4等离子体基础

B B
/B/
z
B
/B/
y
B
/B/
x
等离子体物理 李文君 等离子体物理 李文君
B大
回旋半径小
B小
回旋半径大
/B/
B的梯度使轨道的底部的拉莫尔半径大于顶部的，故引 起了与 ▽B和B 都垂直的漂移。
m rL qB
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dv 电荷运动方程(垂直与磁场): m q (v B ( y )) dt dv x
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▽B∥B
磁镜
带电粒子在一种中间弱、两端强的特殊的磁场 中,当绕着磁力线旋进的粒子由弱磁场区进入两端的 强磁场区域时，就会受到一反向力的作用。这个力 迫使粒子的速度减慢，轨道螺距缩短，然后停下来 并反射回去，反射回去的粒子达管子中心区域后， 又向另一端螺旋前进，达端口后又被反射回来。粒 子就像光在两个镜子之间来回反射，称之为磁镜。
Fz qr B Br
dv B) m q (v dt
r

r
'
给出通常的拉莫尔回旋
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Fr q Bz
F q r Bz z Br

Bz
Br
z 柱坐标
Fz q Br
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缓慢变化的磁场：
2.3.4 有限拉莫尔半径效应 B
/B/
拉莫尔半径
梯度漂移速度
B
/B/
由于回旋半径非常小，无法感知到磁场在空间的非均匀性
磁场强度为无穷大
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无法感知到磁场在空间的非均匀性，没有漂移，只能围绕这根磁 力线运动。即带电粒子被强磁场所约束/被磁感应线套住不能离开。
B
实际上磁场强度不可能无穷，由于磁场强度的有限性而产生有限 的拉莫尔半径以及产生的漂移称为：有限拉莫半径效应！
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磁冻结 （相反的过程）被约束在磁力线上的电荷粒子高速
运动的时候会把约束它的磁场一起带走!
磁云
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vy v sin ct vx , vy , y 用圆周运动代替
B Fx qvy B( y) qvy B0 y( ) ....... y
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B Fx qvy B( y) qvy B0 y( ) ....... y
m
m
dt dv y
dt
qB( y )v y Fx
qB( y )v x Fy
求解这个方程非常困难， B是y的函数！
条件：B缓变！ 假定 B 很小, B可作泰勒展开 .
B B0 ( r ) B ...
回旋中心磁场 拉莫半径位矢 Bz B0 y ( Bz / y ) .......
正电荷回旋运动的方向 总是和方向相反
Bz // B z Fz F// B z Fz z
F// // B
z
平行于磁场方向的磁场梯度引起粒子沿着磁场方向的运动
回旋中心沿磁场的运动 带电粒子在随空间缓慢变化的磁场中运动时，它的磁矩是 一个不变量。
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证明： 已知：F B // //
可以证明dμ / dt =0，即粒子在B变化的区域内运动时，拉莫尔 半径发生变化，但μ 保持不变。这就是磁镜方案的基础。
d // B 推广到一般:沿着磁力线方向的平均力 F// m dt s d // B m // // dt s d 1 B s B 2 [ m // ] dt 2 s t t
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d m q B0 q (r ) B0 dt d c 零级近似 c D m q c B0 未扰动 dt
在洛伦兹力作用下的运动方程：
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有了梯度磁场分量后，各个点 的速度不同，要计算力，需要 考虑一个回旋周期的平均。
//
ˆr e
ˆ e
1 Bz B Br Bz 1 1 B ( )r ( ) ( ( rB ) r z z r r r r
Br Bz 1 1 Br ) ( ( rB ) )z z r r r r
Fy qvx B( y) dt
0
2

2
0
B qv ( cos ct ) B0 qv rL (cos ct ) y
2
1 B qv rL ( ) 2 y
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1 B Fy qv rL ( ) 2 y
qB 2 A rL 回旋周期面积： rL c (2.2.4) c m c 1 回旋周期电流：i q q 2 T 2 m 磁矩： i A
2 m 曲率漂移 / / RC B R 2 qB 2 RC
Rc 1 B 2 r 3 Rc Rc
B
= B R
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m RC B 2 1 2 ( / / ) 2 2 q RC B 2
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m RC B 2 1 2 B R ( / / ) 2 2 q RC B 2 1 RC B 1 2 2 ( m m // ) 2 2 q RC B 2
1 ( B) Z ( rB ) 0 r r
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B
0
1 ( B) Z ( rB ) 0 r r
1 B B r
不能是常数 是r 的函数
Rc 2 Rc B 梯度漂移 2 2 2 m B B m B B m RC B B 2 2 2 2 qB R 2qB B 2qB B B C
Plasma Physics
第二章 单粒子轨道运动
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2.3 带电粒子在非均匀恒定磁场中的运动
（空间分布） 2.3.1 回旋中心漂移近似
带电粒子在电磁场中的运动：回旋运动 +导向中心的运动
由于场的不均匀性，很难给出速度的解析表达式。
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导向中心近似 （不考虑时空尺度较小的回旋运动，用导向中心
0
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B Fy qvx B( y) qvx B0 y( ) ....... y B qv (cos ct ) B0 rL (cos ct ) y 2 B qv ( cos ct ) B0 qv rL (cos ct ) y
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带电粒子在该磁场中所受的洛仑兹力 ˆ ˆ ˆ r z F q B q r z


