2013中考压轴题选讲专题7：几何三大变换问题(排版+答案)

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几何三大变换(习题及答案)

△DEC，使点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上，点 A 的对应点为 D，延长 DE 交 AB
于点 F，则下列结论一定正确的是（）
A．AC=DE
B．BC=EF
C．∠AEF=∠D D．AB⊥DF
A
FE
BC
D
13. 如图，在△OAB 中，顶点 O(0，0)，A(-3，4)，B(3，4)，将△OAB 与正方形 ABCD
A
E
D
G
D1
D2
BHF
C
7. （2019 潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD=2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A′，折痕为 DE．若将∠B 沿 EA′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B′，则 AB=__________．
A
D
B′ E
B
A′
C
8. （2020 宿迁）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，AD= 3 ，P 为 AD 上一个动点，连接 BP，线段 BA 与线段 BQ 关于 BP 所在的直线对称，连接 PQ，当点 P 从点 A 运动到点 D 时，线段 PQ 在平面内扫过的面积为_________．
B
A
4. （2020 上海）如图，在△ABC 中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点 D 在边 BC 上， CD=3，连接 AD．如果将△ACD 沿直线 AD 翻折后，点 C 的对应点为点 E，那么点 E 到直线 BD 的距离为__________． A
B
D
C
1
5. （2020 青岛）如图，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 和点 A 重合，折痕为 EF，EF 与 AC 交于点 O．若 AE=5，BF=3，则 AO 的长为（）

