2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克试题
2018年美国“数学大联盟杯赛”(中国赛区)初赛四年级试卷(1)
2017-2018年度美国“数学大联盟杯赛”(中国赛区)初赛(四年级)(初赛时间：2017年11月26日，考试时间90分钟，总分200分)学生诚信协议：考试期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论，我确定我所填写的答案均为我个人独立完成的成果，否则愿接受本次成绩无效的处罚。
请在装订线内签名表示你同意遵守以上规定。
考前注意事项：1. 本试卷是四年级试卷，请确保和你的参赛年级一致；2. 本试卷共4页(正反面都有试题)，请检查是否有空白页，页数是否齐全；3. 请确保你已经拿到以下材料：本试卷(共4页，正反面都有试题)、答题卡、答题卡使用说明、英文词汇手册、草稿纸。
考试完毕，请务必将英文词汇手册带回家，上面有如何查询初赛成绩、及如何参加复赛的说明。
其他材料均不能带走，请留在原地。
选择题：每小题5分，答对加5分，答错不扣分，共200分，答案请填涂在答题卡上。
1.Which of the following is the smallest?A) 2.018 B) 20.18 C) 0.218 D) 20182.What is the least common multiple of 20 and 18?A) 90 B) 180 C) 240 D) 3603.The sum of the degree-measures of the exterior angles of a triangle is?A) 180 B) 360 C) 540 D) 7204.In the figure on the right, please put the numbers 1 – 11 in the elevencircles so that the three numbers in every straight line add up to 18.What is the number in the middle circle? Note: There are 5 straightlines in total in this figure.A) 6 B) 7 C) 8 D) 95.I am a lovely cat. When I multiply the digits of a whole numberand the product I get is 8, I put that whole number on my list offavorite numbers. Of the whole numbers from 1000 to 9999,how many would I put on my list of favorite numbers?A) 10 B) 12 C) 16 D) 206.Two planes take off at the same time from the same point to race to apoint and back. Place A travels at 180 miles per hour on the way out and240 miles per hour on the return trip. Plane B covers the entire distance at an averagespeed of 210 miles per hour. Which plane wins the race, or is it a tie?A) plane A wins B) plane B winsC) a tie D) non-deterministic 7.52 × 88 = 44 ×?A) 102 B) 96 C) 104 D) 1248.What is the smallest whole number that leaves a remainder of 4, 5, 6 when divided byeach of 5, 6, 7?A) 29 B) 209 C) 210 D) 20099.In △ABC, m∠A + m∠C = m∠B. What is the degree measure of ∠B?A) 80 B) 90 C) 100 D) 18010.I bought a toy for $10, sold it for $20, rebought it for $30, and resold it for $40. My totalprofit on the 4 transactions was ?A) 10 B) 20 C) 30 D) 4011.What is the greatest number of integers I can choose from the first ten positive integers sothat any 3 of the chosen integers could be the lengths of the three sides of a triangle?A) 4 B) 5 C) 6 D) 712.How many whole numbers between 200 and 400 have all their digits increasing in valuewhen read from left to right?A) 30 B) 36 C) 42 D) 4813.What is the value of 1% of 10% of 100?A) 0.01 B) 0.1 C) 1 D) 1014.If three cats can eat three bowls of food in three minutes, how many minutes will it take100 cats to eat 100 bowls of food?A) 1 B) 3C) 100 D) None of the above15.There are three squares. The area of the smallest one is 2. The side-length of the secondsquare is twice the side-length of the smallest one. And the side-length of the third square is three-times the side-length of the smallest one. The total area of the three squares isA) 12 B) 28 C) 36 D) 7216.A man, who had been married for three years, spent25of his yearly income on his family,14on business, and110on personal travel. If he saved $45000 during those three years, what was his annual income?A) $45000 B) $50000C) $65000 D) None of the above17.Given four different integers, at most how many different sums can be formed bychoosing two, three, or four of them and finding each sum?A) 8 B) 9 C) 10 D) 1118. Max places 100 eggs in 10 baskets, with each basket receiving at least1 egg, but no2 baskets receiving the same number of eggs. What is the greatest number of eggs that may be placed in a basket?A) 45 B) 47 C) 55 D) 6519. 2 + 3 × 4 – 5 =A) 0 B) 6 C) 9 D) 15 20. What is the highest power of 2 that divides 2 × 4 × 6 × 8 × 10? A) 25 B) 27 C) 28 D) 215 21. Which of the following is a prime number?A) 2017B) 2018C) 2015D) 201622. What is the greatest possible number of acute angles in a figure consisting of a triangleand a line passing through two sides of the triangle?A) 5B) 6C) 7D) 823. Amy can solve 5 questions every 3 minutes. Kate can solve 3 questions every 5 minutes.How many more questions Amy can solve than Kate in one hour?A) 15B) 32C) 60D) 6424. Using 3 Ts and 2 Js, in how many different orders can the five letters be arranged? Forexample, TTTJJ and TTJJT are two such different orders.A) 2B) 10C) 20D) 6025. Coastal Coconuts can divide all their coconuts evenly among 8, 9, or10 customers, with 1 coconut left over each time. If Coastal Coconuts has more than 1 coconut, what is the least number of coconuts they could have?A) 561 B) 721C) 831 D) None of the above 26. 