初一数学平方差公式专题提高训练
(完整版)平方差公式练习题
【题型一】利用平方差公式计算
1．位置变化：（1）
（2）
符号变化：（3）
（4）
系数变化：（5）
（6）
指数变化：（7）
（8）
2．增项变化
（1）
（2）
（3）
（4）
3．增因式变化
（1）
（2）
【题型二】利用平方差公式判断正误
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例
A． B． C． D．
5．解方程： ．
6．若 ，求 的值．
二．提搞部分
【典型例题】
例1．用平方差公式计算：
（1） （2） （3）
例2. 用简便方法计算（1） （2）
例3.计算
思考:化简 （其中a≠1）
例4.已知 ，求:（1） ; (2)
例5.计算：502×498 1.01×0.99 30.8×29.2 25.5×24.5
三、解答题
1.计算：(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2.试求: 的个位数字。
3.解方程
4.设 为自然数且满足 ,则 的值为多少?
一．填空题
1．若 则x+y=2. =
3． =4．
二、选择题
1．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）
A． B． C． D．
2．在下列各式中，运算结果是 的是（）
A． B． C． D．
2．对于任意整数n,能够整除代数式 的整数是（）
A．4 B．3 C．5 D．2
3．若正整数x,y满足 ,则这样的正整数对 的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
平方差公式练习题精选(含答案)
平方差公式练习题精选(含答案)平方差公式是一种用于计算两个数的平方差的公式，可以用于简化计算。
下面给出了一些例子：1.(m+2)(m-2) = m^2 - 42.(1+3a)(1-3a) = 1 - 9a^23.(x+5y)(x-5y) = x^2 - 25y^24.(y+3z)(y-3z) = y^2 - 9z^2利用平方差公式，可以简化计算，例如：1.(5+6x)(5-6x) = 25 - 36x^22.(x-2y)(x+2y) = x^2 - 4y^23.(-m+n)(-m-n) = m^2 - n^2有些多项式的乘法可以用平方差公式计算，例如：7.B。
(－a+b)(a－b)有些计算中存在错误，例如：8.②（2a2－b）（2a2+b）=4a4-b2完全平方公式是一种用于计算两个数的平方和的公式，可以用于简化计算。
下面给出了一些例子：1.(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^22.(-2m+5n)^2 = 4m^2 - 20mn + 25n^23.(2a+5b)^2 = 4a^2 + 20ab + 25b^24.(4p-2q)^2 = 16p^2 - 16pq + 4q^2利用完全平方公式，可以简化计算，例如：1.(x-y^2)^2 = x^2 - 2xy^2 + y^42.(1.2m-3n)^2 = 1.44m^2 - 7.2mn + 9n^23.(-a+5b)^2 = a^2 - 10ab + 25b^24.(-x-y)^2 = x^2 + 2xy + y^2最后，我们可以用完全平方公式计算一些复杂的表达式，例如：14.(a+2)(a^2+4)(a^4+16)(a-2) = (a^6 - 4a^5 - 24a^4 - 64a^3+ 16a^2 + 128a + 128)完全平方公式还可以用于解方程，例如：9.x+y = -310.4x^2 - y^211.(3x^2+2y^2)^2 = 9x^4 - 4y^412.(a+b)^2 - (a-b+1)^2 = 4ab - 2a + 2b13.31.下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-9B．（3b+2）（3b-2）=9b2-4C．（3m-2n）（-2n-3m）=-12mnD．（x+2）（x-3）=x2-x-62.在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）C．（-a+b）（a-b）3.对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）B．64.若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）D．-105.9.8×10.2=100.366.a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab7.（x-y+z）（x+y+z）=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz8.（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc9.（x+3）2-（x-3）2=12x+1810.1) 4a2-9b22) p4-q23) x2-4xy+4y24) 4x2+4xy+y211.1) 4a4-b22) 4xy(x+y)12.剩余的空地面积为(m-2n)2-n2(m-2n)2-n2，验证了平方差公式：(a-b)(a+b)=a2-b2.13.如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k 的值为（）D．±214.已知a+=3，则a2+2，则a+的值是（）B．715.若 $a-b=2$，$a-c=1$，则 $(2a-b-c)^2+(c-a)^2$ 的值为（）答案：B。
初一数学平方差公式专题提高训练
①10.3×9．７
②（2m＋ｎ﹣p)（2ｍ﹣n＋p）
7.（20１４春•黄冈月考)对于算式2（３＋1）（3２＋1）(３４+1）（３8+1）（31６＋1)（3３2+１)＋1．
(１)不用计算器,计算它的结果;
（２）求出它的末位数字．
8．（2013秋•无为县期末)计算下列各题：
27.小明在计算3（4＋1）（42＋1）时，把３写成4﹣１后,得3（４+１）(42+1)=（4﹣１）(4+１）(42+１)=(42﹣1)（42+１)=44﹣1，仿照上式方法计算:(2+1）（22＋1)（２4+1）(28＋1）…（2２５6+1）﹣2５12的值．
28．用平方差公式速算:30 ×29 .
2９.简便计算:2０１3２﹣2０１2×２01４﹣9992.
4．(2０1４春•江山市校级期中）如图,将左图中的阴影部分裁剪下来,重新拼成一个如右图的长方形.
（1)根据两个图中阴影部分的面积相等,可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫.
（2）根据你在(1)中得到的公式计算下列算式:（1﹣ )(1﹣ ）（1﹣ ）（1﹣ )…(1﹣ )(1﹣ ).
5.(2０14春•宝安区校级月考）观察下列式子．
（2）用简便方法计算：9×1１×101×１0001．
12．(20１０秋•涵江区期末）计算:100２﹣9９2+9８2﹣97２+…＋22﹣12.