中考数学专题复习：三大几何变换

1平移一般是在需要同时移动两条线段或元素的时候，才考虑的方法．【例1】已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，FG DE ⊥于点H ．⑴ 求证：FG DE =．知识互联网思路导航典题精练题型一：平移变换三大几何变换2⑵求证：FD EG +．【解析】延长GC 到点P ，使得GP DF =，连接EP 、DP ．⑴ ∵DF GP ∥，GP DF =∴四边形DFGP 为平行四边形 ∴FG DP =，FG DP ∥ 又∵FG DE ⊥，∴DP DE ⊥ ∴ADE CDP =∠∠ 在ADE △和CDP △中DAE DCP DA DCADE CDP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴ADE CDP △≌△ ∴DE DP FG ==⑵ 由⑴知道DEP △为等腰直角三角形∴EP ==在EGP △中，EG DF EG GP PE +=+=≥当EG FD ∥时，取到等号．【例2】在Rt △ABC 中，∠A =90°，D 、E 分别为AB 、AC 上的点．⑴ 如图1，CE =AB ，BD =AE ，过点C 作CF ∥EB ，且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G ，连接BF ，请你直接写出EBDC的值； ⑵ 如图2，CE =kAB ，BD =kAE ，12EB DC =，求k 的值．HGFEDCBA P A BCDEFG H图2B 图1FB3DCBA【解析】(1)EB DC =(2)过点C 作CF ∥EB 且CF =EB ，连接DF 交EB 于点G , 连接BF . ∴四边形EBFC 是平行四边形. ∴CE ∥BF 且CE =BF . ∴∠ABF =∠A =90°.∵BF =CE =kAB .∴BFk AB=. ∵BD =kAE ，∴BDk AE=. ∴BF BDAB AE=. ∴DBF ∆∽EAB ∆. ∴DFk BE=,∠GDB=∠AEB . ∴∠DGB =∠A =90°. ∴∠GFC =∠BGF =90°.∵12CF EB DCDC ==. ∴DF DF EB CF==. ∴k .【例3】 ⑴如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，O ⊙的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA ′恰好与O ⊙相切于点A ′（EFA △′与O ⊙除切点外无重叠部分），延长FA ′交CD 边于点G ，则A G ′的长是．⑵将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，若45AD DB ==，，则BC 的长是______________．【解析】 ⑴ 过F 点作FH CD ⊥于H ．典题精练题型二：轴对称变换B421H EDCBAN C'F E B'D C B AABCD B'EFC'MN 则四边形AFHD 是矩形，∴8AF DH FH AD ===，，设AF x =，则根据对称性可知DH CG A F GC x ====′′ ∴8242HG x FG x =-=+，，在Rt FHG △中，90FHG ∠=︒，∴222FH HG FG +=，即()()22288242x x +-=+，解得73x =，∴1943A G x =+=′． ⑵ 将半圆还原，点D 关于BC 的对称点为E ，作CH AB ⊥于H ．根据“翻折”的性质可知12∠=∠，则CD CE AC == ∵CH AB ⊥，则27AH HD HB ===，，BC 2=BH ·AB∴BC ==【例4】把正方形沿着EF 折叠使点B 落在AD 上，B C ''交CD 于点N ，已知正方形的边长为1，求DB N '△的周长．【解析】在B C ''上取点M ，使B M AB ''=，连接BM ．∵AD BC ∥，∴CBB AB B ''=∠∠由翻折得对称性可知MB B CBB ''=∠∠ ∴AB B MB B ''=∠∠ 在ABB '△和MBB '△中AB MB AB B MB B BB BB ''=⎧⎪''=⎨⎪''=⎩∠∠ ∴ABB MBB ''△≌△5∴90B AB B MB ''==︒∠∠，AB MB = 在Rt BNM △和Rt BNC △中 BM BCBN BN =⎧⎨=⎩∴Rt Rt BNM BNC △≌△ ∴MN CN =∴DB N '△的周长为2DB AB DN CN ''+++=．【例5】在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠B =90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC上，将三角板绕点O 旋转． ⑴ 当点O 为AC 中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑵ 当点O 不是AC 中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14AO AC=，求OE OF的值．【解析】（1）① 猜想：222AE CF EF +=. ② 成立.证明：连结OB.典题精练COB A OE图FBA OCEFA BCEF图图题型三：旋转变换CB AOEF6∵AB =BC , ∠ABC =90°,O 点为AC 的中点， ∴12OB AC OC ==,∠BOC =90°,∠ABO =∠BCO =45°. ∵∠EOF =90°，∴∠EOB =∠FOC . 又∵∠EBO =∠FCO ， ∴△OEB ≌△OFC （ASA ）.∴BE =CF. 又∵BA=BC , ∴AE =BF.在RtΔEBF 中，∵∠EBF =90°, 222BF BE EF ∴+=.222AE CF EF ∴+=. （2）解：如图，过点O 作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N . ∵∠B =90°, ∴∠MON =90°. ∵∠EOF =90°,∴∠EOM =∠FON .∵∠EMO =∠FNO =90°，∴△OME ∽△ONF. ∴OM OE ONOF=∵△AOM 和△OCN 为等腰直角三角形， ∴△AOM ∽△OCN ∴OM AO ON OC =.∵14AO AC=， ∴13OE OF=.【例6】 ABC △和DBE △是绕点B 旋转的两个相似三角形，其中ABC ∠与DBE ∠、A ∠与D∠为对应角．⑴如图1，若ABC △和DBE △分别是以ABC ∠与DBE ∠为顶角的等腰直角三角形，且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一条直线上的位置时，请直接写出线段AD 与线段EC 的关系；⑵若ABC △和DBE △为含有30°角的直角三角形，且两个三角形旋转到如图2的位置时，试确定线段AD 与线段EC 的关系，并说明理由；⑶若ABC △和DBE △为如图3的两个三角形，且ACB ∠=α，BDE β∠=，在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角的度数是否改变？若不改变，直接用含α、β的式子表示夹角的度数；若改变，请说明理由．30︒30︒ABCDE图3AB CDE图2图1ED CB AA OBCEF M N7【解析】 ⑴ 线段AD 与线段CE 的关系是,AD EC AD EC ⊥=．⑵ 如图2，连接AD 、EC 并延长，设交点为点F ．∵ABC △∽DBE △ ，∴AB BC BD BE =，∴AB BDBC BE=． ∵90ABC DBE ∠=∠=°，∴1390∠+∠=°，2390∠+∠=°．∴12∠=∠ ． ∴ABD CBE △∽△ ．∴AD ABCE BC=．在Rt ACB △中，30,tan ABACB ACB BC∠=∠=°，∵tan 30=°，∴AD CE =又∵90,30,DBE DEB ∠=∠=°°∴460∠=°， ∴56120∠+∠=°．∵ABD CBE △∽△，∴5307CEB ∠=∠=+∠°，∴7530,61205∠=∠-∠=-∠°°， ∴7690∠+∠=°，∴90DFE ∠=°．即AD CE ⊥．⑶ 在绕点B 旋转的过程中，直线AD 与EC 夹角度数不改变，()180AFE αβ∠=--度．7654321F 30︒30︒AB CD E图28题型一平移变换巩固练习【练习1】如图，已知ABC △，AD BE ∥，若480CBE DAC ==︒∠∠，则C ∠的度数为______．【解析】 60︒. 通过作平行线平移角，使角与角之间联系起来．【练习2】如下图，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +>．【解析】考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系．作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=．（教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），在BB D '△中可得BB BD B D ''+>，即AC BD B D '+>．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +>．题型二轴对称变换巩固练习【练习3】如图矩形纸片ABCD ，5cm AB =，10cm BC =，CD 上有一CDEBA FA BEDCNCDEBAODCBAB'OBDC复习巩固F Q EPDCBAA9DEC B AF 2F 1DEC B A点E ，2cm ED =，AD 上有一点P ，3cm PD =，过P 作PF AD ⊥交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是________cm ．【解析】 134. 解法：过Q 作QM ⊥DC ，设QP =x ，∴QE =x ，∵DE =2，∴2ME x =-∴在Rt △QME 中，22(2)9x x =-+，∴134PQ x ==题型三旋转变换巩固练习【练习4】已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，2DE =，1EC =（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为．【解析】 1或5．题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：顺时针旋转得到1F 点，则11F C =，逆时针旋转得到2F 点，则22F B DE ==，225F C F B BC =+=．【练习5】在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，．将矩形 OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，使得边A B ''与y 轴交于点D ，此时边OA '、B C ''分别与BC 边所在的直线相交于点P 、Q ． ⑴ 如图1，当点D 与点B '重合时，求点D 的坐标； ⑵ 在⑴的条件下，求PQOD的值； ⑶ 如图2，若点D 与点B '不重合，则PQOD的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，请说明理由．（北京东城期末）（图1）（图2）10【解析】 ⑴ ∵将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转α度，得到四边形OA B C '''，且A 、C 的坐标分别为()80-，和()06，， ∴8OA OA '==，6A B AB OC ''===．∴10OB '==． ∴点D 的坐标为()010，． ⑵ ∵10OB '=，6CO =，∴4B C '=． ∵3tan 4CP A B POC CO A O ''=∠=='，且6CO =， ∴92CP =．同理3CQ =． ∴152PQ =，∴34PQ OD =．（或：∵3tan 4CQ CP POC CD CO ==∠=．∴34PQ CQ CP OD CD CO +==+．） ⑶ 如图2所示，作C E '∥OA 交OP 于点E ，∵C E '∥OA ，且PE ∥CQ ， ∴四边形PEC Q '是平行四边形． ∴PQ C E '=．∵C E OD A B A O ''''⊥⊥，，∴9090C EO EOD ODA EOD ''∠+∠=∠+∠=°，°． ∴C EO ODA ''∠=∠．又∵90EOC DA O ''∠=∠=°， ∴C EO ODA ''△∽△． ∴34PQ C E C O OD OD OA ''==='． ∴PQOD的值不会发生改变．（图1）（图2）11【测试1】在四边形ABCD 中，AB CD ∥，2D B =∠∠，AD 和CD 的长度分别为a 和b ，那么AB 的长为________．【解析】自C 点作CE AD ∥交AB 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，AE CD b ==，EC AD a ==．又2AEC D B B ECB ===+∠∠∠∠∠．所以ECB B =∠∠，ECB △是等腰三角形．EB EC a ==，所以AB AE EB a b =+=+．【测试2】如图，已知ABC △中，30CAB B ∠=∠=︒，2AB =，点D 在BC 边上，把ABC △沿AD 翻折使AB 与AC 重合，得AB D '△，则ABC △与AB D '△重叠部分的面积为（） ABC．3- D【解析】A【测试3】如图，正方形ABCD 与正三角形AEF 的顶点A 重合，将△AEF 绕顶点A 旋转，在旋转过程中，当=BE DF 时，∠BAE 的大小可以是________．【解析】15︒或165︒ 课后测图4b a D C B A E A B C D a b 图12D CB'B A AB C DEF。

