高二数学空间向量与立体几何测试题

高二数学 空间向量与立体几何测试题

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是

（ ）

A ．有相同起点的向量

B ．等长向量

C ．共面向量

D ．不共面向量

3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）

A ．//

B ．⊥

C ．也不垂直于不平行于,

D ．以上三种情况都可能

4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于

（ ） A.

627 B. 637 C. 647 D. 65

7

5．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA =a ，CB =b ，1CC =c ， 则1A B = （ ）

A.+-a b c

B. -+a b c

C. -++a b c

D. -+-a b c

6．已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 之间的夹角><,为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．以上都不对

7．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的 （ ）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为

（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

9．已知则35,2,23+-=-+=

（ ） A ．－15

B ．－5

C ．－3

D ．－1

E

M G

D

C

B

A

10．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅ 取得最小值时，点Q 的坐标为

（ ）

A ．131(,,)243

B ．123(,,)234

C ．448(,,)333

D ．447(,,)333

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11．若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ．

12．12、若向量 ()()1,,2,2,1,2a b λ==-，,a b 夹角的余弦值为89

，

则λ等于__________.

13．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，

G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，

以｛AB ，AC ，AD ｝为基底，则GE ＝ ．

14．已知a,b,c 是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c ,则m,n 的夹角为 。

15.在三角形ABC 中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1),若向量n 与平面ABC 垂直，且|m

则n 的坐标为 。

16.已知向量a =(λ+1,0,2λ)，b =(6,2μ-1,2),若a||b,则λ与μ的值分别是 .

三、解答题（本大题共5小题,满分70分）

17．(12分) 已知空间四边形ABCD 的对边AB 与CD ，AD 与BC 都互相垂直，

用向量证明：AC 与BD 也互相垂直． 18．（14分））如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系． （1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；

（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值． 19．（14分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、

PC 的中点．

（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ； （3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 20．（15分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是 1BB ，ＣＤ的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ；

B A D

C

2）．

x

21．（15分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ， DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ；

（3）求二面角D -PB -C 的大小．

空间向量与立体几何(1)

参考答案

11．0 12．－2 13． 4

3

31121+--

14．60° 15。（2，-4，-1），（-2，4，1） 16。1152

，. 三、解答题（本大题共5题，共76分）

17．证明：0=⋅∴⊥CD . 又-= ，

0)(=⋅-∴CD CA CB 即⋅=⋅.……① 0=⋅∴⊥ .

又-= ，0)(=⋅-∴即⋅=⋅.……②

由①+②得：0=⋅+⋅即0=⋅.BD AC ⊥∴. 18． 解：(1) A (2, 2, 0)，B 1(2, 0, 2)，E (0, 1, 0)，D 1(0, 2, 2)

(2)∵ → AB 1 ＝(0, -2, 2)，→ ED 1 ＝(0, 1, 2) ∴ |→ AB 1 |＝22 ，|→

ED 1 |＝5 ，→ AB 1 ·→ ED 1 ＝0－2＋4＝2,

∴ cos 〈→ AB 1 ，→

ED 1 〉 ＝ → AB 1 ·→ ED 1 |→ AB 1 |·|→ ED 1 | ＝1与ED 1所

成的角的余弦值为

10

10

． 19．证：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，设BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A (0, 0, 0)，B (2a , 0, 2b , 0)，

D (0, 2b , 0)，P (0, 0, 2c ) ∵

E 为点，

F 为PC

的中点