13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算:
(１）1001×9９９＋1；
（2）20102﹣2011×2009．
14．(201０春•濮阳校级月考)应用乘法公式进行计算:200６×２０08﹣20072．
平方差公式专题练习50题有答案
平方差公式专项练习50题（有答案）知识点：(a+b)(a-b)=a2-b2两数和与这两数差的积,等于它们的平方差特点:具有完全相同的两项具有互为相反数的两项使用注意的问题：1、是否符合平方差公式使用的特点2、判断公式中的“a”和“b”是一个数还是一个代数式3、对“式”平方时要把全部平方，切忌出现漏乘系数的错误，如（a+2b）（a-2b）不要计算成a2-2b24、最好先把能用平方差的式子变形为（a+b）（a-b）的形式，再利用公式进行计算。
专项练习：1．9.8×10.22.（x-y+z）（x+y+z）3.（12x+3）2-（12x-3）24.（2a-3b）（2a+3b）5.（-p2+q）（-p2-q）6.（-1+3x）（-1-3x）7.(x+3) (x2+9) (x-3)8.(x+2y-1)(x+1-2y)9.（x-4）（4+x ）10．（a+b+1)（a+b-1）11.（8m+6n ）（8m-6n ）12． （4a -3b ）（-4a -3b ）13． （a+b)（a-b ）（a ²+b ²）14．．15．．16．．17.．，则18. 1.01×0.9919.20.21.22.23.23.24.25.26.27.28.29.30.（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）31.（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．32. 2023×191333.（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．34.（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；35.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－4016 3236. 2009×2007－20082．37.22007200720082006-⨯．38.22007 200820061⨯+．39．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．40.x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3），41．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？42.先化简，再求值，其中43.解方程：．44.计算：45.求值：46．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（•1+x+x2+x3）=1－x4．（1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______．②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______．②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．47（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m，n和数字4．48.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形，如图1所示，然后拼成一个平行四边形，如图2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？请将结果与同伴交流一下．49．你能求出的值吗？50．观察下列各式：根据前面的规律，你能求出的值吗？平方差公式50题专项练习答案： 1．9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．2.（x-y+z ）（x+y+z ）=x 2+z 2-y 2+2xz3.（12x+3）2-（12x -3）2=（12x+3+12x -3）[12x+3-（12x -3）]=x ·6=6x ．4.（2a-3b ）（2a+3b ）= 4a 2-9b 2；5.（-p 2+q ）（-p 2-q ）=（-p 2）2-q 2=p 4-q 26.（-1+3x ）（-1-3x ）=1-9x ²7.(x+3) (x 2+9) (x-3) =x 4-818.(x+2y-1)(x+1-2y)= x ²-4y ²+4y-19.（x-4）（4+x ）=x ²-1610．（a+b+1)（a+b-1）=（a+b ）²-1=a ²+2ab+b ²-111.（8m+6n ）（8m-6n ）=64m ²-36n ²12． （4a -3b ）（-4a -3b ）=13． （a+b)（a-b ）（a ²+b ²）=．14．． 15．． 答： 16．． 答： 17.．，则18.1.01×0.99=0.9999 19.= 20.= 21.=22.= 23. =8096 23. =24. =125. =26. =27. =28. =29. =．30.（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．31.（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y·2z=4yz．32. 2023×1913=（20+23）×（20－23）=202－（23）2=400－49=39959．33.（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）=（a－2）（a+2）（a2+4）·（a4+16）=（a2－4）（a2+4）（a4+16）=（a4－16）（a4+16）=a8－162=a8－256．34. 解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（2－1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（22－1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1=（24－1）（24+1）…（22n+1）+1=…=[（22n）2－1]+1=24n－1+1=24n；35.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－4016 32=12（3－1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－401632=12（32－1）（32+1）·（34+1）…（32008+1）－401632=…=12（34－1）（34+1）…（32008+1）－401632=…=12（34016－1）－401632=401632－12－401632=－12．36. 2009×2007－20082=（2008+1）×（2008－1）－20082=20082－1－20082=－1．37.22007200720082006-⨯=220072007(20071)(20071)-+⨯-=2220072007(20071)--=2007．38.22007200820061⨯+=22007(20071)(20071)1+⨯-+=222007200711-+=2220072007=1．39．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4），（3x）2+2×3x·（-4）+（-4）2>（3x）2-42，9x2-24x+16>9x2-16，-24x>-32．x<43．40.x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3），x2+2x+4x2－1=5x2+15，x2+4x2－5x2+2x=15+1，2x=16，x=8．41．解：（2a+3）（2a－3）=（2a）2－32=4a2－9（平方米）．42. 原式=43.解方程：．百度文库- 让每个人平等地提升自我44.计算： =5050．45.求值： =46.（1）1－x n+1（2）①－63；②2n+1－2；③x100－1（3）①a2－b2②a3－b3③a4－b4点拨：（1），（3）题根据观察到的规律正确填写即可；（2）题①中利用观察到的规律可知，原式=1－26=1－64=－63；②中原式=2（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2）（1+2+22+…+2n－1）=－2（1－2n）=－2+2·2n=2n+1－2；③中原式=－（1－x）（1+x+x2+…+x97+x98+x99）=－（1－x100）=x100－1．47．解：（m+2n）（m－2n）=m2－4n2．点拨：本题答案不唯一，只要符合要求即可．48.解：题图1中的阴影部分（四个等腰梯形）的面积为a2－b2，题图2•中的阴影部分（平行四边形）的底为（a+b），这个底上的高为（a－b），故它的面积为（a+b）（a－b），•由此可验证：（a+b）（a－b）=a2－b 2．图1 图249．解; 提示：可以乘以再除以．50．解：=11。
平方差公式练习题及答案
平方差公式练习题及答案平方差公式练习题及答案平方差公式是数学中常见的一个公式，用于求解两个数的平方差。
它的形式如下：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2在解决数学问题中，掌握平方差公式是非常重要的。