2013年全国中考数学(169套)选择填空解答压轴题分类解析汇编专题15：几何三大变换问题之平移

编辑一、选择题1. （2013年湖北荆门3分）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【】2. （2013年湖北荆州3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线kyx（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是【】A．1 B．2 C．3 D．43. （2013年湖北荆州3分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形；④)2s 2x =-（0＜x ＜2）；其中正确的是 ▲ （填序号）．4. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是【】A ．16B ．15C ．14D ．135. （2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 1x 2=经过平移得到抛物线21x 2y 2x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A．2 B．4 C．8 D．166. （2013年广西南宁3分）如图，直线1y x2=与双曲线kyx=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线1y x2=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线kyx=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为【】A、3B、6C、94D、92【答案】D。

几何三大变换（讲义及答案）

几何三大变换（讲义及答案）几何三大变换课前预习平移、旋转、轴对称统称为几何三大变换，它们都是变换，只改变图形的，不改变图形的和．请回忆几何三大变换的相关性质，并解决下列问题：1.在坐标系中，我们可以利用平移的性质来求解点的坐标．横坐标加减管左右平移，纵坐标加减管上下平移．如：将点A(2，3) 先向左平移3 个单位，再向上平移2 个单位，则平移后点坐标为A' (-1，5)．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 平行且相等，若A(-1，-1)，B(3，-1)，C(2，1)，则点D 的坐标为．2.当题目中出现等线段共端点时，我们往往考虑利用旋转思想解决问题．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数．（提示：等边三角形有等线段共端点，考虑旋转．将△APC 绕点A 顺时针旋转60°．）1知识点睛1、、统称为几何三大变换．几何三大变换都是，只改变图形的，不改变图形的．2三大变换思考层次平移的思考层次：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：．③新关系：平移会产生．④应用：常应用在、等．旋转的思考层次（旋转结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；；．③新关系：旋转会产生．④应用：当题目中出现的时候考虑旋转结构．轴对称的思考层次（折叠结构）：①全等变换：对应边、对应角．②对应点：；．③新关系：折叠会产生．④应用：常应用在、等．精讲精练1.如图，将周长为8 的△ABC 沿BC 方向平移1 个单位得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A．6 B．8C．10 D．1222.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A1B1，若点A1，B1 的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a +b = ?．第2 题图第3 题图3.如图，AB=CD，AB 与CD 相交于点O，且∠AOC=60°，则AC+BD与AB 的大小关系是（）A．AC +BD >AB B．AC+BD=ABC．AC +BD ≥AB D．无法确定4.如图，在4 ? 4 的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是（）A．点A B．点B C．点C D．点D第4 题图第5 题图5.如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B=120°，OA=2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为．339 346.如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板 ABC 和A ′B ′C ′ 重合在一起，将三角板A ′B ′C ′绕其直角顶点C ′按逆时针方向旋转角α（0 < α≤ 90? ），则下列结论：①当α= 30? 时，A ′C 与 AB 的交点恰好为 AB 的中点；②当α= 60? 时，A ′B ′恰好经过点 B ；③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′．其中正确的是．（填写序号）第 6 题图第 7 题图7.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将线段 OB 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段O′B ，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点 B 逆时针旋转60°得到；②∠AOB =150°；③ S 四边形AOBO' = 6 + 3 ；④ S △ AOB + S △AOC = 6 +．其中正确的是．（填写序号）8.如图，将长为 4cm ，宽为 2cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边的中点 E 处，压平后得到折痕 MN ，则线段 AM 的长为459.如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=8，点E，F 分别在AD，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处，点D 落在点G 处，则下列结论：①四边形CFHE 是菱形；②CE 平分∠DCH；③当点H 与点A 重合时，EF= 2 ．其中正确的是．（填写序号）第9 题图第10 题图10.如图，在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，将纸片折叠，点A，D 分别落在点A′，D′处，且A′D′经过点B，EF 为折痕．当D′F⊥CD 时，CF的值为（）DF3 -12B．36C．2 3 -16D．3 +18 11. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．D 是BC 边上一动点（不与点B，C 重合），过点D 作DE⊥BC，交AB 于点E，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为．52 【参考答案】 ? 课前预习全等位置形状大小 1．(-2，1) 2．150°知识点睛1. 平移、旋转、轴对称全等变换，位置，形状和大小2. 平移的思考层次：①平行（或在同一直线上）且相等，相等②对应点所连线段平行（或在同一直线上）且相等③平行四边形④天桥问题、存在性问题旋转的思考层次（旋转结构）：①相等，相等②对应点到旋转中心的距离相等对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角对应点连线的垂直平分线都经过旋转中心③等腰三角形④等线段共点轴对称的思考层次（折叠结构）：①相等，相等②对应点所连线段被对称轴垂直平分对称轴上的点到对应点的距离相等③垂直平分、等腰三角形④折叠问题、最值问题精讲精练1．C 2．2 3．C 4．B5．( ， ) 6．①②③ 7．①②④628．13cm 89．①③10．A11．1 或27。

