高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

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高中数学竞赛试题圆锥曲线

以下是一道高中数学竞赛试题圆锥曲线：题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为√3。

(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 P 是椭圆 C 上的任意一点，F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，求∠F1PF2 的最大值；(3) 已知过点 E(1/3,0) 的直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个交点，求直线 l 的方程。

【分析】(1)利用椭圆的离心率和原点到直线的距离，列出方程组，求出$a，b$，即可求椭圆C的方程；(2)设$\angle F_{1}PF_{2}$为$\theta $，利用余弦定理和基本不等式，即可求$\angle F_{1}PF_{2}$的最大值；(3)当直线$l$的斜率不存在时，直线$l$的方程为$x = \frac{1}{3}$；当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的方程为$y = k(x - \frac{1}{3})$，与椭圆C 联立消去$y$得$(3k^{2} + 1)x^{2} - \frac{2k^{2}}{3}x -\frac{7k^{2}}{9} = 0$，利用根的判别式和韦达定理即可求直线$l$的方程．【解答】(1)由题意知：$\{\begin{matrix} \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \sqrt{3} \\a^{2} = b^{2} + c^{2} \\\end{matrix}$，解得：$\{\begin{matrix} a = \sqrt{3} \\b = 1 \\c = 1 \\\end{matrix}$，所以椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$；(2)由$(1)$知：$F_{1}( - 1,0)，F_{2}(1,0)$，设$P(m,n)$是椭圆C上的任意一点，则$\frac{m^{2}}{3} + n^{2} = 1$．则${|F_{1}P|}^{2} = (m +1)^{2} + n^{2}$$= m^{2} + n^{2} + 2m + 1$$= - 2mn + m^{2} + n^{2} + 1$$= - 2mn + 4$，${|F_{2}P|}^{2} = (m - 1)^{2} + n^{2}$$= m^{2} +n^{2} - 2m + 1$$= - 2mn + m^{2} + n^{2} + 1$$= - 2mn + 4$，所以${|F_{1}P|}^{2} + {|F_{2}P|}^{2}$$= - 4mn + 8 = {|F_{1}P|}^{2}$．又${|F_{1}P|}^{2} + {|F_{2}P|}^{2}$$= {|PF_{1}|}^{2} +{|PF_{2}|}^{2}$，所以$\cos\theta$$= \frac{{|PF_{1}|}^{2} +{|PF_{2}|}^{2}}{{|F_{1}P|}^{2}}$$= \frac{{|F_{1}P|}^{2} +{|F_{2}P|}^{2}}{{|F_{1}P|}^{2}}$$= \frac{- 4mn + 8}{4}$$= - mn +2$．因为$- 3 \leqslant m \leqslant \sqrt{3}$，所以$- \sqrt{3}\leqslant n \leqslant \sqrt{3}$，所以${|F_{1}P|}^{2}$$+{|F_{2}P|}^{4}$$= - 4mn + 8$$= m^{2} - n^{4} + m^{4}$$= m^{4}$$+m^{2}$$+ 1。

一道高中数学竞赛题的证明及推广——圆锥曲线切线的一个性质

一道高中数学竞赛题的证明及推广——圆锥曲线切线的一个性质圆锥曲线是微积分中的一个重要概念，它是由一系列交替曲线和抛物线组成的曲线，它的特性是曲线的单调性和切线的统一性。

在高中数学竞赛中，圆锥曲线切线的一个性质是：圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，也就是说，它们的斜率是相同的。

这个性质有着重要的意义，可以帮助我们解决许多关于圆锥曲线的问题。

为了证明这个性质，我们需要使用微积分理论。

首先，我们将圆锥曲线表示为参数方程：x = at^2 + bt + c y = dt + e其中a，b，c，d，e都是常数，t是参数。

接下来，我们来求解圆锥曲线上任意一点的切线的斜率。

我们用t来代表圆锥曲线上任意一点，那么圆锥曲线上这一点的切线斜率就是：斜率=dy/dx=dy/dt*dt/dx=d/a*2at+b可以看出，不管t取什么值，圆锥曲线上任意一点的切线斜率都是d/a*2at+b，也就是说，圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，因此，圆锥曲线的一个性质就是：圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，也就是说，它们的斜率是相同的。

此外，圆锥曲线的这个性质也可以推广到更多的曲线，比如椭圆曲线，参数方程为：x = a cos t y = b sin t椭圆曲线上任意一点的切线斜率为：斜率=dy/dx=-a/b*cot t可以看出，不管t 取什么值，椭圆曲线上任意一点的切线斜率都是-a/b*cot t，也就是说，椭圆曲线上任意一点的切线都是相同的，因此，椭圆曲线也具有圆锥曲线的这一性质：圆锥曲线上任意一点的切线都是相同的，也就是说，它们的斜率是相同的。

综上所述，我们完成了高中数学竞赛中的一道题：证明圆锥曲线切线的一个性质，并且我们还推广了这个性质到椭圆曲线上。

这是一个非常重要的性质，它可以帮助我们解决很多圆锥曲线和椭圆曲线的问题。

圆锥曲线大题专题及答案

解析几何大题专题第一类题型弦长面积问题1．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．2. （本小题14分）已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.3．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>离心率等于12，(2,3)P、(2,3)Q-是椭圆上的两点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）,A B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值.4．（本小题满分14分）已知椭圆C：2231(0)mx my m+=>的长轴长为O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；（Ⅱ）设点(3,0)A，动点B在y轴上，动点P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若||||BA BP=，求四边形OPAB面积的最小值.5．（本小题共14分）已知椭圆C：2214xy+=，F为右焦点，圆O：221x y+=，P为椭圆C上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T在OP两侧.（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率;（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值.6.（本小题13分）已知抛物线C：y2=2px经过点P(2，2)，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点．（I）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（II）若OA OB，求△AOB面积的最小值.第二类题型圆过定点问题（包括点在圆上点在圆外点在圆内）1．（本小题满分14 分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜AB ｜＝2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。