下面将给出一些平方差公式的练习题及答案，帮助读者更好地理解和掌握这个公式。
练习题一：计算下列式子的值：1. (5 + 3)(5 - 3)2. (12 + 7)(12 - 7)3. (9 + 4)(9 - 4)4. (15 + 6)(15 - 6)5. (8 + 2)(8 - 2)答案一：1. (5 + 3)(5 - 3) = 8 * 2 = 162. (12 + 7)(12 - 7) = 19 * 5 = 953. (9 + 4)(9 - 4) = 13 * 5 = 654. (15 + 6)(15 - 6) = 21 * 9 = 1895. (8 + 2)(8 - 2) = 10 * 6 = 60练习题二：根据已知条件，应用平方差公式求解下列问题：1. 若a = 5，b = 3，求(a + b)(a - b)的值。
2. 若a = 10，b = 6，求(a + b)(a - b)的值。
3. 若a = 8，b = 2，求(a + b)(a - b)的值。
4. 若a = 15，b = 9，求(a + b)(a - b)的值。
5. 若a = 20，b = 12，求(a + b)(a - b)的值。
答案二：1. (a + b)(a - b) = (5 + 3)(5 - 3) = 8 * 2 = 162. (a + b)(a - b) = (10 + 6)(10 - 6) = 16 * 4 = 643. (a + b)(a - b) = (8 + 2)(8 - 2) = 10 * 6 = 604. (a + b)(a - b) = (15 + 9)(15 - 9) = 24 * 6 = 1445. (a + b)(a - b) = (20 + 12)(20 - 12) = 32 * 8 = 256通过以上练习题，我们可以看到平方差公式的应用是非常简单直观的。
湘教版数学七年级下册_《平方差公式》提高训练
《平方差公式》提高训练一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．23．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．2164．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．45．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4 15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．《平方差公式》提高训练参考答案与试题解析一、选择题1．如图，从边长为（a+2）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的小正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的周长为（）A．（4a+4）cm B．（4a+6）cm C．（4a+8）cm D．（8a+4）cm 【分析】先根据图形求出长方形的长和宽，再求出周长即可．【解答】解：长方形的宽为（a+2）﹣（a﹣1）=3cm，长为（a+2）+（a﹣1）=（2a+1）cm，所以长方形的周长为2（2a+1+3）=（4a+8）cm．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的应用，能正确根据图形表示出采访中的长和宽是解此题的关键．2．若（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，则n的值等于（）A．6B．4C．3D．2【分析】把等号左边利用平方差公式进行计算，再根据x的指数相等求解．【解答】解：（2﹣x）（2+x）（4+x2）=（4﹣x2）（4+x2）=16﹣x4，∵（2﹣x）（2+x）（4+x2）=16﹣x n，∴16﹣x4=16﹣x n，则n=4，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．3．计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1的值是（）A．1024B．28+1C．216+1D．216【分析】原式前面配上（2﹣1）这个因数，再依次利用平方差公式计算可得．【解答】解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1=（28﹣1）（28+1）+1=216﹣1+1=216，故选：D．【点评】本题主要考查平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．4．若（x+1）（x﹣1）（x2+1）（x4+1）=x n﹣1，则n等于（）A．16B．8C．6D．4【分析】根据平方差公式计算（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1，即可得到答案．【解答】解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，（x2﹣1）（x2+1）=x4﹣1，（x4﹣1）（x4+1）=x8﹣1=x n﹣1，即n=8，故选：B．【点评】本题考查平方差公式，正确掌握平方差公式是解题的关键．5．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a（a+b）=a2+abC．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形是解此题的关键．二、填空题6．计算：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．依此即可求解．【解答】解：（3a﹣b）（﹣3a﹣b）=﹣9a2+b2．故答案为：﹣9a2+b2．【点评】考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．7．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．【解答】解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是解决问题的关键．8．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12…，因此3，5，7，8…都是“智慧数”在正整数中，从1开始，第2018个智慧数是2693．【分析】如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为m，n是正整数，因而m+n和m﹣n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．【解答】解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2﹣k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2﹣（k﹣1）2（k=2，3，…）．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x2﹣y2=（x+y）（x﹣y），其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x﹣y）被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x﹣y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2﹣y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2693是第2018个“智慧数”，故答案为：2693．【点评】本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．9．已知2a+b=2，2a﹣b=﹣4，则4a2﹣b2=﹣8．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：当2a+b=2，2a﹣b=﹣4时，原式=（2a+b）（2a﹣b）=﹣8故答案为：﹣8【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．10．已知m+n=2019，m﹣n=，则m2﹣n2的值为2018．【分析】直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．【解答】解：∵m+n=2019，m﹣n=，∴m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=2019×=2018．故答案为：2018．【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．三、解答题11．计算：（a+1）（a﹣1）（a2﹣2）【分析】直接利用平方差公式以及多项式乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式=（a2﹣1）（a2﹣2）=a4﹣a2﹣2a2+2=a4﹣3a2+2．【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．12．如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个小长方形．拿掉边长为n的小正方形纸板后，再将剩下的三块拼成一个新长方形．（1）用含m和n的代数式表示拼成的新长方形的周长；（2）根据两个图形的面积关系，得到一个数学公式，请你写出这个数学公式．