第二章对偶理论与灵敏度分析(运筹学教程)

0 -1/4 1/4 1 1/2 -3/2
-z
15/2 0 0 7/2 3/2
对偶问题的基本性质
1、对称性 对偶问题的对偶是原问题。 2、弱对偶性 若X*是原问题的可行解，Y*是对偶
问题的可行解。则存在CX*≤Y*b 3、无界性 若原问题（对偶问题）为无界解，则其
设备A 设备B 调试工序
产品Ⅰ 产品Ⅱ
0
5
6
2
1
1
利润（元） 2
1
D
15时 24时 5时
x 设 Ⅰ产量––––– 1
x Ⅱ产量––––– 2
如何安排生产， 使获利最多？
max z 2 x1 x2
s.t.
5x2 15
6x1 2x2 24
x1 x2 5
x1, x2 0
厂 家
y 设：设备A —— 元／1 时 y 设备B –––– 元／时2
min w 15 y 24 y 5 y
1
2
3
Ⅰ
Ⅱ
D
设备A
0
5
15时
设备B
6
2
24时
调试工序
1
1
5时
利润（元） 2
1
max z 2x1 x2
s.t.
5x2 15
厂
原
6x1 2x2 24 家
问 题
x1 x2 5 x1, x2 0
一对对偶问题
min w 15 y 24 y 5y
cj
2100
cB xB B
x1
x2
x3
x4
0θ x5
0 x3 15/2 0 0 1 5/4 -15/2 2 x1 7/2 1 0 0 1/4 -1/2 1 x2 3/2 0 1 0 -1/4 3/2
-z
0 0 0 1/4 1/2
cj
15 24 5 0
cB xB b
y1
y2
y3
y4
0θ y5
24 y2 1/4 -5/4 1 5 y3 1/2 15/2 0
A (aij )
X
x1 x2
b1
b
b2 b3
特点：
1． max min 2．限定向量b 价值向量C
其它形式 的对偶
?
（资源向量）
3．一个约束 一个变量。
4． max z的LP约束“ ” min z 的
LP是“ ”的约束。
5．变量都是非负限制。
二、原问题与对偶问题的数学模 型
1．对称形式的对偶
2y1 6y2 5y3 5y3 4
6y1 4y2 3y3 - 3y3 3
y1', y2, y3', y3" 0
令y1’=-y1,y3=y3’-y3”
max w 24 y1 15 y2 30 y3
4 y1 3y2
-7
-2y61yy1-1-604,y，y22y523yy303 ,y34取3 值无约束
4x1 2x2 2x2 6x3 24
3x1
6x2 6x2 4x3 15 5x2 5x2 3x3 30 - 5x2 5x2 3x3 30
max w -24y1 15y2 30y3 - 30y3
4 y1 3y2
-7
- 2y1 - 6y2 5y3 - 5y3 4
三、原问题与对偶问题的对应关 系
原问题（或对偶问题） 对偶问题（或原问题）
目标函数 max z
目标函数 min w
n 个约束
n个变量
约束 约束
max
z
变量 0 变量 0
约束
自由变量
m个变量 变量 0
min
z
m个约束 约束
变量 0
约束
自由变量
约束
目标函数的价值向量 约束条件的限定向量
y 调试工序 –––– 元／3时
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于
用同等数量的资源
收
自己生产的利润。
购
厂家能接受的条件：
出 用同让等代6 y数价2量应的不y资低3 源于 2 5 y自1己生2产y的2 利润y3。 1
收购方的意愿：
单位产品Ⅰ出租 收入不低于2元
单位产品Ⅱ出租 收入不低于1元
第二章 对偶理论与灵敏度分析
§1 单纯形法的矩阵描述 §2 改进单纯形法 §3 对偶问题的提出 §4 线性规划的对偶理论 §5 对偶问题的经济解释——影子价格 §6 对偶单纯形法 §7 灵敏度分析
第1节 线性规划的对偶问题 一、对偶问题的提出
实例：某家电厂家利用现有资源生产两种 产品， 有关数据如下表：
CX AX
b
X 0
m s.tin
w Y b Y A C
Y 0
(Y Y)
非对称形式的对偶问题
min z=7x1+4x2-3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15
x1
0,
5x2 3x3 30 x2取值无约束，x3
0
令x1=-x1’,x2=x2’-x2”, min z=7x1+4x2’-4x2”-3x3
y1 4 y2 3 y1 3y2 2
8 y1 2 y2 4
y1 0, y2无约束
第二节 对偶问题的基本性质 一、单纯形法的矩阵描述
非基变量 基变量
XB
XA
Xs
0 Xs b B
A
I
Biblioteka Baidu
cj-zj
CB
C
0
XB
CB XB B-1b I
cj-zj
0
非基变量 基变量
XA B-1A
Xs B-1I
约束条件的限定向量 目标函数的价值向量
例:
max z 5x1 3x2 2x3 4x4 5x1 x2 x3 8x4 8
s.t 2x1 4x2 3x3 2x4 10
x1,x2 0 x3,x4无约束
对偶问题为
min w 8y1 10y2
5 y1 2 y2 0
s.t.
当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。
情形一：
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b X 0
min
s.t.
w bY AY C
Y 0
情形二：
原问题
对偶问题
ms.tax
z CX AX b
ms.tin
w YA
Yb C
X 0
Y 0
证化 明为标准m s对.ta称x型z
C- CB B-1A - CB B-1
例3
max z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5 5x2 x3 15 6x1 2x2 x4 24 x1 x2 x5 5 min w 15y1 24y2 5y3 0 y4 0 y5 6 y2 y3 y4 2 5y1 2 y2 y3 y5 1
1
2
3
s.t
6y y 2
2
3
对 偶
5y 2y y 1 问
1
2
3
收 购
y ,y ,y 0
1
2
3
厂题
家
原问题
对偶问题
max
s.t.
z CX AX b
min w Yb s.t. AY C
X 0
Y 0
一 般 规 律
3个约 束 2个变
量C (c1, c2 )
2个约束 3个变量
Y (y1,y2,y3 )