第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
人教八年级数学上册《完全平方公式 第1课时：完全平方公式推导和计算》精品教学课件
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
下列各式的计算是否正确？如果不正确，应该怎样改正？
(1) (p1)2=p21 (2) (m2)2=m22m+4 (3) (x+y)2=x2+y2 (4) (x+y)2=x2+2xy+y2 (5) (2x+y)2=x2+2xy+y2 (6) (m2n)2=m24mn+4n2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳 完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们的积的2倍.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 你能根据图中的图形面积说明完全平方公式吗？
猜想
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
多项式乘法法则 合并同类项
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍.
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解： ∵ x2+kx+25=(x5)2 ∴ x2+kx+52=x210x+52 ∴ k=10
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完
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2
完全平方公式知识点分解
完全平方公式知识点分解1.完全平方公式的定义：(a+b)² = a² + 2ab + b²2.完全平方公式的推导：完全平方公式可以通过将一个二次多项式展开后进行适当的合并得到。
假设有一个二次多项式：(x+a)²，我们可以将其展开为：x² + 2ax + a²。
而这个结果恰好是完全平方公式的一种形式。
根据这种思路，可以得到完全平方公式的一般形式：(a+b)² = a² + 2ab + b²。
3.完全平方公式的应用：-求解二次方程：通过将一个二次方程转化为完全平方公式的形式，可以更容易地解得方程的根。
-分解因式：对于一个多项式，如果它是一个完全平方公式的形式，那么可以通过完全平方公式的逆运算，将其分解为两个一次多项式的乘积。
-求解二次特殊图形问题：例如，求解一个面积已知的正方形边长，可以通过构造一个面积为完全平方公式的方程，然后利用完全平方公式求解。
4.完全平方公式的推广：除了一般形式的完全平方公式，还存在其他推广形式的完全平方公式。
例如，如果一个三次多项式可以表示为两个一次多项式的平方之差，那么可以利用完全平方公式的推广形式进行分解。
常见的推广形式包括：- 差平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²-完全平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)- 三次平方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)5.完全平方公式的相关例题：下面列举几个常见的完全平方公式的例题，以进一步说明其应用：例题1：求解方程x²+6x+9=0的解。
解：将方程转化为完全平方公式的形式：(x+3)²=0。
由此可得，x+3=0，所以x=-3例题2：将多项式x²+4x+4分解为两个一次多项式的乘积。
14.2.2完全平方公式(第一课时)
: “练”公式，学以致用
随堂练习：我自信 我成功
1. (4m+ n ) 2
2. (-4m - n )23.(源自2a+-1
2
)
2
4. (2a - 0.5)2
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
利用完全平方公式计算
(1) 1022
(2)992
中考链接
( 1 ) （ 3 x + 2 y ) 2 = 99x22 + 1 2 x y + 4 y 2 ( 2 ) ( 5 m - 4 n ) 2 = 2 5 m 2 - 4 0 m n ++1166nn22 (3) (4a+3b) 2=16a2 ++2244aabb +9b2 ( 4 ) ( 2 x - 8 y ) 2 = 4 x 2 --3322xxyy + 6 4 y 2
判断正误
判断下列各题是否正确，若错误加以改正：
(1) (2a+1)2＝4a2 +1+4a 千万不要漏项哦！
(2) (2a−1)2＝（2a）2−4a+1 此时记得加括号
（3）(3x−y)2＝9x2−y2
(a-b)2≠a2-b2
（4）(3x+2)2＝9x2+12x+4
“练”公式，学以致用
在阴影部分填一个式子，使等式成立：
图形验证公式
计算下图中红色部分的面积
b
b
a a
ab
b a
“说”公式，提炼提升
(a+b)2 =a 2+2ab+b2 (a- b)2 =a2-2ab+b2
完全平方公式
＝(2016－2015)2＝1.
方法总结
本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy.