【分析】（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．（2）根据阴影部分的面积相等，即可得到平方差公式．【解答】解：（1）新长方形的周长=2[（m+n）+（m﹣n）]=4m．（2）由题意：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）．【点评】本题考查平方差公式、长方形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法解决实际问题．13．观察下列等式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1；……（1）猜想（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1．运用上述规律，试求：（2）219+218+217+…+23+22+2+1．（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1．【分析】（1）根据已知算式得出的规律求出即可；（2）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可；（3）先变形，再根据已知算式得出的规律求出即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1，故答案为：x n+1﹣1；（2）219+218+217+…+23+22+2+1=（2﹣1）×（219+218+217+…+23+22+2+1）=220﹣1；（3）52018+52017+52016+…+53+52+5+1=（5﹣1）×（52018+52017+52016+…+53+52+5+1）×=（52019﹣1）．【点评】本题考查了平方差公式、数字的变化类、多项式乘以多项式等知识点，能灵活运用规律进行计算是解此题的关键．14．计算：（1）12502﹣1248×1252（用公式计算）（2）（﹣1）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4【分析】（1）先利用平方差公式的计算1248×1252，再计算即可；（2）根据积的乘方的逆用，直接计算即可．【解答】解：（1）12502﹣1248×1252=12502﹣（1250﹣2）×（1250+2）=12502﹣（12502﹣22）=12502﹣12502+22=4；（2）（）8×（0.2）5×（0.6）6×（﹣5）4=（）8×（）5×（）6×54=（）2×=．【点评】本题主要考查平方差公式及积的乘方，解决此类计算题熟记公式是关键．15．观察后填空①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1（1）填空：（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1．（2）请利用上面的结论计算①（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1②若x3+x2+x+1=0，求x2016的值．【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）①根据（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1，令x=﹣2代入即可求出答案．②根据条件可求出x4=1，从而可求出答案．【解答】解：（1）由题意给出的规律可知：x100﹣1（2）①由给出的规律可知：（x﹣1）（x50+x49+……+x+1）=x51﹣1∴令x=﹣2，∴（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1=，②∵x3+x2+x+1=0，∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1=0，∴x4=1，∴x2016=（x4）504=1【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是根据题意找出规律，本题属于中等题型．。
初一数学平方差公式专题提高训练资料讲解
初一数学平方差公式专题提高训练1. ( 2015春?莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算： (1) 1232 - 124 X122(2) (2a+b ) (4a 2+b 2) (2a - b )2. ( 2015秋？宁津县校级月考)探索题： (x - 1) (x+1) =x 2 - 1 (X - 1) (x 2+x+1 ) =x 3 - 1 (X - 1 ) ( X 3+x 2+1 ) =X 4 - 1 (x - 1) (x +x +x +x+1) =x - 1(1) 根据以上规律，求(x - 1) ( x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+1) (2) 判断22013+22012+ --+22+2+1的值的个位数是几？ 3. ( 2014春?东海县校级期末)乘法公式的探究及应用(1) ____________________________________________ 如图1,可以求出阴影部分的面积是 _____________________________________________________ (写成两数平方差的形式)； (2) __________________________________________________________________ 如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是 _______________________________ (写成多 项式乘法的形式)；(3) ______________________________________________________ 比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式 _________________________________________ ; (4)运用你所得到的公式，计算： (a+b - 2c ) (a - b+2c ).ElI4. (2014春？江山市校级期中)如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图 的长方形.(1)根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式 ____________ ，这个公式的名称叫 _____________ .)(1丄)(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式：(1-122)(1-5. ( 2014春？宝安区校级月考)观察下列式子.2 2① 3 - 1 = (3+1) (3 - 1) =8;②5s- 32= (5+3) (5 - 3) =16 ;2 2③7 - 5 = (7+5) (7 - 5) =24;④9s- 72= ( 9+7) (9 - 7) =32 .(1 )求212- 192= ___________ .(2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明.6. ( 2014春？汕尾校级月考)看图解答(1 )通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，(2)运用你所得到的公式，计算下题： ① 10.3>9.7② (2m+n - p ) (2m - n+p )7. ( 2014春？黄冈月考)对于算式 2 (3+1) (1) 不用计算器，计算它的结果； (2) 求出它的末位数字.& ( 2013秋？无为县期末)计算下列各题：(1) 填空：(x - 1) (x+1 ) = _____________可以得到乘法公式为(32+1 ) (34+1 ) (38+1 ) ( 316+1 ) (332+1 ) +1 •2.(x - 1) (x +x+1 )=• ( X - 1)(2) 根据前面各式的规律，填空： (x - 1) (x n +x n (3) 根据这一规律，计算1+2+22+23+ ••+298+299.9. ( 2013秋?安岳县期末)乘法公式的探究及应用：1+x n -2+ ••+x 2+x+1 )= (写成平方差的形式)囲1 (2) 若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是(写成多项式相乘的形式).(3) 比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式： 2 (1+=) (1 (4 )应用所得的公式计算:1 + )+121410. ( 2012 春？阜阳期末)计算：(2x - y ) (4x 2+y 2) (2x+y )11. (2011春？泰州期中)通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算 带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、 探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算 195 >205.解：195X205=(200 - 5) (200+5) =2002 - 52 =39975(1 )例题求解过程中，第 ②步变形是利用 ____________ (填乘法公式的名称). (2) 用简便方法计算： 9 X11XI01XI0001 . 