第1课时 完全平方公式的推导及简单应用

a ，所以它的面积是_______ a2 部分的正方形边长是____ ；另一个小
2 b b 正方形的边长是____，所以它的面积是____；另外两个长方形
a ，宽都是____ b ，所以每个长方形的面积都是____ ab 的长都是____ a2＋2ab＋b2 ；所以这四个图形的面积之和为________________ ．
(3)大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，于是就可 (a＋b)2 a2＋2ab＋b2 以得出：______________ ＝____________________ ．
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完全平方公式的推导及简单应用
2．通过以上的学习，谈谈你对两数和(差)的平方的认识． ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点
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完全平方公式的推导及简单应用
[ 归纳总结 ]完全平方公式中的字母 a，b可以是数，也可以
是单项式或多项式，中间项的符号是由左边的“和”或“差”
来确定的，可记忆为“首平方，末平方，乘积两倍在中央”．
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完全平方公式的推导及简单应用
探究问题二
例3
完全平方公式的拓展与应用
[高频考题] 还记得完全平方公式(a＋b)2
的平方的简便求法．
图1－6－2
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完全平方公式的推导及简单应用
解：(1)如图1－6－3所示，(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋ 2ac＋2bc.
图中正方形的边长为a＋b＋c，
那么面积可表示为(a＋b＋c)2， 各部分的面积之和表示为a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， ∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (2) 任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们
＝a2＋2ab＋b2 吗？当 a，b＞0 时，完全平方公式可以用图①来 说明． (1)对图②进行适当的分割，猜想出(a＋b＋c)2 的展开形式，并 给出其推导过程； (2)通过求解本题，你有哪些收获？
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完全平方公式的推导及简单应用
[解析] (1)画出边长为a＋b＋c的正方形，表示出整体的面
积和各部分的面积之和，让它们相等即可；(2)可得到多个数和
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例 2 计算：(1)(x＋3y) (x－3y) ；
1 1 ຫໍສະໝຸດ Baidu 2 2 (2) m＋n m－n m －n . 2 2 4
2
2
[解析]
(1)可先逆用积的乘方的相关性质，再运用平方差
公式和完全平方公式进行计算； (2)可先用平方差公式，再用两 数差的完全平方公式．
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[结构特征] 左边是“两个数的和或差”的平方，即为一个
二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公 式左边二项式中每一项的平方，且符号相同，另一项是左边二 项式中两项乘积的2倍，符号由公式左边的二项式的两项的符号 来确定：同号为正，异号为负．
第1课时
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► 活动2
教材导学
探究完全平方公式 1．根据图1－6－1中的面积填空：
图1－6－1
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a＋b ，大正方形的面积是 (1)大正方形的边长是__________ (a＋b)2 ________________ ． (2)大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成的．阴影
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新 知 梳 理
► 知识点 完全平方公式
[语言叙述] 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上( 它们的积的2倍 ． 或减去)______________
[字母表达式] (a±b)2＝a2±2ab＋b2.
[注意 ] 上述两个公式是可以相互转化的，比如：在“两数 和的平方”公式： (a ＋ b)2 ＝ a2 ＋ 2ab ＋ b2 中，用“－ b”替换公 式中的“b”，即可得到“两数差的平方”公式：(a－b)2＝a2－ 2ab＋b2.
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完全平方公式的推导及简单应用
解： (1)原式＝[(x＋3y)(x－3y)]2 ＝(x2－9y2)2＝x4－18x2y2＋81y4.
1 21 2 2 2 (2)原式＝ m －n m －n 4 4
1 2 ＝( m －n2)2 4 1 4 1 2 2 ＝ m － m n ＋n4. 16 2
数 学
新课标（BS） 七年级下册
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完全平方公式的推导及简单应用
探 究 新 知
► 活动1 知识准备
2＋2pq＋q2 p 计算：(1)(p＋q)(p＋q)＝_________________；
m2＋4m＋4 (2)(m＋2)(m＋2)＝___________________ ； x2－2xy＋y2 (3)(x－y)(x－y)＝_______________________ ．
两两乘积的2倍．
图1－6－3
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完全平方公式的推导及简单应用
[ 归纳总结 ] 用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分
的面积之和表示．这是求解与探究数学问题中常用的思路．
完全平方公式的推导及简单应用
重难互动探究
探究问题一 完全平方公式
2
例 1 [高频考题] 计算：(1)(3a＋2b) ； (2)(mn－n ) .
2 2
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完全平方公式的推导及简单应用
解： (1)(3a＋2b)2 ＝(3a)2＋2·3a·2b＋(2b)2
＝9a2＋12ab＋4b2.
(2)(mn－n2)2 ＝(mn)2－2·mn·n2＋(n2)2 ＝m2n2－2mn3＋n4.