当堂练习
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ） A．a2-4a+4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( D )
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2_； (2) (4x-3y)2=__1_6_x_2_-_2_4_x_y+__9_y_2 _ ； (3) (2m-1)2 =___4_m_2_-4_m__+_1_____； (4)(-2m-1)2 =__4_m_2_+_4_m__+_1_____.
b有什么关系？它的符号与什么有关？
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
完全平方公式优秀教案
完全平方公式【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）知识与技能：理解完全平方公式的本质，并会运用公式进行简单的计算；了解完全平方公式的几何背景。
（二）过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识。
（三）情感与态度：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习的自信心。
【教学重难点】完全平方公式及其应用。
【教学过程】（一）前置诊断，开辟道路师：上一节课，我们学习了平方差公式，知道了应用平方差公式可以进行某些多项式乘法的简便运算。
那位同学能说一下平方差公式是什么？它的结构特征是什么？生：（积极踊跃，争先恐后）生：平方差公式：（a+b）（a－b）=a2－b2；公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。
右边是两数的平方差。
师：应用平方差公式要注意什么问题？生1：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
生2：（补充）把两个因式中相同的部分看作a，互为相反的部分看作b。
师：很好。
还记得我们是怎样用图形解释平方差公式的吗？生：利用图形变化前后的面积相等来解释的。
从一个边长为a大正方形中割掉一个边长为b的小正方形，剩下图形的面积可以用a2－b2表示，也可以用（a+b）（a－b）表示，就可以得到：（a+b）（a－b）=a2－b2师：（出示多媒体投影，使学生数形结合起来，帮助其理解。
）师：平方差公式实质上是特殊的多项式乘法的一种简便运算，是我们由一些特殊的多项式乘法的计算中分析得到的数学规律，应用它可以进行一些数或式乘法的简便计算。
数学中，还有很多规律等待我们去探索、去发现。
（二）设问质疑，探究尝试：请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？生：（观察、思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现）。
生1：我发现两个算式都是两个数和的平方，结果是三项，都有这两个数的平方。
北师大数学七下课件第1课时完全平方公式的推导及简单应用
第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二 完全平方公式的拓展与应用
例 3 [高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式 例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b)2； (2)(mn－n2)2.
第a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2 ＝9a2＋12ab＋4b2. (2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.
[归纳总结]用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分 的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
初中数学课件
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第1课时 完全平方公式的推导及简单应用
探究新知
► 活动1 知识准备
计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝__p_2_＋__2_p_q_＋__q_2_____； (2)(m＋2)(m＋2)＝__m_2_＋__4_m_＋__4_________； (3)(x－y)(x－y)＝___x_2－__2_x_y_＋__y_2___________．
图中正方形的边长为a＋b＋c， 那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2)任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们 两两乘积的2倍．
完全平方公式的逻辑推导与解释
完全平方公式的逻辑推导与解释完全平方公式是初中数学中常见且重要的知识点之一，它是解决一元二次方程的基础。
在学习完全平方公式时，许多同学会觉得公式的推导和原理比较抽象，不容易理解。
因此，本文将通过逻辑推导和详细解释的方式，帮助读者更好地掌握完全平方公式的含义和应用。
首先，我们来看一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
