二重积分复习教案资料

故2I 2 0 .4 I 0 .5 . 54
例 比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),
(1,1), (2,0).
y
解 三 角 形 斜 边 方 程 xy2
1
在 D 内 有 1 x y 2 e ,
D
故 ln x ( y ) 1 ,
D
D
性质３ 对区域具有可加性 (D D 1D 2)
f(x ,y ) d f(x ,y ) d f(x ,y ) d .
D
D 1
D 2
性质４ 若为D的面积1dd.
D
D
性质５ 若在D上， f(x ,y ) g (x ,y )
f(x,y)dg(x,y)d.
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
y x及 y 2所围成的闭区域.
解法一 [X-型]
2
I1 2d xx 2x yd y1 2[xy 2 2]2 xd x
Y 1
解1 法2(2 二x [Yx 2 -3 型)d ]x[x2x 8 4]1 28 9
I1 2d y1 yx yd x1 2[yx 2 2]1 yd y
Y=2
2. 二 重 积 分 f ( x, y)d 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________.
3. 若 f ( x, y) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且
D D1 D2,当 f (x, y) 0 时,
则 f ( x, y)d __________ f ( x, y)d ;
X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
［Y－型］ D : cyd, 1 (y ) x 2 (y ).
f(x ,y )ddd y2(y)f(x ,y )d x .
D
c 1 (y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点.
例 1 求I xyd ,其中 D 是 x 1、
0
0
1 ye y2dy
0
1(1e1) 2
例 4
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
0
0
解 Biblioteka Baidu分区域如图
y 1 x
原式
1
1 y
dy f ( x, y)dx.
0
0
练习题
1.当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2, , n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)
在闭区域 D 上的二重积分，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f ( x, y)d lim 0 i1
D
（二重积分中值定理）
例 估计I
d
的值，
D x2 y2 2xy 16
其中 D： 0 x 1, 0 y 2.
解
f(x,y)
1
, (xy)216
区 域 面 积 2 ,
在D上f (x, y)的最大值 M1 (xy0) 4
f(x ,y )的 最 小 值 m 1 1 (x1 ,y2) 3242 5
X=1
X=Y
1X 2
1 2(y 2 32 y)d y[y 8 4y 4 2]1 28 9
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物
D
线 y x2和 x y2所围平面闭区域.
解 两 曲 线 的 交 点
x y2
yx2 xy2(0,0) ,(1,1),
y x2
(x2
y)dxdy
f (i ,i ) i
★２. 二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
３. 二重积分的性质
性质１ 当 k为常数时，
k f(x,y)d kf(x,y)d .
D
D
性质２ [f(x,y)g(x,y)]d
D
f(x,y)d g(x,y)d .
1
dx
x(x2y)dy
0
x2
D
1 [x 2(xx 2)1(xx 4)]d x 33 .
0
2
140
例 3 求 I e y2d ，其中 D 是由直
D
线 y x, y 1及 y轴所围成的闭区域.
解 Q e y2dy不能用初等函数计算
只 能 用 Y - 型 .
I
1
dy
y e y2 dx
o 12x
于 是 lx n y ) l (x n y ) 2 ,(
因此 ln( x y)d [ln( x y)]2d .
D
D
★４.二重积分的计算
（１）直角坐标系下
［X－型］ D : axb , 1 (x )y2 (x ).
Df(x ,y)da b d x 1 2 ((x x ))f(x ,y)d y .
D
D
形闭区域:3 x 5,0 y 1 .
5、、估计积分 I (x2 4y2 9)d 的值,其中 D 是圆 D 形区域: x 2 y 2 4 .
6. ( x3 3x2 y y3 )d ________________. 其 中
D1
D2
当 f ( x, y) 0时,
则 f ( x, y)d __________ f ( x, y)d .
D1
D2
4.比较下列积分的大小:
1）. ( x2 y2 )d 与 ( x y)3d , 其中 D 是由
D
圆
D
( x 2)2 ( y 1)2 2所围成 .
2）. ln( x y)d与[ln( x y)]2d ,其中 D 是矩
D
★性质６设 M 、m分别是 f ( x, y)在闭区域 D 上的最 大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x, y)d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续， 为D 的面积，则在 D 上至少存在一点( , )使得
f ( x, y)d f ( ,) .
第九章 重 积 分
主要内容
一、主要内容
二 重 积 分
定义 几何意义
性质 计算法
1.二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将
闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
n，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点(i ,i ) ，