35 ÷ 32 =A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 27. If the sum of three prime numbers is 30, what is the least prime number?A) 2B) 3C) 5D) 728. Juxtaposing two identical squares to form a rectangle, the perimeter of the rectangle is 12less than the sum of the perimeter of the two squares. What is the side-length of the original square?A) 3B) 6C) 9D) 1229. It takes Mike 2 hours to finish a task. It takes 4 hours for Tom to finish the same task.Mike and Tom worked together on this task for one hour before Mike had to leave. How long will it take Tom to finish the rest of the task?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 30. The number of triangles in the figure on the right isA) 9 B) 10 C) 11 D) 12 31. What is the thousands digit of the product 1234560 × 2345670 × 3456780?A) 8B) 6C) 5D) 032. The sum of nine consecutive positive integers is always divisible byA) 2B) 5C) 7D) 933. You can put as many as 96 books in 6 backpacks. How many backpacks are necessary for144 books?A) 7B) 8C) 9D) 1034. The number of nickels I have is twice the number of dimes I have, and together thesecoins are worth more than $1. The least number of dimes that I can have isA) 5B) 6C) 8D) 1035. The ages of four kids are four consecutive positive integers. The product of their ages is3024. How old is the oldest kid?A) 8B) 9C) 10D) 1136. In the Game of Life, you earn 3 points for flipping a coin to “heads”, and 5 points forflipping a coin to “tails”. In all, how many positive whole number scores are IMPOSSIBLE to get after flipping it one or more times?A) 4B) 5C) 7D) 1137. Four monkeys can eat four bags of peanuts in three minutes. How many monkeys will ittake to eat 100 bags of peanuts in one hour?A) 4 B) 5 C) 20 D) 100 38. The tens digit of the product of the first 100 positive integers isA) 2B) 4C) 8D) 039. Someone put three dimes into my pile of quarters. If I add up the value of these coins,including the dimes, the sum could beA) $6.25B) $7.75C) $8.05D) $9.5040. Brooke's empty tub fills in 20 minutes with the drain plugged, andher full tub drains in 10 minutes with the water off. How manyminutes would it take the full tub to drain while the water is on?A) 12B) 15 C) 20 D) 30。
2018年度国外数学竞赛试题翻译汇编
(升级版)
赵力 2019 - 06 - 19
时间，就像高铁，一眨眼，就过站了……
人生很简单 总有一些风景，注定要错过 与其执着，不如随缘 只要懂得“珍惜、知足、感恩”就可以了！
笑看世事繁华，淡定人生心态 不索不可取，不求不可得 学会感恩，做人做事，无憾我心 不再奢望浮华之梦，不再……
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2018 年亚太地区数学奥林匹克试题
时间，一点不像高铁，过了站，居然买不到回来的车票！
生命，不就如一场雨吗 你曾无知地在其间雀跃，曾痴迷地在其间沉吟 但更多时候 你得忍受那些寒冷与潮湿，那些无奈与寂寞 并且以晴日的幻想来度日
当你握紧双手，里面什么也没有 当你打开双手，世界就在你手中
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目录
2018 年亚太地区数学奥林匹克 ……………………………………… 1 2018 年波罗的海地区数学奥林匹克 ………………………………… 2 2018 年第 10 届 Benelux 数学奥林匹克 ……………………………… 5 2018 年巴尔干地区数学奥林匹克 …………………………………… 6 2018 年巴尔干地区数学奥林匹克预选题…………………………… 7 2018 年巴尔干地区初中数学奥林匹克 ……………………………… 10 2018 年高加索地区数学奥林匹克 …………………………………… 11 2018 年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克 ………………………… 13 2018 年 Cono Sur 数学奥林匹克 ……………………………………… 14 2018 年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛 ………………………… 15 2018 年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克 ……………………………… 16 2018 年多瑙河地区数学奥林匹克 …………………………………… 17 2018 年欧洲女子数学奥林匹克 ……………………………………… 19 2018 年欧洲数学杯奥林匹克 ………………………………………… 21 2018 年拉丁美洲数学奥林匹克 ……………………………………… 23 2018 年国际大都市数学竞赛(IOM) ………………………………… 24 2018 年第 2 届 IMO 复仇赛 …………………………………………… 25 2018 年第 5 届伊朗几何奥林匹克 …………………………………… 26 2018 年第 17 届基辅数学节竞赛 …………………………………… 30 2018 年地中海地区数学竞赛 ………………………………………… 32 2018 年中欧数学奥林匹克 …………………………………………… 33 2018 年北欧数学奥林匹克 …………………………………………… 35 2018 年泛非数学奥林匹克 …………………………………………… 36 2018 年泛非数学奥林匹克预选题 …………………………………… 38 2018 年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 ……………………………… 42
2018最新第34届中国数学奥林匹克试题及详细解析!
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微信公众号 数学竞赛的那些事儿
倾倾 倾
欲证 ∠BAK = ∠C AQ ,而显然 ∠ABK = ∠AQC ,从而 △ABK ∼ △ AQC ,图形中显然最后生成的是点 Q,它最难描述,它是两圆交点,但是 A, K, D, Q 共圆很难用,而 △ABK ∼ △AQC 很好用. 考虑到点 Q 的唯一性可以考虑用同一法,即在圆 O 上取 Q ′ 使得 ∠ABK = ∠AQ ′C ,下面只需证明 A, 共圆即可,如下图： K, D, Q ′
2 a + 2 b + 2 c + 2d + = 32. )5 2e 5
则必有 2 个正数不相邻. 又显然 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a ∈ [−2, 8] ,故原式 ≤ (−2)2 × 9 × 8 = 288 . (3) 若 a + b, b + c, c + d, d + e, e + a 中恰一个正,不妨设 a + b > 0,由 (b + c ) + (d + e ) ≤ 0 知 a ≥ 5, 由 e ≥ −1,知 e + a ≥ 4,矛盾. 综上,原式 ≤ 288 ,当 a = b = c = −1, d = e = 4 时取等. 解法二 令 a1 = a + b, a2 = c + d, a3 = e + a, a4 = b + c, a5 = d + e 则有
5 ∑
