几何体内切球和外接球专题课(完整版)20200502

外接球专题课

类型一：

2.高为多少

3.底面外接圆直径

直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，

OA=OB=OC=OD

AD 这其外接球的直径。

类型二：

1.Rt Rt ABD ACD ∆∆与不一定全等

2.Rt Rt ABD ACD AD

∆∆与共斜边

练习题：

Rt Rt AC AC ABD ACD ∆∆与的公共斜边为，

为外接球的直径

C

2.7,5,51,

10,O O AB BC PA PB PC AC ⊥====已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且求球的体积。

222

AC P AP +PC =AC

AP PC ∴⊥解析：

在三角形中，A C 5003

π为球的直径

体积为

0060,90,3.,2______3,___BAC PBA PCA PB PC P ABC P ABC P ABC P ABC ∠=∠=∠===---在三棱锥中，在三棱锥中点到底面的距离为，则三棱锥的外接球的表面积为6πR t R t A B =A C A B C A B P A C P ∆∆∴∴∆分析：

与全等，

为正三角形

a 22233-()2()2

6

3626a a a A P R =+=∴=∴=

由勾股定理易得：

解得

类型三：

1223

1,,A C =3

==

解析：r r 公共边2

2

2

2

2

1216

R =+2-AC 3

16S=

3

π=

（2）（2r）（r）是否两垂面型？

1=?r 2=?

r 是否两垂面型？

公共边多少？

1=?r 2=?

r 是否两垂面型？

公共边多少？

123=r ,a,3

a

=

r 公共边为=

15

R 解析：由题知2

2

2

222

1

23+2r -2()(2R)63

a a a =-==（2r）（）D

类型四：

2222222222

2

2

22()2(2R )

m n l b c a b a c

a b c ++=+++++=++= 222

2

(2R)2

m n l ++∴=

c 解析：如图所示，长方体的边长分别为a,b和,同一顶点的三棱长分别为m,n和l

222

2

(2R )2

m n l

++=

类型一：

类型二：

类型三：

类型四：

222

2

(2R)

2

m

n l

++

=

c

222

2

(2R)2

m n l

++=

类型五：

121211111AO DO AO DO =M M BC RT O OM O OM O M OO RT O OA OA ∈∆∠∆ 第一步：求出三角形的外接圆半径和，，且；

第二步：在中，已知，且，解三角形求出；第三步：解，求出外接圆半径。

84

B

122

222OO A +(h

R )

R=2r h R r h ∆=+-∴解析：易知为直角三角形

C

2．多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球

的表面积为（ ）

22

+R=2r h h 1.是否为正棱锥？

2.h=?

3.底面外接圆半径？

D

205 3

16π83

2π

多面体的内切球

二、球与多面体的接、切

定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体，

这个球是这个 。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。一、球体的体积与表面积343V R π=球①2

4S R π=球面②多面体的外接球 多面体的内切球

⇒

中截面

设正方体棱长为1

2

14=S R ππ

=甲球的外切正方体的棱长等于球直径。

例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， A. 1:2:3 B. C. D.1:2:31:8:27

33

1:4:9A

B

C D D 1

C 1

B 1

A 1

O

A

1

A C

1

C O

⇒

设为1

2

23

R =球的内接正方体的对角线等于球直径。

2

34=3S R ππ

=丙球外接于正方体

A

B

C

D D 1

C 1

B 1A 1

O

6.习题1：正三棱锥的高为1，底面边长为2求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。

O 1

A

B

E

O

C

D F