2013年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编专题14：几何三大变换问题之轴对称

福州五佳教育锦元数学工作室编辑一、选择题1. （2013年湖南郴州3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于【】A．25°B．30°C．35°D．40°2. （2013年湖北鄂州3分）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=【】A ．6B ．8C ．10D ．123. （2013年湖北随州4分）如图，正方形ABCD 中，AB=3，点E 在边CD 上，且CD=3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG ，CF ．下列结论：①点G 是BC 中点；②FG=FC ；③FGC 9S 10∆=．其中正确的是【】A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4. （2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（12，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为【】A．132B．312C．3192D．27【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，交OB于点D，连接AC′交OB于点P，根据轴对称的知识5. （2013年江苏盐城3分）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】A．4种B．5种C．6种D．7种6. （2013年广西贵港3分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是【】A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④7. （2013年广西崇左3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是【】A ．12B ．18C ．210+D ．2210+8. （2013年辽宁大连3分）P 是∠AOB 内一点，分别作点P 关于直线OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接OP 1、OP 2，则下列结论正确的是【】A ．OP 1⊥OP 2B ．OP 1=OP 2C ．OP 1⊥OP 2且OP 1=OP 2D ．OP 1≠OP 29. （2013年黑龙江绥化3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，3BC=1，D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么△ABE 的面积是【】A．1 B．32C．333+D．1234+二、填空题1. （2013年上海市4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，3tanC2=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为▲ ．2. （2013年重庆市A4分）如图，菱形OABC的顶点O是坐标原点，顶点A在x的正半轴上，顶点B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=600，点D在边AB上，将四边形ODBC沿直线OD翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和点C′处，且∠C′DB′=600。

【中考数学压轴题】十大类型之几何三大变换(含答案)[1]

【中考数学压轴题】十大类型之几何三大变换一、单选题(共1道，每道30分)1.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕，AB=8，AD=4，则四边形ECGF的面积为（）A.6B.10C.12D.16答案：D解题思路：连接AC，交EF于点O，则AC被EF垂直且平分。

OC=OA，∵DC∥AB，∴∠OAE=∠OCF，∠CFO=∠OEA，∴△OFC的面积＝△OAE的面积。

所以所求四边形的面积等于△ACD的面积，为矩形面积一半，即16试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）二、解答题(共2道，每道35分)1.（2009湖南常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别是EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．答案：答：（1）CD=BE．理由如下：∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，∴∠BAE=∠DAC，∴CD=BE．（2）△AMN是等边三角形．理由如下：∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN，∴∠MAB=∠NAC，∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，∴△AMN是等边三角形，设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，易证BE⊥AC，∴，∴，∴，∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，∴．解题思路：（1）利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．（2）证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．试题难度：三颗星知识点：中考压轴之实践操作、问题探究2.如图，抛物线y＝x 2－6x＋8与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线y＝x ＋2交y轴于点C，且过点D（8，m）．左右平移抛物线y＝x 2－6x＋8，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．（1）求线段AB、CD的长；（2）当抛物线向右平移到某个位置时，A′D＋B′D最小，试确定此时抛物线的表达式；（3）是否存在某个位置，使四边形A′B′DC的周长最小？若存在，求出此时抛物线的表达式和四边形A′B′DC的周长最小值；若不存在，请说明理由．答案：（1）（2）（3）存在，抛物线的表达式为，周长的最小值为解题思路：（1）令y＝x 2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由题意知A（2,0），B（4,0），则AB=2；将D（8，m）代入直线表达式y＝x＋2，可计算出D点坐标为（8,6）；C点坐标为（0,2），过D作DE⊥y轴于点E，则DE=8，CE=4，在Rt△CDE中，由勾股定理知（2）类似于“奶站模型”：我们可以认为A、B两定点为居民区，动点M在直线DE上运动为送奶站，要确定M点的位置，保证AM+BM最小；然后把A、B、M三点连同奶站模型和抛物线一起向右平移，当M点与D点重合时，M点向右平移几个单位，说明抛物线向右平移几个单位，此时A、B分别与A′、B′重合，能保证A′D＋B′D最小。

中考数学几何三大变换相关问题压轴题解析汇编

中考数学几何三大变换相关问题压轴题解析汇编专题7：几何三大变换相关问题.29. （2012黑龙江大庆9分）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)，C″(2,1)，D(－4，1)，A(0， )，B( ，O)( 0).（1）结合坐标系用坐标填空．点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称（2）设点C关于点(4，2)的对称点是点P，若△PAB 的面积等于5，求值．【答案】解：（1）（﹣1，3）；（2，2）；（﹣1，2）。

（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），△PAB的面积= （1+a）×6﹣ a2﹣×1×（6﹣a）=5，整理得，a2﹣7a+10=0，解得a1=2，a2=5。

所以，a的值为2或5。

【考点】网格问题，坐标与图形的对称变化，坐标与图形性质，三角形的面积。

【分析】（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可：由图可知，点C与C′关于点（﹣1，3）对称；点C与C″关于点（2，2）对称；点C与D关于点（﹣1，2）对称。

（2）先求出点P的坐标，再利用△APB所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解。

30. （2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD是边长为的正方形，长方形AEFG的宽 ,长．将长方形AEFG 绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD 与MN相交于点O．（1）求的度数；（2）在图2中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．图1 图2【答案】解：（1）如图，设AB与MN相交于点K，根据题意得：∠BAM=15°，∵四边形AMNH是矩形，∴∠M=90°。