为了方便推导完全平方公式，我们假设方程的两根分别为 $x_1$ 和 $x_2$。
根据一元二次方程求根公式可得：$x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$接下来，我们将一元二次方程的通解表示成形如 $(x - m)(x - n) = 0$ 的完全平方形式，其中 $m$ 和 $n$ 是待定系数。
展开左边的式子可得：$x^2 - (m + n)x + mn = 0$通过比较一元二次方程和完全平方形式的系数，我们可以得到以下结论：$m + n = -\frac{b}{a}$，$mn = \frac{c}{a}$现在，我们尝试对上述两个方程进行变形，我们有：$(m + n)^2 = (-\frac{b}{a})^2$$mn = \frac{c}{a}$进一步展开第一个方程可得：$m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$将 $mn = \frac{c}{a}$ 代入可得：$m^2 + 2(\frac{c}{a}) + n^2 = \frac{b^2}{a^2}$化简即可得到完全平方公式：$(m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 = \frac{b^2}{a^2} + 4\frac{c}{a}$根据完全平方公式的推导过程，我们可以进一步解释完全平方公式的含义。
在一元二次方程中，当判别式 $b^2 - 4ac$ 大于等于 0 时，方程有实数根，此时可以利用完全平方公式将方程化为完全平方形式，从而求得方程的解。
完全平方公式的深入理解与应用
完全平方公式的深入理解与应用完全平方公式是初中数学中重要的内容之一，对于学生来说，充分理解并灵活运用完全平方公式是提高解题效率和准确性的关键。
本文旨在通过深入探讨完全平方公式的概念、推导过程及应用技巧，帮助学生更好地掌握这一数学工具。
1. 完全平方的定义首先，我们来回顾一下完全平方的定义。
所谓完全平方，是指一个数等于某个数的平方，即能找到一个整数使得这个数等于这个整数的平方。
比如，4就是一个完全平方，因为4=2²。
在代数表达中，完全平方有一个明确的表达形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²。
这个表达形式就是完全平方公式，也是我们接下来要深入探讨的内容。
2. 完全平方公式的推导完全平方公式的推导是很多学生难以理解的地方，但只要掌握了一些技巧，就能轻松完成。
这里，我们以(a + b)² = a² + 2ab + b²这个完全平方为例进行推导。
首先，我们将(a + b)²展开得到：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b)。
接着，我们分别将两部分进行展开计算：a(a + b) = a² + ab，b(a + b) = ab + b²。
最后，将两部分相加得到(a + b)² = a² + 2ab + b²。
通过以上推导过程，我们可以清晰地看到完全平方公式的由来，也更加深入地理解了这一公式的含义及应用。
3. 完全平方公式的应用完全平方公式在数学中有许多应用，其中包括解方程、化简表达式、证明等等。
下面，我们以解方程为例，简要说明完全平方公式的应用技巧。
当我们遇到形如 x² + 6x + 9 = 0 的方程时，可以利用完全平方公式求解。
首先，我们发现9可以写成3²，也就是(x + 3)² = 0。
完全平方公式解一元二次方程
完全平方公式解一元二次方程一元二次方程是数学中的基础知识，也是我们在解决实际问题中常常遇到的数学模型。
而完全平方公式是解一元二次方程的一种常用方法，它的原理和应用非常重要。
本文将介绍完全平方公式的定义、推导过程以及解决实际问题的应用。
1. 完全平方公式的定义完全平方公式是一种用来解一元二次方程的公式，它的形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，x是未知数。
完全平方公式的一般形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)，其中±表示两个解。
2. 完全平方公式的推导过程为了推导完全平方公式，我们首先将一元二次方程的通式写为完全平方的形式。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + m)^2 + n = 0的形式，其中m和n是待定常数。
将(x + m)^2 + n = 0展开，我们得到x^2 + 2mx + m^2 + n = 0。
通过比较系数，我们可以得到以下关系式：2m = b，m^2 + n = c。
由于2m = b，我们可以解出m = b/2。
将m = b/2代入m^2 + n = c，我们可以解出n = c - b^2/4。
将m和n代入(x + m)^2 + n = 0，我们得到(x + b/2)^2 + c - b^2/4 = 0。
将其展开，我们得到x^2 + bx + (b^2/4 - c) = 0。
比较这个方程与原方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以得到a = 1，b = b，c = b^2/4 - c。
由此，我们可以得到一元二次方程的完全平方公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
3. 完全平方公式的应用完全平方公式在解决实际问题中具有广泛的应用。
例如，在物理问题中，我们经常会遇到抛体运动的问题。
当我们知道物体的运动规律时，可以通过抛体运动方程建立一元二次方程，并利用完全平方公式解出方程的解，从而得到物体的位置、速度等信息。