不妨设 a + b, c + d > 0,则 a + b + c + d = 5 − e ≤ 6,从而 (a + b)(c + d) ≤ 9.
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答-2018年
小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答-2018年小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答一、填空题1.三个连续偶数，中间这个数是m，则相邻两个数分别是m-2和m+2.2.有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是966，最小的一个是126.解题过程：2×3×7=42；求三位数中42的倍数126、168、……966.3.___发现：小表妹和读初三哥哥的岁数是互质数，积是144，小表妹和读初三哥哥的岁数分别是9岁和16岁。
解题过程：144=2×2×2×2×3×3；（9、16）=1.4.一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，那么这个四位数是1210.5.2310的所有约数的和是6912.解题过程：2310=2×3×5×7×11；约数和=（1+2）×（1+3）×（1+5）×（1+7）×（1+11）。
6.已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有11个。
解题过程：2008-10=1998；1998=2×33×37；约数个数=（1+1）×（1+3）×（1+1）=16（个）。
其中小于10的约数共有1，2，3，6，9；16-5=11（个）。
7.从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？1000.解题过程：1，5，9，13，……1997（500个）隔1个取1个，共取250个。
2，6，10，14，……1998（500个）隔1个取1个，共取250个。
3，7，11，15，……1999（500个）隔1个取1个，共取250个。
2018年美国“数学大联盟杯赛”（中国赛区）初赛四年级试卷（1）
2018年美国“数学⼤联盟杯赛”（中国赛区）初赛四年级试卷（1）2017-2018年度美国“数学⼤联盟杯赛”(中国赛区)初赛(四年级)(初赛时间：2017年11⽉26⽇，考试时间90分钟，总分200分)学⽣诚信协议：考试期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何⼈、⽤任何⽅式交流或讨论，我确定我所填写的答案均为我个⼈独⽴完成的成果，否则愿接受本次成绩⽆效的处罚。
请在装订线内签名表⽰你同意遵守以上规定。
考前注意事项：1. 本试卷是四年级试卷，请确保和你的参赛年级⼀致；2. 本试卷共4页(正反⾯都有试题)，请检查是否有空⽩页，页数是否齐全；3. 请确保你已经拿到以下材料：本试卷(共4页，正反⾯都有试题)、答题卡、答题卡使⽤说明、英⽂词汇⼿册、草稿纸。
考试完毕，请务必将英⽂词汇⼿册带回家，上⾯有如何查询初赛成绩、及如何参加复赛的说明。
其他材料均不能带⾛，请留在原地。
选择题：每⼩题5分，答对加5分，答错不扣分，共200分，答案请填涂在答题卡上。
1.Which of the following is the smallest?A) 2.018 B) 20.18 C) 0.218 D) 20182.What is the least common multiple of 20 and 18?A) 90 B) 180 C) 240 D) 3603.The sum of the degree-measures of the exterior angles of a triangle is?A) 180 B) 360 C) 540 D) 7204.In the figure on the right, please put the numbers 1 – 11 in the elevencircles so that the three numbers in every straight line add up to 18.What is the number in the middle circle? Note: There are 5 straightlines in total in this figure.A) 6 B) 7 C) 8 D) 95.I am a lovely cat. When I multiply the digits of a whole numberand the product I get is 8, I put that whole number on my list offavorite numbers. Of the whole numbers from 1000 to 9999,how many would I put on my list of favorite numbers?A) 10 B) 12 C) 16 D) 206.Two planes take off at the same time from the same point to race to apoint and back. Place A travels at 180 miles per hour on the way out and240 miles per hour on the return trip. Plane B covers the entire distance at an averagespeed of 210 miles per hour. Which plane wins the race, or is it a tie?A) plane A wins B) plane B winsC) a tie D) non-deterministic 7.52 × 88 = 44 ×?A) 102 B) 96 C) 104 D) 1248.What is the smallest whole number that leaves a remainder of 4, 5, 6 when divided byeach of 5, 6, 7?A) 29 B) 209 C) 210 D) 20099.In △ABC, m∠A + m∠C = m∠B. What is the degree measure of ∠B?A) 80 B) 90 C) 100 D) 18010.I bought a toy for $10, sold it for $20, rebought it for $30, and resold it for $40. My totalprofit on the 4 transactions was ?A) 10 B) 20 C) 30 D) 4011.What is the greatest number of integers I can choose from the first ten positive integers sothat any 3 of the chosen integers could be the lengths of the three sides of a triangle?A) 4 B) 5 C) 6 D) 712.How many whole numbers between 200 and 400 have all their digits increasing in valuewhen read from left to right?A) 30 B) 36 C) 42 D) 4813.What is the value of 1% of 10% of 100?A) 0.01 B) 0.1 C) 1 D) 1014.If three cats can eat three bowls of food in three minutes, how many minutes will it take100 cats to eat 100 bowls of food?A) 1 B) 3C) 100 D) None of the above15.There are three squares. The area of the smallest one is 2. The side-length of the secondsquare is twice the side-length of the smallest one. And the side-length of the third square is three-times the side-length of the smallest one. The total area of the three squares isA) 12 B) 28 C) 36 D) 7216.A man, who had been married for three years, spent25of his yearly income on his family,14on business, and110on personal travel. If he saved $45000 during those three years, what was his annual income?A) $45000 B) $50000C) $65000 D) None of the above17.Given four different integers, at most how many different sums can be formed bychoosing two, three, or four of them and finding each sum?A) 8 B) 9 C) 10 D) 1118. Max places 100 eggs in 10 baskets, with each basket receiving at least1 egg, but no2 baskets receiving the same number of eggs. What is the greatest number of eggs that may be placed in a basket?A) 45 B) 47 C) 55 D) 6519. 