∴∠AKM=90°－∠BAM=75°。

∴∠BKO=∠AKM=75°。

2013年中考数学专题几何三大变换之旋转探讨

【2013年中考攻略】专题11：几何三大变换之旋转探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。

旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。

经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2011和2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨旋转变换：（1）中心对称和中心对称图形；（2）构造旋转图形；（3）有关点的旋转；（4）有关直线（线段）的旋转；（5）有关等腰（边）三角形的旋转；（6）有关直角三角形的旋转；（7）有关平行四边形、矩形、菱形的旋转；（8）有关正方形的旋转；（9）有关其它图形的旋转。

一、中心对称和中心对称图形：典型例题：例1. （2012天津市3分）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是【】【答案】B 。

【考点】中心对称图形。

【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解：A 、C 、D 都不符合中心对称的定义。

【中考数学热点难题】几何三大变换精品

【中考数学热点难题】几何三大变换几何三大变
换
一、单选题(共4道，每道25分)
1.如图，线段AB=CD，AB与CD相交于O，且∠AOC=60°，CE是由AB平移所得，则AC+BD 与AB的大小关系是（）
A.AC+BD＞AB
B.AC+BD＜AB
C.AC+BD=AB
D.无法确定
2.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q 点，则PQ的长是（）cm
A.
B.
C.
D.4
3.如图，等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90°，M，N为斜边BC上两点且∠MAN=45°，则BM、CN、MN之间的数量关系是（）
A.BM2+CN2=MN2
B.BM+CN=MN
C.2BM+CN=MN
D.无法确定
4.如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为（）
A.3
B.6
C.
D.。

初中数学几何三大变换平移、旋转、轴对称易错题集锦(附版)

初中数学几何三大变换平移、旋转、轴对称易错题集锦！（附打印版）几何三大变换平移、旋转、轴对称典型易错题1（易错指数★★）下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（）.【答案解析】A 、四条．B 、三条．C 、四条．D 、四条．故选：B ．典型易错题2（易错指数★★）下面几何图形中，一定是轴对称图形的有 .【答案解析】圆弧、角、等腰梯形都是轴对称图形.典型易错题3（易错指数★★★★）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形，将正方形沿轴的正方向无滑动的在轴上滚动，当点离开原点后第一次落在轴上时，点运动的路径线与轴围成的面积为( ).【答案解析】典型易错题4（易错指数★★★★）【答案解析】先将∆ABC 绕着B'C 的中点旋转180︒ ，再将所得的三角形绕着B'C' 的中点旋转180︒ ，即可得到△ A'B'C'；先将∆ABC 沿着B'C 的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B'C' 的垂直平分线翻折，即可得到△ A'B'C'；故选：D.典型易错题5（易错指数★★）【答案解析】A ．等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，正确；B ．线段和角都是轴对称图形，正确；C ．连接轴对称图形的对应点的线段必被对称轴垂直平分，正确；D ．∆ABC ≅ ∆DEF ，则∆ABC 与∆DEF 不一定关于某条直线对称，错误；故选：D ．典型易错题6（易错指数★★★★）图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）【答案解析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．故选：A典型易错题7（易错指数★★★★）【答案解析】典型易错题8（易错指数★★★★）【答案解析】~。

中考几何三大变换含答案17页

中考几何变换专题复习（针对几何大题的解说）几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形之间的关系 (平行、全等、相像等）.基本图形的很多性质都源于这个图形自己的“变换特点”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”很多的状况也同样拥有“变换”形式的联系.原来两个三角形全等是指它们的形状和大小都同样，和相互间的地点没有直接关系，可是，在同一个问题中波及到的两个全等三角形，大部分都有必定的地点关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关系（包含中心对称） .这样，在解决详细的几何图形问题时，假如我们存心识地从图形的性质或关系中所显示或示意的“变换特点”出发，来辨别、结构基本图形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启迪和指引的作用.下边我们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究.解决图形问题的能力，中心因素是擅长从综合与复杂的图形中辨别和结构出基本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提升我们这类辨别和结构的能力.1．已知正方形 ABCD中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥ BD 交 BC于 F，连结 DF，G 为 DF 中点，连结 EG，CG．（1）求证： EG=CG；（2）将图①中△ BEF绕 B 点逆时针旋转 45°，如图②所示，取 DF 中点 G，连结EG，CG．问（ 1）中的结论能否仍旧建立若建立，请给出证明；若不建立，请说明原因；（3）将图①中△BEF绕 B 点旋转随意角度，如图③所示，再连结相应的线段，问（ 1）中的结论能否仍旧建立经过察看你还可以得出什么结论（均不要求证明）．考点：旋转的性质；全等三角形的判断与性质；直角三角形斜边上的中线；正方形的性质。