高中数学_圆锥曲线400题

高中数学_圆锥曲线400题一、单选题( ) 1. 一双曲线的两渐近线为1:20L x y -=与2:20L x y +=且通过点()﹐其方程式为(1)22182x y -= (2)22182x y -=- (3)22128x y -= (4)22128x y -=-﹒( ) 2. 拋物线2118y x =+的焦点在 (1)()0,3 (2)()0,10 (3)330,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)2570,32⎛⎫⎪⎝⎭﹒( ) 3. 在坐标平面上﹐过点()2,5P 而与双曲线221254x y -=相切的直线有几条﹕ (1)0 (2)1 (3)2(4)3 (5)4﹒( ) 4. 坐标平面上有一双曲线﹐已知其两焦点为()10,2--与()10,2-﹐一渐近线的斜率为34-﹐问此双曲线的贯轴长度为何﹕ (1)3 (2)4 (3)6 (4)8 (5)16﹒( ) 5. = (1)其长轴长为(2)其短轴长为(3)正焦弦长为(4)长轴的两端点为()6,2-﹑()6,2-- (5)长轴的方程式为0x y +=﹒( ) 6. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()1,0﹑()0,5-﹑()2,11三点﹐则方程式为 (1)245y x x =+- (2)265y x x =-- (3)245y x x =+- (4)2325y x x =+-﹒( ) 7. 通过点()1,1且与椭圆2223x y +=相切的直线方程式为 (1)23x y += (2)210x y -+= (3)23x y += (4)21x y -=﹒( ) 8. 拋物线的方程式为()()()2223465425x y x y +-=-+-﹐那么它的对称轴方程式为 (1)3470x y +-= (2)90x y +-= (3)4380x y --= (4)68310x y +-=﹒( ) 9.如右圖﹐A ﹐B ﹐C ﹐D 四個點中有一點是橢圓的焦點﹐選出該焦點： (1)A (2)B (3)C (4)D ﹒( )10. 下列何者正确﹕ (1)与拋物线恰交于一点的直线是切线 (2)与椭圆恰交于一点的直线是切线 (3)与双曲线恰交于一点的直线是切线 (4)通过()1,3作椭圆2299x y +=的切线恰有一条﹒( )11. 设k 为一常数﹐若方程式222117x y k k +=+-表一椭圆且与双曲线221759x y -=有相同的焦点﹐则k 的值为 (1)9- (2)9-或8 (3)10- (4)10-或9﹒( )12. 已知方程式()()2225423x y x y ⎡⎤-+=+-⎣⎦的图形为拋物线Γ﹐则Γ的正焦弦长为何﹕ (1)(2)(3)(4)5 (5)10﹒( )13. 下列各叙述何者为真﹕ (1)若双曲线的两渐近线互相垂直﹐则此双曲线必为等轴双曲线(2)设a ﹑b ﹑c 为实数﹐方程式22ax by c +=的图形是双曲线⇔0ab < (3)若直线L 与圆锥曲线Γ恰交于一点P ﹐则L 必为Γ的切线 (4)过双曲线的中心可作双曲线的二条切线﹒( )14. 设P 为双曲线22:1916x y Γ-=在第一象限的一点﹐若1F ﹑2F 为Γ的两焦点且12:1:3PF PF =﹐则下列哪些值可能为△12PF F 的周长﹕ (1)18 (2)20 (3)22 (4)24 (5)26﹒( )15. 拋物线的顶点为()1,0﹐焦点为()0,1﹐则下列何者正确﹕ (1)其方程式为()241y x =- (2)其对称轴为10x y --= (3)其方程式为22261070x xy y x y +++-+= (4)其正焦弦长为4 (5)其准线为30x y --=﹒( )16. 求椭圆229436x y +=上的点P 到直线:210L x y +=的最长距离为 (1)15 (2) (3)5( )17. 求拋物线28y x =被直线22x y -=所截的弦长为 (1)40 (2)(3)(4)50﹒ ( )18. 阿光在做习题时﹐遇到一题题目如下﹔「求过点()3,5且与双曲线22:48210x y x y Γ--+-=相切的直线方程式﹒」阿光的作法如下﹔35435821022x y x y ++⨯--⨯+⨯-= ⇒125412510x y x y ---++-= ⇒8480x y --=⇒220x y --=﹒答﹔切线方程式为220x y --=﹒就阿光的作法与答案﹐试判别下列何者为真﹕ (1)作法与答案皆正确(2)作法正确﹐但计算过程中有发生错误﹐使得答案不正确(3)作法正确﹐但答案错误﹐因为切线要有两条﹐所以阿光少写一条铅直切线3x = (4)作法不正确﹐因为()3,5不在双曲线上﹒( )19.同例題1﹐如果調整檯燈罩﹐將其往下壓﹐如圖﹒那麼桌面上S 區域的邊界是下列哪種圓錐曲線的一部分？ (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線﹒( )20. (1)10(2)10+(3)14 (4)15﹒二、多选题( ) 1. 已知一拋物线的焦点为()4,3﹐准线为y 轴﹐则下列哪些点也在此拋物线上？ (1)()2,3(2)()4,7 (3)()4,1- (4)()4,3- (5)()0,3﹒( ) 2. 已知椭圆的长轴平行于x 轴﹐中心为()1,2且通过点()4,6﹐试问下列哪些点一定会在这椭圆上﹕ (1)()3,4 (2)()4,2- (3)()5,6 (4)()2,2-- (5)()2,6-﹒( ) 3. 已知拋物线方程式为284200y x y -++=﹐则 (1)对称轴为2x = (2)顶点()2,2- (3)焦点()2,0 (4)正焦弦长为8 (5)开口向上﹒( ) 4. 直线y x k =+与双曲线22412y x -=的相交关系为 (1)0k =时﹐没有交点 (2)3k =时﹐有一个交点 (3)3k <-时﹐有二个交点 (4)3k >时﹐没有交点 (5)k =时﹐没有交点﹒( ) 5. 下列有关双曲线224x y -=的叙述哪些是正确的？ (1)顶点为()0,2与()0,2- (2)贯轴长为2 (3)贯轴与共轭轴等长 (4)渐近线互相垂直 (5)通过中心可作出两条切线﹒( ) 6. 下列方程式何者表示一个完整的拋物线﹕ (1)()()222253412x y x y +=+- (2)(3)2y -=(4)25410y x y +--= (5)25x y +-﹒( ) 7. 设a ﹑b ﹑c 为实数﹐若二次函数2x ay by c =++的图形通过()1,0且与y 轴相切﹐下列何者为真﹕ (1)0a < (2)0b > (3)1c = (4)240b ac +> (5)0a b c ++≥﹒( ) 8. 已知坐标平面上三点()3,0A ﹐()3,0B -﹐(),P x y ﹐下列叙述哪些是正确的？(1)若8PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (2)若6PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个圆 (3)若4PA PB +=﹐则P 点的轨迹是一个椭圆 (4)若PA PB =﹐则P 点的轨迹是一条直线(5)若3PA PB -=﹐则P 点的轨迹是双曲线的一支﹒( ) 9. 设220ax cy dx ey f ++++=﹐22220a c d e +++≠在坐标平面﹐下列叙述何者正确﹕ (1)若0ac <﹐图形不可能为无图形 (2)0ac =﹐则图形为一直线 (3)0f =时必过原点 (4)若图形为椭圆﹐则0ac > (5)0ac >时图形可能为点﹒( )10. 一双曲线贯轴平行y 轴﹐中心为()1,2-且过()2,4-﹐则下列哪些点也会在双曲线上﹕ (1)()0,3 (2)()1,3- (3)()1,1- (4)()2,0- (5)()0,0﹒( )11. 关于10Γ=﹐则下列何者为真﹕ (1)Γ表一椭圆 (2)Γ表一双曲线 (3)Γ的中心为()2,2- (4)Γ对称于直线20x -= (5)Γ的一顶点为()2,3﹒( )12. 在坐标平面上﹐请问下列哪些直线与双曲线221364x y -=不相交﹕ (1)3y x = (2)32y x =(3)31y x =+ (4)3y x =- (5)100y =﹒( )13. 下列叙述何者正确﹕ (1)已知拋物线上三点﹐可以求出拋物线之方程式 (2)已知顶点及正焦弦长﹐可以求出拋物线之方程式 (3)已知椭圆的两焦点及椭圆上一点﹐可以求出椭圆的方程式 (4)已知椭圆的中心及长轴﹑短轴的长度﹐可以求出椭圆的方程式 (5)已知椭圆的四个顶点坐标﹐可以求出椭圆的方程式﹒( )14. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Γ为拋物线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L必为Γ的切线 (2)Γ为椭圆﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (3)Γ为双曲线﹐L 为一直线﹐若L 与Γ仅有一个交点﹐则L 必为Γ的切线 (4)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐V 为它的一个顶点﹐L 为过V 的对称轴﹐则过V 的切线必与L 垂直 (5)Γ为一圆锥曲线（拋物线、椭圆或双曲线）﹐P 在Γ上﹐则通过P 恰可作一条Γ的切线﹒( )15. 下列各方程式中﹐哪些图形的焦点相同﹕ (1)22192x y -= (2)22129x y -= (3)223824x y -= (4)22143x y += (5)221143x y +=﹒( )16.在()0,0O 有三個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐在()4,0P 有四個同心圓﹐半徑為1﹐2﹐3﹐4﹐如右圖所示﹒A ﹐B ﹐C ﹐D ﹐E ﹐F 在某一個橢圓上﹐則下列有關此橢圓的選項哪些是正確的？ (1)中心為()2,0(2)長軸長為4 (3)短軸長為3 (4)一頂點為9,02⎛⎫⎪⎝⎭(5)一焦點為()4,0﹒( )17. 下列哪些叙述是正确的﹕ (1)()()22321250x y x y -+++-=的图形为两直线 (2)2的图形为双曲线的一支 (3)24y x =与24y x =图形的形状与大小均相同（不论位置） (4)22260x y -+=与22260x y --=图形的形状与大小均相同（不论位置） (5)2262x y =+与2262y x =+图形的形状与大小均相同（不论位置）﹒( )18. 坐标平面上﹐下列哪些直线与双曲线22:149x y Γ+=-不相交﹕(1)230x y -= (2)3210x y -+= (3)210x y -+= (4)320x y += (5)3y =﹒( )19. 一拋物线Γ的方程式为28x y =﹐()P 为Γ上一点﹐今有一平行y 轴的光線自上方射向P ﹐經反射後射到Γ上另一點Q 再反射﹒令1L 為過P 的切線﹐2L 為過Q 的切線﹐1L 和2L 交於R ﹒則下列哪些正確﹖(1)Q 的坐標為23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(2)經過Q 的反射線與y 軸交於()0,1103(3)2L 320y ++= (4)1L 與2L垂直 (5)R 的y坐標為2-﹒( )20. 已知坐标平面上一双曲线Ω的对称轴平行坐标轴﹐贯轴长2﹐图形过()2,10A -﹐()4,10B ﹐()1,4C 三点﹐且这三点不在双曲线的同一支上﹒关于此双曲线﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)Ω的贯轴平行x 轴 (2)Ω与x 轴必相交 (3)Ω与直线5y =没有交点 (4)Ω与直线1x =交于两点 (5)一直线过点()1,4C 且平行于Ω的其中一条渐近线﹐则此直线与Ω交于两点﹒( )21. 