第三章 第1节

相切，则直线l的方程为( )
A.x＋y－1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
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f（x0＋Δx）－f（x0）
lim
x0
Δx
.
2
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(2)函数 f(x)的导函数
lim f（x＋Δx）－f（x）
函数 f′(x)＝ x0
Δx
为 f(x)的导函数.
2.导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的 斜率 ，过点 P 的切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0).
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【训练 1】 (1)已知函数 y＝f(x)的导函数为 f′(x)且 f(x)＝x2f′π3 ＋sin x，则 f′π3 ＝ ________. (2)(2018·西安质检)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x) 为 f(x)的导函数.若 f′(1)＝3，则 a 的值为________.
答案
3 (1)6－4π
(2)3
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考点二 导数的几何意义(多维探究)
命题角度1 求切线方程
【例 2－1】 (1)(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数 f(x＋1)＝2xx＋＋11，则曲线 y
＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A.1
B.－1
C.2
D.－2
(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线 y＝f(x)
在点(1，2)处的切线方程是________.
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命题角度2 求参数的值或取值范围
【例 2－2】(1)(2018·长郡中学调研)设曲线 y＝2－sincoxs x在点π2 ，2处的切线与直线
f′(x)＝_c_o_s__x___
f′(x)＝－___s_in__x__
f′(x)＝___e_x____ f′(x)＝_a_xl_n__a___
f′(x)＝ f′(x)＝
1 x 1 xln a
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4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
x0＝e.
答案 B
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3.已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 解析 因为f(x)＝(2x＋1)ex， 所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以f′(0)＝3e0＝3. 答案 3
(3)因为 y＝x－12sin x，所以 y′＝x－12sin x′＝x′－12sin x′＝1－12cos x.
(4)y′＝coesx
x′＝（cos
x）′ex－cos （ex）2
x（ex）′＝－sin
x＋cos ex
x .
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规律方法 1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之 前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运 算量，提高运算速度，减少差错. 2.如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导.
f′（x）g（x）－f（x）g′（x）
(3)gf（（xx））′＝
[g（x）]5
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[常用结论与微点提醒] 1.f′(x0)代表函数 f(x)在 x＝x0 处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0. 2.f（1x）′＝－[ff（′（xx））]2. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有
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第1节 变化率与导数、导数的计算
1
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知识梳理
1.导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
一般地，函数
y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率是
lim
x0
ΔΔyx＝
lim
x0
f（x0＋ΔΔx）x－f（x0），
我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝
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5.(2018·合肥一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析 由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－13，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋ 3f′(3)＝1－1＝0. 答案 0
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4.(2017·全国Ⅰ卷)曲线 y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为________. 解析 设 y＝f(x)，则 f′(x)＝2x－x12， 所以f′(1)＝2－1＝1， 所以在(1，2)处的切线方程为y－2＝1×(x－1)，
即y＝x＋1. 答案 y＝x＋1
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2.(选修 1－1P78 习题改编)已知 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝2，则 x0 等于( )
A.e2
B.e
ln 2 C. 2
D.ln 2
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得
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考点一 导数的计算
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝xx2＋1x＋x13；
(3)y＝x－sin2xcos2x；
(4)y＝coesx
x .
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解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex1x＝ln x＋1xex. (2)因为 y＝x3＋1＋x12，所以 y′＝(x3)′＋(1)′＋x12′＝3x2－x23.
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3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
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导函数
f′(x)＝____0____ f′(x)＝__α__x_α－__1_
曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
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【训练2】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切
线过点(2，7)，则a＝________.
(2)(2018·威海质检)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)
一个公共点.
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诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( ) (2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cos x.( ) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( ) 解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
x＋ay＋1＝0 垂直，则 a＝______.
(2)(2018·开封模拟)函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切线，
则实数 a 的取值范围是( )
A.(－∞，2]
B.(－∞，2)
C.(2，＋∞)
D.(0，＋∞)
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命题角度3 公切线问题 【例2－3】 (一题多解)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x 在点(1，1)处的切线与
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解析 (1)因为 f(x)＝x2f′π3 ＋sin x，所以 f′(x)＝2xf′π3 ＋cos x.
所以 f′π3 ＝2×π3 ×f′π3 ＋cosπ3 .
所以 f′π3 ＝6－34π.
(2)f′(x)＝aln
x＋x·1x＝a(1＋ln
x).
由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.