矩阵理论课件 第五章 特征值的估计与广义逆矩阵

对于方程组 Ax ，b若 rank( A, b) rank( A)
则方程组有解（称为相容方程组，否则称为不相容）， 所有解里面2-范数最小的解，称为其最小范数解，即
x* : min x
Ax b
2
定理4 （最小范数解的性质）
通常记为 A{1,3}
若 A是 矩阵 A C的m一个n 广义{1逆} ，且满足
优矩阵
（对角占优矩阵）性质
设 A (aij ) Cnn 为严格对角占优矩阵，则有 det( A) 0
即 A 可逆。
定理3 （谱半径的估计）
①
( A)
ma②x
1 i n
i
( A) A
③如果 A为正规矩阵，则
( A) 。 A 2
§4、广义逆矩阵与线性方程组的解
定义1 （{1} 广义逆）
通常记为 A
例4 利用盖尔圆定理，证明 下列矩阵能相似于对角矩阵，
2
且 A的特征值均为实数。
1
证明：n个盖尔圆为
n
1 n
4
1 n 1 n
1
n
1
n
1
A
1
z 2k (n 1) n
n
1 n
6
1
n
1 1 1 n
(k 1, 2, , n)
1 1 1 n n n
2n
故n个盖尔圆互不相交，所以 A 相似于对角矩阵。
实际计算得到的特征值：
1 3.0253, 2 1.0757, 3 1.1118, 4 3.9893.
定理2 （圆盘定理的推广）
矩阵 A 的任一由k个盖尔圆组成的连通部分里，有且只 有k个特征值（当 A 的主对角线上有相同元素时，则按
重复次数计算，有相同特征值时亦需按重数计算）
例3 应用举例：
定理5 （最小二乘解的性质） 通常记为 A{1, 4}
若 A是 矩阵 A C的m一个n 广义{1逆} ，且满足
( AA )H ，则AA对
，b C m x Ab
是不相容方程组 Ax 的b最小二乘解（不唯一）。
定义4 （极小最小二乘解）
对于不相容方程组 Ax ，b所有最小二乘解里面
2-范数最小的解，称为极小最小二乘解，即
j 1
ji
n
令
xk
max
1 i n
xi
0
( akk )xk
akj x j
j 1
jk
n
n
akk xk akj x j akj x j
j 1
j 1
jk
jk
n
akk akj
j 1
xj xk
n
akj Rk
j 1
jk
jk
例2 估计下面矩阵的特征值范围：
1 0.1 0.2 0.3
5
A
1 5
2( x2
2z2 )
x1 2z1
x2
2
z2
2 5 2z2
z1
z2
x
Ab
1 5
1
2
5 x
25
A
1 5
2( x2
2z2 )
2 5 2z2
x1 2z1 z1
x2
2z2
z2
1
A
5
2 5
x1 1, x2 0, z1 3, z2 0
7
0
3 0
x
Ab
1 5
1
2
1 0 0 0 0 1 0
0 0
1 0
10 01
1 0
0
0
2 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 0
P
0
1
0
0
1 0 2 0
0
1
1
1
0 0 1
Q
0
1
1
1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0
1
00
1
0
0
1
00
1
1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
A AH
A AH
特阵，C 是反厄米特阵(B
,C
)
B (bij ), C (cij )，A, B,C2的谱集合分别为2
1,2, ,n,u1, u2, , un,iv1, iv2, , ivn
其中 ui , vi 均为实数（ i 1, 2, , n ），且假定
1 2 n , u1 u2 un
Er O
O
O
W Er
G
Q
Er Y
X
Z
P
0 0 2
例6
求矩阵
A
1
1
0
的一个{1} 广义逆。
0 0 1
1