设1F 与2F 为坐标平面上双曲线22:1916x y Γ-=的两个焦点﹐P 为Γ上一点﹐使得此三点构成一直角三角形；试问符合条件的P 点有n 个﹐则n =﹕ (1)4n ≥ (2)4n ≤ (3)6n ≥ (4)6n ≤ (5)8n ≥﹒( )22. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)过点()5,0-有两条切线 (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )23. 2=的点(),x y 所成的图形﹐下列叙述何者正确﹕ (1)此图形为一椭圆 (2)此图形为一双曲线 (3)此图形的中心在()1,1-(4)此图形对称于20x y -+= (5)已知此图形上有一点22⎛ ⎝⎭﹐则22⎛ ⎝⎭必也在此图形上﹒( )24. 关于双曲线22:1254y x Γ-=﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)过点()0,0的直线不可能与Γ相切 (2)Γ的共轭双曲线的焦点为(0, (3)斜率为52的切线有两条 (4)斜率为3的切线有两条 (5)斜率为2的直线有可能将双曲线的两支分在此直线的两侧﹒( )25. 设a 与b 为实数﹐关于二元二次方程式22240x ay bx y ++-=的图形Γ﹐下列哪些叙述是正确的﹕ (1)若Γ是一椭圆﹐则0a < (2)若Γ是一双曲线﹐则0a > (3)若Γ是一圆﹐则1a = (4)若Γ是一拋物线﹐则0a =且0b = (5)若0a =且0b =﹐则Γ是一拋物线﹒( )26. 已知()1,2A ﹐()3,1B --﹐()5,5C ﹐:0L x y -=﹐满足下列条件的P 的图形叙述何者正确﹕ (1)0PA PB -=时图形为双曲线的一支 (2)10PB PC +=时图形为椭圆 (3)P 到C 的距离与P 到直线L 的距离相等时为拋物线 (4)15PB PC +=时图形为椭圆 (5)4PA PB -=时图形为双曲线﹒( )27. 下列何者为真﹕ (1)椭圆内接最大面积的矩形﹐此矩形必为正方形 (2)过点()3,4可做2条切线与双曲线221916x y -=相切 (3)过点()0,0可做1条切线与双曲线221916x y -=相切 (4)等轴双曲线的正焦弦长等于贯轴长 (5)若1Γ﹑2Γ互为共轭双曲线﹐又双曲线1Γ的两焦点间的距离为4﹐则2Γ的两焦点间的距离亦为4﹒( )28. 已知等轴双曲线Γ的一条渐近线为0x y +=﹐中心的坐标()1,1-且Γ过点()4,0﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的两渐近线互相垂直 (2)0x y -=为Γ的另外一条渐近线(3)Γ的贯轴在直线1x =上 (4)点()3,1--为Γ的一个焦点 (5)点(1,1-+为Γ共轭双曲线Γ'的一个顶点﹒( )29. 设xy 平面上Γ6=﹐试问下列叙述哪些是正确的﹕ (1)Γ的图形可以当成两个拋物线 (2)Γ的贯轴所在直线是两渐近线的角平分线 (3)3410x y -+=是Γ的对称轴 (4)1711,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点 (5)147,55⎛⎫- ⎪⎝⎭是Γ的顶点﹒( )30. 已知双曲线的两条渐近线方程式为20x y +=与20x y -=﹐两顶点的距离为1﹐下列何者可能是此双曲线的方程式﹕ (1)224161x y -= (2)221641x y -= (3)2241x y -= (4)2241x y -+= (5)2241x y -+=﹒三、填充题1. 求拋物线2112y x x =-+-的焦点坐标为____________﹒2. 设双曲线22:1416x y Γ-=﹐P 为其上动点﹐1F ﹑2F 为其两焦点﹐求(1)若15PF =﹐则2PF =____________﹒(2)若19PF =﹐则双曲线上满足此条件的P 点共有____________个﹒ 3. 设k 为实数且2y x kx k =++的图形与直线21y x =+没有交点﹐则k 的范围为____________﹒ 4. 设直线:32L x y k =+与拋物线2:y x Γ=相切﹐则k 值为____________﹒ 5. 已知拋物线顶点()1,2﹐焦点()1,2-﹐则准线方程式为____________﹒6. 求拋物线2134y x x =-++的焦点坐标为____________﹒7. 设椭圆22:14x y Γ+=与直线1:3L y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒8. 双曲线的方程式为229490x y -+=﹐则共轭双曲线的共轭轴长为____________﹒ 9. 椭圆22114x y +=与直线2y x k =+交于相异两点﹐则k 的范围为____________﹒10. 设L 为过点()1,0-且斜率为m 的直线﹐若L 与拋物线24y x =相交于相异两点﹐则m 的范围为____________﹒11. 双曲线的共轭轴为y 轴﹐贯轴平行x 轴﹐一焦点为()2,2且通过点222,3⎛⎫⎪⎝⎭﹐则其贯轴长为____________﹒12. 拋物线的准线:3L x =﹐焦点()3,0F -﹐则此拋物线方程式为____________﹒ 13. 求椭圆22346850x y x y +-+-=的长轴长为____________﹒14. ()()2241x y x y +-+=的图形为一双曲线﹐其标准式为____________﹒ 15. 双曲线中心为()6,6﹐贯轴平行x 轴﹐贯轴长为10﹐中心至焦点距离为13﹐则(1)其渐近线方程式为____________﹒(2)其共轭双曲线方程式（标准式）为____________﹒ 16. 设一拋物线的顶点为()3,2﹐焦点为()5,2﹐则(1)此拋物线的方程式____________﹒ (2)准线方程式为____________﹒17. 设22:164x y k k Γ+=--（k 为实数）﹐若Γ表一焦点在x 轴上的椭圆﹐则k 的范围为____________﹒18. 曲线222430x xy y x y +++++=与1x y +=-之交点为A ﹑B ﹐则AB =____________﹒ 19. 双曲线()()22211416x y +--=上两点(),m n ﹑(),2m n +﹐则m =____________﹒20.如圖﹐一拋物線鏡滿足方程式22y x =﹐一光線從()5,2平行對稱軸射向鏡面上P 點﹐經反射又射到拋物線鏡面上的Q點﹐則Q 點的坐標為____________﹒21. 椭圆22421610x y x y +--+=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)焦点坐标为____________﹒(3)长轴长为____________﹒ (4)短轴方程式为____________﹒(5)正焦弦长为____________﹒22. xy 平面上三点A ﹑B ﹑C ﹐已知()0,5A ﹐()0,5B -﹐AC =BC =﹐则以A ﹑B 为两焦点且通过C 点的双曲线方程式为____________﹒23. 已知21:45y x x Γ=+-与22:241y x x Γ=-+-交于A ﹑B 两点﹐则直线AB 的方程式为____________﹒24. 若一椭圆的两焦点为()12,3F ﹐()22,3F -﹐长轴长为10﹐试求(1)椭圆的正焦弦长为____________﹒(2)椭圆的方程式为____________﹒ 25.設一光線沿著2y =的直線行進﹐在拋物線22y x =上的兩點B ﹑C 反射（如圖）﹐則CD方程式為____________﹒26. 等轴双曲线Γ的一条渐近线为20x y -=﹐中心的坐标()2,1且Γ过点()3,2﹐则此双曲线Γ的方程式为____________﹒27. 有一拋物线Γ的对称轴为10y +=且准线为1x =﹓若Γ的正焦弦长是12﹐则Γ的方程式为____________﹒28. 已知平面上两点﹐()5,0A -﹐()3,0B ﹐若动点(),P x y 满足﹐则(1)10PA PB +=﹐P 点轨迹为____________﹒ (2)8PA PB -=﹐P 点轨迹为____________﹒29. 设Γ为以()10,0A ﹐()10,0B -为焦点且过(C 的椭圆﹐则(1)Γ的方程式为____________﹒ (2)内接矩形的最大面积为____________﹒ 30.设)4P-为椭圆()222148y x ++=上一点﹐且1F ﹑2F 为椭圆的两焦点﹐12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 31.右圖是一個雙曲線﹐且A ﹑B ﹑C ﹑D ﹑E 五個點中有一為其焦點﹐試判斷其焦點為____________﹒32. 椭圆22:943624360x y x y Γ++++=﹐则Γ的长轴方程式为____________﹒ 33. 过()3,2且与22236x y -=相切的直线方程式为____________﹒34. k 的图形是椭圆﹐则常数k 的范围为____________﹒35. 已知()5,3A -﹐()1,3B --为平面上两点﹐则以A 为顶点﹐B 为焦点的拋物线方程式为____________﹒36. 设双曲线Γ方程式为22491618430x y x y -+++=﹐而1F ﹑2F 是Γ的焦点﹐试回答下列问题﹔(1)两焦点1F 与2F 的坐标为____________﹒(2)若(),P x y 是Γ上的任一点﹐则12PF PF -=____________﹒ (3)两渐近线的方程式为____________﹒37. 设一直线L 与椭圆22312210x y x y ++-+=相切于一点()1,4P -﹐则L 的方程式为____________﹒ 38. 方程式22193x y k k +=--的图形﹐表示椭圆其长轴在x 轴上﹐则k 的范围为____________﹒39.如圖﹐用尺量量看﹐哪一點最有可能是橢圓的焦點﹖答﹕____________﹒ （請填代號）40. 直线20x y t -+=与图形x =t 的范围为____________﹒ 41. 「P 点与()5,0F 之距离」比「P 到直线:80L x +=之距离」多2﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒42. 有一椭圆其一焦点为()2,1-﹐短轴的一端点为()1,4﹐长轴平行y 轴﹐则此椭圆的方程式为____________﹒43. 双曲线方程式为()()2293162144x y ---=﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒ 44. 以()1,1为顶点且通过()3,3A 与()1,3B -的拋物线方程式为____________﹒ 45. P 为椭圆()()221424x y ++-=上一点﹐直线:3412L x y +=﹐则(1)P 到直线L 的最长距离为____________﹒ (2)椭圆对直线L 的正射影长为____________﹒46. 若直线416ax y +=与椭圆221167x y +=相切﹐则a =____________﹒（二解）47. 双曲线的两焦点()12,6F -﹐()22,4F --且通过点()2,4P -﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 48. 平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0和()4,4-且2x y +=为此椭圆的切线﹐则此椭圆的正焦弦长为____________﹒49. 设椭圆22432412240x y x y +-++=﹐则(1)中心坐标为____________﹒(2)正焦弦长为____________﹒50. 