2 + 3 × 4 – 5 =A) 0 B) 6 C) 9 D) 15 20. What is the highest power of 2 that divides 2 × 4 × 6 × 8 × 10? A) 25 B) 27 C) 28 D) 215 21. Which of the following is a prime number?A) 2017B) 2018C) 2015D) 201622. What is the greatest possible number of acute angles in a figure consisting of a triangleand a line passing through two sides of the triangle?A) 5B) 6C) 7D) 823. Amy can solve 5 questions every 3 minutes. Kate can solve 3 questions every 5 minutes.How many more questions Amy can solve than Kate in one hour?A) 15B) 32C) 60D) 6424. Using 3 Ts and 2 Js, in how many different orders can the five letters be arranged? Forexample, TTTJJ and TTJJT are two such different orders.A) 2B) 10C) 20D) 6025. Coastal Coconuts can divide all their coconuts evenly among 8, 9, or10 customers, with 1 coconut left over each time. If Coastal Coconuts has more than 1 coconut, what is the least number of coconuts they could have?A) 561 B) 721C) 831 D) None of the above 26. 35 ÷ 32 =A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 27. If the sum of three prime numbers is 30, what is the least prime number?A) 2B) 3C) 5D) 728. Juxtaposing two identical squares to form a rectangle, the perimeter of the rectangle is 12less than the sum of the perimeter of the two squares. What is the side-length of the original square?A) 3B) 6C) 9D) 1229. It takes Mike 2 hours to finish a task. It takes 4 hours for Tom to finish the same task.Mike and Tom worked together on this task for one hour before Mike had to leave. How long will it take Tom to finish the rest of the task?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 30. The number of triangles in the figure on the right isA) 9 B) 10 C) 11 D) 12 31. What is the thousands digit of the product 1234560 × 2345670 × 3456780?A) 8B) 6C) 5D) 032. The sum of nine consecutive positive integers is always divisible byA) 2B) 5C) 7D) 933. You can put as many as 96 books in 6 backpacks. How many backpacks are necessary forA) 7B) 8C) 9D) 1034. The number of nickels I have is twice the number of dimes I have, and together thesecoins are worth more than $1. The least number of dimes that I can have isA) 5B) 6C) 8D) 1035. The ages of four kids are four consecutive positive integers. The product of their ages is3024. How old is the oldest kid?A) 8B) 9C) 10D) 1136. In the Game of Life, you earn 3 points for flipping a coin to “heads”, and 5 points forflipping a coin to “tails”. In all, how many positive whole number scores are IMPOSSIBLE to get after flipping it one or more times?A) 4B) 5C) 7D) 1137. Four monkeys can eat four bags of peanuts in three minutes. How many monkeys will ittake to eat 100 bags of peanuts in one hour?A) 4 B) 5 C) 20 D) 100 38. The tens digit of the product of the first 100 positive integers isA) 2B) 4C) 8D) 039. Someone put three dimes into my pile of quarters. If I add up the value of these coins,including the dimes, the sum could beA) $6.25B) $7.75C) $8.0540. Brooke's empty tub fills in 20 minutes with the drain plugged, and her full tub drains in 10 minutes with the water off. How many minutes would it take the full tub to drain while the water is on?A) 12B) 15 C) 20 D) 30。
2018年世界各地数学竞赛试题汇集(PDF版)
目 录2018年亚太地区数学奥林匹克 (1)2018年波罗的海地区数学奥林匹克 (2)2018年第10届Benelux数学奥林匹克 (5)2018年巴尔干地区数学奥林匹克 (6)2018年巴尔干地区初中数学奥林匹克 (7)2018年高加索地区数学奥林匹克 (8)2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克 (10)2018年Cono Sur数学奥林匹克 (11)2018年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛 (12)2018年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克 (13)2018年多瑙河地区数学奥林匹克 (14)2018年欧洲女子数学奥林匹克 (16)2018年欧洲数学杯奥林匹克 (18)2018年拉丁美洲数学奥林匹克 (20)2018年国际大都市数学竞赛(IOM) (21)2018年第2届IMO复仇赛 (22)2018年第5届伊朗几何奥林匹克 (23)2018年第17届基辅数学节竞赛 (27)2018年地中海地区数学竞赛 (29)2018年中欧数学奥林匹克 (30)2018年北欧数学奥林匹克 (32)2018年泛非数学奥林匹克 (33)2018年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 (35)2018年第14届Sharygin几何奥林匹克 (36)2018年丝绸之路数学奥林匹克 (42)2018年Tuymaada国际数学奥林匹克 (43)2018年乌克兰几何奥林匹克 (45)2018年第14届Zhautykov国际数学奥林匹克 (47)2018年ARML数学竞赛 (48)2018年美国数学邀请赛(AIME) I (57)2018年美国数学邀请赛(AIME) II (60)2018年美国数学奥林匹克 (63)2018年美国初中数学奥林匹克 (64)2018年美国IMO代表队选拔考试 (65)2018年美国TSTST (67)2018年美国第20届ELMO (69)2018年第20届美国旧金山湾区数学奥林匹克 (71)2017-2018年度USAMTS (74)2018年美国女子数学奖学金竞赛(决赛) (79)2017-2018年度威斯康星数学、科学与工程学人才选拔 (80)2018年奥地利数学奥林匹克 (84)2018年澳大利亚、英国IMO国家队联合训练考试 (87)2018年波黑数学奥林匹克(地区级) (88)2018年波黑EGMO代表队选拔考试 (90)2018年波黑JBMO代表队选拔考试 (91)2018年巴西数学奥林匹克 (92)2018年巴西数学奥林匹克复仇赛 (94)2017/2018英国数学竞赛 (95)2018年保加利亚数学奥林匹克 (97)2018年保加利亚JBMO代表队选拔考试 (98)2018年加拿大数学奥林匹克 (99)2018年塞浦路斯IMO代表队选拔考试 (100)2018年塞浦路斯JBMO代表队选拔考试 (102)2018年丹麦数学奥林匹克(第二轮) (105)2018年德国数学奥林匹克(12年级决赛) (106)2018年希腊数学奥林匹克 (107)2018年香港数学奥林匹克 (109)2018年香港IMO代表队选拔考试 (110)2018年匈牙利库尔沙克数学竞赛 (112)2018年印度全国数学奥林匹克 (113)2018年印度IMO代表队选拔考试 (114)2018年伊朗数学奥林匹克 (117)2018年伊朗IMO代表队选拔考试 (120)2018年爱尔兰数学奥林匹克 (123)2018年意大利数学奥林匹克 (125)2018年哈萨克斯坦数学奥林匹克(11年级决赛) (126)2018韩国数学奥林匹克 (127)2018年韩国数学冬令营训练题 (130)2018年科索沃IMO培训考试 (131)2018年马其顿数学奥林匹克 (132)2018年墨西哥数学奥林匹克 (133)2018年摩尔多瓦EGMO代表队选拔考试 (135)2018年摩尔多瓦IMO代表队选拔赛 (136)2018年摩尔多瓦JBMO代表队选拔考试 (138)2018年摩洛哥IMO代表队选拔考试 (139)2017-2018年度挪威数学奥林匹克(决赛) (140)2017-2018年度波兰数学奥林匹克 (141)2017-2018年度波兰初中数学奥林匹克 (145)2018年罗马尼亚数学奥林匹克 (147)2018年罗马尼亚IMO代表队选拔考试 (149)2018年罗马尼亚JBMO代表队选拔考试 (150)2018年全俄数学奥林匹克 (154)2018年圣彼得堡数学奥林匹克 (158)2018年塞尔维亚数学奥林匹克 (161)2018年塞尔维亚JBMO代表队选拔考试 (162)2018年斯洛文尼亚IMO代表队选拔考试 (163)2018年南非数学奥林匹克 (164)2018年西班牙数学奥林匹克 (165)2018年塔吉克斯坦IMO代表队选拔考试 (166)2018年土耳其数学奥林匹克 (168)2018年乌克兰数学奥林匹克 (169)2018年越南数学奥林匹克 (171)2018年越南IMO代表队选拔考试 (173)2018年国际大学生数学竞赛(IMC) (175)2018年V ojtěch Jarník国际大学生数学竞赛 (177)2018年Putnam数学竞赛 (179)2018年哈佛大学-麻省理工学院数学竞赛春季赛 (181)2018年哈佛大学-麻省理工学院数学邀请赛 (189)2018年哈佛大学-麻省理工学院数学竞赛冬季赛 (190)2018年Berkeley数学竞赛 (197)2018年卡内基梅隆大学数学竞赛 (213)2018年普林斯顿大学数学竞赛 (226)2018年斯坦福大学数学竞赛 (237)2018年哈维穆德学院数学竞赛 (254)2018年MMATHS数学竞赛 (259)2018年Duke大学数学竞赛 (264)2018年亚太地区数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年3月13日1. 设H 为△ABC 的垂心. 点M , N 分别为边AB , AC 的中点, 点H 位于四边形BMNC 的内部. △BMH 与△CNH 的外接圆相外切. 过H 作BC 的平行线, 与△BMH 与△CNH 的外接圆分别相交于点K , L (均不同于点H ). 直线MK 与NL 相交于点F . 设△MNH 的内心为J . 证明: FJ = F A .2. 对实数x , 定义函数f (x ), g (x )如下:20181...41211)(-++-+-+=x x x x x f , 20171...513111)(-++-+-+-=x x x x x g . 证明: 对任意满足0 < x < 2018的非整数的实数x , 有|f (x ) – g (x )| > 2成立.3. 我们称平面上n 个正方形的摆放方式为"三足鼎立"的, 如果它们同时满足以下三个条件:i) 所有正方形均全等.ii) 如果两个正方形有公共点P , 则P 同时为这两个正方形的顶点.iii) 每一个正方形都恰好与其他三个正方形有公共点.求在2018 ≤ n ≤ 3018范围内, 有多少个整数n , 使得存在n 个正方形为"三足鼎立"的.4. 一束光线从正△ABC 的顶点A 出发, 在三角形内部遵循光反射定律(即入射角等于出射角)不断反射, 但当光线到达△ABC 的任一顶点处时, 反射停止. 求所有可能的正整数n , 使得光线在△ABC 内经过n 次反射后, 恰在顶点A 处停止.5. 求所有的整系数多项式P (x ), 使得对任意的实数s , t , 如果P (s ), P (t )均为整数, 则P (st )也是整数.2018年波罗的海地区数学奥林匹克试题1. 称一个由有限个正实数(不必互异)构成的集合为"平衡"的, 如果其中每一个数都小于其余各数之和. 求所有的整数m ≥ 3, 使得任何由m 个正实数构成的平衡集均可被划分为3个无公共元素的子集, 满足每个子集的各元素之和均小于另两个子集的各元素的总和.2. 考虑一个100 ⨯ 100的表格. 对每一个整数1 ≤ k ≤ 100, 该表格的第k 行填有按自左向右递增顺序排列的数1, 2, …, k (但不一定位于连续的格子内); 而该行其余的100 – k 个格子均填0. 证明: 该表格中存在两列, 使得其中一列的各数之和至少是另一列各数之和的19倍.3. 设正实数a , b , c , d 满足abcd = 1. 证明:110321≤+++∑cyc c b a . 4. 求所有具有下述特点的函数f : [0, ∞) → [0, ∞): 对所有的正整数n 及非负实数x 1, x 2, …, x n , 有2222122221)(...)()()...(n n x f x f x f x x x f +++=+++成立. 5. 称一个实系数多项式f (x )为"生成"的, 如果对每一个实系数多项式ϕ(x ), 均存在正整数k 及实系数多项式g 1(x ), g 2(x ), …, g k (x ), 使得ϕ(x ) = f (g 1(x )) + f (g 2(x )) + … + f (g k (x ))成立. 求所有的生成多项式.6. 设n 为正整数. 精灵Elfie 从原点(0, 0, 0)开始, 在三维空间里旅行. 每一步, 她可以瞬移至距她当前所在点距离恰为n 的任意整点. 但是, 瞬移是一件复杂的事情: Elfie 最初处于正常状态, 但是第一次瞬移后变为怪异状态, 第二次瞬移后恢复为正常状态, 以后则如此交替变化. 求所有的n , 使得对所有整点, Elfie 都能够以正常状态访问过该点.7. 一个16 ⨯ 16圆环体有512条边(如图), 将每条边染为红色或蓝色之一. 称一种染色方式为"好"的, 如果每一个顶点都是偶数条红色边的顶点. 定义一步"转换"为将任一格的四条边均改变颜色(红变蓝, 蓝变红). 问最多有多少个"好"的染色方式, 使得其中任意一个染色方式都不能够通过一系列的"转换"而变为另一个.8. 一个图具有N个顶点. 在某一顶点处有一只不可见的兔子. 一群猎人计划猎杀这只兔子. 在每一步, 每个猎人都瞄准某一个顶点同时开枪射击, 他们可以事先商量好每人瞄准哪一个顶点. 如果兔子恰在被瞄准射击的顶点之一, 则打猎活动结束. 否则, 兔子在接下来的一步中可以选择继续停留在原顶点处或跳至某个相邻顶点处. 假设已知有一种方案可以使猎人至多经N!步就可以猎杀兔子. 证明: 存在一种方案, 可以使得猎人至多经2N步就可以猎杀兔子.9. Olga和Sasha在一个无限六边形网格上玩游戏. 他们轮流选择一个空的六边形,并在其上放置一张骨牌, 由Olga先行. 恰在第2018张骨牌放置之前, 一条新规则开始起效: 从此时起, 只能在和至少两个已被放置骨牌的六边形相邻的空六边形上放置骨牌. 如果一个玩家无法继续放置骨牌, 或者放置骨牌后会出现呈菱形分布的四个相邻六边形均被放置骨牌的情况(如图所示, 但方向可以不同), 则判该玩家输. 确定是否某个玩家有获胜策略; 如果有, 赢家是谁?10. 将整数1, 2, …, n写在n张卡片上, 每张上写一个不同的数. 首先, 由玩家1取走一张卡片. 接下来, 玩家2取走写有连续正整数的两张卡片. 然后, 再由玩家1取走写有连续正整数的三张卡片. 最后, 由玩家2取走写有连续正整数的四张卡片. 求最小的n, 使得玩家2能确保完成他的两次取卡片的操作. 11. 给定一圆w及圆上依A, B, C, D顺序排列的四点, 且AD为圆w的直径. 假设AB = BC = a , CD = c , 其中a 和c 为互质正整数. 证明: 如果圆w 的直径长d 也是正整数, 则d 及2d 中必有一个完全平方数.12. 锐角△ABC 的高BB 1, CC 1相交于点H . 点B 2, C 2分别位于线段BH , CH 上, 且BB 2 = B 1H , CC 2 = C 1H . △B 2HC 2的外接圆与△ABC 的外接圆相交于点D 和E . 证明: △DEH 为直角三角形.13. 在△ABC 中, ∠A 的内角平分线与直线BC 交于点D , 与△ABC 的外接圆交于点E . 设K , L , M , N 分别为线段AB , BD , CD , AC 的中点. 点P , Q 分别为△EKL , △EMN 的外心. 证明: ∠PEQ = ∠BAC .14. 设四边形ABCD 有内切圆w . 令圆w 与AC 的交点中较靠近点A 的那个为E . 设F 为E 关于圆w 的对径点. 经点F 作圆w 的切线, 分别交直线AB , BC 于A 1, C 1, 并与直线AD , CD 分别交于A 2, C 2. 证明: A 1C 1 = A 2C 2.15. 考虑平面内相离的两个圆. 分别选取两个圆的直径A 1B 1和A 2B 2, 使得线段A 1A 2与B 1B 2相交于点C . 设A 1A 2, B 1B 2的中点分别为A , B . 证明: 不管如何选取直径A 1B 1和A 2B 2, △ABC 的垂心总位于一条直线上.16. 设p 为奇质数. 求所有的正整数n , 使得np n -2为正整数.17. 证明: 对所有满足q p >11的正整数p , q , 不等式pqq p 2111>-成立. 18. 