初中完全平方公式教案
初中完全平方公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握完全平方公式的推导过程和应用。
2. 培养学生运用完全平方公式解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣和积极性。
二、教学内容：1. 完全平方公式的推导。
2. 完全平方公式的应用。
3. 完全平方公式的拓展。
三、教学重点与难点：1. 完全平方公式的推导过程。
2. 完全平方公式的灵活运用。
四、教学过程：1. 导入：利用多媒体展示一个正方形，让学生观察并思考如何求得这个正方形的面积。
引导学生回顾平方公式，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解：a) 完全平方公式的推导：通过示例，讲解完全平方公式的推导过程，让学生理解并掌握完全平方公式的来源。
例如：(a+b)² = a² + 2ab + b²b) 完全平方公式的应用：讲解如何运用完全平方公式解决实际问题，例如：求解完全平方方程、估算无理数的大小等。
c) 完全平方公式的拓展：介绍完全平方公式的拓展知识，如：完全平方数、完全平方根等。
3. 课堂练习：设计一些练习题，让学生运用完全平方公式解决问题，巩固所学知识。
4. 总结与反思：让学生总结本节课所学的内容，反思自己在学习过程中的优点和不足，为今后的学习做好准备。
五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对完全平方公式的掌握程度。
3. 单元测试：通过单元测试，了解学生在段时间内对完全平方公式的运用能力。
六、教学策略：1. 采用直观演示法，让学生通过观察、实践，理解完全平方公式的推导过程。
2. 运用实例讲解法，让学生学会如何运用完全平方公式解决实际问题。
3. 设计多样化的练习题，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手能力。
4. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识。
5. 注重个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在课堂上都能有所收获。
14.2.2完全平方公式 教案
(4)(α-b)(a-b)=
活动一：
2.西湖湿地公园对一块边长为a米的正方形花圃进行重新规划，以备来年种植新的花卉。
(1)若将其边长增加b米，则规划后花圃的面积为
平方米。
(2)若将其边长减少b米，则规划后花圃的面积为
平方米。
要求：
①请用手中的卡片拼出或剪出规划后的花圃；
三、完全平方公式
(1)(4m~n)2(2)(n-4m)2
(3)(3x+∣.y)2(4)(—3Ty)2
(5)1022;(6)(99—)2
5
五、小结：
学生总结，教师补充。
六、布置作业：
思考：计算：（a+b+c）2
教学
反思
教学设计
课题
14.2.2Βιβλιοθήκη 全平方公式(1)学校教法
探究式
执教者
教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力.
2.进一步向学生渗透从特殊到一般、类比、转化、数形结合等思想，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.
(三)情感与价值观要求
在探索完全平方公式和灵活应用完全平方公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神.
重点
完全平方公式的结构特点、几何解释。
难点
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。
教学过程
师生活动
一、复习引入
二、公式几何验证
1.计算
(1)(a+b)(m+n)=
完全平方公式知识点
完全平方公式知识点完全平方公式是高中数学中常用的一个重要公式，它在解决二次方程相关问题时起到了关键作用。
它的形式为：若a是实数，那么二次方程ax^2+bx+c=0的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
完全平方公式的应用范围很广泛，涉及到解方程、求根、求解问题等多个方面。
接下来我们将从不同角度来讲解完全平方公式的相关知识点。
一、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导过程相对简单，我们可以通过配方法将二次方程化简为完全平方的形式，从而得到该公式。
具体推导过程如下：对于二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过配方法将其化简为(a·x^2+b·x+c)=a(x^2+(b/a)·x+(c/a))=a((x+(b/2a))^2-(b/2a)^2+c/a)=a(x+(b/2a))^2+(c-b^2/4a)。
由此可得，原二次方程的解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
二、完全平方公式的含义和应用完全平方公式的含义在于，它可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式，使得求解过程更加简便。
在实际应用中，完全平方公式常被用来求解二次方程的根，解决与二次方程相关的各种问题。
1. 求解二次方程的根完全平方公式可以帮助我们求解任意形式的二次方程的根。
通过将二次方程化简为完全平方的形式，我们可以直接得到方程的解。