直线2y x k =+与2513y x x =-+交于两点P ﹑Q ﹐若3PQ =﹐则k =____________﹒51. 设方程式()()2223151x y k k +-+=-+的图形为贯轴平行y 轴的双曲线﹐则k 的范围为____________﹒52. 若方程式22132x y t t +=--的图形为椭圆﹐则t 的范围为____________﹒53. k =图形为一线段﹐k =____________﹒54. 拋物线253y x x =-++的一切线L 且垂直35x y -=﹐则L 的方程式为____________﹒ 55. 设拋物线的对称轴平行于y 轴且通过()0,3﹑()2,0﹑()4,5-﹐则这拋物线的焦点坐标为____________﹒56. 设22141x y t t +=-+为焦点在y 轴的双曲线﹐则t 的范围为____________﹒57. 双曲线()()2211:1169x y Γ---=﹐试求下列各直线与双曲线Γ的交点个数﹔(1)()3114y x -=-﹔____________个 (2)34y x =﹔____________个 (3)()4113y x -=-﹔____________个 (4)4x =﹔____________个 (5)14y x =﹔____________个﹒ 58. 设一拋物线的对称轴平行于x 轴且过()1,1﹑()3,2﹑()3,1-三点﹐则拋物线方程式为____________﹒59. 双曲线6Γ=﹐则(1)此双曲线的中心点坐标为____________﹒(2)贯轴长为____________﹒60. 设()1,0A ﹐()1,0B -为平面两定点﹐(),P x y 为动点﹐若△PAB 的周长为8且△PAB 的面积为2﹐则22x y +=____________﹒61. 若P 为拋物线2:1y x Γ=-上的动点﹐Q 为圆()22:11C x y +-=上的动点﹐则(1)PQ 的最小值为____________﹒(2)当PQ 有最小值时﹐P 点的y 坐标为____________﹒ 62. 设直线y x k =+与双曲线22412y x -=相切﹐试求(1)切点坐标为____________﹒ (2)定数k 的值为____________﹒63. 平面上双曲线()()2212125144x y -+-=与椭圆()()22212112x y k k-++=+共焦点﹐则k =____________﹒ 64. 已知F 是椭圆的一个焦点﹐1B ﹑2B 是短轴的两个端点且1290B FB ∠=︒﹐1A 是长轴上距离F 较近的一个端点﹐若11A F =﹐则椭圆长轴长为____________﹒ 65. 直线1kx y +=与拋物线28x y =-相切﹐则k =____________﹒66. 等轴双曲线的中心为()7,2且一焦点为()3,2﹐则此双曲线方程式为____________﹒ 67. 方程式轴是铅垂线且过()0,3﹑()2,1﹑()2,9-三点的拋物线为____________﹒ 68. 直线():12L y m x =++与22416x y -=恰有一交点﹐则m =____________﹒ 69. 请将下列各题填入适当的代号﹔(A)椭圆 (B)拋物线 (C)双曲线 (D)线段 (E)二射线 (F)一射线 (G)无图形 (H)双曲线的一部分(1)14x +的图形为____________﹒(2)5=的图形为____________﹒(3)=____________﹒(4)(),P x y ﹐2cos 22sin cos x y θθθ=⎧⎨=⎩﹐0θπ≤≤﹐P 的轨迹图形为____________﹒(5)(),P x y ﹐2sin cos x y θθ=⎧⎨=-⎩﹐θ为实数﹐P 的轨迹图形为____________﹒70. 已知x ﹑y 为实数﹐1z x yi =+﹐2z x yi =-﹐若126z z +=﹐则动点(),P x y 的轨迹图形方程式为____________﹒71. 已知拋物线的焦点()0,0﹐准线20x y ++=﹐若PQ 为正焦弦﹐P 在第二象限﹐则P 的坐标为____________﹒ 72.如圖所示為坐標平面上兩曲線的部分圖形﹐其中之一為橢圓的部分圖形﹐另一個為拋物線的部分圖形﹒已知兩曲線均通過()4,0C 與()4,0D -且皆以y 軸為對稱軸﹐皆以()0,3F -為其焦點﹔又橢圓的中心為原點﹐則此兩曲線的頂點A ﹑B 的距離AB =____________﹒73. 双曲线22:8x y Γ-=﹐点()1,1A ﹐由A 向Γ作切线﹐则切线方程式为____________﹒74. 已知椭圆的长轴平行x 轴且长轴上一个顶点()2,3到两个焦点1F ﹑2F 的距离分别为4及10﹓若椭圆的中心x 坐标小于2﹐则椭圆的方程式为____________﹒（请化成标准式） 75. 已知椭圆221369x y +=有一弦以()2,1为中点﹐含此弦的直线方程式为____________﹒76. 若双曲线2212:19x y a Γ-=上一点P 到此双曲线两渐近线的距离乘积为3613﹐今有一椭圆2Γ与双曲线1Γ共焦点且短轴长为4﹐则椭圆2Γ方程式的标准式为____________﹒77. 设一个拋物线方程式为28y x =﹓今有一椭圆与拋物线的准线相切且拋物线的焦点为椭圆中心﹐拋物线的顶点为椭圆之一焦点﹐则此椭圆的短轴长为____________﹒78. 已知直线y x k =--是拋物线2350x x y +--=的切线﹐则(1)k =____________﹒(2)切点为____________﹒79. 直线L 与22416x y +=相切且斜率为1﹐若切点为(),a b ﹐则1a b -+之值____________﹒ 80. 设E ﹑F 为椭圆2248x y +=的两焦点﹐设椭圆上一点()1,2A ﹐求EAF ∠的角平分线方程式为____________﹒81. 设3AB =﹐P 点在AB 上且1AP =﹐若A 在x 轴上移动﹐B 在y 轴上移动﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒82. 设拋物线通过()3,0﹑()5,6且其对称轴为1x =﹐则其方程式为____________﹒ 83. (),P x y 在2222142x y -=上﹐则22x y +的最小值为____________﹒84. 设()2,4P 为椭圆22242240x y x y +-+-=上一点﹐且F ﹑F '为椭圆的两焦点﹐则FPF '∠的角平分线为____________﹒85. 设4Γ=﹐则(1)共轭轴的长为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 86.某行星繞太陽的軌道為如圖之橢圓﹐太陽位於橢圓軌道之一焦點處﹒據觀測﹐此行星與太陽的最近距離為a 萬公里﹐最遠距離為b 萬公里﹐則 (1)行星位於____________時﹐距太陽的距離恰為a ﹑b 平均值（即距離為2a b+萬公里）﹒ (2)又已知此軌道的正焦弦長為短軸長的35﹐則太陽位置為____________﹒（以上各問題均依圖上所標示參考位置作答）87. 已知拋物线()()2:141x y Γ-=+﹐L 为过点()0,3-与Γ相切的直线﹐其斜率小于0﹐则(1)直线L的方程式为____________﹒(2)切点坐标为____________﹒88. 有一道光线经过()2,6A -沿水平方向前进碰到拋物线2:4y x Γ=上一点P ﹐经反射后通过一点B ﹐已知20PB =﹐求B 点的坐标为____________﹒89. 设圆锥曲线有顶点()2,1﹐焦点()0,0﹐则(1)若为长轴平行于x 轴的椭圆﹐则椭圆方程式为____________﹒ (2)若为拋物线﹐则准线方程式为____________﹒90. 点A 在y 轴上移动﹐点B 在x 轴上移动﹐AB 长度为10﹐P 在AB 上且:2:3AP PB =﹐则P 点的轨迹方程式为____________﹒91. 以(12,1F +﹐(22,1F -为两焦点的椭圆Γ通过点(2Q +﹐则Γ的方程式为____________﹒92. 若双曲线的顶点与焦点分别是椭圆()2294136x y ++=的焦点和顶点﹐则此双曲线的方程式为____________﹒（请化成标准式）93. 拋物线的准线垂直x 轴且过三点()1,0﹑()1,1-﹑()5,1-﹐则此拋物线的焦点坐标为____________﹒94. 设F 与F '为双曲线()()2215:123x y Γ-+-+=上两焦点﹐且有一点P 的坐标为()3,2-﹐试求FPF '∠的角平分线方程式为____________﹒95. 若(),P x y 在椭圆22:440x y Γ+-=上﹐O 为Γ的中心﹐()1,0A 且60POA ∠=︒﹐则PO 长为____________﹒96. 椭圆的对称轴平行于坐标轴﹐一短轴端点为()3,3-﹐一焦点为()6,7-﹐其正焦弦长为____________﹒97. 拋物线的轴垂直于x 轴﹐并通过()1,0-﹑()9,0-﹑()0,18三点﹐则过()1,0-的切线方程式为____________﹒98. 圆锥曲线22:23440x y x Γ---=焦点为1F ﹑2F ﹐若()4,2P 在圆锥曲线上﹐求12F PF ∠的角平分线方程式为____________﹒ 99. 椭圆()()2221100210021100x y --+=在第一﹑二﹑三﹑四象限内的面积依次为1R ﹑2R ﹑3R ﹑4R ﹐则1234R R R R -+-=____________﹒100. 过()3,2A 且与()()21122x y +=-共焦点﹐共对称轴的拋物线方程式为____________﹒101. 两渐近线为20x y +=﹐20x y -=﹐且一焦点为()的双曲线其共轭双曲线方程式为____________﹒102. 坐标平面上有一椭圆﹐已知其焦点为()0,0﹑()4,4且y x =为此椭圆的切线﹐则此椭圆的长轴长为____________﹒103. 与椭圆()()2212194x y -++=共焦点且共轭轴长为4的双曲线方程式为____________﹒104. 双曲线2224810x x y y ---+=上一点112⎛⎫+ ⎪⎝⎭到两渐近线的距离乘积为____________﹒105. 坐标平面上的一直线:40L x y -+=与线外一定点()3,3A ﹒今L 上任一点P 与A 的联机段的中垂线与过点P 并垂直L 的直线相交于Q 点﹐则动点Q 所形成曲线的顶点坐标为____________﹒ 106. 已知正焦弦PQ 的两端点分别为()5,1P -﹐()3,1Q --﹐则拋物线方程式为____________﹒107. 设k 为实数﹐若方程式()2211105y x k k++=--为双曲线﹐则此双曲线的焦点坐标为____________﹒（有两解）108. 设2212518x y +=上一点P 与两焦点F ﹑'F ﹐夹角为60度﹐求△'PFF 的面积为____________﹒109.如圖﹐有一太陽灶﹐它是由拋物線繞軸旋轉而做成的拋物面﹐開口直徑20公寸﹐開口距底部之深為6公寸﹒試問烤肉盤應置於距離底部____________公寸﹐才能將肉烤熟﹒110. 有一个过原点的等轴双曲线中心为()1,2-﹐其中一条渐近线为238x y -=﹐则双曲线方程式为____________﹒（不用化简乘开）111. 椭圆22191x y +=上两点()0,1A -﹐()3,0B ﹐若()00,C x y 为椭圆上另一点﹐则(1)△ABC 面积的最大值为____________﹒(2)()00,C x y =____________﹒112. 设()1,0A -﹐()0,2B ﹐P 是拋物线24y x =上的动点﹐则△ABP 面积的最小值为____________﹒ 113. 已知两圆221:16C x y +=﹐()222:104C x y -+=﹐若动圆C 与1C ﹑2C 均相切﹐则此动圆C 的圆心轨迹方程式为____________﹒ 114.