设整数n ≥ 3满足4n + 1为质数. 证明: 4n + 1整除12-n n .19. 设无限正整数集合B 满足以下条件: 对任意的a , b ∈ B 且a > b , 有),gcd(b a b a - ∈ B . 证明: B 是由所有正整数构成的集合.20. 求所有的正整数(a , b , c ), 使得ba c a cbc b a 444)()()(+++++为整数, 且a + b + c 为质数.2018年第10届Benelux 数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年4月28日1. a) 设x , y 为正实数. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+201811201811x y x y y x y x 的最小值. b) 设x , y 为正实数. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+201811201811x y x y y x y x 的最小值. 2. 在七星岛上, 共使用4种不同的硬币和3种不同的纸币, 它们的面额分别为7个不同的正整数, 且最小额纸币的面额大于4种不同硬币的面额之和. 一位游客恰好有不同面额的硬币各1枚及不同面额的纸币各1张, 但是这些钱的总额不够支付他想购买的一本关于钱币学的书. 幸运的是, 爱好数学的书店老板同意将此书按这位游客所提出的价格卖给他, 但前提是该游客可以用超过一种方式支付此价格.(游客可以用超过一种方式支付某价格, 指的是在由他的硬币与纸币构成的集合中, 存在两个不同的子集, 每个子集里钱的面额之和均等于该价格.) a) 证明: 如果每张纸币的面额均小于49, 则该游客能够购买到这本书. b) 证明: 如果最大额纸币的面额等于49, 则该游客有可能空手而归.3. 设H 为三角形ABC 的垂心, D , E , F 分别为AB , AC , AH 的中点. 点B , C 关于点F 的对称点分别为P , Q .a) 证明: 直线PE 和QD 的交点位于三角形ABC 的外接圆上.b) 证明: 直线PD 和QE 的交点位于AH 上.4. 我们称一个恰有s 个正因数1 = d 1 < d 2 < … < d s = n 的正整数n > 2为"好"的, 如果存在整数2 ≤ k ≤ s , 满足d k > 1 + d 1 + … + d k –1.如果一个整数n > 2不是"好"的, 则称之为"坏"的.a) 证明: 存在无穷多个"坏"的整数.b) 证明: 在均大于2的任意7个连续整数中, 至少有4个整数为"好"的. c) 证明: 存在无穷多个由连续7个整数构成的序列, 其中每个序列里的数都是"好"的.2018年巴尔干地区数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年5月9日1. 凸四边形ABCD内接于圆k, 其中AB > CD, 且AB不平行于CD. 点M为对角线AC与BD的交点, 自M作AB的垂线, 与AB相交于点E.如果EM平分 CED, 证明: AB为圆k的一条直径.2. 设q为正有理数. 两只蚂蚁最初均位于平面上的同一点X处. 在第n分钟(n = 1, 2, …), 每只蚂蚁各自在北, 东, 南, 西四个方向中选择一个方向, 并沿此方向移动q n米. 经过整数个分钟后, 它们再次位于平面上的同一点处(不一定是点X), 但是在此时间段内它们的移动路径并不完全相同.求q所有可能的取值.3. Alice和Bob一起玩如下的移硬币游戏. 他们从两堆均非空的硬币开始, 首先由Alice开始, 轮流进行以下操作: 该轮玩家选择数目为偶数的一堆硬币, 将该堆的一半硬币移到另一堆里. 如果某位玩家无法进行上述操作, 则游戏结束, 并判对方获胜.求所有的正整数对(a, b), 使得如果最初两堆分别有a和b枚硬币, 则Bob有获胜策略.4. 求所有的素数对(p, q), 使得3p q–1 + 1整除11p + 17p.2018年巴尔干地区初中数学奥林匹克(JBMO)试题比赛时间: 2018年6月21日1. 求满足方程m 5 – n 5 = 16mn 的所有整数(m , n ).2. 设有n 个三位正整数同时满足以下条件:i) 每个数均不含数字0;ii) 每个数的数字和为9;iii) 任意两个数的个位数均不同;iv) 任意两个数的十位数均不同;v) 任意两个数的百位数均不同.求n 的最大可能值.3. 设k > 1为正整数, n > 2018为正奇数. 不全相等的非零有理数x 1, x 2, …, x n 满足如下关系式:11433221...x k x x k x x k x x k x x k x n n n +=+==+=+=+-. i) 求乘积n x x x ⋅⋅⋅...21(用关于k 和n 的函数表示).ii) 求最小的k , 使得存在满足所给条件的n , x 1, x 2, …, x n .4. 设A', B', C'分别为△ABC 的顶点A , B , C 关于对边的对称点. △ABB'的外接圆交△ACC'的外接圆于A 1 (A 1 ≠ A ). 类似定义点B 1和C 1. 证明: AA 1, BB 1, CC 1三线共点.2018年高加索地区数学奥林匹克试题初级组第1天(2018年3月16日)1. 设a, b, c为不全为0的实数. 证明: a + b + c = 0的充分必要条件为a2 + ab + b2 = b2 + bc + c2 = c2 + ca + a2.2. 在8 ⨯ 8国际象棋棋盘上, 放置了n > 6只马, 使得对其中任意6只马, 均存在2只马可以互相攻击. 求n的最大可能值.3. 正整数a, b, c满足条件: a b整除b c, a c整除c b. 证明: a2整除bc.4. 我们定义四边形的重心为连接对边中点的两条直线的交点. 设六边形ABCDEF内接于以O为圆心的圆Ω, 且AB = DE, BC = EF. 令X, Y, Z分别为四边形ABDE, BCEF, CDFA的重心. 证明: O为△XYZ的垂心.第2天(2017年3月17日)5. Munсhausen男爵发现了如下"定理": 对任意正整数a和b, 总存在正整数n, 使得an为完全平方数, 而bn为完全立方数. 请确定该男爵的"定理"是否正确.6. 凸四边形ABCD中, ∠BCD = 90o, E为AB的中点. 证明: 2EC≤AD + BD.7. 给定正整数n > 1. 考虑一个n⨯n棋盘. 最初棋盘上没有玻璃球, 按照以下规则逐个地往棋格里放入玻璃球: 如果一个空棋格与至少2个空棋格相邻(指有一公共边), 则该棋格内可以放入一个玻璃球. 问在此规则下, 棋盘内最多可以放入多少个玻璃球?8. 设a, b, c为一个三角形的三边长. 证明:2)()()()(2cbacaacbccbabba++≥+++++.高级组第1天(2018年3月16日)1. 给定一个四面体. 是否能够将10个连续正整数分别放置在该四面体的四个顶点及六条棱的中点上, 使得每条棱中点上的数等于该棱两端点上的数的算术平均值?2. 设I为锐角△ABC的内心. 点P, Q, R分别在边AB, BC, CA上, 满足AP = AR, BP = BQ, ∠PIQ = ∠BAC. 证明: QR⊥AC.3. 我们称2n个正整数的一个匹配(即分成n对)为"非平方"的, 如果每一对中的2个数之积均不是完全平方数. 证明: 如果存在一个"非平方"匹配, 则至少存在n!个"非平方"匹配.4. Morteza在n⨯n棋盘的每一个棋格内放置一个[0, 1] → [0, 1]的函数(即定义域为[0, 1], 值域为[0, 1]的函数). Pavel计划在棋盘每一行的左边及每一列的下边分别放置一个[0, 1] → [0, 1]的函数(共放置2n个函数), 使得棋盘的每一格均满足以下条件:如果h为该棋格内的函数, f为该棋格所在列下边的函数, g为该棋格所在行左边的函数, 则h(x) = f(g(x))对所有的x∈ [0, 1]成立.证明: Pavel总是可以实现他的计划.第2天(2018年3月17日)5. Munсhausen男爵发现了如下"定理": 对任意正整数a和b, 总存在正整数n, 使得an为完全立方数, 而bn为完全五次方数. 请确定该男爵的"定理"是否正确.6. 在坐标平面内, 两个二次多项式的图像G1, G2的交点为A, B. 设O为G1的顶点. 直线OA, OB分别与G2再次相交于点C, D. 证明: CD平行于x轴.7. 锐角△ABC中, 经过顶点A, B, C的高分别交对边于A1, B1, C1, 并分别交△ABC的外接圆于A2, B2, C2. 直线A1C1分别交△AC1C2, △CA1A2的外接圆于点P, Q (P≠C1, Q≠A1). 证明: △PQB1的外接圆与AC相切.8. 考虑一个8 ⨯8棋盘. 最初棋盘上没有玻璃球, 按照以下规则逐个地往棋格里放入玻璃球: 如果一个空棋格与至少3个空棋格相邻(指有一公共边), 则该棋格内可以放入一个玻璃球. 问在此规则下, 棋盘内最多可以放入多少个玻璃球?2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克试题第1天1. 在2018张卡片上分别标记数1, 2, …, 2018, 每张卡片上标记一个数. 卡片上的数始终可见. Tito 和Pepe 一起玩游戏. 由Tito 首先开始, 他们轮流选取一张卡片, 已选过的卡片不能再选, 直到所有卡片均被选取. 然后, 每个人计算自己选取卡片上所标记数的和, 判和为偶数者获胜. 确定谁有获胜策略, 并描述该策略.2. △ABC 的外接圆为w , 外心为O . 设T 为C 关于点O 的对称点, T'为T 关于直线AB 的对称点. 直线BT'与圆w 再次相交于点R . 过O 作CT 的垂线, 交直线AC 于点L . 直线TR 与AC 相交于点N . 证明: CN = 2AL .3. 设x , y 为实数, 使得x – y , x 2 – y 2, x 3 – y 3均为素数. 证明: x – y = 3.第2天4. 求所有的3元正整数组(p , q , r ), 其中p , q 为素数, 满足215222=--p q r . 5. 设1 < n < 2018为正整数. 对i = 1, 2, …, n , 定义多项式S i (x ) = x 2 – 2018x + l i , 其中l 1, l 2, …, l n 为互不相同的正整数. 