1
1
0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0
1
0
1 0
00 10
1 0
0 1
0 0
1 0
1 00 0 10
1 0
0
0
1 0
1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1
min x : H x min Ax b
xH
2
xC n
2
定义5 （广义逆的一般定义）
设 A C，m若n存在
1 0 * *
A
Q
0
1
*
*
P
* * * *
特例：
* * * *
1 0 0 0
A
Q
0
0
0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
P
0 0 0
0 1 0
0 0 1
0
0
0
定理3 （方程组的通解表示）
若 A是 矩阵 A C的m一个n 有解时A，x其通b解可表示为
广义{1逆} ，则当方程组
( A A)H ，A只要A方程组
有解A，x其则b
x A就是b 它的最小范数解（唯一）。
证明：
x2 2
Ab (En
A A)z
2 2
Ab (En A A)z H Ab (En A A)z
Ab H Ab (En A A)z H (En A A)z
Ab H (En A A)z (En A A)z H Ab
1 2 1 0 0 1 2 1 0 0
0
00
1
0
0
00
1
0
2 4 0 0 1 0 0 2 0 1
1 0 1 0 0
0
00
1
0
0 0 2 0 1
1 0 0
P
0
1
0
2 0 1
1 2
Q
0
1
A
Q
E1 Y
X
Z
P
1 0 0
1
0
2 1
1
y
x1 z1
x2 z2
1,2
1
i 2
0.6
1 0.8
2个盖尔圆
0.5
注：定理2表明由一个盖尔圆组成的连通部分，有且只 有一个特征值。
推论1 如果n阶矩阵 A C nn 的n个盖尔圆两两不相 交，则 A 必相似于对角矩阵。（仅是充分条件） 推论2 如果n阶矩阵 A Rnn 的n个盖尔圆两两不相
交，则 A 的特征值全为实数。
x Ab (En A A)z z C n
证明： AA A A A(En A A)z
rank(E A A) rank Q1(E A A)Q
rank
E
Q 1Q
Er Y
X
Z
PAQ
rank
E
Er Y
X Er
Z
O
O
O
O O
rank
Y
Enr
n
r
定义2 （最小范数解）
A
0.5 1
3 0.3
0.1
0.2
1 0.5
0.2
0.3
0.1
4
解：四个圆盘为
(1) z 1 0.1 0.2 0.3 0.6 (2) z 3 0.5 0.1 0.2 0.8 (3) z 1 1 0.3 0.5 1.8 (4) z 4 0.2 0.3 0.1 0.6
且n个盖尔圆关于实轴对称，A 又是实矩阵，则由推论 2知，A 的特征值全为实数，
例5 用盖尔圆定理证明下列矩阵至少有两个实特征值：
9 1 2 1
A
0 1
8 0
1 4
1
0
1
0
0
1
矩阵 A 的4个盖尔圆为
G1 z z 9 4 G2 z z 8 2
G3 z z 4 1 G4 z z 1 1
的并集内，其中 Ri aij 。 j 1 ji
上述圆盘称为Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆。
证明： 设Ax x, x ( x1, x2 , , xn )T
n
aij x j xi , i 1, 2, , n
j 1
n
aij x j ( aii )xi , i 1, 2, , n
v1 v2 vn ，则有下列结论：
①
iBiblioteka Baidu
n
max
1i , jn
aij
;
②
Re i
n max 1i , jn
bij
;
③
Im i
n
max
1i , jn
cij
.