已知橢圓22194x y +=上兩點P ﹑Q 如圖所示（P ﹑Q 是和x 軸夾角為60︒的直線與橢圓之交點）﹔現在想找出P ﹑Q 的坐標﹐則(1)若使用參數式()3cos ,2sin θθ﹐則對P 而言﹐θ與60︒的大小關係為____________（請填60θ<︒﹐60θ=︒﹐60θ>︒）﹒(2)同樣的﹐對Q 而言﹐θ與120︒的大小關係為____________﹒（請填120θ<︒﹐120θ=︒﹐120θ>︒）﹒115. 拋物线的准线方程式为10x y --=﹐焦点坐标为()1,1-﹐则此拋物线的方程式为____________﹒（以220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=形式表示）116. 设()15,0F -﹐()25,0F 为22:1169x y Γ-=的两焦点﹐若AB 为过2F 的任一焦弦﹐则△1ABF 面积的最小值为____________﹒117. 若一动圆与定圆()()22:314C x y +++=外切﹐且与直线:1L x =相切﹐则此动圆圆心的轨迹方程式为____________﹒118. 某行星绕一恒星之轨道为椭圆形且恒星在其一焦点处﹐据观测﹔此行星与恒星的最近距离为100万公里﹐最远距离为140万公里﹐则此椭圆的正焦弦长为____________万公里﹒ 119. 设圆()22:116C x y -+=﹐()1,0A -﹐()7,0B ﹐则(1)通过A 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒ (2)通过B 且与圆C 相切的所有圆的圆心轨迹方程式为____________﹒120. 有一双曲线A 的贯轴方程式是40y +=﹐且点()4,4-是一个焦点；若直线280x y -+=是A 的一条渐近线﹐则A 的方程式为____________﹒ 121. 设椭圆224972x y +=﹐则此椭圆切线斜率为23的切线方程式为____________﹒ 122. 设()5,4A 为平面上一点﹐P 为拋物线212y x =上一点﹐F 为拋物线的焦点﹐则当PF PA +有最小值时﹐P 点坐标为____________﹒123. 设1F ﹑2F 为双曲线221930x y -=的两个焦点﹐且P 为双曲线上一点﹐若12120F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的最短边长度为____________﹒ 124. 已知椭圆与双曲线()22114x y +-=共焦点﹐且椭圆的正焦弦长度等于1﹐则椭圆的方程式为____________﹒125. 在坐标平面上﹐O 为原点﹐1B ﹑2B ﹑3B ﹐……在x 轴上﹐1B 在O 的右边﹐2B 在1B 的右边﹐3B 在2B 的右边﹐……﹐110OB =﹐1230B B =﹐23B B =50﹐1OB ﹑12B B ﹑23B B ﹐……的长度成等差数列﹐分别作正△11OB A ﹑正△122B B A ﹑正△233B B A ﹐……﹐其中1A ﹑2A ﹑3A ﹐……均在第一象限上﹐已知1A ﹑2A ﹑3A ﹐……在一个拋物线上﹐则此拋物线的方程式为____________﹒ 126. 已知一椭圆Γ的两焦点为()3,7F ﹐()'9,1F ﹐若直线2x y +=-为Γ的一切线﹐则Γ的长轴长为____________﹒ 127. 设一曲线方程式为()()()22223341213x y x y +-=-+-﹐则(1)对称轴方程式为____________﹒(2)顶点坐标为____________﹒ 128. 已知圆()()22:219C x y -++=及两点()2,3A ﹐()0,1B -﹐则(1)过点A 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒ (2)过点B 且与圆C 相切的圆之圆心形成的图形方程式为____________﹒129. 拋物线2:8y x Γ=的焦点为F ﹐P 为Γ上的动点﹐点()4,2A -﹐当PA PF +有最小值时﹐此时P点坐标为____________﹒130. 在图中﹐圆O 的圆心为原点﹑半径为4﹐F 的坐标为()6,0﹐Q 在圓O 上﹐P 點為FQ 的中垂線與直線OQ的交點﹐當Q 在圓O 上移動時﹐求動點P 的軌跡方程式為____________﹒ （化成標準式）131. 椭圆22:4936x y Γ+=﹐则(1)若P 为椭圆Γ上的动点且()3,0A -﹐()0,2B -﹐则△PAB 面积最大值为____________﹒ (2)椭圆Γ的内接正方形面积为____________﹒ 132.台南一中大榕樹旁的長方形草皮裝設有灑水系統﹒其中高為1公尺的噴水管OA 直立於地面（如圖）﹐水自噴嘴A 噴出後呈拋物線狀﹐先向上至最高點後落下﹒若最高點離地面2公尺﹐但A 距拋物線對稱軸2公尺﹐則此噴嘴A 經360度旋轉後﹐可噴灑的草地區域為圓形﹐其直徑約為____________公尺﹒（取整數﹐小數點以下四捨五入）133.图形:x y Γ=100x y ++=的正射影（垂直投影）总长度为____________﹒（注意x ﹑y 范围限制）134. 与y 轴相切且与圆22124360x y x y +--+=相外切的圆其圆心的轨迹方程式为____________﹒135. 若P 点为椭圆2213611x y +=上的一点且P 在第一象限﹒今已知P 到焦点()5,0的距离是72﹐则P 点的坐标为____________﹒136. 双曲线Γ的一渐近线为23x y +=﹐Γ过()6,3﹑()4,0﹐又其贯轴（顶点联机）平行x 轴﹐则Γ的方程式为____________﹒137. 平面上与圆()2221x y -+=外切且与圆2249x y +=内切之所有圆的圆心﹐所成图形的方程式为____________﹒ 138. 设椭圆6Γ﹐则(1)在第一象限之顶点的坐标为____________﹒(2)又Γ内接矩形中﹐周长最大者﹐其周长为____________﹒139. 在坐标平面上﹐过()1,0F 的直线交拋物线24y x =于P ﹑Q 两点﹐P 在上半平面且2PF QF =﹐则P 的x 坐标为____________﹒140. 平面上有两点()2,5A ﹐()4,1B --﹐P 为椭圆()()2211194x y +-+=上任一点﹐则△PAB 的最大面积为____________﹒141. 若(),P a b 为椭圆22141x y +=上的任一点﹐则(1)23a b -的最小值为____________﹒(2)此时(),a b =____________﹒142. =____________﹒143. 设P 为椭圆2212516x y +=上一点﹐1F ﹑2F 为两焦点﹐若1260F PF ∠=︒﹐则△12PF F 的面积为____________﹒144. 与直线:120L x +=相切且与圆22:16C x y +=相切的圆其圆心轨迹方程式为____________﹒ 145. 过()3,0F 的直线交拋物线212y x =于P ﹑Q 两点﹐过P ﹑Q 两点作y 轴垂线﹐分别交y 轴于R ﹑S ﹐若:3:1PF FQ =﹐则梯形PQSR 的面积为____________﹒146. 圆()221:11C x y -+=﹐圆()222:125C x y ++=﹐则(1)若动圆C 和圆1C 外切且与圆2C 内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒(2)若动圆C 同时与圆1C ﹑圆2C 均内切﹐动圆C 的圆心所形成的圆锥曲线方程式为____________﹒147. 设k 为一常数﹐已知拋物线Γ=﹐且过点()8,0﹐则Γ的顶点坐标为____________﹒148. 设一拋物线216x y =-﹐焦点F ﹐点()6,5A -﹐若在拋物线上有一点P ﹐使得PA PF +有最小值﹐则(1)P 点的坐标为____________﹒(2)最小值为____________﹒149. 设圆()()22:1236C x y ++-=及圆C 内一定点()3,2A ﹐通过A 点且与圆C 相（内）切的所有圆之圆心的轨迹（即圆心所成的图形）的方程式为____________﹒ 150.已知圓的方程式為()2211x y -+=﹐四邊形OAPQ 為圓內接梯形﹐底邊AO 為圓的直徑且A ﹑O 在x 軸上﹐現有一橢圓以A ﹑O 為焦點﹐且通過P ﹑Q 兩點﹐若1PQ =﹐則此橢圓的短軸長為_____________﹒四、计算题1. 已知一双曲线Γ的两焦点为()2,9F -与()2,3F '--﹐则(1)双曲线Γ方程式为何﹕ (2)Γ的共轭双曲线方程式为何﹕2. 设()()2:122y x Γ-=-﹐一光线沿3y =的直线行进﹐射在Γ上的P 点﹐经反射后又射在Γ上的Q 点﹐试求(1)PQ的方程式﹕ (2)PQ 长度为何﹕3. 自点()2,0作拋物线224y x x =-+的切线﹐试求(1)切线方程式﹒(2)切点﹒4. 下列叙述何者正确﹕(1)方程式222240x y x y k +-++=的图形是一个椭圆的充要条件是3k <﹒ (2)5的图形是一个椭圆﹒(3)椭圆()()22131916x y +-+=的正焦弦长为92﹒5. 已知一双曲线的顶点与焦点分别与椭圆221167x y +=的焦点与顶点相同﹐求此双曲线的方程式﹒6. 下列1～5各小题的方程式图形为何﹕请在(A)～(J)各项中选出对应的图形：(A)没有图形 (B)一线段 (C)一直线 (D)一射线 (E)两射线 (F)两相交直线 (G)双曲线 (H)拋物线 (I)椭圆 (J)双曲线的一支 (1)2248230x y x y ---+=﹒(2)()()()2222112x y x y ⎡⎤-+-=+-⎣⎦﹒10=﹒7=﹒2x =+﹒7. 设拋物线()()()22253122x y x y ⎡⎤-+-=-+⎣⎦﹐则(1)对称轴方程式﹒(2)顶点坐标﹒8. 若椭圆两焦点为)1F ﹐()2F ﹐切线L 为5x y +=﹐求此椭圆方程式﹒9. 已知()222210:x y x y aΓ++=+的图形为拋物线﹐则(1)a =﹕(2)Γ的顶点坐标﹒10. 已知直线2y x k =+与拋物线24y x =相切﹐求(1)k 的值﹒ (2)切点坐标﹒11. 试求过拋物线2432y x x =-+上一点()1,3P 所作的切线方程式﹒12. 设P 为椭圆22916144x y +=上一点﹐且P 到直线:10L x y +=的距离最短﹐求P 点坐标﹒13. 拋物线Γ﹐则(1)准线方程式﹒(2)对称轴方程式﹒(3)焦点坐标﹒(4)顶点坐标﹒(5)正焦弦长﹒14. 双曲线的两焦点()118,1F ﹐()212,1F -﹐有一渐近线的斜率为34﹐求此双曲线的方程式﹒ 15.某彗星的軌道為一拋物線﹐而以太陽為焦點﹐當彗星與太陽的距離為4百萬公里時﹐兩者連線與拋物線的軸成60︒﹐如右圖所示﹒問當彗星與太陽的連線垂直拋物線的軸時﹐兩者的距離為何？16. 在水槽边两点3,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭﹐3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭同时作相同的圆形水波﹐图中的实线同心圆代表波峰（连续的波峰相距2单位）﹐虚线同心圆代表波谷（连续的波谷相距2单位）﹒若水槽中遇到来自A ﹑B 两点的波峰同时到达﹐则出现如图中P 点所形成的亮线；但若遇到波峰与波谷同时到达﹐则形成图中暗线的轨迹﹒很明显地﹐AB 的中垂线是中央亮线﹐则(1)离中央亮线最近的第一条亮线（即P 点所在的曲线）所满足的方程式为何﹕(2)在平行AB 且相距10单位处设一屏障（如图）﹐若中央亮线与此屏障的交点是H ﹐最近的第一条亮线与此屏障的交点是Q ﹐则HQ 的距离为何﹕17. 试求下列锥在线点T 的切线T L 与法线N L 方程式各为何﹕(1)28y x =﹐9,62T ⎛⎫⎪⎝⎭﹒ (2)229425x y +=﹐()1,2T -﹒ (3)22235x y -=﹐()2,1T -﹒。