证明: 如果多项式S 1(x ) + S 2(x ) + … + S n (x )至少有一个整数根, 则l 1, l 2, …, l n 中至少有一个数不小于2018.6. 2018对夫妻参加在哈瓦那举行的一场舞会. 舞会中, 将一个圆周上2018个互异的点分别标记为0, 1, …, 2017, 每一对夫妻位于一个点上(不同夫妻位于不同的点). 对整数i ≥ 1, 令s i ≡ i (mod 2018), r i ≡ 2i (mod 2018). 舞会从第0分钟开始, 在第i 分钟, 位于点s i 的夫妻(如果存在的话)移至点r i , 而位于点r i 的夫妻(如果存在的话)则退场, 舞会由剩下的夫妻继续进行. 在20182分钟后, 舞会结束. 请确定舞会结束时还剩下多少对夫妻在场上注: 如果r i = s i , 则位于点s i 的夫妻留在原位, 不退场.2018年Cono Sur 数学奥林匹克试题第1天1. 设ABCD 为凸四边形, 点R , S 分别位于边DC , AB 上, 且满足AD = RC , BC = SA . 点P , Q , M 分别是RD , BS , CA 的中点. 设∠MPC + ∠MQA = 90o . 证明: ABCD 为圆内接四边形.2. 证明: 每一个正整数都可以表示成3, 4和7的若干幂的和, 其中同一个数不允许重复出现相同的幂次.例如: 2 = 70 + 70和22 = 32 + 32 + 41就是不允许出现的表示方式; 但是, 2= 30 + 70和22 = 32 + 30 + 41 + 40 + 71则是允许出现的表示方式.3. 考虑乘积P n = 1!⋅2!⋅3!⋅…⋅n !.i) 求所有的正整数m , 使得!2020m P 为完全平方数. ii) 证明: 存在无穷多个正整数n , 使得至少对2个正整数m ,!m P n 为完全平方数.第2天4. 对每一个正整整n ≥ 4, 考虑{1, 2, …, n }的m 个子集A 1, A 2, …, A m , 使得A 1恰含1个元素, A 2恰含2个元素, …, A m 恰含m 个元素; 且这些子集中没有一个子集是另一个子集的子集. 求m 可能取的最大值.5. 锐角△ABC 中, ∠BAC = 60o , I 为内心, O 为外心. 设H 为O 在△BOC 外接圆上的对径点. 证明: IH = BI + IC .6. 称正整数序列a 1, a 2, …, a n 为"好"的, 如果对所有的正整数n , 以下两个条件同时成立:i) n n a a a a a ...321!=.ii) a n 为某个正整数的n 次幂.求所有"好"的序列.2018年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛试题第1天 (2018年6月25日)1. 求所有的函数f : R → R , 使得对所有的实数x , y , 成立等式:)()()()()(2y x xf x yf y f x f xy x f +++=+.2. 设△ABC 为锐角非等边三角形. 点D , E 分别在边AB , AC 上, 满足BD = CE . 设O 1, O 2分别为△ABE , △ACD 的外心. 证明: △ABC , △ADE 及△AO 1O 2的外接圆有一个异于点A 的公共点.3. 2018个玩家围桌而坐. 在游戏开始时, 我们将一摞共K 张牌任意地分发给玩家(有些玩家可能没有得到牌). 定义一轮操作如下: 如果一名玩家的左右邻居的牌数均非零, 则选他为这一轮的幸运玩家(如果有多名玩家符合条件, 则由我们任意选取一个), 让他从左右邻居那儿各拿一张牌给自己. 如果找不出这样的玩家, 则游戏结束. 求K 的最大可能值, 使得无论我们如何发牌及如何挑选幸运玩家, 该游戏总能在有限轮次后结束.第2天 (2018年6月26日)4. 设锐角△ABC 的周长为2s . 分别以A , B , C 为圆心, 作3个两两之间无公共内点的圆(不包括边界). 证明: 存在一个半径为s 的圆, 将上述三个圆同时覆盖.5. 在一个2 ⨯ 3矩形的内部, 有一个长度为36的折线(允许折线自交). 证明: 存在一条平行于矩形两边的直线, 与矩形的另两条边的内部相交, 且与折线的交点数少于10个.6. 我们称正整数n 为"奇妙"的, 如果存在正有理数a 和b , 使得bb a a n 11+++=. a) 证明: 存在无穷多个质数p , 使得p 的倍数均不是"奇妙"的.b) 证明: 存在无穷多个质数p , 使得p 的某个倍数是"奇妙"的.2018年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克试题第1天1. 在一群人中, 存在一些两人对, 这两人相互为朋友. 对正整数k ≥ 3, 我们称该群人为"k -佳"的, 如果该群人中每k 个人(不计顺序)组成的一组人都可以围桌而坐, 使得每个人的邻座均为其朋友. 证明: 如果一群人是"6-佳"的, 则该群人必是"7-佳"的.2. 设x , y , z 为实数, 且数|2|12yz x +, |2|12zx y +, |2|12xy z +构成一非退化三角形的三边长. 求xy + yz + zx 的所有可能值.3. 三角形ABC 中, 点D 为∠A 内角平分线与边BC 的交点. 点E , F 分别是三角形ABD , ACD 的外心. 设三角形AEF 的外心位于直线BC 上. 求∠BAC 的所有可能值.第2天4. 设整数a , b , c 为某一三角形的三边长, 满足gcd(a , b , c ) = 1, 且c b a c b a -+-+222, a c b a c b -+-+222, ba cb ac -+-+222的值也均为整数. 证明: (a + b – c )(b + c – a )(c + a – b )和2(a + b – c )(b + c – a )(c + a – b )中, 至少有一个为完全平方数.5. 设ABCD 为等腰梯形, AB 为较长的底边. 令I △ABC 的内心, J 为△ACD 对应于顶点C 的旁心. 证明: IJ // AB .6. 求具有下述性质的最小正整数n : 无论用三种颜色对整数1, 2, …, n 如何染色(每个数染三种颜色之一), 从中总能够找到互异的两个数a , b , 它们染有相同的颜色, 并且|a – b |为完全平方数.2018年多瑙河地区数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年10月27日初级组1. 求所有同时满足以下条件的正整数对(n , m ):i) n 是合数;ii) 如果d 1, d 2, …, d k (k ∈ Z +)为n 的所有真因数, 则d 1 + 1, d 2 + 1, …, d k + 1为m 的所有真因数.2. 设在△ABC 内部存在一点D , 使得∠DAC = ∠DCA = 30o , ∠DBA = 60o . E 为BC 的中点. 点F 位于线段AC 上, 且AF = 2FC . 证明: DE ⊥EF .3. 求所有具有下述性质的正整数n : 存在正整数k ≥ 2及正有理数a 1, a 2, …, a k , 使得a 1 + a 2 + … + a k = a 1a 2…a k = n 成立.4. 设M 为由全体正奇数构成的集合. 对每一个正整数n , 定义A (n )为满足元素和为n 的M 的子集的个数. 例如, A (9) = 2, 因为恰有M 的两个子集满足其元素和为9, 分别是{9}, {1, 3, 5}.a) 证明: 对每一个正整数n ≥ 2, A (n ) ≤ A (n + 1).b) 求满足A (n ) = A (n + 1)的所有正整数n ≥ 2.高级组1. 假设我们有一个由n 颗珍珠构成的项链. 在每一颗珍珠上标记一个整数, 使得所有珍珠上的数之和为n – 1. 证明: 我们可以将此项链从某处切断, 形成一根所标记整数依次为x 1, x 2, …, x n 的珍珠链, 满足11-≤∑=k x ki i 对所有k = 1, 2, …,n 成立.2. 证明: 存在无穷多组正整数(m , n )同时满足以下条件: m 整除n 2 + 1, n 整除m 2 + 1.3. 设△ABC 为非等腰锐角三角形. ∠A 的内角平分线与△ABC 的外接圆再次相交于点D . 设O 为△ABC 的外心. ∠AOB , ∠AOC 的角平分线分别与以AD 为直径的圆γ相交于点P , Q . 直线PQ 与AD 的垂直平分线相交于点R . 证明: AR // BC .4. 设n≥ 3为奇数. 将n⨯n方格纸的每一单元格都染为红色或蓝色之一. 称两个单元格为"相邻"的, 如果它们同色且至少有一个公共顶点. 称两个单元格a, b 为"连通"的, 如果存在若干个单元格c1, c2, …, c k, 满足c1 = a, c k = b, 且对每一个i = 1, 2, …, k – 1, c i与c i+1均相邻; 否则, 就称a, b为"不连通"的. (例如, 两个染色不同的单元格就是不连通的). 求最大的正整数M, 使得存在一种染色方案, 其中有M个两两不连通的单元格.2018年欧洲女子数学奥林匹克试题第1天 (2018年4月11日)1. 三角形ABC 中, CA = CB , ∠ACB = 120o , M 为AB 的中点. 设P 为三角形ABC 外接圆上一动点, Q 为线段CP 上一点, 且满足QP = 2QC . 已知经过点P 且垂直于AB 的直线与直线MQ 相交于唯一的一点N . 证明: 对点P 的所有可能位置, 点N 均位于一个固定圆上.2. 考虑集合A = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+,...3,2,1:11k k . a) 证明: 每一个整数x ≥ 2均可以表示成A 中至少1个元素之积(各元素不必互异).b) 对每一个整数x ≥ 2, 设f (x )为最小的整数, 使得x 可以表示成A 中f (x )个元素之积(各元素不必互异). 证明: 存在无穷多组整数对(x , y ), 满足x ≥ 2, y ≥ 2, 且f (xy ) < f (x ) + f (y ).(如果x 1 ≠ x 2或y 1 ≠ y 2, 则认为整数对(x 1, y 1)与(x 2, y 2)是不同的.)3. 设某一届EGMO 的n 个参赛者为C 1, C 2, …, C n . 在比赛结束后, 所有参赛者在餐厅门口按照以下规则排成一个队列候餐:i) 由组委会确定各位参赛者在队列中的最初位置.ii) 每一分钟, 组委会选择一个整数i , 其中1 ≤ i ≤ n .-- 如果在参赛者C i 前面至少有i 名其他参赛者, 她将付给组委会1欧元, 并在队列中向前移动i 个位置.-- 如果在参赛者C i 前面的其他参赛者少于i 名, 则餐厅门打开, 候餐结束. a) 证明: 不管组委会如何选择, 上述候餐过程总会结束.b) 对每一个n , 求在经过精巧地选择最初位置及移动顺序下, 组委会能够得到的欧元数的最大值.第2天 (2018年4月12日)4. 定义多米诺骨牌指的是1 ⨯ 2或2 ⨯ 1的骨牌. 设n ≥ 3为整数. 在n ⨯ n 棋盘内放置若干多米诺骨牌, 使得每一个多米诺骨牌恰好覆盖两个棋格, 且多米诺骨。
