1.5 或 x＞1 时，一次函数的值小于二次函数的值 (3)先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标为 P(－1， 1)．平移后的表达式为 y＝(x＋1)2＋1，即 y＝x2＋2x＋2.点 P 在 y＝12x＋32的 函数图象上．理由：∵把 x＝－1 代入得 y＝1，∴点 P 的坐标符合直线的 解析式，∴点 P 在直线 y＝12x＋32的函数图象上
人教版中考数学一轮复习--二次函数的应用(精品课件)
∵A(1，0)，即二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴x＝－2×b－14＝1，∴b＝12，
∴二次函数的解析式为 y＝－14x2＋12x＋3.
(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值.
解：过点D作x轴的垂线，垂足为E.
∵∠CAD＝90°，∴∠BAO＋∠DAE＝90°.
解：当m＝－2时，直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)， ∴直线l2：y＝－2x＋n(n≠10)与直线l1：y＝－2x＋10不重合， 假设l1与l2不平行，则l1与l2必相交，设交点为P(xP，yP)， ∴ yyPP＝ ＝－ －22xxPP＋ ＋n10，，解得n＝10. ∵n＝10与已知n≠10矛盾，∴l1与l2不相交，∴l2∥l1.
综上所述，当a≥50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1 250 m2； 当0＜a＜50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为 50a－12a2 m2.
考点3 销售问题 例4 某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过
程中发现，每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间存在 一次函数关系(其中10≤x≤21，且x为整数).当每瓶消毒 液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售 价为15元时，每天销售量为75瓶. (1)求y与x之间的函数关系式；
∴直线MN的解析式为y＝－x＋4，
由－x2＋2x＋3＝－x＋4 得，x＝3±2 5，
∴M 点横坐标为3＋2
5或3－2
5 .
例2 【2020福建节选14分】已知直线l1：y＝－2x＋10交y轴 于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交 x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任 意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1>x2≥5时，总有y1>y2.
2023年中考数学一轮复习课件：二次函数的实际应用
一、抛物线型问题
例1 教材原题 华师九下P30第1题如图，一个运动员推铅球，铅球在 点A处出手，出手时铅球离地面的高度约为1.6 m，铅球在点B处落地． 铅球在运动员前4 m处(即OC＝4)达到最高点，最高点离地面的高度为 3.2 m．已知铅球经过的路线是抛物线，试利用图示的平面直角坐标系 算出这个运动员的成绩．
线的解析式为y＝ax2＋c(a≠0)，把点B(4，0)，D(－3
，4)代入，
16a c 0 9a c 4
,
得
解得
a c
4 7
64 7
,
4
64
7
7
∴该抛物64线的解析式6为4 y＝－ x2＋ ，∴C(0，
7
7
).∴OC＝ m≈9.1 m.答：这个门洞的高度约为9.1 m.
第2题解图
提分要点
＝－120，∴B(－120，－90)，将
点B的坐标代入y＝ax2，得(－120)2a＝－90，
第1题图
1502 902
第1题解图
解得a＝－ 1 ，∴该抛物线的表达式为y＝－
160 1 160
x2(－120≤x≤0)；
第1题解图
(3)若该运动员在空中共飞行了4 s，求他飞行2 s后，垂直下降了多少m?
变式题 1. 将文字型改为图象型，列关系式求最值 某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本 为10万元/件．(1)如图，设第x(0＜x≤20)个生产周期设备售价z万元/件， z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式
(写出x的范围)； 解：(1)由题图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜ x≤20时，z是关于x的一次函数，
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
二次函数的最值问题-中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第三单元 函数及其图象专题3.5 二次函数的最值问题知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例1】已知二次函数y=-(x-h)2.(1)若当x＜3时,y随x的增大而增大,当x＞3时,y随x的增大而减少,则h=___.(2)若当x＜3时,y随x的增大而增大,则h的取值范围为______.(3)当自变量x的取值满足2≤x≤5时,函数值y的最大值为-1,则h=______.3h≥31或6a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)a≤x≤b＜h,y随x增大而减小,当x=a时,y有最大值,y max =m；当x=b时,y有最小值,y min =na≤x≤b＜h,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =ny O xm n a bh k (h,k)yOx(h,k)hb a knma ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)h＜a≤x≤b,y随x增大而增大,当x=a时,y有最小值,y min =m；当x=b时,y有最大值,y max =nh ＜a ≤x ≤b ,y 随x 增大而减小,当x =a 时,y 有最大值,y max =m ；当x =b 时,y 有最小值,y min =ny O xh k(h,k)b a n m yO x(h,k)h k nm baa ＞0(开口向上)a ＜0(开口向下)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＜|b-h|当x=h时,y有最小值,y min =k；当x=b时,y有最大值,y max =n(a＞0,离对称轴越远的点,位置越高)a≤x≤b,a＜h＜b,|a-h|＞|b-h|当x=h时,y有最大值,y max =k；当x=a时,y有最小值,y min =m(a＜0,离对称轴越远的点,位置越低)y Oxhk (h,k)b a n m yO x(h,k)hk n bam1.已知二次函数y=(x-h)2+1,在1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为( ) A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或32.已知二次函数y=x 2-2x-3,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( ) A.0，-4 B.0，-3 C.-3，-4 D.0,03.已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3,当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a=____.4.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两个点),顶点C是矩形DEFG区域内(包括边界和内部)的一个动点,则a的取值范围是__________.B知识点一强化训练利用二次函数的区间最值求值A 1xy-2-11143232知识点利用二次函数的区间最值求值01利用二次函数求代数式的最值02利用二次函数求面积的最值03拓展训练04【例【例22】】点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x 2+ax+4的图象上,则m-n的最大值等于( ) A.15/4 B.4 C.-15/4 D.