第二章 第10节 函数模型及其应用

第二章 第十节 函数模型及其应用

1.已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地， B 地 停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时t (小时)的 函数表达式是 ( )

A.x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)

B.x ＝60,0 2.5

150,2.5 3.515050,3.5 6.5<

≤≤≤≤

C.x ＝60,0 2.515050,>3.5

t t t t ⎧⎨-⎩≤≤

D.x ＝60,0 2.5

150,2.5 3.515050 3.5< 3. 6.5<5t t t t t ⎧⎪⎨⎪--⎩

≤≤≤(),≤

解析：依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可.

答案：D

2.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每只定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一只羽毛球；②按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍，羽毛球30只，两种优惠方法中，更省钱的一种是 ( )

A.不能确定

B.①②同样省钱

C.②省钱

D.①省钱

解析：①种方法需20×4＋5×(30－4)＝210元，②种方法需(20×4＋5×30)×92%＝211.6元.故①种方法省钱.

答案：D

3.(2010·邯郸模拟)图形M(如图所示)是由底为1，高为1的等腰

三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是

图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数

S (a )的图象大致是 ( )

解析：依题意，当a ≤1时，

S (a )＝22a a (-)

＋2a ＝－2

1

2a ＋3a ； 当1＜a ≤2时，S (a )＝12

＋2a ； 当2＜a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52

； 当a ＞3时，S (a )＝12＋2＋3＝112

， 于是S (a )＝2

13,01

212,122,5,23211,2

<<<>a a a a a a a a ⎧-+⎪⎪

⎪+⎪⎨⎪+⎪⎪⎪⎩≤≤≤3由解析式可知选C.

答案：C

4.(设为x )，则以下结论正确的是 ( )

A.x ＞22%

B.x ＜22%

C.x ＝22%

D.x 的大小由第一年的产量确定

解析：(1＋x )2＝1＋44%，解得x ＝0.2＜0.22.故选B.

答案：B

5.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为 ( )

A.45.606

B.45.6

C.45.56

D.45.51

解析：依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，

∴总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )

＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(x ≥0).

∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元).

答案：B

6.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －

120

Q 2，则总利润L (Q )的最大值是 .

解析：总利润L (Q )＝40Q －120

Q 2－10Q －2 000 ＝－120(Q －300)2＋2 500. 故当Q ＝300时，总利润最大值为2 500万元.

答案：2 500万元

7.手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低4

，则现在价格为2 560元的手机，两年后价格可降为 ( )

A.900元

B.810元

C.1440元

D.160元

解析：半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2560×⎝⎛⎭

⎫1－144＝810. 答案：B

8.某市2008年新建住房100万平方米，其中有25万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5%，其中经济适用房每年增加10万平方米.按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：1.052＝1.10,1.053＝1.16,1.054＝1.22,1.055

＝1.28) ( )

A.2010年

B.2011年

C.2012年

D.2013年

解析：设第n 年新建住房面积为a n ＝100(1＋5%)n ，经济适用房面积为b n ＝25＋10n ，由2b n ＞a n 得：2(25＋10n )＞100(1＋5%)n ，利用已知条件解得n ＞3，所以在2012年时满足题意.故选C.

答案：C

9.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，

已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量

y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t

的函数关系式为y ＝(116

)t －a (a 为常数)，如图所示，根 据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系为 ；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.

解析：(1)设y ＝kt ，由图象知y ＝kx 过点(0.1,1)，则

1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；

由y ＝(116)t －a 过点(0.1,1)得1＝(116

0.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝(116

)t －0.1(t ＞0.1). (2)由(116)t －0.1≤0.25＝14

得t ≥0.6，故至少需经过0.6小时. 答案：(1)y ＝0.110,00.11,0.116>t t t t -⎧⎪⎨⎪⎩

≤≤() (2)0.6

10.赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票的张数分别为 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

解析：该函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题.

设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则

① ② ③ ①

代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－＝13.2(万元)，

当且仅当530.6a b ab =⎧⎨=⎩

时等号成立， 解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.

由于y ＝lg 2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值.

故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

2.4,

0.6,

358,a b c ab x a b c ++=⎧⎪=⎨⎪=++⎩