2. 求解几何问题在几何问题中，完全平方公式也有重要的应用。
例如，求解一个矩形的对角线长度时，我们可以将其转化为一个二次方程，并利用完全平方公式求解。
3. 解决实际问题完全平方公式不仅仅在数学问题中有应用，它还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在物理学中，通过将一些物理量表示为二次方程的形式，再利用完全平方公式求解，可以得到一些有用的结果。
三、完全平方公式的注意事项在应用完全平方公式时，我们需要注意以下几点：1. 判断二次方程是否适合使用完全平方公式。
因式分解(完全平方公式)课件
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
初中数学《完全平方公式》教学设计【三篇】
初中数学《完整平方公式》教课方案【三篇】课题名称：完整平方公式（1）一、内容简介本节课的主题：经过一系列的研究活动，指引学生从计算结果中总结出完整平方公式的两种形式。
要点信息：1、以教材作为出发点，依照《数学课程标准》，指引学生领会、参加科学研究过程。
第一提出等号左侧的两个相乘的多项式和等号右侧得出的三项有什么关系。
经过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假定与猜想，并经过多次的查验，得出正确的结论。
学生经过采集和办理信息、表达与沟通等活动，获取悉识、技术、方法、态度特别是创新精神和实践水同等方面的发展。
2、用标准的数学语言得出结论，使学生感觉科学的谨慎，启示学习态度和方法。
二、学习者剖析：1、在学习本课以前应具备的基本知识和技术：①同类项的定义。
②归并同类项法例③多项式乘以多项式法例。
2、学习者对马上学习的内容已经具备的水平：在学习完整平方公式以前，学生已经可以整理出公式的右侧形式。
这节课的目的就是让学生从等号的左侧形式和右侧形式之间的关系，总结出公式的应用方法。
三、教课 / 学习目标及其对应的课程标准：（一）教课目的：1、经历研究完整平方公式的过程，进一步发展符号感和推力水平。
2、会推导完整平方公式，并能使用公式推行简单的计算。
（二）知识与技术：经历从详细情境中抽象出符号的过程，理解有理数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必需的运算，（包含估量）技术；研究详细问题中的数目关系和变化规律，并能使用代数式、防城、不等式、函数等推行描绘。
（四）解决问题：能联合详细情形发现并提出数学识题；试试从不一样角度追求解决问题的方法，并能有效地解决问题，试试评论不一样方法之间的差别；经过对解决问题过程的反省，获取解决问题的经验。
（五）感情与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立战胜困难和使用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊敬与理解别人的看法；能从沟通中获益。
四、教育理念和教课方式：1、教师是学生学习的组织者、促动者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富裕个性的学习，用自己的身体去亲身经历，用自己的心灵去亲身感悟。
《完全平方公式》说课稿
《完全平方公式》说课稿第一课时尊敬的各位评委：您们好！今天我说课的题目是北师大版数学七年级下册第一章第八节《完全平方公式》第一课时.下面我将从教材分析、教法设计、学法指导及教学过程等几个方面谈谈我对本节课的理解和设想。
一、教材分析（一）【教材的地位和作用】本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和运用，其地位和作用主要体现在以下几个方面：1．乘法公式是学生学习了多项式乘法之后对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳和总结。
2.完全平方公式是以后学习因式分解分式运算的重要基础，又是配方法的基本模式。
3.公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法提供了很好的素材。
（二）【学情分析】学生已经学习了整式的乘法等相关知识，经历了平方差公式推导和运算的过程初步体验过数形结合，换元等思想方法，具备了初步的用字母表示数和根据具体情景进行探究的能力，但学生对于公式中字母含义的广泛性理解还不够深刻。
(三)【教学目标】根据以上分析，同时参照新课程标准，拟定以下教学目标：（1）知识目标理解公式的推导过程，了解公式的几何背景，会应用公式进行简单的计算。
（2）能力目标通过渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，增强学生的应用意识，提高学生解决问题的能力和创新能力。
（3）情感目标精心设计教学过程，激发学生的好奇心和求知欲，让学生获得成功的体验，培养学生学好数学的自信心和树立辩证唯物主义世界观和人生观。
（四）、【教学重点、难点】教学重点：本节的重点是体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算。
教学难点：本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义，判明要计算的代数式是哪两数的和（差）的平方。
二、教法设计数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程，根据本节课的内容，我采用引导探索法教学和分层次教学。
注意创设问题情境，发展学生的思维能力，让不同层次的学生都能够主动地参与并获得成功的体验。