Bz
Br
z 柱坐标
分量形式:
Br
B
Bz
Fr q Bz z B B 0
Bz
F qr Bz z Br
假设2：磁场主要是沿着z轴方向
B Br r Bz z
Bz 1 0 rBr r r z
B 0
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假设3: Z轴方向磁场的梯度在轴附近变化不大
来自百度文库积分

r
0
Bz rBr dr r z

r
0
rdr
1 Bz Br r[ ]r 0 2 z
B Fy y FB D qB2
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2 m B W B Fy B y 2 B y
2B
磁场梯度引起的漂移速度
B

1 rc B ˆx e 2 B y
B
z
x
/B/ y
由于坐标的任意性
梯度漂移力：
代表粒子） 外场变化时，回旋运动受影响。若外场相对变化小，对回 旋运动的时间空间尺度影响小，则回旋运动近似是完整的，粒 子的运动可以近似用导向中心代表，将场的变化对回旋运动的 影响归结为对导向中心运动的修正
实际情况下，场的非均匀性比较弱－缓变，运动可进行分解：
快回旋运动
常局域磁场中的运动，忽略回旋中心的漂移
弯曲的磁场
柱坐标
ˆr e
1 Fef B R 2 q B m RC B 2 qB RC
2 // 2
ˆ e
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真空中弯曲磁场在半径方向是不均匀的
必须考虑到B的梯度漂移 （稀薄等离子体，不考虑电场）
真空中 B j 1 E =0 0 c 2 t
B
dvx m qB( y )v y Fx dt dv y m qB( y )vx Fy dt
/B B B0 (r )/B ...
Bz B0 y (Bz / y ) .......
vx v cos ct , y rL cos ct
F B
B
1 B B rL 2 B2
梯度漂移速度:
梯度漂移速度垂直与磁感应强度和磁场梯度 离子的漂移速度大于电子的漂移速度，方向相反。 漂移速度与回旋半径成正比 数量级：
B rcB rc ~ ~ 1 B L
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2.3.3 带电粒子的曲率漂移
实际磁场都具有一定的弯曲度，是一种方向的不均匀性。
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设磁力线的曲率半径为Rc，磁感应强度为常数，热运 动使得粒子以vⅡ的切向速度运动时会受到离心力
m /2/ 2 Rc ˆr m / / 2 Fef e Rc Rc
曲率漂移速度
//
B
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2.3.5 回旋中心沿磁场的运动
考虑如图所示的磁场，其磁场强度大小沿z方向变化。 令场轴（柱）对称，则Bθ=0。 由于磁力线的收敛和发散，必然存 在分量Br，这个分量能引起在磁场 中俘获或捕集粒子的力。

Bz
z 柱坐标
Br
|B|随r变化会引起导向中心沿着轴向
假设1： B 0
离子沿着磁力线方向运动
沿着方向的漂移很小
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导向中心位于轴上的那个粒子，对一次回转作平均。
Br
Bz

z
r rL

Bz
轴线上
1 Bz Fz q r 2 z
磁矩：
2 m 2B
B z Fz z
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B qv (sin ct ) B0 rL (cos ct ) y
B qv (sin ct ) B0 qv rL sin ct cos ct y
Fx qvy B( y) dt
0
2

2
0
B qv (sin ct ) B0 qv rL sin ct cos ct y dt
包含: 散度项,
By x By y By z
Bz x Bz y Bz z
梯度项, 剪切项
曲率项,
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假设没有电场，且磁场的方向是均匀的，而磁场的大小不均匀。 磁感应强度的梯度方向与磁场方向垂直： (磁力线是直的但密度增加的情况)
c
vD rc
弱不均匀性条件
缓慢的漂移运动
由于磁场的不均匀性导致回旋轨道的不闭合，产生中心漂移
（在一个回旋周期内）对快运动进行平均
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2.3.2 带电粒子的梯度漂移
磁场的空间变化可用
Bx x Bx B y Bx z
为了约束热核等离子体而把磁场弯成环形，不论怎样改变温度和磁场， 粒子最终都将漂移出环。 1 1 1 1 2 2 m / / T ; m 2 T T 能量均分定理 2 2 2 2 三个自由度 B
z
x
y
二个自由度
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