-17/4C∵y轴为对称轴把P(m,n)代入y=x 2+ax+4得：n=m 2+4∴m-n=m-(m 2+4)=-(m-1/2)2-15/4∴a=0∴m-n的最大值为-15/4a＞0(开口向上)a＜0(开口向下)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴，N在抛物线上，∴N(x,ax2+bx+c).当xA ＜x＜xB,MN=(kx+d)-(ax2+bx+c)设M(x,kx+d).∵MN∥y轴,N在抛物线上,∴N(x,ax2+bx+c).当xA＜x＜xB,MN=(ax2+bx+c)-(kx+d).yO xxAMBAxBNy=ax2+bx+c y=kx+dyOxNxAMABxBy=ax2+bx+cy=kx+d1.若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a＞0)两根相差1,令t=12a-b2,则t的最大值为____.2.已知抛物线y=ax2+4ax+4a+1(a≠0)过点A(m,3),B(n,3)(m＜n)两点,若线段AB的长不大于4,则代数式a2+a+1的最小值是_____.1.解析：Δ=b2-4a∴b2=a2+4a∴t=12a-b2=12a-(a2+4a)∴t=-(a-4)2+16当a=4时,tmax =16167/42.解析：y=ax2+4ax+4a+1=a(x+2)2+1∴对称轴为x=-2∵AB≤4,A(m,3),B(n,3)∴当m=-4,n=0时a最小把B(0,3)代入y=ax2+4ax+4a+1得a=1/2∴a2+a+1=(a+1/2)2+3/4=(1/2+1/2)2+3/4=7/43.如图直线y=x与抛物线y=x 2-2x-3交于点E、F,直线MN∥y轴,交直线y=x于点N,交抛物线于点M.(1)若点M为于点N的下方,求当MN 最长时,M的坐标；(2)若以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标。
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2
2
当△PCM是直角三角形时,分以下两种情况:(i)当∠CPM=90°时,由PC∥x轴,得 1 m2+ 1 m-2=-2,可求得P(-2,-
42
2);(ii)当∠PCM=90°时,作PN⊥y轴于点N,易证△CNP∽△AOC,∴ CN = PN ,可求得P(6,10).②由题意知,直线l
AO CO
是△MBB'的三条中位线所在的直线,当点B,B'在l同侧时,l过CM的中点与BB'平行,当点B,B'在l异侧时,l过点C
A组 河南中考题组
1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4
答案 B ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,
∴
n n
4 2b 4, 16 4b 4,
解得
b n
2, 4.
故选B.
一题多解 ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,∴抛物线的对称轴为直线x= 2 4 =1,即 b =1,∴b=2,∴n=-(-2)2+
3 4
m-2;
当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- m 4 x-2;
2m 4
当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= m 4 x-2.
2m 4
综上所述,直线l的解析式为y=x- 3 m-2或y=- m 4 x-2或y= m 4 x-2.
4
2m 4
2m 4
思路分析 (1)由直线y=- 1 x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+ 1 x+c中,求得抛物线的解析式;(2)①
即
1 4
m2
1 2
m
=
m
,
4
2
解得m3=0(舍去),m4=6.
∵当m=6时, 1 m2+ 1 m-2=10,
42
∴点P的坐标为(6,10).
综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分)
②y=x- 3 m-2或y= m 4 x-2或y= 4 m x-2. (11分)
4
4 2m
2
2
2×(-2)+4=-4.
2.(2016河南,13,3分)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是
.
答案 (1,4) 解析 把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中,
得
3 3
c, 4
2b
c,
解得
c b
3, 2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
2m 4
提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.
当y=0时,
1 4
x2+
1 2x-2=0,解得源自1=-4,x2=2,∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,
∴点B'的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0),
∴点M的坐标为
m,
1 2
物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
解析 (1)∵直线y=- 1 x-2交x轴于点A,交y轴于点C,
2
∴A(-4,0),C(0,-2).
∵抛物线y=ax2+ 1 x+c经过点A,C,
2
∴
0 16a 2 c.
2
c,
∴
a c
1, 4 2.
与BM平行或与B'M平行,计算可得l的解析式.
5.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
(ii)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ CN = PN .
AO CO
∵C(0,-2),N
0,
1 4
m2
1 2
m
2
,∴CN=
1 4
m2+
1 2
m,PN=m.
m
2
.
利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- m 4 x+ m 4 ;直线B'M的解析式
2m 4 m 2
为y= m 4 x- 5m 4 .
2m 4 m 2
分三种情况考虑:
当直线l∥BB'且过线段CM的中点N
1 2
m,
1 4
m
2
时,直线l的解析式为y=x-
∴抛物线的解析式为y= 1 x2+ 1 x-2.
42
(3分)
(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为
m,
1 4
m2
1 2
m
2
.
①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:
(i)当∠CPM=90°时,PC∥x轴, 1 m2+ 1 m-2=-2.
42
解得m1=0(舍去),m2=-2.
∴点P的坐标为(-2,-2). (5分)
4.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ 1 x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- 1 x-2经过点A,C.
2
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛
∴y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,
∴该抛物线的顶点坐标为(1,4).
3.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B( 2 ,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
答案 y2<y1<y3 解析 解法一:∵A(4,y1),B( 2 ,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上, ∴y1=3,y2=5-4 2 ,y3=15. ∵5-4 2 <3<15,∴y2<y1<y3. 解法二:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3. ∵y=(x-2)2-1,∴其图象的对称轴为直线x=2, ∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4, ∵2- 2 <2<4,且a=1>0,∴y2<y1<y3.