数学教案-完全平方公式
数学教案－完全平方公式介绍完全平方公式是高中数学中重要的一个概念和方法，用于解决一元二次方程的问题。
它的应用范围广泛，掌握了完全平方公式可以帮助我们更好地理解和解决各种相关问题。
这个教案将介绍完全平方公式的概念、推导过程和一些常见的应用。
一、完全平方公式的概念完全平方公式是指将一个一元二次方程的解表示为一个完全平方的形式。
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0如果该方程有解，那么可以通过完全平方公式将其表示为：(ax + b/2a)^2 - (b^2 - 4ac)/4a^2 = 0其中，(ax + b/2a)^2是一个完全平方，(b^2 - 4ac)/4a^2是一个实数。
二、完全平方公式的推导过程完全平方公式的推导可以通过配方法来完成。
我们以一元二次方程ax^2 + bx + c = 0为例进行推导。
具体推导过程如下：1.将方程移到一边，使其等于零：ax^2 + bx + c = 0。
2.对方程两边同时除以a，得到x^2 + (b/a)x + c/a = 0。
3.将方程两边同时减去常数项c/a，得到x^2 + (b/a)x = -c/a。
4.在方程的两边同时加上 (b/(2a))^2，即(b/(2a))^2 + x^2 + (b/a)x = (b/(2a))^2 - c/a。
5.将左边的三项构造成一个完全平方，即(b/(2a) + x)^2 = (b^2 -4ac)/(4a^2)。
6.将方程两边同时开方，得到b/(2a) + x = ±sqrt((b^2 - 4ac)/(4a^2))。
7.移项得到x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)，即一元二次方程的两个解。
可以看出，完全平方公式的推导过程是基于配方法进行的，通过构造一个完全平方来简化一元二次方程。
三、应用示例完全平方公式在解决实际问题时非常有用。
以下是一些常见的应用示例：1. 求解一元二次方程通过完全平方公式，我们可以轻松地求解任意一元二次方程的解。
浅谈完全平方公式的推导、推广及在计算中的应用
浅谈完全平方公式的推导、推广及在计算中的应用作者：李小军来源：《新课程·中学》2018年第06期摘要：完全平方公式是初中阶段数学学习的一个重要知识点，也是一个难点。
在运用过程中，一定要弄清公式结构特征，然后按规定格式套用，最后再化简合并，才能顺利达成运用完全平方公式进行简便计算的初衷。
关键词：完全平方公式；推导；推广；应用完全平方公式是初中阶段数学学习的一个重要知识点，也是一个难点。
对于公式的内容，大多数学生都能记得，但对于公式的由来、结构特点以及深层次的推广应用还是比较陌生的。
因此，在实际运用过程中难免会出现一些差错。
下面，笔者就结合自己的教学实践和体会来谈谈对完全平方公式的理解与认识，希望能给大家带来一点启发与帮助。
一、完全平方公式的推导完全平方公式的内容是：（a+b）2=a2+2ab+b2或（a-b）2=a2-2ab+b2，在教学时，相信老师们也给学生传授了类似于“首平方，尾平方，首尾乘积2倍在中央”的记忆方法或口诀，因此对于公式的内容大多数学生还是能够掌握的，但是这个公式是如何得到的呢？我们老师在教学时都引导学生去探索了，但学生功利得只记住了内容，而忽略了方法。
作为学生求知路上的组织者、引导者，老师不光要让学生知道“是这样”，更要让学生知道“为什么是这样”，即“知其然，还要知其所以然”。
下面笔者从两个方面来谈谈完全平方公式的由来。
（一）利用多项式乘多项式法则推导（a+b）2，根据乘方的定义可知：（a+b）2=（a+b）（a+b），然后再根据多项式乘多项式的法则，拿前面括号里的每一项与后面括号里的每一项分别相乘，再把所得的积相加即可。
过程如下：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2同样，（a-b）2也可以通过以下过程得到：（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2注意：对于中间到底是“+2ab”还是“-2ab”，这并不是只取决于中间的是“+”号、“-”号，而取决于括号内的“首项”和“尾项”前的符号。
完全平方公式
完全平方公式1. 首先，对于给定的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过变形，将其化为一个完全平方形式的方程。
2.为了将二次方程化为完全平方形式，我们需要找到一个常数k，并将方程的右侧加上k^23.通过将二次方程的方程左右两边加上k^2，我们可以将其转化为一个完全平方形式的方程。
4.对于一个完全平方形式的方程(x+k)^2=d，其中，k和d分别是常数，我们可以通过开方，求解出方程的根。
下面我们来具体推导完全平方公式，并介绍如何使用它进行根的求解。
首先，我们考虑一个一般的二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，并且a ≠ 0。
我们希望将这个方程转化为一个完全平方形式。
为了实现这一目标，我们可以通过添加一个恰当的常数来改变方程。
具体地说，我们假设常数k满足如下条件：k^2=(b/2a)^2、这样，我们可以将二次方程表示为：ax^2 + bx + c = 0ax^2 + bx + k^2 - k^2 + c = 0a(x^2 + 2kx + k^2) = k^2 - c接下来，我们将方程的左侧作为一个完全平方进行处理。
具体地说，我们可以将其表示为(x+k)^2，这样方程可以重写为：(x+k)^2=k^2-c通过对等式两侧开方，我们可以得到：x+k=±√(k^2-c)x=-k±√(k^2-c)这样，我们就得到了二次方程的根。