专题：压轴题。

剖析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍旧建立，连结 AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M，与 EF的延伸线交于 N 点；再证明△ DAG≌ △DCG，得出 AG=CG；再证出△DMG≌ △ FNG，获得 MG=NG；再证明△ AMG≌△ ENG，得出 AG=EG；最后证出 CG=EG．（3）结论依旧建立．还知道EG⊥CG．解答：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF 的中点，∴CG= FD，同理，在 Rt△DEF中，EG= FD，∴C G=EG．（2）解：（1）中结论仍旧建立，即EG=CG．证法一：连结 AG，过 G 点作 MN⊥ AD 于 M，与 EF的延伸线交于 N 点．在△ DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ ADG=∠CDG，DG=DG，∴△ DAG≌△DCG，∴A G=CG；在△ DMG 与△ FNG中，∵∠ DGM=∠ FGN， FG=DG，∠ MDG=∠ NFG，∴△ DMG≌△FNG，∴M G=NG；在矩形 AENM 中， AM=EN，在△ AMG 与△ ENG中，∵A M=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△ AMG≌△ENG，∴AG=EG，∴E G=CG．证法二：延伸CG至 M，使 MG=CG，连结 MF，ME， EC，在△ DCG与△FMG 中，∵FG=DG，∠ MGF=∠ CGD，MG=CG，∴△ DCG≌△FMG．∴M F=CD，∠FMG=∠DCG，∴M F∥CD∥AB，∴E F⊥MF．在 Rt△ MFE 与 Rt△ CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△ MFE≌△CBE∴∠ MEF=∠ CEB．∴∠ MEC=∠MEF+∠ FEC=∠CEB+∠CEF=90，°∴△ MEC为直角三角形．∵M G=CG，∴EG= MC，∴EG=CG．（3）解：（1）中的结论仍旧建立．即 EG=CG．其余的结论还有：EG⊥CG．评论：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判断和性质．2．（ 1）如图 1，已知矩形 ABCD中，点 E 是 BC 上的一动点，过点E 作 EF⊥BD 于点 F，EG⊥AC 于点 G， CH⊥BD 于点 H，试证明 CH=EF+EG；（2）若点 E 在 BC 的延伸线上，如图 2，过点 E 作 EF⊥ BD 于点 F，EG⊥ AC 的延伸线于点 G，CH⊥ BD 于点 H，则 EF、EG、CH 三者之间拥有如何的数目关系，直接写出你的猜想；（3）如图 3，BD 是正方形 ABCD的对角线， L 在 BD 上，且 BL=BC，连结 CL，点 E 是 CL上任一点， EF⊥ BD 于点 F，EG⊥ BC于点 G，猜想 EF、EG、BD 之间拥有怎样的数目关系，直接写出你的猜想；（4）察看图 1、图 2、图 3 的特征，请你依据这一特征结构一个图形，使它仍旧拥有 EF、EG、CH 这样的线段，并知足（ 1）或（ 2）的结论，写出有关题设的条件和结论．考点：矩形的性质；全等三角形的判断与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。

几何三大变换(讲义及答案)

几何三大变换（讲义）_______、______、_________统称为几何三大变换，它们都是_________，只改变图形的________，不改变图形的_________．一、平移1. （1）把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．（2）新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等． 2. 平移思考层次（1）全等变换：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等、对应角相等．（2）对应点：对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等．（3）常见组合搭配：平移会出现平行四边形；平移在平面直角坐标系下，常转化为点的坐标变化．（4）应用，作图：涉及到平移的作图时，往往要先画出平移通道，通过确定点的位置再确定图形位置．二、轴对称（折叠）1. （1）如果把一个图形沿一条直线折叠后能够与另一个图形完全重合，则称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 2. 轴对称（折叠）思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）（3）常见组合搭配①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形；②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等．（4）应用，作图（构造）核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．特征举例：B A 1FED (B )CAG FE D CB AONMFE CB AD BOA C P Q B'C'知识点睛①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线．三、旋转1.（1）在平面内，将一个图形绕某个点按某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角度．旋转不改变图形的形状和大小．（2）____________、__________和___________称为旋转三要素．2.旋转思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对应点与旋转中心：对应点到旋转中心的距离相等（旋转会出现等腰三角形、圆）；对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心．（3）组合搭配：旋转特殊角度会出现特殊三角形（60°→等边三角形，90°→等腰直角三角形）；旋转会出现相似的等腰三角形．（4）应用、作图（构造）：题目背景中出现等线段共端点时，考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形）．1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB平移至A1B1，若点A1，B1的坐标分别为(2，a)，(b，3)，则a+b=________．2.（2020河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（）A．(32，2) B．(2，2) C．(114，2) D．(4，2)精讲精练3.（2020赤峰）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）AB CD4.（2020安徽）如图△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF 在同一条直线l上，点C，E重合，现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与点F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数关系为_________．5.（2020潍坊）如图，矩形ABCD中，点G，E分别在边BC，DC上，连接AG，EG，AE，将△ABG和△ECG分别沿AG，EG折叠，使点B，C恰好落在AE上的同一点，记为点F．若CE=3，CG=4，则AB=__________．6.（2019济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD=8，AB=5，则线段PE的长等于______________．22B C(E)FAB CDEFGPFE DCBA MN7. （2020呼和浩特）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，点A 的对称点为A ′，点D 的对称点为D ′，若∠FPG =90°，S △A ′EP =8，S △D ′PH =2，则矩形ABCD 的长为（） A．10B．C．10D．8. （2020淄博）如图，矩形纸片ABCD ，AB =6 cm ，BC =8 cm ，E 为边CD 上一点．将△BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM ⊥BE ，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =_______cm ，FMBE的值为_______，CE =_______cm ．9. （2020镇江）如图1，AB =5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM ，BN 上，PQ ∥AB ．设AP =x ，QD =y ．若y 关于x 的函数图象（如图2）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（） A ．25B ．12C ．35D ．71010. （2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E 在AB 边上，把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，连接DF ．若点E ，F ，D 在同一条直线上，AE =2，则DF =_________，BE =_________．A′D′GFEDA PH FE D C BA MN图1NMQPABCD图2FE DCBA11. （2020滨州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，BC =5，EN =1，则OD 的长为（） ABCD第11题图第12题图12. （2020舟山）如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB =5 cm ，BC =2 cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN =1 cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′上．当点B ′恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为_________cm ．13. 如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =∠C ，点P 在边AB 上．（1）判断四边形ABCD 的形状并加以证明．（2）若AB =AD ，以过点P 的直线为对称轴，将四边形ABCD 折叠，使点B ，C 分别落在点B ′，C ′处，且线段B ′C ′经过点D ，折痕与四边形的另一交点为Q ． ①在图2中作出四边形PB ′C ′Q （保留作图痕迹，不必说明作法和理由）． ②如果∠C =60°，那么APPB为何值时，B ′P ⊥AB ．图1 图214. （2020菏泽）如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转角α，得到△ADE ，若点E 恰好在CB 的延长线上，则∠BED 等于（） A ．2αB ．23αC ．αD ．180°-αOA′A BCD EFMN B′C′EDCBA MNEDCBA15. （2015福州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BCABC 绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长度为_________．第15题图第16题图16. （2020鄂尔多斯）如图，已知正方形ABCD ，点M 是边BA 延长线上的动点（不与点A 重合），且AM ＜AB ，△CBE 由△DAM 平移得到，若过点E 作EH ⊥AC ，H 为垂足，则有以下结论：①点M 位置变化，使得∠DHC =60°时，2BE =DM ； ②无论点M 运动到何处，都有DM；③在点M 的运动过程中，四边形CEMD 可能成为菱形； ④无论点M 运动到何处，∠CHM 一定大于135°．以上结论正确的有__________（把所有正确结论的序号都填上）．17. （2020天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF =3，则BE 的长为__________．第17题图第18题图18. （2020通辽）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，∠PCQ =90°，则P A 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系是______________．19. 如图，△ABC 为等边三角形，AB =8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE=．以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，EF 与AC 交于点G ，连接CE ，N 为CE 的中点，连接NG ，则线段NG 的长为_________．ABCMNHA B CDEMGFED CBAABCPQABCD EFG N【参考答案】平移；旋转；轴对称；全等变换；位置；形状和大小三、1.（2）旋转中心；旋转方向；旋转角1. 22. B3. A4.2202)24xyx x=-<≤≤≤（）（）5.16 36.20 37. D8.5；3 89. D10.2111. B12.13.（1）四边形ABCD是平行四边形，证明略；（2）①图略；②12APPB=．14. D15.116.①②④17. 218.P A2+PB2=2PC219.知识点睛精讲精练。

