二次函数-2021河南省中考数学第一轮复习课件

∴y=-(x2-2x+1)+4=-(x-1)2+4,
∴该抛物线的顶点坐标为(1,4).
3.(2015河南,12,3分)已知点A(4,y1),B( 2 ,y2),C(-2,y3)都在二次函数y=(x-2)2-1的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 .
答案 y2<y1<y3 解析 解法一:∵A(4,y1),B( 2 ,y2),C(-2,y3)都在抛物线y=(x-2)2-1上, ∴y1=3,y2=5-4 2 ,y3=15. ∵5-4 2 <3<15,∴y2<y1<y3. 解法二:设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3. ∵y=(x-2)2-1,∴其图象的对称轴为直线x=2, ∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4, ∵2- 2 <2<4,且a=1>0,∴y2<y1<y3.
2m 4
提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.
当y=0时,
1 4
x2+
1 2
x-2=0,解得x1=-4,x2=2,
∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,
∴点B'的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0),
∴点M的坐标为
m,
1 2
2
2
当△PCM是直角三角形时,分以下两种情况:(i)当∠CPM=90°时,由PC∥x轴,得 1 m2+ 1 m-2=-2,可求得P(-2,-
42
2);(ii)当∠PCM=90°时,作PN⊥y轴于点N,易证△CNP∽△AOC,∴ CN = PN ,可求得P(6,10).②由题意知,直线l
AO CO
是△MBB'的三条中位线所在的直线,当点B,B'在l同侧时,l过CM的中点与BB'平行,当点B,B'在l异侧时,l过点C
2
2
2×(-2)+4=-4.
2.(2016河南,13,3分)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是
.
答案 (1,4) 解析 把A(0,3),B(2,3)分别代入y=-x2+bx+c中,
得
3 3
c, 4
2b
c,
解得
c b
3, 2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
解析 (1)∵直线y=- 1 x-2交x轴于点A,交y轴于点C,
2
∴A(-4,0),C(0,-2).
∵抛物线y=ax2+ 1 x+c经过点A,C,
2
∴
0 16a 2 c.
2
c,
∴
a c
1, 4 2.
与BM平行或与B'M平行,计算可得l的解析式.
5.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点A的直线交直线BC于点M. ①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标; ②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
A组 河南中考题组
1.(2019河南,8,3分)已知抛物线y=-x2+bx+4经过(-2,n)和(4,n)两点,则n的值为 ( ) A.-2 B.-4 C.2 D.4
答案 B ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,
∴
n n
4 2b 4, 16 4b 4,
解得
b n
2, 4.
故选B.
一题多解 ∵抛物线经过(-2,n)和(4,n)两点,∴抛物线的对称轴为直线x= 2 4 =1,即 b =1,∴b=2,∴n=-(-2)2+
∴抛物线的解析式为y= 1 x2+ 1 x-2.
42
(3分)
(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为
m,
1 4
m2
1 2Fra Baidu bibliotek
m
2
.
①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:
(i)当∠CPM=90°时,PC∥x轴, 1 m2+ 1 m-2=-2.
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解得m1=0(舍去),m2=-2.
∴点P的坐标为(-2,-2). (5分)
4.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ 1 x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- 1 x-2经过点A,C.
2
2
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛
3 4
m-2;
当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- m 4 x-2;
2m 4
当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= m 4 x-2.
2m 4
综上所述,直线l的解析式为y=x- 3 m-2或y=- m 4 x-2或y= m 4 x-2.
4
2m 4
2m 4
思路分析 (1)由直线y=- 1 x-2经过点A,C,求得点A,C的坐标,代入y=ax2+ 1 x+c中,求得抛物线的解析式;(2)①
即
1 4
m2
1 2
m
=
m
,
4
2
解得m3=0(舍去),m4=6.
∵当m=6时, 1 m2+ 1 m-2=10,
42
∴点P的坐标为(6,10).
综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分)
②y=x- 3 m-2或y= m 4 x-2或y= 4 m x-2. (11分)
4
4 2m
(ii)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,
∴∠CNP=∠AOC=90°.
∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,
∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ CN = PN .
AO CO
∵C(0,-2),N
0,
1 4
m2
1 2
m
2
,∴CN=
1 4
m2+
1 2
m,PN=m.
m
2
.
利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- m 4 x+ m 4 ;直线B'M的解析式
2m 4 m 2
为y= m 4 x- 5m 4 .
2m 4 m 2
分三种情况考虑:
当直线l∥BB'且过线段CM的中点N
1 2
m,
1 4
m
2
时,直线l的解析式为y=x-