注意，这里的k和c可以是任意实数。
在使用完全平方公式求解二次方程时，我们需要根据方程的判别式（即 b^2 - 4ac）的正负来判断根的情况：1.当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根。
2.当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根。
3.当判别式小于零时，方程没有实数根，而是有一对共轭复数根。
完全平方公式是解二次方程常用的一种方法，它的优点是可以直接得到二次方程的根，并且适用于任何二次方程。
但需要注意的是，当存在其他更简单的方法来求解二次方程时，我们应该优先考虑这些方法，以避免不必要的计算。
完全平方公式教案
14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式◇教学目标◇【知识与技能】会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.【过程与方法】经历利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式的过程.【情感、态度与价值观】通过练习培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】完全平方公式的推导和应用.【教学难点】完全平方公式的应用.◇教学过程◇一、情境导入现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2+2ab+b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.二、合作探究探究点1完全平方公式典例1计算(3a-2b)2的结果为()A.9a2+4b2B.9a2+6ab+4b2C.9a2-12ab+4b2D.9a2-4b2[解析]原式=(3a)2-2×3a×2b+(2b)2=9a2-12ab+4b2.[答案]C探究点2简化运算典例2下列关于962的计算方法正确的是()A.962=(100-4)2=1002-42=9984B.962=(95+1)(95-1)=952-1=9024C.962=(90+6)2=902+62=8136D.962=(100-4)2=1002-2×4×100+42=9216[解析]962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9216,A项错误;962=(95+1)(95+1)=952+2×95×1+1=9216,B项错误;962=(90+6)2=902+2×90×6+62=9216,C 项错误;962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9216,D项正确.[答案]D探究点3完全平方式典例3若4a2-kab+9b2是完全平方式,则常数k的值为()A.6B.12C.±12D.±6[解析]∵4a2-kab+9b2是完全平方式,∴-kab=±2×2a×3b=±12ab,∴k=±12.[答案]Cx2-8x+a可以写成一个完全平方式,则a可为()A.4B.8C.16D.-16[答案]C探究点4完全平方公式变形应用典例4已知a+b=3,ab=-2,求下列各式的值.(1)a2+b2;(2)a-b.[解析](1)∵a+b=3,ab=-2,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×(-2)=13.(2)∵a+b=3,ab=-2,∴a-b=±=±=±=±.探究点5完全平方公式的几何背景典例5如图1是一个长为2a,宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积为()A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2[解析]中间空的部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积=(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=(a-b)2.[答案]C三、板书设计完全平方公式完全平方公式◇教学反思◇本节的内容是完全平方公式,在教学中,重视公式的几何背景,较直观地让学生理解代数中的某些问题.利用拼图游戏,调动学生的积极性,让学生关注几何与代数之间的内在联系,增强记忆,也可用口诀的形式让学生形象记忆,尤其针对学生易漏掉中间积的2倍这一项做好针对性的练习.。
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a ，所以它的面积是_______ a2 部分的正方形边长是____ ；另一个小
2 b b 正方形的边长是____，所以它的面积是____；另外两个长方形
a ，宽都是____ b ，所以每个长方形的面积都是____ ab 的长都是____ a2＋2ab＋b2 ；所以这四个图形的面积之和为________________ ．
＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[解析] (1)画出边长为a＋b＋c的正方形，表示出整体的面
积和各部分的面积之和，让它们相等即可；(2)可得到多个数和
完全平方公式的推导及简单应用
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式
2
例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b) ； (2)(mn－n ) .
