范德蒙行列式

例13 计算
1111
abc d
D a2 b2 c2 d 2
a4 b4 c4 d 4
解 与范德蒙行列式很接近，只需在第3行与第
4行之间增加一行，再加一列，便可构成5阶范
德蒙行列式，令
1 1 1 11
a b c d x (x a)(x b)(x c)(x d)
f ( x) a2 b2 c2 d 2 x2 (d a)(d b)(d c)
பைடு நூலகம்
(3 2)(4 2) (n 2) [n (n 1)]
n!(n 1)!(n 2)! 2!1!.
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等，将此行 列式化成范德蒙行列式．
从0变到n 1,而是由1递升至n.若提取各列的公因子， 则方幂次数便从0增至n 1，于是得到
1 1 1 1
12
Dn

n!

3 n
1 2n1 3n1 nn1
n! ( xi x j ) ni j1
n!(2 1)(3 1) (n 1)
D恰为f(x)中x3的余子式M45，即 D M45 A45 若将f(x)中按最后一列展开，可知x3的系数为A45 根据范得蒙行列式的结果，可知x3的系数为：
(a b c d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
所以
D (a b c d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
7 利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例12 计算
1 2 3 n
1 22 32 n2 Dn
1 2n 3n nn 解 Dn中各列元素分别是一个数的不同方幂, 但不是
(c a)(c b)
a3 b3 c3 d 3 a4 b4 c4 d 4
x3 x4
(b a)
1111 abc d D a2 b2 c2 d 2 a4 b4 c4 d 4
1 1 1 11
abc d x f (x) a2 b2 c2 d 2 x2
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4