高中数学竞赛试题圆锥曲线

高中数学竞赛试题圆锥曲线摘要：一、引言1.高中数学竞赛简介2.圆锥曲线在竞赛中的重要性二、圆锥曲线的定义和分类1.圆锥曲线的定义2.圆锥曲线的分类a.椭圆b.双曲线c.抛物线d.圆三、圆锥曲线的性质和公式1.椭圆的性质和公式2.双曲线的性质和公式3.抛物线的性质和公式4.圆的性质和公式四、圆锥曲线的解题技巧1.椭圆的解题技巧2.双曲线的解题技巧3.抛物线的解题技巧4.圆的解题技巧五、高中数学竞赛试题中的圆锥曲线案例分析1.椭圆题目案例分析2.双曲线题目案例分析3.抛物线题目案例分析4.圆题目案例分析六、结论1.圆锥曲线在高中数学竞赛中的重要性2.提高解题技巧，提高竞赛成绩正文：一、引言高中数学竞赛是我国一项重要的学科竞赛活动，旨在选拔和培养具有数学天赋和兴趣的学生。

在竞赛中，圆锥曲线是一个重要的知识点，占据着较大的比重。

因此，对于参加高中数学竞赛的学生来说，掌握圆锥曲线的相关知识和解题技巧至关重要。

二、圆锥曲线的定义和分类圆锥曲线是由一个圆锥与一个平面截面相交所形成的曲线。

根据截面的角度和位置，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线、抛物线和圆四种类型。

1.椭圆：当平面截面与圆锥的轴线呈椭圆截面时，所得到的曲线称为椭圆。

椭圆有两个焦点，满足到两个焦点的距离之和为常数的点的集合。

2.双曲线：当平面截面与圆锥的轴线呈双曲线截面时，所得到的曲线称为双曲线。

双曲线有两个焦点，满足到两个焦点的距离之差为常数的点的集合。

3.抛物线：当平面截面与圆锥的轴线呈抛物线截面时，所得到的曲线称为抛物线。

抛物线有一个焦点，满足到焦点的距离等于到准线的距离的点的集合。

4.圆：当平面截面与圆锥的轴线呈圆截面时，所得到的曲线称为圆。

圆有一个圆心，满足到圆心的距离等于常数的点的集合。

三、圆锥曲线的性质和公式1.椭圆的性质和公式：椭圆的离心率、长轴、短轴、焦距等性质和公式。

2.双曲线的性质和公式：双曲线的离心率、实轴、虚轴、焦距等性质和公式。

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ，联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。

高中数学圆锥曲线试题含答案

理数圆锥曲线1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=()A. B. C. D.[答案] 1.A[解析] 1.由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,∴cos∠AF2F1===.故选A.2. (2014大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1[答案] 2.A[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为+=1,选A.3. (2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.3[答案] 3.B[解析] 3.设|PF1|=m,|PF2|=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-=1的()A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等[答案] 4.A[解析] 4.∵0<k<9,∴9-k>0,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是()A.5B.+C.7+D.6[答案] 5.D[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),则|MQ|====≤5,故|PQ|max=5+=6.6.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案] 6.A[解析] 6.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1[答案] 7.A[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（）A． B． C．D．[答案] 8. B[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得，，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，所以直线的方程为，故选B．9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（）A. B.C. D.[答案] 9. D[解析] 9. 因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.[答案] 10.[解析] 10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1①,+=1②.①、②两式相减并整理得=-·.把已知条件代入上式得,-=-×,∴=,故椭圆的离心率e==.11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.[答案] 11.1+[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p>0)经过C、F两点,从而有即∴b2=a2+2ab,∴-2·-1=0,又>1,∴=1+.12.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.[答案] 12.x2+y2=1[解析] 12.不妨设点A在第一象限,∵AF2⊥x轴,∴A(c,b2)(其中c2=1-b2,0<b<1,c>0).又∵|AF1|=3|F1B|,∴由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,∴b2=.故椭圆E的方程为x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.[答案] 13.[解析] 13.由得A,由得B,则线段AB的中点为M.由题意得PM⊥AB,∴k PM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,∴e=.14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.[答案] 14. y=3[解析] 14. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.15. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.[答案] 15.查看解析[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2++=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);(ii)当最小时,求点T的坐标.[答案] 16.查看解析[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得解得a2=6,b2=2,所以椭圆C的标准方程是+=1.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).则直线TF的斜率k TF==-m.当m≠0时,直线PQ的斜率k PQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.所以y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率k OM=-,又直线OT的斜率k OT=-,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|====.所以==≥=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.[答案] 17.查看解析[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)·[(y0-kx0)2-4]=0,∴(-9)k2-2x0y0k+-4=0,∴k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,∴k·=,整理得+=13,其中x0≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.18. (2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N. 证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.[答案] 18.查看解析[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,k AB==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N,则===·.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=·=·=,所求定值为==.19. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C 1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.[答案] 19.查看解析[解析] 19.(Ⅰ)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点. 设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.∴a=2,b=1.(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(x P,y P),∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得x P=,从而y P=,∴点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).∴=(k,-4),=-k(1,k+2).∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.20.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF 2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.[答案] 20.查看解析[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(Ⅰ)求C1的方程;(Ⅱ)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.[答案] 21.查看解析[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x 0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲线C:x2+=1.(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨迹的类型;(Ⅱ)如果直线l的斜率为,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的方程.[答案] 22.(Ⅰ)设E(x0,y0),P(x,y),则F(x0,0),∵=3,∴(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),∴代入曲线C中得x2+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)②当0<λ<时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆;(4分)③当λ>时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆;(5分)④当λ<0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线.(6分)(Ⅱ)由题设知直线l的方程为y=x-2,代入曲线C中得(λ+2)x 2-4x+4-λ=0,(7分)令A(x1,y1),B(x2,y2),∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)∴λ>2或λ<0且λ≠-2,x1+x2=,x1·x2=.又·=x1·x2+(y1+2)(y2+2)=3x1·x2==-.(10分)解得λ=-14,(11分)∴曲线C的方程是x2-=1.(12分)22.23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离为坐标原点.（I）求椭圆的方程；（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点，证明：点到直线的距离为定值，并求弦长度的最小值.[答案] 23.（I）由题意得，∴，∴.由题意得椭圆的右焦点到直线即的距离为，∴，∴∴椭圆C的方程为（II）设，直线AB的方程为则，，直线AB的方程与椭圆C的方程联立得消去得整理得则是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，整理得，∴，∴O到直线AB的距离即O到直线AB的距离定值. ……8分∴，当且仅当OA=OB时取“=”号.∴，又，∴,即弦AB的长度的最小值是23.24.(2012广东省“六校教研协作体”高三11月联考,20，14分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.（１）求椭圆的方程；（２）已知动直线与椭圆相交于、两点，①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②已知点，求证：为定值.[答案] 24.（1）由题意得……2分解得，所以椭圆C的方程为.…4分（2）①设，直线方程与椭圆C的方程联立得消去，整理得，……6分则是关于的方程两个不相等的实数根，恒成立，，……7分又中点的横坐标为，所以，解得.…………9分②则，由①知，，所以，…………11分…………12分.…14分24.。

高中数学圆锥曲线试题汇编

高考数学《圆锥曲线》试题汇编1.（湖北文）（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的离心率为63，右焦点为(22,0)。

斜率为1的直线l 与椭圆G交于,A B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P -。

（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求PAB 的面积。

2.福建文11.设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于A.1322或 B.223或 C.122或 D.2332或 3.福建文18.（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x2=4y 相切于点A 。

（1）求实数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.4.上海文22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆222:1x C y m+=（常数1m >），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0)（1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标；（2）若3m =，求PA 的最大值与最小值；（3）若PA 的最小值为MA ，求实数m 的取值范围. 5.天津文（18）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为21,F F ，点),(b a P 满足212F F PF =。

（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于B A ,两点。

若直线2PF 与圆16)3()1(22=-++y x 相交于N M ,两点，且AB MN 85=，求椭圆的方程。

6.全国新课标文（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交与A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值。

圆锥曲线竞赛考试题及答案

竞赛圆锥曲线专题阶段考试（时间120分钟满分140分）一：填空题（本题共8个小题，每题8分共计64分）1.= | 2 x + y – 18 |所表示的曲线是2.过点)0,2007(的所有直线中，过两个有理点（纵坐标与横坐标都是有理数的点）的直线条数为3.如图，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为4.对于每一个整数n ，抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴交于两点,,||n n n n A B A B 表示该两点间的距离，则112220082008||||||A B A B A B +++=5.已知)23,(ππα∈,直线1l ：0cos 1=+-+b y x α，直线2l ：a y x -++ααcos 1sin 0=，1l 与2l 的位置关系是6.若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为7.过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为8已知椭圆222a a x -y =12的焦距是4，则a =二：解答题（9题18分，10题18分，11题20分，附加题20分共计76分）9（本题18分）设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．10、（本题18分）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x轴上，离心率2e =，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于,A A '两点，4AA '=。

竞赛专题_圆锥曲线（附答案）（精华）

竞赛专题圆锥曲线(附答案)(2006XX 集训)1．过椭圆C ：12322yx上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ |=λ｜PH |(λ≥1)。

当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值X 围为（ C ）A ．]33,0(B ．]23,33(C ．)1,33[D ．)1,23(解：设P(x 1, y 1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H 点的坐标为(3, y)。

又∵HQ=λPH ，所以11PQHP ，所以由定比分点公式，可得：y y xx 11)1(3，代入椭圆方程，得Q点轨迹为123)]1(3[222yx ，所以离心率e=)1,33[321322322。

故选C 。

(2007XXB)2．已知椭圆2214xy上一点A 到左焦点的距离为3，则点Ａ到直线433x的距离为（ C ）A ．2B ．2(233)3C ．2(433)3D ．4333(2009XX)3. 已知椭圆192522yx上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425x 的距离为（ C ）。

A．4 B ． 6 C ．152D ．54(2009全国)4.椭圆22221x y abab 上任意两点P ，Q ，若OPOQ，则乘积OP OQ 的最小值为．【答案】22222a ba b【解析】设cos sinP OP OP ，，ππcossin 22Q OQ OQ ，．由P ，Q 在椭圆上，有222221cos sin a b OP ①222221sincos abOQ②①+②得22221111abOPOQ．于是当22222a bOP OQab时，OP OQ 达到最小值22222a b ab．三. 解答题【解】如图，记双曲线在x 轴上的两顶点为A(1, 0)，B(-1, 0)，G 为21F PF 的内切圆在边21F F 上的切点，H 为21F PF 的内切圆在边2PF 上的切点，K 为21F PF 的内切圆在边1PF 上的切点。

