对数函数及其性质

1 求下列函数的定义域： (1)y＝ log23x－5； (2)y＝ log0.54x－3.
解：(1)由 log2(3x－5)≥0＝log21，得 3x－5≥1，解得 x≥2.所以 原函数的定义域为[2，＋∞)．
(2)由 log0.5(4x)－3≥0， 即 log0.5(4x)≥3＝log0.50.53， 所以 0<4x≤0.53，解得 0<x≤312. 所以，原函数的定义域为(0，312]．
• 1．对数函数：一般地，把函数y＝logax(a>0 ，且a≠1)叫做对数函数．
• ●想一想：如何判断一个函数是对数函数？
• 提示：一个函数为对数函数的条件是：①系 数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③ 自变量为真数．
• 2．对数函数的图象
0<a<1
a>1
• (1)对数函数的图象都经过点(1,0)，且图象都 在第一、四象限．
• 答案：2
5．求函数 y＝log2x＋log331x－2的定义域．
解：由x3>x－0 2>0 3x－2≠1
，得23<x<1 或 x>1，函数的定义域为{x|23<x<1
或 x>1}．
类型一
对数函数的定义域
【例 1】 求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lgx4－－3x；
(2)y＝ log0.14x－3.
解：(1)由4x－－3x>≠00 ，得 x<4 且 x≠3， ∴所求定义域为(－∞，3]∪(3,4)． (2)由4loxg－0.13>4x0－3≥0 ，得44xx－－33>≤01 ， ∴34<x≤1，∴所求定义域为(34，1]．
• 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循 前面已学习过的求函数定义域的方法外，还 要对这种函数自身有如下要求：一是要特别 注意真数大于零；二是要注意底数；三是按 底数的取值应用单调性．
• 类型三
对数函数图象的识别
• 【例3】 已知a>0且a≠1，函数y＝ax与y＝ loga(－x)的图象可能是( )
• 思路分析：由题目可获取以下主要信息： • ①两函数的底数都是a； • ②对数函数的真数为－x. • 解答本题可先由函数定义域判断函数图象的
• 解析：由y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)知 ，图象应在y轴左侧，可排除A、D选项．
• 4．反函数
• 1．函数y＝lg(x＋1)的定义域为( )
• A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
• C．(－1，＋∞)
D．(－1,1)
• 解析：由x＋1>0可得．
• 答案：C
• 2．函数y＝log3x在[1,3]上的值域是( )
• A．R
B．(－∞，1]
• C．[0,1]
D．[0，＋∞)
• 解析：由y＝log3x在[1,3]上是增函数可知 ．
• (2)当0<a<1时，图象向上无限接近y轴；当 a>1时，图象向下无限接近y轴．
• 3．对数函数的性质
• (1)函数的定义域为(0，＋∞)；
• (2)函数的值域为R；
• (3)当0<a<1时函数为减函数，当a>1时函数为 增函数．
• ●想一想：如何利用指数函数的性质来解释 对数函数的性质？
• 提示：把指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)转化为 对数式x＝logay，把x和y互换即得对数函数y ＝logax.
• 类型二
对数函数的图象变换
• 【例2】 作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象 ．
• 解：第一步：作出y＝log2x的图象，如下图(1) ．
• 第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个 单位得y＝log2(x＋1)的图象，如下图(2)．
• 第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的 图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y＝ |log2(x＋1)|的图象，如下图(3)．
• 当a>1时，y＝ax应为增函数，y＝loga(－x)应 为减函数，可知B项正确．
• 而对C项，由图象知y＝ax递减⇒0<a<1⇒y＝ loga(－x)应为增函数，与C图不符．
• 答案：B
• 温馨提示：利用函数代数性质寻找图象的几 何特征，体现了依数论形的思想方法．
• 第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向 上平移2个单位，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图 象，如下图(4)．
• 1．一般地，函数y＝f(x±a)±b(a、b为正数) 的图象可由函数y＝f(x)的图象变换得到．将y ＝f(x)的图象向左或向右平移a个单位可得到 函数y＝f(x±a)的图象，再向上或向下平移b 个单位可得到函数y＝f(x±a)±b的图象(记忆 口诀：左加右减，上加下减)．
• 2．含有绝对值的函数的图象变换是一种对称 变换，一般地，y＝|f(x)|的图象是保留y＝f(x) 图象在x轴上方的部分，并把x轴下方的部分 以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的．
• 2 画出函数y＝log2x2的图象，并根据图象指 出它的单调区间．
• 解：由题意易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0 ，＋∞)，关于原点对称．
• 因为f(－x)＝log2(－x)2＝log2x2＝f(x)， • 所以y＝log2x2是偶函数，它的图象关于y轴对
称．
• 当x>0时，y＝log2x2＝2log2x，因此先画出y＝ 2log2x(x>0)的图象为C1，再作出C1关于y轴对 称的图象C2，C1与C2构成函数y＝log2x2的图 象，如右图所示．
• 答案：C
3.函数 y＝logax 的图象如右图所示，则实数 a 的可能取值是( )
A．5
1 B.5
1
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C.3
D.2
• 解析：由图象知y＝logax为增函数，故a>1.只 有A成立．
• 答案：A
4．已知函数 f(x)＝log5x，则 f(3)＋f(235)＝________. 解析：f(3)＋f(235)＝log53＋log5235＝log5(3·235)＝log525＝2.
• 2.2.2 对数函数及其性质
• 第1课时 • 对数函数的概念、图象与性质
• 目标要求
• 1.初步理解对数函数的概念．
• 2．掌握对数函数的图象和性质．
• 3．通过比较、对照的方法，对比指数函数， 探索研究对数函数的性质，学会研究函数性 质的方法.
• 热点提示 • 1.判断一个函数是否是对数函数． • 2．以对数函数为载体，考查对数函数性质.