常用函数的麦克劳林展开式与无穷小代换

常用函数的麦克劳林展开式与无穷小代换

1、

11−x =1＋x ＋x 2＋⋯＋x n ＋⋯=∑x n ∞n=0，(−1,1)；

2、

11＋x =1−x ＋x 2−x 3＋⋯＋(−1)n x n ＋⋯=∑(−1)n x n ∞n=0，(−1,1)；

3、e x =1＋x ＋1

2！x 2＋⋯＋1n ！x n ＋⋯=∑x n n ！

∞n=0，(－∞,＋∞)； 比较无穷小代换：u →0时，e x －1∼u

4、sinx =x －1

3！x 3＋⋯＋(−1)n 1(2n+1)！x 2n+1＋⋯=∑(−1)n x 2n+1(2n+1)！∞n=0， (－∞,＋∞)；

比较无穷小代换：u →0时，sinu ∼u

5、 cosx =1－1

2！x 2＋⋯＋(−1)n 1(2n)！x 2n ＋⋯=∑(−1)n x 2n (2n)！

∞n=0，(－∞,＋∞)； 比较无穷小代换：u →0时，1－cosu ∼12u 2

6、ln (1+x)=x －12x 2＋⋯＋(−1)n x n+1 n+1＋⋯=∑(−1)n x n+1 n+1∞n=0 ， (－1, 1]；

比较无穷小代换：u →0时，ln (1+u)∼u

7、(1+x)α=1＋αx ＋⋯＋α(α−1)2！x 2＋⋯＋α(α−1)…(α−n ＋1)n ！

x n ＋⋯，(－1,1)； 比较无穷小代换：u →0时，(1+u)α−1∼αu

说明：将给定函数在某点处展成泰勒级数时，常常可以通过变量替换、四则运算、复合以及逐项微分或积分，然后套用以上7个函数展开式来实现。

8、arctanx=∑(−1)n x 2n+12n+1∞n=0，[－1, 1]；(2013年做的数三第四套模拟题)