圆锥曲线--2023高考真题分类汇编完整版

圆锥曲线--高考真题汇编第一节椭圆1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25 C.35【解析】解法一（利用焦点三角形面积公式）:设122F PF θ∠=，π02θ<<.22212222cos sin 1tan 3cos cos 2cos sin 1tan 5F PF θθθθθθθ--∠====++，解得1tan 2θ=.由椭圆焦点三角形面积公式得1222121tantan 6322F PF F PF S b b θ∠===⨯=△.121211322F PF P P S F F y ===△，解得23P y =.则代入椭圆方程得292P x =，因此302OP ==.故选B.解法二（几何性质+定义）:因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.解法三（向量法）:由解法二知12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.而()1212PO PF PF =+，所以1213022PO PF PF =+===.故选B.2.（2023全国甲卷文科7）设12,F F 为椭圆22:15x C y +=的两个焦点，点P 在C 上，若120PF PF ⋅= ，则12PF PF ⋅=（）A.1B.2C.4D.5【分析】解法一：根据焦点三角形面积公式求出12PF F △的面积，即可解出；解法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，从而122121tan 4512F PF S b PF PF ===⨯⋅ △，所以122PF PF ⋅=．故选B.解法二：因为120PF PF ⋅=，所以1290F PF ∠= ，由椭圆方程可知，25142c c =-=⇒=，所以22221212416PF PF F F +===，又122PF PF a +==22121212216220PF PF PF PF PF PF ++=+=，所以122PF PF ⋅=．故选B.3.（2023新高考I 卷5）设椭圆()2212:11x C y a a +=>，222:14x C y +=的离心率分别为1e ，2e .若21e =，则a =（）A.233B.【解析】11a e a =，232e =，由21e =可得32=，解得233a =.故选A.4.（2023新高考II 卷5）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线y x m =+与C 交于,A B 两点，若1F AB △的面积是2F AB △面积的2倍，则m =（）A.23B.3C.3-D.23-【解析】设AB 与x 轴相交于点(),0D m -，由122F AB F AB S S =△△，得122F DF D=.又12F F =23F D =，则有()3m --=，解得3m =.故选C.第二节双曲线1.（2023新高考I 卷16）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- ，则C 的离心率为.【解析】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设()()()12,0,,0,0,F c F c B n -，由2223F A F B =- 可得52,33A c n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又11F A F B ⊥ 且182,33F A c n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()1,F B c n = ，则()22118282,,03333F A F B c n c n c n ⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，所以224n c =，又点A 在C 上，则2222254991c n a b -=，整理可得2222254199c n a b-=，代入224n c =，可得222225169c c a b -=，即222162591e e e -=-，解得295e =或()215e =舍.故355e =.解法二：由2223F A F B =-可得2223F A F B =，设222,3F A x F B x ==，由对称性可得，13F B x =，由定义可得，122AF x a =+，5AB x =，设12F AF θ∠=，则33sin 55x x θ==，所以422cos 55x a xθ+==，解得x a =，所以1224AF x a a =+=，222F A x a ==，在12AF F △中，由余弦定理可得222216444cos 165a a c a θ+-==，2295a c =，所以355e =.2.（2023全国甲卷理科8）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255 D.455【解析】由5e =，则222222215c a b b a a a +==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离22235521d ⨯-==+，所以弦长221452155AB r d =--.故选D.3.（2023全国甲卷文科9）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()22231x y -+-=交于,A B 两点，则AB =（）A.15B.55C.255D.455【解析】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2b a =.所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心()2,3到渐近线的距离55d ==，所以弦长5AB =.故选D.4.（2023北京卷12）已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，离心率为，则C 的方程为.【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【解析】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca，解得a =，则b =所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=.因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为所以222bc bcPF c a b ==+设2POF θ∠=，则tan θ=第三节抛物线2.（2023全国乙卷理科13，文科13）已知点A 在抛物线2:2C y px =上，则A 到C 的准线的距离为.【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【解析】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.3.（2023新高考II 卷10）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p=，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.第四节直线与圆锥曲线的位置关系1.（2023全国乙卷理科11，文科12）已知,A B 是双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【分析】设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A ，B ，D 通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，设直线AB 的斜率为AB k ,OM 的斜率为k ，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1k =，9AB k =，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得2k =-，92AB k =-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()()22454456144545610∆=⨯-⨯⨯=⨯⨯-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3k =，3AB k =，则:3AB y x =.由双曲线方程可得1a =，3b =，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：4k =，94AB k =，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确.故选D.2.（2023新高考I 卷22）在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【解析】（1）设(,)P x y ，则22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故21:4W y x =+.（2）解法一：不妨设三个顶点,,A B C 在抛物线214y x =+上，且AB BC ⊥，显然,AB BC 的斜率存在且不为0，令222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,AB BC k a b k b c =+=+，1AB BC k k =-，即()()1a b b c ++=-，即1a b b c-+=+，本题等价于证明332AB BC +>，令||||AB BC b c m +=--=，则m b c =-+-，（未知数有,,a b c ，通过转化（放缩），将变量归一）由221ABBC kk =⋅，即()()22221AB BC k k a b b c =++=⋅，不妨设()221AB k a b =+≤，则m b c=-+-b =-+b c ≥--c ≥-()b b c =+-+1b a b=+++()3221a b a b⎡⎤⎣⎦++=+.令a b t +=，则()()1232323323222211223411332t t a b ta b tt t⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥++⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+++==≥=+⎣⎦，当212t =时取等号，又()2321t m t+≥取等时必有21t =，因此取不到等号，所以332m >.解法二：如图所示，先将第一问中的曲线下移14个单位，其表达式为2x y =.不妨设,,A B D 三点在抛物线上，再设()2,A t t 及AB 的斜率为k .由题意知AD 的斜率为1k -，因为11k k ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故而可再使01k <≤，直线AB 的方程()2y t k x t -=-，即2y kx kt t =-+，与曲线联立可得220x kx kt t -+-=，由此可知()222222221211414412AB k x x k k kt t k k kt t k k t=+-=+--=+-+=+-同理，21112AD t k k=++，由此可知矩形ABCD 的周长ρ满足2211122122k k t t k kρ+-++=+2211122212k k t k t k k=+-+++22t t≥-+①12+2k t tk⎫-+⎪⎭1+k≥②()323222112122=2kkk k⎛⎫++⎪+⎝⎭=322k⎛⎫⎝⎭≥⨯③22⨯==.当1k=时①处取等号，当12,2k t tk-+同号时②处取等号，当212k=时③处取等号，显然三处不能同时取等号，所以矩形ABCD的周长大于.由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，解得所以椭圆的方程为24x y +（2）由题意得，直线2A A P 的方程为y =第五节圆锥曲线综合探究型问题1.（2023全国甲卷理科20）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B 两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px -+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y y ==-=，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一（向量法）：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=，又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要），()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R△()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNF S =-△（当且仅当2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标法）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有21cos MF θ=-，21sin NF θ=+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4θ3π=，即4MFO π∠=时取等号.2.（2023全国甲卷文科21）设抛物线()2:20C y px p =>，直线210x y -+=与C 交于,A B两点，且AB =.（1）求p ；（2）设C 的焦点为F ，,M N 为抛物线C 上的两点，0MF NF ⋅=，求MNF △面积的最小值.【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线的方程22102x y y px-+=⎧⎨=⎩，消x 得()2221y p y =-，即2420y py p -+=，()21212168821042p p p p y y p y y p ∆⎧=-=->⎪+=⎨⎪=⎩，12AB y ==-==，解得2p =，32p =-（舍）.所以2p =.（2）解法一：由（1）知，抛物线的方程为24y x =，()1,0F ，设()33,M x y ，()44,N x y ，()233331,1,4y FM x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，()244441,1,4y FN x y y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，又FM FN ⊥ 得22343411044y y y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22223434341164y y y y y y +++=.又()()22222233434434111111111222442164MNFy y y y y y S FM FN x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅==++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ △()2223434344122816y y y y y y +⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，又22223434341164y y y y y y +++=，得()()22343444y y y y +=-，因此343442y y y y +=-，即()343442y y y y +=-或()3434420y y y y ++-=，得()434222y y y +=-或()343222y y y +=-（这一步至关重要）,()24442214162MNFy S y y ⎡+⎤=⋅+⎢⎥-⎣⎦△或()23332214162y y y ⎡+⎤⋅+⎢⎥-⎣⎦.设()22214,162MNFt S t t t ⎡+⎤=⋅+∈⎢⎥-⎣⎦R △()()22222214148181822442424242t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+-+⎡⎤⎡⎤===-++=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭.又()822t t -+-()822t t-+--则()(214434MNFS-=-△2t -=时，即32t y =-=时取最小值）.解法二（极坐标）：如图所示，设MF 与x 轴正半轴的夹角为θ，则有22,1cos 1sin MF NF θθ==-+，从而有()()()221cos 1sin 1sin cos sin cos MNF S θθθθθθ==-++--△()()()(22224443111112t t t ===-++++-.其中sin cos 4t θθθπ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，显然当且仅当4MFO π∠=时取等号.3.（2023全国乙卷理科20，文科21）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的离心率为3，点()2,0A -在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，求证：线段MN 中点为定点.【解析】（1）依题意，2b =，3c e a ==，则2224b a c =-=，得3a =，c =，曲线C 的方程为22194y x +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线():32PQ y k x -=+，()11:22y AP y x x =++，令0x =，得1122M yy x =+，()22:22y AQ y x x =++，令0x =，得2222N yy x =+.MN 的中点坐标为12120,22y y x x ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，联立直线PQ 的方程和椭圆方程得()22239436y k x x y ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消y 建立关于x 的一元二次方程，()229423360x k x +⎡++⎤-=⎣⎦，即()()222249162416480k x k k x k k +++++=，21222122162449164849k kx x k k k x x k ⎧++=-⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又()()121212121223231123222222k x k x y y k x x x x x x ++++⎛⎫+=+=++ ⎪++++++⎝⎭()2221222121222162416364492323164832482444949k k k x x k k k k k k k x x x x k k --+++++=+⋅=+⋅+++++-+++3=.所以线段MN 过定点()0,3.【评注】本题为2022全国乙卷的变式题，难度有所降低，考查仍为极点、极线的性质，定点()0,3为()2,3P -关于椭圆22194y x +=的极线123x y +=-与y 轴的交点.本题以椭圆中极点极线理论的射影不变性为命题背景，考查椭圆中对称式的计算方法，要求考生具有较强的计算能力.除此之外，如果考生具有先猜再证的解题意识，本题中的定点可以通过极限思想进行猜想.4.（2023新高考II 卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，求证：点P 在定直线上.【解析】（1）设双曲线方程为()22221,0x y a b a b-=>，且22220c a b =+=.又c e a a===，得2a =，因为c =，所以4b =，因此双曲线的方程为221416x y -=.（2）（设点设线）.设()()1122,,,M x y N x y ，:4MN x ty =-.由（1）可得，()()122,0,2,0A A -，则()111:22y MA y x x =++,()222:22yNA y x x =--.联立12,MA NA 的方程，消y 得()()12122222y yx x x x +=-+-，即2121122212112122222266y x y ty ty y y x x x y ty y ty y y +--+=⋅=⋅=----.联立MN 的方程与双曲线221416x y -=，得224416x ty x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()224416ty y --=，即()224132480t y ty --+=.由韦达定理()()221221223244148032414841t t t y y t y y t ∆⎧=---⨯>⎪⎪⎪+=⎨-⎪⎪=⎪-⎩（非对称结构处理）.()12122483412t ty y y y t ==+-，则()()1221212112331221222393236222y y y y y x x y y yy y +--+===--+--+，得1x =-.因此点P 在定直线1x =-上.5.（2023北京卷19）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为53，,A C 分别是E 的上、下顶点，,B D分别是E 的左、右顶点，4AC =.（1）求椭圆E 的方程；（2）点P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线AP 与直线2y =-交于点N .求证：//MN CD .【分析】（1）结合题意得到c a =24b =，再结合222a c b -=，解之即可；（2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解.【解析】（1）依题意，得53c e a ==，则53c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =，所以2224a c b -==，即22254499a a a -==，则29a =，所以椭圆E 的方程为22194x y +=.（2）因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n +=，易得022303BC k +==---，则直线BC 的方程为223y x =--，033PD n n k m m -==--，则直线PD 的方程为()33n y x m =--，联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩，即()332612,326326n m n M n m n m ⎛-+⎫- ⎪+-+-⎝⎭，而220PA n n k m m --==-，则直线PA 的方程为22n y x m-=+，令=2y -，则222n x m --=+，解得42m x n -=-，即4,22m N n -⎛⎫- ⎪-⎝⎭，又22194m n +=，则22994n m =-，2287218m n =-，所以()()()()()()12264122326332696182432643262MN n n m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++--()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+，又022303CD k +==-，即MN CD k k =，显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD .第六节平面几何性质在圆锥曲线中的应用1.（2023全国甲卷理科12）已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则OP =（）A.25C.35【解析】因为1226PF PF a +==①，22212121122cos PF PF PF PF F PF F F +-⋅∠=，即2212126125PF PF PF PF +-⋅=②，联立①②，解得12152PF PF ⋅=，221221PF PF +=.由中线定理可知，()()222212122242OP F F PF PF +=+=，而12F F =，解得302OP =.故选B.2.（2023新高考II 卷10）设O为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于,M N 两点，l 为C 的准线，则（）A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN △为等腰三角形【解析】由题意可得焦点为()1,0F ，所以12p =，2p =，A 正确；联立)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消y 得231030x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y ，由韦达定理得12103x x +=，所以12163MN MF NF x x p =+=++=，B 错误；设MN 的中点为Q ，分别过,,M N Q 向l 作垂线，垂足分别为111,,M N Q ，由梯形中位线性质及抛物线定义可得，()()111111222QQ MM NN MF NF MN r =+=+==，所以以MN 为直径的圆与准线l 相切，C 正确；由上述解题过程知，231030x x -+=，解得121,33x x ==，从而(1,3,3M N ⎛- ⎝⎭，易得OM ON MN ≠≠，OMN △不是等腰三角形，D 错误.综上，故选AC.。