(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版
岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3— 1.2. - - ■” 戍立・題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.42 65 7 18 3 10 9请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？鈿二夭« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
说明： 1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角 坐 标 系 xOy 中 ， A 、 B 与 C 、 D 分 别 是 椭 圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是 上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ
2018年世界少年奥林匹克数学竞赛八年级海选赛试题含答案
绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛选手须知：1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计50分；第二部分：计算题，共计12分；第三部分：解答题，共计58分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。
3、比赛时不能使用计算工具。
4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。
八年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、填空题。
（每题5分，共计50分）1、36的平方根是 。
2、若方程mx+ny=6的两个解是⎩⎨⎧==11y x 及⎩⎨⎧-==12y x ，则m= ，n = 。
3、已知1=-b a ，=+=+b a b a ,2522。
4、已知x=y+z=2，则=+++xyz z y x 333223。
5、如果实数a ，b 满足条件,12|21|,12222a b a b a b a -=+++-=+则a+b= 。
6、某班级春游时48人到杭州西湖划船。
已知每只小船坐3个人，租金16元；每只大船坐5个人，租金24元，则这个班级租金至少花 元。
7、在△ABC 中，∠B=60°，∠C ＞∠A ，且222B A )C (）（）（∠+∠=∠,则△ABC 的形状是 。
8、观察下列式子：181092+⨯=；198100992+⨯=；199810009992+⨯=，……，按规律写出=2999999 。
（填写具体数字）9、如图，韩梅梅从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，照这样子走下去，他第一次回到起点A 时走了 米。
10、如图直线L 与∠A 的两边相交于点B 、C ，则图中以A 、B 、C 为端点的射线有 条。
二、计算题。
（每题6分，共计12分）11、 1+3+5+7+9+…+2017+201912、 1+5+52+53+…+5100省 市 学校 姓名 赛场 参赛证号∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕密 封 线 内 不 要 答 题三、解答题。
2018年度国外数学竞赛试题翻译汇编
纯属公益, 免费使用分享, 只送不卖
2018 年巴西数学奥林匹克复仇赛 …………………………………… 114 2017/2018 英国数学竞赛 …………………………………………… 115 2018 年保加利亚数学奥林匹克 ……………………………………… 117 2018 年保加利亚 JBMO 代表队选拔考试 …………………………… 118 2018 年加拿大数学奥林匹克 ………………………………………… 119 2018 年塞浦路斯 IMO 代表队选拔考试 …………………………… 120 2018 年塞浦路斯 JBMO 代表队选拔考试 …………………………… 122 2018 年丹麦数学奥林匹克(第二轮) ………………………………… 125 2018 年法国 JBMO 代表队选拔考试 ………………………………… 126 2018 年德国数学奥林匹克(联邦级) ………………………………… 128 2018 年德国数学奥林匹克(12 年级决赛) …………………………… 130 2018 年希腊数学奥林匹克 …………………………………………… 131 2018 年希腊 IMO 代表队选拔考试 ………………………………… 133 2018 年希腊 JBMO 代表队选拔考试 ………………………………… 134 2018 年香港数学奥林匹克 …………………………………………… 135 2018 年香港 IMO 代表队选拔考试 ………………………………… 136 2018 年匈牙利库尔沙克数学竞赛 …………………………………… 138 2018 年印度全国数学奥林匹克 ……………………………………… 139 2018 年印度 IMO 代表队选拔考试 ………………………………… 140 2018 年伊朗数学奥林匹克 …………………………………………… 143 2018 年伊朗 IMO 代表队选拔考试 ………………………………… 146 2018 年爱尔兰数学奥林匹克 ………………………………………… 149 2018 年意大利数学奥林匹克 ………………………………………… 151 2018 年哈萨克斯坦数学奥林匹克(11 年级决赛) …………………… 152 2018 韩国数学奥林匹克 ……………………………………………… 153 2018 年韩国数学冬令营训练题 ……………………………………… 156 2018 年科索沃 IMO 培训考试 ……………………………………… 157 2018 年马其顿数学奥林匹克 ………………………………………… 158 2018 年马其顿 JBMO 代表队选拔考试 ……………………………… 159
2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面 的距离为 3 ，点 Q 在平面 上，使得直线 PQ 与 所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面 上的射影为 O ．由条件知，OP OQ
tan
OQP
3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1
an
(2Sn
完整版完整版2018年第59届国际数学奥林匹克IMO竞赛试题及答案图片版
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2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准 精品
2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分。
如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。
第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知$a=1+\frac{1}{2+1}$，$b=3-2$，$c=6-2$，那么$a,b,c$的大小关系是（）A。
$a<b<c$B。
$a<c<b$XXX<a<c$D。
$b<c<a$答】C.因为 $\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}$，所以$a=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，$b=1$，$c=4$。
因为 $\frac{1}{3}<1$，所以$a<\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}<c$，所以 $b<a<c$。
2.方程$x^2+2xy+3y^2=34$的整数解$(x,y)$的组数为（）A。
3B。
4C。
5D。
6答】B.方程即$(x+y)^2+2y^2=34$，显然$x+y$必须是偶数，所以可设$x+y=2t$，则原方程变为$2t^2+y^2=17$。
因为$2t^2\leq 16$，所以$t=\pm 2$，从而可求得原方程的整数解为$(x,y)=(-7,3),(1,3),(7,-3),(-1,-3)$，共4组。
3.已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，$CE=1$，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（）A。
$\frac{65}{26}$B。
$\frac{3}{3}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{9}{4}$答】D.过点C作$CP\parallel BG$，交DE于点P。