12. (2010 秋？涵江区期末)计算：1002 - 992+982 - 972+・・+22 - 12. 13. (2010春？南岸区期末)运用整式乘法公式计算： (1) 1001X 999+1 ;(2 ) 20102 - 2011X 2009.214.(2010春？濮阳校级月考)应用乘法公式进行计算： 2006X 2008- 2007 .15.(2010春?成都校级期末) (寺1-2)(寺叶2) +3+不)(-葢- 3)2 216. (2009春？青羊区校级期中)已知， (a - b ) (a+b ) =a - b ,求 (1) (2- 1) (2+1) = ____________ ； (2) (2+1) (22+1) = ____________ ; (3)求(2+1) (22+1 ) (24+1) (28+1) (232+1 )的值;(2 3 430(4) 求(2+1) (2 +1) (2 +1) (2 +1)…(2 +1) +7 的个位数字. 17. (2009春？甘州区校级期中)(x - 2y ) (2y+x )24. 利用平方差公式计算: (1) (3x - 5) (3x+5);(2) (- 2a- b ) (b - 2a );26. 计算:(1) (- ab- 2) (ab+2) (2) (x+2 ) (x - 2) (x 2+4)2 227. 小明在计算 3 (4+1) (4 +1 )时，把 3 写成 4 - 1 后，得 3 (4+1) ( 4+1) = (4 - 1) (4+1)(3) (- 7m+8n ) (- 8n — 7m );a 218. (2000?内蒙古)计算:12346 2 - 12346X123472 219. 已知 a+b=8，且 a - b =48，求 a - 3b 的值. 20. 计算：(3x - 5y 2) (- 3x - 5y 2). 21. 若 x 2- y 2=5, (x+y ) 2=4，求 x - y 的值. 22. (a - b ) (a+b ) ( a +b )23. 如图，在边长为 a 的正方形的一角是一个边长为2 2a -b = (a+b ) (a - b ).b 的正方形，请用这个图形验证公式:(42+1 ) = (42- 1) (42+1) =44- 1，仿照上式方法计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 )… (2256+1 ) - 2512的值.28. 用平方差公式速算：3A>293 329. 简便计算：20132- 2012 >014 - 9992.30. (2006 秋？简阳市期末)观察下列式子：32- 12=8, 52- 32=16, 72- 52=24, 9 - 72=32 ,… 根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律.初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1. ( 2015春?莱芜校级期中)怎样简便就怎样计算：2(1)1232- 124 X122(2)(2a+b) (4a2+b2) (2a- b)【分析】(1)首先把124分成123+1，把122分成123 - 1,然后根据平方差公式计算即可.(2)根据乘法交换律和平方差公式，求出算式(2a+b) ( 4a2+b2) (2a- b)的值是多少即可.2. ( 2015秋？宁津县校级月考)探索题：(x - 1) (x+1) =x2- 1(X - 1) (x2+x+1 ) =x3- 1(X - 1 ) ( X3+x2+1 ) =X4- 1(X - 1) (x4+x3+x2+x+1) =X5- 1(1)根据以上规律，求(X- 1) ( x6+x5+x4+x3+x2+1)(2)判断22013+22012+ --+22+2+1的值的个位数是几？【分析】(1)根据题干所给出的例子可知(X - 1) (x6+x5+x4+x3+x2+1) =x7- 1 ；(2 )给等式乘以(2 - 1)从而可知22013+22012+ - +22+2+1=2 2014- 1 ,然后找出2n的尾数规律从而得到答案.3. ( 2014春?东海县校级期末)乘法公式的探究及应用(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是a2- b2(写成两数平方差的形式)；(2 )如图2,若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是(a- b ) (a+b) (写成多项式乘法的形式)；(3)比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式(a+b ) (a- b ) =a2- b2;(4)运用你所得到的公式，计算：(a+b- 2c ) (a- b+2c ).【分析】(1)中的面积=大正方形的面积-小正方形的面积=a2- b2;(2 )中的长方形，宽为a- b，长为a+b，面积=长＞宽=(a+b ) (a- b);(3 )中的答案可以由(1)、(2)得到，(a+b ) (a- b ) =a2- b2.(4 )先变式，再根据平方差公式计算.4(2014春？江山市校级期中)如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形.(1 )根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2- b2=(a+b)(a- b)这个公式的名称叫平方差公式 .(2)根据你在(1)中得到的公式计算下列算式：(1-丄)(1-丄)(1-2) (1-丄)-_ M(1 -丄)(1 -^^).9921002【分析】(1 )利用面积公式：大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式.(2)利用平方差公式简便计算.5. ( 2014春?宝安区校级月考)观察下列式子.2 2① 3 - 1 = (3+1) (3 - 1) =8;②52- 32= (5+3) (5 - 3) =16 ;2 2③7 - 5 = (7+5) (7 - 5) =24;④92- 72= ( 9+7) (9 - 7) =32 .(1 )求212- 192= 80 .(2)猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明.【分析】(1)将212- 192写成(21 + 19) (21 - 19)利用平方差公式计算即可；(2)根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论.6. ( 2014春？汕尾校级月考)看图解答(1 )通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为(a+b) (a- b) =a2 -b2.(2)运用你所得到的公式，计算下题：①10.3>9.7②(2m+n - p) (2m - n+p)【分析】(1)左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积-边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为(a+b),宽为(a- b)的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；(2)① 先将103 >97变形为(100+3) (100- 3),再利用平方差公式计算；② 先将② (2m+n - p ) (2m - n+p )化为[2m+ (n - p ) ][2m -(n - p )]再利用平方差公式 计算即可.24816327. ( 2014 春？黄冈月考)对于算式 2 (3+1) ( 3 +1) ( 3 +1) (3 +1) ( 3 +1) ( 3 +1 ) +1 . (1) 不用计算器，计算它的结果； (2) 求出它的末位数字.【分析】(1)将2转化为(3 - 1),与(3+1)配成平方差公式，其结果为(32 - 1),与(32+1) 又配成平方差公式，依此类推，可得结果.(2)根据31=3, 32=9, 33=27, 3, 4=81 , 35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定 答案. (2)根据前面各式的规律，填空： (x - 1) (x n +x ° 1+x ° 2+••+x 2+x+1 ) = x °+1- 1 (3)根据这一规律，计算 1+2+22+23+ ••+298+299.【分析】(1)原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果; (2) 归纳总结得到一般性规律即可得到结果； (3) 根据规律计算即可.9. ( 2013秋?安岳县期末)乘法公式的探究及应用： (1)如图1所示，阴影部分的面积是a 2-b 2 (写成平方差的形式)(2)若将图1中的阴影部分剪下来， 拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 (a+b )(a - b )(写成多项式相乘的形式).(3)比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：(a+b ) (a - b ) =a 2- b 2(4 )应用所得的公式计算： 2 (1+丄)(1丄)(1^-) (1^r ).冈 国 因 回 2塑【分析】(1)根据面积的和差，可得答案； (2)根据矩形的面积公式，可得答案； (3 )根据图形割补法，面积不变，可得答案； (4) 根据平方差公式计算即可.10. (2012 春？