圆锥曲线测试题

圆锥曲线测试题圆锥曲线是高中数学中的一个重要概念，也是数学竞赛中常见的考点之一。

它涉及到抛物线、椭圆和双曲线等不同的曲线形态。

本文将为大家提供一些圆锥曲线的测试题，以帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

请阅读下列问题并尝试解答。

问题一：给定一个二次方程 y = x^2 - 4x + 3，判断其图像是抛物线、椭圆还是双曲线，并说明理由。

问题二：已知一个椭圆的焦点为 F1 和 F2，其长轴长度为 10，短轴长度为 6。

求该椭圆的离心率。

问题三：给定一个双曲线的标准方程为 x^2/16 - y^2/25 = 1，求其焦点坐标和离心率。

问题四：已知一抛物线的焦点为 F(3, 2)，其准线方程为 x = 0。

求该抛物线的顶点坐标和焦距。

问题五：给定一个二次方程 y = -3(x-1)^2 + 4，判断其图像是抛物线、椭圆还是双曲线，并说明理由。

问题六：已知一个椭圆的离心率为 0.6，焦点间的距离为 8。

求该椭圆的长轴长度和短轴长度。

问题七：给定一个双曲线的标准方程为 x^2/9 - y^2/4 = 1，求其焦点坐标和离心率。

问题八：已知一抛物线的顶点坐标为 V(1, -4)，焦距为 6。

求该抛物线的焦点坐标和准线方程。

问题九：给定一个二次方程 y = 2x^2 + 8x + 9，判断其图像是抛物线、椭圆还是双曲线，并说明理由。

问题十：已知一个椭圆的焦点为 F1 和 F2，其长轴长度为 16，离心率为 0.75。

求该椭圆的短轴长度。

以上就是本次的圆锥曲线测试题，希望能够帮助大家巩固和应用所学的知识。

请大家认真思考每个问题，并尝试给出准确的答案。

如果有不理解或者不会的地方，可以查阅相关的教材或向老师求助。

祝大家学业进步！。

高中数学圆锥曲线测试题

圆锥曲线测试题姓名_______________一、选择题（4⨯10分）（）1．双曲线2214x y -=的实轴长为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．12 （）2．抛物线22y x =的准线方程为A ．14y =-B ．18y =-C ．12x =D ．14x =-（）3y 轴上．若焦距为4，则m 等于 A ．4 B ．5 C ．7 D ．8（）4A ．2B ．4C D（）5有相同的焦点，则a 的值为C.4D.10（）6．若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则实数a 等于A.2 C.32D.1（）7 A.长轴长相等 B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等（）8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点,A B 在C 上且关于x 轴对称，点,M N分别为,AF BF 的中点，且AN BM ⊥，则A BC D（）9．且双曲线的一ABCD （）10．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为B.3 二、填空题（5⨯4分）11的离心率2=e ，则=m ________. 12．动圆经过点(3,0)A ，且与直线:3l x =-相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是____________.13．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离为4，则该点P 到抛物线的焦点的距离为_____________14．已知椭圆C 斜率为1的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，则直线l 的方程为___________.三、解答题（10⨯4分）15．求与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程。

16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在x轴上，（1）求抛物线C的标准方程（2）求过点F且与直线OA垂直的直线的方程17．已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为2.直线(1y k x=-）与椭圆C交于不同的两点M,N.（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为3时，求k的值.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一个焦点为)F ，实轴长为2，经过点()2,1M 作直线l 交双曲线C 于,A B 两点，且M 为AB 的中点．（1）求双曲线C 的方程；（2）求直线l 的方程．。

高中数学竞赛试题汇编八《圆锥曲线》

【 2012 四川】设 M是以 F 为焦点的抛物线y24x 上的动点，则MO的最大值是MF(A)3234(D)3(B)(C)333答案： B【 2013 黑龙江】设F1, F2x2y21(a 0, b 0)的左右焦点，若双曲线右分别是双曲线b2a2uuur uuuur uuuur uuur uuuur支上存在一点P，使OP OF2F2P 0，O为原点，且PF1 3 PF2，则该双曲线的离心率是(A)6 2 (B)31(C)3162 2(D)2答案： B【 2012 江西】椭圆x2y21的内接正方形面积是5232答案450. 17【2011 江西】以抛物线y x2上的一点 M（ 1,1 ）为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形△ MAB和△ MCD，则线段 AB 与 CD的交点 E 坐标是答案 ( 1,2) .【 2013 全国】点 A，B 在抛物线y2uuur uuur4x 上满足 OA OB 4 ，O为坐标原点，F为焦点，则S OFA S OFB 答案 2.【 2013 辽宁】椭圆x 2y 21(a b 0) 的离心率为3 ，斜率为 1 且过点 M （ b ，0）的a 2b 22 uuur uuur 12，则该椭圆的方程是直线与椭圆交于A ，B 两点，设 O 为坐标原点，若 OA OB5 答案 x 2y 21.164【 2013 吉林】椭圆x 2y 2 1(a b0) 的四个顶点 A,B,C,D 若菱形 ABCD 的内切圆半径a 2b 2等于椭圆焦距的6，则椭圆的离心率是6答案22【 2011 新疆】已知 O,F 分别为抛物线的顶点和焦点， PQ 为过焦点 F 的弦， |OF|=a,|PQ|=b ，求△ OPQ 的面积 .答案略x 2 y 2 F 1, F 2 ，【 2013 山东】椭圆1 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点43求该平行四边形面积的最大值.答案略2 【 2012 辽宁】设不过原点 O 的直线 l 与椭圆xy 2 1交于 P, Q 两点，且直线 OP 、PQ 、4OQ 的斜率依次成等比数列，求 △OPQ 面积的取值范围 .答案略。

圆锥曲线难题集锦(共75题)

圆锥曲线难题集锦1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}?10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，．:?14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．？￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，．求直线的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点为椭圆：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆有且仅有一个交点．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与轴交于，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ．（1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．（1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—x35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且P 在直线l 的左上方.（1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《AxyOPB37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E .①证明：MD ME ⊥；￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上；（2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．(43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=2其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D.（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2，；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

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