对数函数及其性质

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1 求下列函数的定义域: (1)y= log23x-5; (2)y= log0.54x-3.
解:(1)由 log2(3x-5)≥0=log21,得 3x-5≥1,解得 x≥2.所以 原函数的定义域为[2,+∞).
(2)由 log0.5(4x)-3≥0, 即 log0.5(4x)≥3=log0.50.53, 所以 0<4x≤0.53,解得 0<x≤312. 所以,原函数的定义域为(0,312].
• 1.对数函数:一般地,把函数y=logax(a>0 ,且a≠1)叫做对数函数.
• ●想一想:如何判断一个函数是对数函数?
• 提示:一个函数为对数函数的条件是:①系 数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③ 自变量为真数.
• 2.对数函数的图象
0<a<1
a>1
• (1)对数函数的图象都经过点(1,0),且图象都 在第一、四象限.
• 答案:2
5.求函数 y=log2x+log331x-2的定义域.
解:由x3>x-0 2>0 3x-2≠1
,得23<x<1 或 x>1,函数的定义域为{x|23<x<1
或 x>1}.
类型一
对数函数的定义域
【例 1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=lgx4--3x;
(2)y= log0.14x-3.
解:(1)由4x--3x>≠00 ,得 x<4 且 x≠3, ∴所求定义域为(-∞,3]∪(3,4). (2)由4loxg-0.13>4x0-3≥0 ,得44xx--33>≤01 , ∴34<x≤1,∴所求定义域为(34,1].
• 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循 前面已学习过的求函数定义域的方法外,还 要对这种函数自身有如下要求:一是要特别 注意真数大于零;二是要注意底数;三是按 底数的取值应用单调性.
• 类型三
对数函数图象的识别
• 【例3】 已知a>0且a≠1,函数y=ax与y= loga(-x)的图象可能是( )
• 思路分析:由题目可获取以下主要信息: • ①两函数的底数都是a; • ②对数函数的真数为-x. • 解答本题可先由函数定义域判断函数图象的
• 解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知 ,图象应在y轴左侧,可排除A、D选项.
• 4.反函数
• 1.函数y=lg(x+1)的定义域为( )
• A.(0,+∞)
B.(1,+∞)
• C.(-1,+∞)
D.(-1,1)
• 解析:由x+1>0可得.
• 答案:C
• 2.函数y=log3x在[1,3]上的值域是( )
• A.R
B.(-∞,1]
• C.[0,1]
D.[0,+∞)
• 解析:由y=log3x在[1,3]上是增函数可知 .
• (2)当0<a<1时,图象向上无限接近y轴;当 a>1时,图象向下无限接近y轴.
• 3.对数函数的性质
• (1)函数的定义域为(0,+∞);
• (2)函数的值域为R;
• (3)当0<a<1时函数为减函数,当a>1时函数为 增函数.
• ●想一想:如何利用指数函数的性质来解释 对数函数的性质?
• 提示:把指数函数y=ax(a>0,且a≠1)转化为 对数式x=logay,把x和y互换即得对数函数y =logax.
• 类型二
对数函数的图象变换
• 【例2】 作出函数y=|log2(x+1)|+2的图象 .
• 解:第一步:作出y=log2x的图象,如下图(1) .
• 第二步:将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个 单位得y=log2(x+1)的图象,如下图(2).
• 第三步:将y=log2(x+1)的图象在x轴下方的 图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y= |log2(x+1)|的图象,如下图(3).
• 当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)应 为减函数,可知B项正确.
• 而对C项,由图象知y=ax递减⇒0<a<1⇒y= loga(-x)应为增函数,与C图不符.
• 答案:B
• 温馨提示:利用函数代数性质寻找图象的几 何特征,体现了依数论形的思想方法.
• 第四步:将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴方向向 上平移2个单位,得到y=|log2(x+1)|+2的图 象,如下图(4).
• 1.一般地,函数y=f(x±a)±b(a、b为正数) 的图象可由函数y=f(x)的图象变换得到.将y =f(x)的图象向左或向右平移a个单位可得到 函数y=f(x±a)的图象,再向上或向下平移b 个单位可得到函数y=f(x±a)±b的图象(记忆 口诀:左加右减,上加下减).
• 2.含有绝对值的函数的图象变换是一种对称 变换,一般地,y=|f(x)|的图象是保留y=f(x) 图象在x轴上方的部分,并把x轴下方的部分 以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到的.
• 2 画出函数y=log2x2的图象,并根据图象指 出它的单调区间.
• 解:由题意易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0 ,+∞),关于原点对称.
• 因为f(-x)=log2(-x)2=log2x2=f(x), • 所以y=log2x2是偶函数,它的图象关于y轴对
称.
• 当x>0时,y=log2x2=2log2x,因此先画出y= 2log2x(x>0)的图象为C1,再作出C1关于y轴对 称的图象C2,C1与C2构成函数y=log2x2的图 象,如右图所示.
• 答案:C
3.函数 y=logax 的图象如右图所示,则实数 a 的可能取值是( )
A.5
1 B.5
1
1wenku.baidu.com
C.3
D.2
• 解析:由图象知y=logax为增函数,故a>1.只 有A成立.
• 答案:A
4.已知函数 f(x)=log5x,则 f(3)+f(235)=________. 解析:f(3)+f(235)=log53+log5235=log5(3·235)=log525=2.
• 2.2.2 对数函数及其性质
• 第1课时 • 对数函数的概念、图象与性质
• 目标要求
• 1.初步理解对数函数的概念.
• 2.掌握对数函数的图象和性质.
• 3.通过比较、对照的方法,对比指数函数, 探索研究对数函数的性质,学会研究函数性 质的方法.
• 热点提示 • 1.判断一个函数是否是对数函数. • 2.以对数函数为载体,考查对数函数性质.
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