其中
1 bij 2 (aij a ji )
1 cij 2 (aij a ji )
i, j 1, 2, , n
推论2 （Bendixson定理）
Ab H (En A A)z 0 (En A A)z H Ab 0
Ab H Ab (En A A)z H (En A A)z
Ab 2 2
(En
A A)z
2 2
Ab 2 2
1 2 1
例7
已知
A
0
0
,
b
0
，求
Ax b
2 4 2
的最小范数解。
第五章 特征值的估计与广义逆矩阵
§1、特征值界的估计 定理1 （Schur不等式）
如果n阶复数矩阵 A (aij )nn 的特征值（谱）集合为
1,2, ,n
，则有不等式
n
n
i 2
n
2
aij
A2 F
i 1
i 1 j1
当且仅当 A 为正规矩阵时，等号成立。
推论1
设n阶复数矩阵 A (aij )nn ，A B C ， B 是厄米
①
A
3 5
5 3
3 5 E A
5 3 ( 3)2 25 0
1,2 3 5i
2个盖尔圆 3 5
②
A
2 1
1
4
2 1 E A
1 4
2 1 ( 3)2 0 1,2 3
2个盖尔圆
4 1
1 0.8
③
A
1 0.5
0.8
0
E A 0.5
2 0.4 0
定义3 （最小二乘解）
对于方程组 Ax ，b若 rank( A, b) rank( A)
则方程组无解（即为不相容方程组），则称满足条件
x : min Ax b
xC n
2
的解为该方程组的最小二乘解（近似解）。
（最小二乘解的充要条件）
x为方程组 Ax的最b小二乘解的充要条件是
x
满足法方程组 AT Ax AT b
设 A (aij )nn Rnn（n阶实矩阵），则
Im i
n(n 1)
2
max
1i , jn
cij
例1 估计下面矩阵的特征值的界：
0 0.2 0.1 1 0
A
0.2
0
0.2
2 0.3i
解：
0.1 0.2 0 3 0.3i
B 1 ( A AT ) 0,C 1 ( A AT ) A
设 A C，m若对n
，b都存C在m矩阵 ,
Gnm
只要方程组 Ax 有b解，则 x也一G定b是方程组的解，
就称 是 G的n一m个 A 广义逆。{1}
定理1 （{1} 广义逆的等价条件）
矩阵 Gn是m 矩阵 A 的C m广n 义{逆1}的充要条件是
。
AGA A
证明： 设对 b C m ，Ax b有解 x Gb
对 z Cn ， 令 b Az ，则 Ax b 有解 x Gb
AGb b AGAz Az AGA A
设 y是方程组 Ax的解b
AGA A AGAy Ay b AGb b
即 x Gb是方程组 Ax b的解，从而结论成立。
定 设 其理 中A2P（,C{Q分1，}m别若n是广m义阶逆P和的An阶Q计可算，逆）矩E阵r （O即初 等ra变n换k(可A化)为 r
0 0 2 1 0 0 0
1 0
1 0
00 10
1 0
0
0
1 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 1 0 2 0
1 0
1 0
00 10
1 0
0
0
1 0
0 0 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1 0
1 0
1 0
00 01
1 0
0
0
2 0
0 0 0 0 1 1 1
上述形式），则 的A所有 广{1}义逆的集合为：
A{1}
Q
Er Y
其中X 分别是 X ,Y , 相应Z阶数P的 任意矩阵。
Z
证明： AGA A PAGAQ PAQ
PAQQ1GP 1PAQ PAQ
Er O
OW
O
Y
X Er
Z
O
O O
Er O
O
O
W
O
O O
4个盖尔圆中只有 G4 是孤立的， G1,G2 ,G3 是连通
的，故结论成立。
定义1 （严格对角占优矩阵）
设 A (aij )，若C满n足n
n
aii aij , i 1, 2, n j 1 ji
则称 A 为（行）对角占优矩阵，若不等式严格成立， 则称 为A（行）严格对角占优矩阵；若 为A行T （严格）对角占优矩阵，则称 A列（严格）对角占
0 2
1
0
0 1
1 0 0
1 2y
y
x1 2z1 z1
x2
2z2 z2
0 2
1 0
0
1
A
1
2
y
y
2( x2 2z2
2z2 )
x1 2z1 z1
x2 2z2
z2
A
A
1 2
y
y
2(1 2 y)
2y
( A A)H
1 2y
2(1
2
y)
y
2
y
2
2(1 2 y) y y
2
2
i 3 0.2 0.6 Rei 3 0 0
Im i
3 2 0.2 2
Imi 3 0.2 0.6
0.3464
§2、圆盘定理 定理1 （圆盘定理）
设 A (aij )nn Cnn ，则 A 的特征值都在复数平面
上的n个圆盘 z aii Ri , i 1, 2, , n
n