几何三大变换(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：折叠特征是什么？答：折叠是_____________，_______________是对称轴．对称轴两侧___________________，对称轴____________对应点的连线．问题2：旋转特征是什么？答：____________、____________和____________称为旋转三要素．旋转是____________，不改变图形的____________，旋转会出现_______________．问题3：折叠与旋转都是______，变换前后__________、_________都相等，从而实现条件的转移．折叠和旋转都会出现_______．问题4：折叠变换是轴对称变换，总结一下轴对称思考层次有哪些？几何三大变换一、单选题(共7道，每道14分)1.已知一张矩形纸片ABCD，按如图所示方式折叠，使得顶点C落在AB边上的点E处．若AD=6，∠CDF=30°，则折痕DF的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图1，等边△ABD和等边△BCD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到的位置（如图2），则图2中阴影部分的周长为( )A.2B.4C.5D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：平移的性质3.已知在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长为( )A. B.2C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：旋转变换4.如图，已知，将△AOB绕点O旋转150°后，得到，则旋转后点A的对应点的坐标为( )A. B.(-2，0)C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标与图形变化—旋转5.如图，在矩形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，若顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则的值为( )A. B.2C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）6.（请用相似的方法做题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，把△AOB沿直线AB翻折后得到△，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换7.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E在CD边上，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点落在∠ABC的平分线上时，DE的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：翻折变换（折叠问题）第11页共11页。

中考压轴题系列专题几何三大变换问题之轴对称

轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

中考压轴题中轴对称 (折叠)问题，包括有关三角形的轴对称性问题；有关四边形的轴对称性问题；有关圆的轴对称性问题；有关利用轴对称性求最值问题；有关平面解析几何中图形的轴对称性问题。

一.有关三角形的轴对称性问题原创模拟预测题1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，连接EF，交AD于点G，求证：AD⊥EF．原创模拟预测题2.如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=23，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF为等腰三角形时，BD的长为。

F DCEAB【答案】3。

【考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，等腰三角形的判定，分类思想的应用。

二. 有关四边形的轴对称性问题原创模拟预测题3. 如图①是3×3菱形格，将其中两个格子涂黑，并且使得涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕菱形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种，例②中四幅图就视为同一种，则得到不同共有【】A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【答案】B。

【考点】利用旋转的轴对称设计图案。

【分析】根据轴对称的定义及题意要求画出所有图案后即可得出答案：得到的不同图案有：共5个。

故选B。

原创模拟预测题4.如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。

小萍同学灵活运用了轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。

（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D、C点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。

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2012年中考数学压轴题分类解析专题7：几何三大变换相关问题授课老师：黄立宗典型例题选讲：例题1：（2012福建龙岩13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．例题2：（2012辽宁丹东）已知：点C、A、D在同一条直线上，∠ABC=∠ADE=α，线段 BD、CE交于点M．（1）如图1，若AB=AC，AD=AE①问线段BD与CE有怎样的数量关系？并说明理由；②求∠BMC的大小（用α表示）；（2）如图2，若AB= BC=kAC，AD =ED=kAE则线段BD与CE的数量关系为，∠BMC= （用α表示）；（3）在（2）的条件下，把△ABC绕点A逆时针旋转180°，在备用图中作出旋转后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），连接 EC并延长交BD于点M.则∠BMC= （用α表示）．例题3：（2012福建福州）如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1) 求抛物线的解析式；(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB 的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．例题4：（2012广西贵港12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3的顶点为M（2，－1），交x轴于A、B两点，交y轴于点C，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）设经过点C的直线与该抛物线的另一个交点为D，且直线CD和直线CA关于直线BC对称，求直线CD的解析式；（3）在该抛物线的对称轴上存在点P，满足PM2＋PB2＋PC2＝35，求点P的坐标；并直接写出此时直线OP与该抛物线交点的个数。

