专题09 幂函数(原卷版)

数，都不是幂函数.
2. 幂函数的定义与指数、对数函数的定义存在的区别： ①幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数的底数为常数,指数为自变量； ②指数、对数函数的定义域都是唯一确定的,而幂函数的定义域却不尽相同.
3. 幂函数 y＝x ( R) 当指数 在不同范围内时其图象也会随着变化，注意分类讨论思想的运用．
式成立的是( )
A. a b c B. b a c C. c a b
3.
若
a
1
1 2
<
3Fra Baidu bibliotek
2a
1 2
,则
a
的取值范围是
D. c b a
.
【知识清单】
1.幂函数
(1)幂函数的定义 一般地，形如 y＝xα的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)常见的 5 种幂函数的性质
函数特征 y＝x
性质
定义域
R
y＝x2 R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞)
R
奇偶性
奇
偶
奇
1
y＝x2 [0，＋∞)
[0，＋ ∞) 非奇非偶
【巩固提升当堂练】
1. 若幂函数 y (m2 3m 3)x m2 的图象不过原点，则（ ）
A．1 m 2
B． m 1或 m 2
C． m 2
D． m 1
2.若偶函数 y
f x 在 , 0 上单调递减，且 a
2 f 25 ，
b
2 f 35 ，
c
1 f 23 ，则下列不等
2. x 1, y 1, y x 将第一象限分成六部分， x 1 右侧自下而上（左侧自上而下），幂指数依次是 0, 0 1, 1 .
【易错提醒】
1．幂函数 y＝x ( R) ，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量，指数 为常数，这是判断 一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．形如 y mx , y (mx) , y x m(m 0, m 1) 的函
【重点难点突破】
类型一 幂函数的概念
例 1. 下列函数中是幂函数的是（ ）.
1
y
1 x3
;2
y
1
x2
x3; 3 y
2 x; 4 y
x 0;
5
y
x
(其中π为圆周率).
例 2. 函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
例 3.幂函数 y f (x) 的图象经过点 (2, 4) ，则 f (x) 的解析式为（ ）
A． f (x) 2x
B． f (x) x2
类型二 幂函数的图象、性质及其应用
C． f (x) 2x
D． f (x) log 2 x 3
例 4. 已知函数
的图象如图所示,则 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
例 5. 已知
，若
为奇函数，且在
上单调递增，则实数 的值是( )
A. -1，3 B. ，3 C. -1， ，3 D. ， ，3
y＝x－1
{x|x∈R， 且 x≠0} {y|y∈R， 且 y≠0}
奇
2.拓展：
1．在 0,1 上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指
数越大，函数图象越远离 x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至 于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果 幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
2
3
2
2
2
3
5
5
5
例 6. 设 a＝ 5 ，b＝ 5 ，c＝ 5 ，则 a，b，c 的大小关系是( )
A．a＜b＜c
C．c＜a＜b
B．b＜a＜c D．b＜c＜a
例 7. 若幂函数 f x m2 m 1 xm 在 0, 上为增函数，则实数 m 的值为_________.
例 8. 已知 a 3 3 1 2a3 ，则实数 a 的取值范围是_________.