阜阳期末)计算：(2x - y ) (4x 2+y 2) (2x+y ) 【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可.11. （2011春？泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算 带来的方便、快捷.相信通过下面材料的学习、 探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦.例：用简便方法计算 195 >205. 解：195X205=（200 - 5） （200+5）① 2 2=200 - 5 ②=39975（1 ）例题求解过程中，第 ②步变形是利用& ( 2013秋?无为县期末)计算下列各题: (1)填空：(x - 1) (x+1) = x 2- 1 . 2(X - 1) (x +x+1 )= x 3- 1 . ( x - 1) (x 3+x 2+x+1 )平方差公式（填乘法公式的名称）.（2）用简便方法计算：9 >1X101 X10001.【分析】（1 ）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10- 1）（10+1）（100+1 ）（10000+1）,再利用平方差公式依次计算即可求得答案.2 2 2 2 2 212. （2010秋？涵江区期末）计算：100 - 99 +98 - 97 +・・+2 - 1 .【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1 ,然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果.13. （2010春？南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001X999+1 ;（2 ）20102- 2011X2009.【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1 ）和999变形为（1000 - 1）,得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1） , 2009变形为（2000- 1）,得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值.214. （2010春？濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006X2008- 2007 .【分析】根据式子得特点转化成（2007 - 1）（2007+1 ）- 20072，用平方差公式展开即可求出答案.15. （2010春?成都校级期末）（寺1-2）诘計2）+ （-3+盂）（-葢-3）【分析】利用平方差公式即可求得（"x - 2）（一 x+2 ）与（-3+x）（- x - 3）的值，再求和12 2即可.2 216. (2009春？青羊区校级期中)已知，(a- b) (a+b) =a2- b2，求(1)(2- 1) (2+1) =J ；(2) (2+1) (22+1 )=」5 ;(3)求(2+1) (22+1 ) (24+1) (28+1) (232+1 )的值；(4)求(2+1) (22+1 ) (23+1) (24+1) (230+1) +7 的个位数字.【分析】(1)根据平方差公式求出即可；(2)添加上2- 1=1，根据平方差公式求出即可；(3)添加上(2- 1),重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；(4)求出(2+1) (22+1 )、(2+1 ) ( 22+1) ( 23+1 )、(2+1) (22+1 ) (23+1) (2°+1 )、…、(2+1) (22+1 ) (23+1 ) (24+1 ) •••(2 +1)的结果，根据结果得出规律(结果的个位数字是5),即可求出答案.17. (2009春？甘州区校级期中)(x - 2y) (2y+x)【分析】根据平方差公式(a+b) ( a- b) =a2- b2进行计算即可.18. (2000?内蒙古)计算：—12346 s- 12346X12347【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345,12346,12347 , 然后利用平方差公式进行计算.2 219. 已知a+b=8，且a - b =48，求a- 3b 的值.【分析】根据平方差公式把a2- b2=48化为(a+b) (a- b) =48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可.20. 计算：(3x - 5y2) (- 3x - 5y2).【分析】本题是平方差公式的应用，- 5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算.2 2 221 .若x - y =5, (x+y) =4，求x - y 的值.【分析】把(x+y )=4两边开平方得到x+y= ±,然后根据平方差公式把x2- y2=5变形为(x+y ) (x - y) =5,再代入计算整理即可求解.2 222. (a- b) (a+b) ( a +b )【分析】直接利用平方差公式计算即可.23. 如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式:2 2a -b = (a+b) (a- b).【分析】禾U用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积.24. 利用平方差公式计算：(1)(3x - 5) (3x+5);(2)(- 2a- b) (b - 2a);(3)(- 7m+8n) (- 8n-7m);(4)(x- 2) (x+2 ) (x2+4).【分析】(1)直接利用平方差公式进行计算即可；(2 )直接利用平方差公式进行计算即可；(3 )直接利用平方差公式进行计算即可；(4 )两次运用平方差公式进行计算即可；25 .计算：(a -丄)(a^—■) ( a -丄a+丄)(a ) 3 3 3 9 9【分析】 首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算.26. 计算:(1) (- ab- 2) (ab+2)(2) (x+2 ) (x - 2) (X 3 4+4)【分析】(1)先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；(2)利用平方差公式先计算(X +2) (X -2),然后再次利用平方差公式计算即可.2 227. 小明在计算 3 (4+1) (4 +1 )时，把 3 写成 4 - 1 后，得 3 (4+1) ( 4 +1) = (4 - 1) (4+1) (42+1 ) = (42 - 1) (42+1) =45 6 7 - 1，仿照上式方法计算：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 )… (2256+1 ) - 2512 的值.【分析】所求算式前面乘(2 - 1)，然后依据平方差公式计算即可.【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式( 29. 简便计算：20132- 2012 >2014 - 9992.【分析】首先将原式变形为 20132-( 2013 - 1) (2013+1 ) -( 1000- 1) 2后，展开合并即 可得出结论.3 2 2 2 2 2 2 230. (2006 秋？简阳市期末)观察下列式子：3 - 1 =8, 5 - 3 =16, 7 - 5 =24, 9 - 7 =32 , 根据以上式子的特点，试用含有 n 的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律.【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等 式右边知道变化数 n 是自然数，8是不变数.a+b ) (a - b ) =a 2- b 2计算即可.28.用平方差公式速算:。
(七年级)初一平方差公式专项练习试题第1卷_附答案_北师大,人教版等通用版本
35．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，……，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，（n为正整数）
（1）试说明an是8的倍数；
（2）若△ABC的三条边长分别为ak、ak+1、ak+2（k为正整数）
①求k的取值范围．
②是否存在这样的k，使得△ABC的周长为一个完全平方数，若存在，试举出一例，若不存在，说明理由．
40．计算： … 的值．
41．化简．
(1)( x- y)( x+ y) ( x2+ y2) ( x4+ y4)·…·(x16+ y16)；
(2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)．
42．计算．
(1)(0.25 x - )(0.25 x +0.25)；
(2)(x-2 y)(-2y- x)-(3x+4 y)(-3 x +4 y)；
17．(m+n+p+q) (m-n-p-q)＝（__________）2-（__________）2．
18．计算： _______________.
19．计算： _____________.
20．若 ，则 的值为__________.