巩固练习1、（2012黑龙江大庆）在直角坐标系中，C(2，3)，C′(－4，3)， C″(2,1)，D(－4，1)，A(0，a)，B(a，O)( a 0).（1）结合坐标系用坐标填空．点C与C′关于点对称; 点C与C″关于点对称; 点C与D关于点对称（2）设点C 关于点(4，2)的对称点是点P ，若△PAB 的面积等于5，求a 值．2、（2012辽宁阜新）（1）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D 在AC 上时，如图1，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； ②将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC 和△ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD 、CE 在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB ：AC=AD ：AE=1，∠BAC=∠DAE ≠90°；乙：AB ：AC=AD ：AE ≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB ：AC=AD ：AE ≠1，∠BAC=∠DAE ≠90°．3、（2012湖南怀化10分）如图1，四边形ABCD 是边长为23的正方形，长方形AEFG 的宽AE 72=,长EF 732=．将长方形AEFG 绕点A 顺时针旋转15°得到长方形AMNH (如图2)，这时BD 与MN 相交于点O ．（1）求DOM ∠的度数；（2）在图2中，求D 、N 两点间的距离；（3）若把长方形AMNH 绕点A 再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ,请问此时点B 在矩形ARTZ 的内部、外部、还是边上？并说明理由．图1 图24、（2012福建泉州14分）如图，点O 为坐标原点，直线l 绕着点A （0,2）旋转，与经过点C （0,1）的二次函数21y x h 4=+交于不同的两点P 、Q. （1）求h 的值；（2）通过操作、观察算出△POQ 面积的最小值（不必说理）；（3）过点P 、C 作直线，与x 轴交于点B ，试问：在直线l 的旋转过程中四边形AOBQ 是否为梯形，若是，请说明理由；若不是，请指明其形状.5、（2012青海省12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积．备用图6、已知，在△ABC 中，AB=AC 。

过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM=BN ，连接CN 。

（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a ，当θ=45°时，∠ANC 的度数为_______；②如图b ，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c ，当∠BAC=∠MBN ≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明。

典型例题参考答案例题1：【答案】解：(1)5。

由折叠（轴对称）性质知A ′D=AD=5，∠A=∠EA ′D=900。

在Rt △A ′DC 中，DC=AB=2，∴ 22A C 534'-。

∴A ′B=BC －A ′C=5－4=1。

∵∠EA ′B ＋∠BEA ′=∠EA ′B ＋∠FA ′C=900， ∴∠BEA ′=∠FA ′C 。

又 ∵∠B=∠C=900，∴Rt △EBA ′∽Rt △A ′CF 。

∴A E AB A F FC ''='，即A E 153'= ∴ 5A E 3'=。

在Rt △A ′EF 中，2225510EF A E A D 259='+'=+=。

（2）①3x 5≤≤。

②证明：由折叠（轴对称）性质知∠AEF=∠FEA ′，AE=A ′E ，AF=A ′F 。

又 ∵AD ∥BC ，∴∠AFE=∠FEA ′ 。

∴∠AEF=∠AFE 。

∴AE=AF 。

∴AE=A ′E=AF=A ′F 。

∴四边形AEA ′F 是菱形。

【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定。

【分析】(1)根据折叠和矩形的性质，当A ′与B 重合时（如图1），EF= AD=5。

根据折叠和矩形的性质，以及勾股定理求出A ′B 、A ′F 和FC 的长，由Rt △EBA ′∽Rt △A ′CF 求得5A E 3'=，在Rt △A ′EF 中，由勾股定理求得EF 的长。

（2）①由图3和图4可得，当3x 5≤≤时，四边形AEA ′F 是菱形。

②由折叠和矩形的性质，可得AE=A ′E ，AF=A ′F 。

由平行和等腰三角形的性质可得AE=AF 。

从而AE=A ′E=AF=A ′F 。

根据菱形的判定得四边形AEA ′F 是菱形。

例题2：【答案】解：（1）如图1。

①BD=CE ，理由如下：∵AD=AE ，∠ADE=α，∴∠AED=∠ADE=α，。

∴∠DAE=180°－2∠ADE=180°－2α。

同理可得：∠BAC=180°－2α。

∴∠DAE=∠BAC 。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE ，即：∠BAD=∠CAE 。

在△ABD 与△ACE 中，∵AB=AC ，∠BAD=∠CAE ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）。

∴BD=CE 。

②∵△ABD ≌△ACE ，∴∠BDA=∠CEA 。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC ，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=180°－2α。

（2）如图2，BD=kCE ，902α︒-α。

（3）作图如下：90+2α︒。

【考点】相似三角形的判定和性质，全等角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，作图（旋转变换），旋转的性质【分析】（1）①先根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC ，则∠BAD=∠CAE ，再根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，从而得出BD=CE 。

②先由全等三角形的对应角相等得出∠BDA=∠CEA ，再根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=∠DAE=180°－2α。

（2）∵AD=ED ，∠ADE=α，∴∠DAE=180ADE =9022α︒-∠︒-。

同理可得：∠BAC=902α︒-。

∴∠DAE=∠BAC 。

∴∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE ，即：∠BAD=∠CAE 。

∵AB=kAC ，AD=kAE ，∴AB ：AC=AD ：AE=k 。

在△ABD 与△ACE 中，∵AB ：AC=AD ：AE=k ，∠BDA=∠CEA ，∴△ABD ∽△ACE 。

∴BD ：CE=AB ：AC=AD ：AE=k ，∠BDA=∠CEA 。

∴BD=kCE 。

∵∠BMC=∠MCD+∠MDC ，∴∠BMC=∠MCD+∠CEA=∠DAE=902α︒-。

（3）先在备用图中利用SSS 作出旋转后的图形，再根据等腰三角形等角对等边的性质及三角形内角和定理得出∠DAE=∠BAC=902α︒-，由AB=kAC ，AD=kAE ，得出AB ：AC=AD ：AE=k ，从而证出△ABD ∽△ACE ，得出∠BDA=∠CEA ，然后根据三角形的外角性质即可得出∠BMC=90+2α︒： ∵AD=ED ，∠ADE=α，∴∠DAE=∠AED=180ADE =9022α︒-∠︒-。