2 2
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
解： (1)(3a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2
＝9a2＋12ab＋4b2.
(2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[ 归纳总结 ]完全平方公式中的字母 a，b可以是数，也可以
是单项式或多项式，中间项的符号是由左边的“和”或“差”
来确定的，可记忆为“首平方，末平方，乘积两倍在中央”．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二
例3
完全平方公式的拓展与应用
[高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
例 2 计算：(1)(x＋3y) (x－3y) ；
1 1 1 2 2 (2) m＋n m－n m －n . 2 2 4
2
2
[解析]
(1)可先逆用积的乘方的相关性质，再运用平方差
公式和完全平方公式进行计算； (2)可先用平方差公式，再用两 数差的完全平方公式．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
新 知 梳 理
► 知识点 完全平方公式
[语言叙述] 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上( 它们的积的2倍 ． 或减去)______________
[字母表达式] (a±b)2＝a2±2ab＋b2.
[注意 ] 上述两个公式是可以相互转化的，比如：在“两数 和的平方”公式： (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 中，用“－ b”替换公 式中的“b”，即可得到“两数差的平方”公式：(a－b)2＝a2－ 2ab＋b2.
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
► 活动2
教材导学
探究完全平方公式 1．根据图1－6－1中的面积填空：
图1－6－1
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
a＋b ，大正方形的面积是 (1)大正方形的边长是__________ (a＋b)2 ________________ ． (2)大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成的．阴影
的平方的简便求法．
图1－6－2
பைடு நூலகம்
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
解：(1)如图1－6－3所示，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2ac＋2bc.
图中正方形的边长为a＋b＋c，
那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2) 任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们
(3)大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，于是就可 (a＋b)2 a2＋2ab＋b2 以得出：______________ ＝____________________ ．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
2．通过以上的学习，谈谈你对两数和(差)的平方的认识． ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
数 学
新课标（BS） 七年级下册
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
2＋2pq＋q2 p 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝_________________；
m2＋4m＋4 (2)(m＋2)(m＋2)＝___________________ ； x2－2xy＋y2 (3)(x－y)(x－y)＝_______________________ ．
两两乘积的2倍．
图1－6－3
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[ 归纳总结 ] 用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分
的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
解： (1)原式＝[(x＋3y)(x－3y)]2 ＝(x2－9y2)2＝x4－18x2y2＋81y4.
1 21 2 2 2 (2)原式＝ m －n m －n 4 4
1 2 ＝( m －n2)2 4 1 4 1 2 2 ＝ m － m n ＋n4. 16 2
第1课时
完全平方公式的推导及简单应用
[结构特征] 左边是“两个数的和或差”的平方，即为一个
二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公 式左边二项式中每一项的平方，且符号相同，另一项是左边二 项式中两项乘积的2倍，符号由公式左边的二项式的两项的符号 来确定：同号为正，异号为负．
第1课时