21．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
A．（x+1）（x-1）B．（a+b）（-a-b）C．（-x-2）（x-2）D．（b+a）（a-b）
9．已知 ，则a2－b2－2b的值为
A．4B．3C．1D．0
平方差公式练习题
平方差公式练习题随着数学知识的学习深入，平方差公式是一个必须要掌握的重要概念。
本文将通过一些练习题，帮助读者提高对平方差公式的理解和运用能力。
练习题1：计算以下平方差的结果：1. (7 + 3)² - (7 - 3)²2. (5x + 2)² - (5x - 2)²3. (2a - b)² - (2a + b)²解答1：1. (7 + 3)² - (7 - 3)²= 10² - 4²= 100 - 16= 842. (5x + 2)² - (5x - 2)²= (25x² + 20x + 4) - (25x² - 20x + 4)= 25x² + 20x + 4 - 25x² + 20x - 4= 40x3. (2a - b)² - (2a + b)²= (4a² - 4ab + b²) - (4a² + 4ab + b²)= 4a² - 4ab + b² - 4a² - 4ab - b²= -8ab练习题2：根据已知条件，用平方差公式计算下列问题：1. 用平方差公式计算 (3 + 4)²。
2. 如果 a = 5，b = 2，求 (a + b)² - (a - b)²的结果。
3. 如果 x = -2，y = 3，计算 (2x - 3y)² - (2x + 3y)²。
解答2：1. (3 + 4)² = 7² = 492. (5 + 2)² - (5 - 2)²= 7² - 3²= 49 - 9= 403. (2(-2) - 3(3))² - (2(-2) + 3(3))²= (-4 - 9)² - (-4 + 9)²= (-13)² - 5²= 169 - 25= 144练习题3：结合已学习的知识，用平方差公式计算下列式子：1. (2 + x)² - (2 - x)²2. (a + b)² - (a - b)²3. (2x - 3y)² - (2x + 3y)²解答3：1. (2 + x)² - (2 - x)²= (2² + 2x + x²) - (2² - 2x + x²)= 4 + 2x + x² - 4 + 2x - x²= 4x2. (a + b)² - (a - b)²= (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)= 4ab3. (2x - 3y)² - (2x + 3y)²= (4x² - 12xy + 9y²) - (4x² + 12xy + 9y²)= -24xy通过以上的练习题，读者不仅可以巩固对平方差公式的理解，还能够进一步熟练运用该公式进行计算。
平方差公式和完全平方公的提高练习
平方差公式和完全平方公的提高练习一、平方差公式和完全平方公式的适用条件（准确运用两个公式） 1、平方差公式：是两项的符号一项相同，另一项相异。
例如（a+b ）（a -b ）=a 2-b 2可以有如下变化：（1）、（-a+b ）（-a -b ）=a 2-b 2（2）（-a+b ）（a+b ）=b 2-a 2等变化，注意：符号相同的一项相当于公式中的a ，而符号相异的项相当于公式中的b 。
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y2 ② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 22、完全平方公式：是两项的符号完全相同或完全相异。
例如（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2可以有如下变化：（1）（a+b ）（-a -b ）=_____________________。
（2）（a -b ）（-a+b ）=_____________________对应练习：1、下列式子可用平方差公式计算的是： （A ） （a －b ）（b －a ）； （B ） （－x+1）（x －1）； （C ） （－a －b ）（－a+b ）； （D ） （－x －1）（x+1）；2、计算：=---)12)(12(x x3、下列各式中,能用完全平方公式计算的是( )A.)43)(34(x y y x ---B.)2)(2(2222y x y x +- C.))((a b c c b a +---+ D .))((y x y x -+-4、下列多项式乘法中不能．．用平方差公式计算的是 （ ） A ．))((3333b a b a -+ B ．))((2222a b b a -+ C ．)12)(12(22-+y x y x D ．)2)(2(22y x y x +- 5、下列关系式中，正确．．的是（ ） A .()222b a b a -=- B.()()22b a b a b a -=-+C .()222b a b a +=+ D.()222b 2ab a b a +-=+6、⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 224=____________。
3.4.1 平方差公式 浙教版数学七年级下册素养提升练习(含解析)
第3章 整式的乘除3.4 乘法公式第1课时 平方差公式基础过关全练知识点1 平方差公式1.(2020浙江杭州中考)(1+y)(1-y)=( )A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y22.(2023浙江杭州下城期中)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )m―n m+12n B.(-m-n)(m+n)C.(m-2)(m+2)D.(m-n)(n-m)3.利用平方差公式计算(3a-2)(-3a-2)的结果是( )A.4-9a2B.9a2-4C.9a2-2D.9a2+44.下列各式中,计算结果正确的是( )A.(x-3)(3+x)=x2-3B.(3x+2)(3x-2)=3x2-4C.(5ab-c)(c+5ab)=25a2b2-c2D.(-6y+x)(6y+x)=x2-36y5.计算:(1)(5+6x)(6x-5)= ;(2) -13m+n-13m―n= .6.(2023浙江温州龙湾期中)若x2-y2=44,x-y=11,则x+y= .7.(2023浙江宁波中考)计算:(a+3)(a-3)+a(1-a).知识点2 平方差公式的应用8.为了美化城市,经统一规划,将一正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的面积比原来的面积( )A.增加8 m2B.增加16 m2C.减少16 m2D.保持不变9.解方程:(2a+1)(2a-1)-4a(a-1)=7.10. 用简便方法计算:(1)3 003×2 997; (2)1102-109×111.11.如图,大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,大正方形与小正方形的面积之差是60,求阴影部分的面积.能力提升全练12.若a2-b2=4,则(a+b)2(a-b)2的值是( )A.24B.16C.8D.413.(2023江苏南京期中,5,★★☆)若(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,则p,q满足的条件可能是 ( )①p=a,q=b;②p=a,q=-b;③p=-a,q=b;④p=-a,q=-b.A.①③B.①④C.②③D.②④14.(2020浙江衢州中考,12,★☆☆)定义:a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8,则(x-1)※x的结果为 .15.若3(a+2023)2=81,则(a+2 022)(a+2 024)= .16.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,求a+b的值.17.探究:如图①,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分沿虚线剪开,拼成如图②所示的长方形.比较两图阴影部分的面积,可以得到乘法公式: (用字母a、b表示).