古典概型 课件

(2)记“xy≥8”为事件 B，“3＜xy＜8”为事件 C. 则事件 B 包含的基本事件数共 6 个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)， (4,2)，(4,3)，(4,4)．所以 P(B)＝166＝38. 事件 C 包含的基本事件数共 5 个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以 P(C)＝156.因为38＞156， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
[类题通法] 判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个 特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
[活学活用] 下列试验是古典概型的为________(填序号)． ①从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性 大小 ②同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③ 不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响． 答案：①②④
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事 件空间 Ω 与点集 S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对 应．
因为 S 中元素的个数是 4×4＝16， 所以基本事件总数 n＝16. (1)记“xy≤3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)． 所以 P(A)＝156，即小亮获得玩具的概率为156.
[类题通法] 求解古典概率“四步”法
[活学活用] (山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推 出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图 所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动 时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数 分别为 x，y.奖励规则如下： ①若 xy≤3，则奖励玩具一个； ②若 xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此 项活动． (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明 理由．
8.求解古典概型的概率 [典例] 箱子里有 3 双不同的手套，随机拿出 2 只，记事件 A 表示“拿出的手套配不成对”；事件 B 表示“拿出的都是同一 只手上的手套”；事件 C 表示“拿出的手套一只是左手的，一只 是右手的，但配不成对”． (1)请罗列出所有的基本事件； (2)分别求事件 A、事件 B、事件 C 的概率．
对古典概型的判断
[例 2] (1)向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆 内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
(2)如图所示，射击运动员向一靶心进行射 击，这一试验的结果只有有限个：命中 10 环， 命中 9 环，…，命中 1 环和命中 0 环(即不命 中)．你认为这是古典概型吗？为什么？
[解] (1)试验的所有可能结果是圆面内的所有点．试验的所 有可能结果数是无限的．因此，尽管每一个试验结果出现的可能 性相同，这个试验不是古典概型．
(2)试验的所有可能结果只有 11 个，但是命中 10 环，命中 9 环，…，命中 1 环和命中 0 环(即不命中)的出现不是等可能的， 这个试验不是古典概型．
古典概型的概念及简单的应用
古典概型的概念 掷一枚质地均匀的硬币两次，观察哪一面向上． 问题 1：这个试验共有哪几种结果？基本事件总数是几？ 提示：共有正正、正反、反正、反反次正面向上}包含哪些试验结果？ 提示：正反、反正． 问题 3：问题 2 中事件 A 的概率是多少？ 提示：12.
简单的古典概型的概率计算
[例 3] 现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学 从中任取 2 道题解答．试求：
(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率． [解] (1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次 编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}， {1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}， {5,6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的．
(2)树状图法：树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来 的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较 复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段．树状图法适合 于较复杂的试验的题目．(关键词：结构关系)
[活学活用] 一个不透明的口袋中装有大小形状相同的 1 个白球和 3 个编有不 同号码的黑球，从中任意摸出 2 个球． (1)写出所有的基本事件； (2)求事件“摸出的 2 个球是黑球”包括多少个基本事件？ 解：(1)从装有 4 个球的口袋中摸出 2 个球，基本事件共有 6 个： (白，黑 1)，(白，黑 2)，(白，黑 3)，(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)， (黑 2，黑 3)． (2)事件“摸出的 2 个球是黑球”＝{(黑 1，黑 2)，(黑 1，黑 3)，(黑 2，黑 3)}，包括 3 个基本事件.
用 A 表示“所取的 2 道题都是甲类题”这一事件，则 A 包含 的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共 6 个， 所以 P(A)＝165＝25.
(2)由(1)知任取 2 道题的基本事件共有 15 个，用 B 表示“所 取的 2 道题不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有 {1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共 8 个， 所以 P(B)＝185.
上还是反面朝上．
①写出这个试验的所有基本事件；
②求这个试验的基本事件的总数；
③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些基本事件？
[解] (1)选 C 用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能 结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种可能．
(2)①这个试验包含的基本事件有：(正，正，正)，(正，正， 反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反)；
基本事件及古典概型的概念
基本事件
古典概型
任何两个基本事件是 试验中所有可能出现的基
_互__斥__的__
本事件只有_有__限__个__
特点
任何事件(除不可能事 件)都可以表示成_基__本_ _事__件__的__和__
每个基本事件出现的可能 性_相__等__
对古典概型的认识 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的 两个特征——有限性和等可能性．例如，在适宜的条件下种下一粒 种子，观察它是否发芽．这个试验的基本事件只有两个：发芽、不 发芽．而“发芽”和“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均 等的，所以它不属于古典概型．又如，从规格直径为 300±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽取一件，测量其直径 d，测量值可能是从 299.4 mm 到 300.6 mm 之间的任何一个值，所有可能的结果有无限 多个，因此这个试验也不属于古典概型.
[解题流程]
[类题通法] 古典概型求解三注意
解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公 式．但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注 意以下三个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性． (2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏 常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件． (3)利用事件间的关系 在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事 件的和事件，由公式 P(A1∪A2 ∪A3 ∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋… ＋P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再 用公式 P(A)＝1－P( A )求得．
②这个试验包含的基本事件的总数是 8； ③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下 3 个基本事 件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
[类题通法] 基本事件的两个探求方法
(1)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可 以清楚地弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事 件数，列表法适合于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验 不适合用列表法．(关键词：基本事件的总数)
古典概型的概率公式
[导入新知]
古典概型的概率公式 A包含的基本事件的个数
对于任何事件 A，P(A)＝ 基本事件的总数 .
[化解疑难] 频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同
不同点
相同点
频率计算中的m，n均随随机试
频率
验的变化而变化，但随着试验 次数的增多，它们的比值逐渐
趋近于概率值
古典概型
m n
是一个定值，对同一个随机
的概率 事件而言，m，n都不会变化
都计算了一个
比值
m n
基本事件的计数问题
[例 1] (1)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片中
随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的所有基本
事件数为
()
A．2
B．3
C．4
D．6
(2)连续掷 3 枚硬币，观察这 3 枚硬币落在地面上时是正面朝