图①图②应用:请应用这个公式完成下列各题:(1)已知2m-n=3,2m+n=4,则4m2-n2的值为 ;(2)计算:(x-3)(x+3)(x2+9).18.(2022北京通州期中,25,★★☆)在整式(x-2)■(x+2)+▲中,“■”表示运算符号“-”“×”中的某一个,“▲”表示一个整式.(1)计算:(x-2)-(x+2)+(-5+y);(2)若(x-2)(x+2)+▲=3x2+6,求出整式“▲”;(3)若(x-2)■(x+2)+▲的计算结果是二次单项式,请直接写出一组满足条件的“■”和“▲”.素养探究全练19.【运算能力】先阅读,后计算.为了计算4×(5+1)×(52+1)的值,小黄把4改写成(5-1),然后可以连续运用平方差公式.计算过程如下:4×(5+1)×(52+1)=(5-1)×(5+1)×(52+1)=(52-1)×(52+1)=(52)2-1=624.请你借鉴小黄的方法计算:1×1+1+1+1+1+1+1+2答案全解全析基础过关全练1.C 根据平方差公式可得(1+y)(1-y)=1-y2.故选C.2.C (m-2)(m+2)=m 2-22,符合平方差公式,故本选项符合题意,故选C.3.A 原式=(-2+3a)(-2-3a)=(-2)2-(3a)2=4-9a 2,故选A.4.C (x-3)(3+x)=x 2-32=x 2-9,所以A 选项错误;(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x 2-4,所以B 选项错误;(5ab-c)(c+5ab)=(5ab)2-c 2=25a 2b 2-c 2,所以C 选项正确;(-6y+x)(6y+x)=x 2-(6y)2=x 2-36y 2,所以D 选项错误.故选C.5.答案 (1)36x 2-25 (2)19m 2-n 2解析 (1)原式=(6x+5)(6x-5)=(6x)2-52=36x 2-25.(2)原式 =-13m 2-n 2=19m 2-n 2.6.答案 4解析 ∵(x+y)(x-y)=x 2-y 2,x 2-y 2=44,x-y=11,∴11(x+y)=44,∴x+y=4.7.解析 (a+3)(a-3)+a(1-a)=a 2-9+a-a 2=a-9.8.C 设正方形草坪的边长为x m,则面积为x 2 m 2.将该正方形草坪的一组对边增加4 m,另一组对边缩短4 m,则改造后的长方形草坪的长为(x+4)m,宽为(x-4)m,则改造后长方形草坪的面积为(x 2-16)m 2,故比原来的面积减少16 m 2.故选C.9.解析 去括号,得4a 2-1-4a 2+4a=7,移项、合并同类项,得4a=8,系数化为1,得a=2.10.解析 (1)原式=(3 000+3)×(3 000-3)=3 0002-32=9 000 000-9=8 999 991.(2)1102-109×111=1102-(110-1)×(110+1)=1102-(1102-1)=1.11.解析 阴影部分的面积为12AE·BC+12AE·DB=12AE(BC+DB)=12(a-b)(a+b)=12(a 2-b 2)=12×60=30,∴阴影部分的面积为30.能力提升全练12.B (a+b)2(a-b)2=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2,∵a2-b2=4,∴原式=42=16.故选B.13.C ∵(a+b)(p+q)能运用平方差公式计算,∴p=a,q=-b或p=-a,q=b或p=-b,q=a或p=b,q=-a,故选C.14.答案 x2-1解析 ∵a※b=a(b+1),∴(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-12=x2-1.15.答案 3解析 ∵3(a+2023)2=81,∴3(a+2023)2=34,∴(a+2 023)2=4,∴(a+2 022)(a+2 024)=(a+2 023-1)(a+2 023+1)=(a+2 023)2-1=4-1=3.16.解析 ∵(2a+2b-1)(2a+2b+1)=63,∴[2(a+b)-1][2(a+b)+1]=63,∴4(a+b)2-1=63,∴4(a+b)2=64,∴(a+b)2=16,∴a+b=±4.17.解析 探究:(a+b)(a-b)=a2-b2.应用:(1)12.(2)(x-3)(x+3)(x2+9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81.18.解析 (1)原式=x-2-x-2-5+y=y-9.(2)根据题意得整式“▲”=3x2+6-(x-2)(x+2)=3x2+6-(x2-4)=3x2+6-x2+4=2x2+10.(3)答案不唯一.如:“■”表示的运算符号是“×”,“▲”表示的整式是4.详解:∵“■”表示的运算符号是“×”,∴原式=(x-2)(x+2)+▲=x2-4+▲,∵计算结果是二次单项式,∴“▲”表示的整式是4.素养探究全练19.解析 1×1+1+1+1+1+1+1+2=1―1+1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+1+=1―1+1+1+1+=1―1+1+1+=1―1+1+.=1―1+=1-12128。
2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》自主提升训练(附答案)
2021-2022学年北师大版七年级数学下册《1-5平方差公式》自主提升训练（附答案）1．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（﹣m+n）（m﹣n）C．（2x﹣y）（y+2x）D．（x2﹣y）（x+y2）2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．（﹣a﹣b）（a﹣b）B．（﹣x﹣2y）（x+2y）C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）D．（2a+b﹣c）（2a﹣b﹣c）3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣y）（﹣y+x）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（a+b）（c﹣b）D．（2x2﹣y2）（2x2+y2）4．如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b25．下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（2a+b）（a﹣2b）B．（a﹣2b）（2b﹣a）C．（2a﹣b）（﹣2a+b）D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）6．下列各式中，能应用平方差公式进行计算的是（）A．（a+b）（a+b）B．（2a﹣b）（﹣2a+3b）C．（a﹣3）（3﹣a）D．（x+2y）（x﹣2y）7．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）A．（a+b）（b+a）B．（﹣m+n）（m﹣n）C．（x﹣y）（y+x）D．（x2﹣y）（x+y2）8．下列各式中能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x﹣y）（x﹣y）9．下列运算，不能用平方差公式运算的是（）A．（﹣b﹣c）（﹣b+c）B．﹣（x+y）（﹣x﹣y）C．（x+y）（x﹣y）D．（y﹣x）（x+y）10．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）11．3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（）A．4B．5C．6D．8 12．计算（1﹣a）（1+a）（1+a2）的结果是（）A．1﹣a4B．1+a4C．1﹣2a2+a4D．1+2a2+a4 13．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4B．3C．1D．0 14．已知a+b＝6，a﹣b＝5，则a2﹣b2的值是（）A．11B．15C．30D．60 15．（x+2）（x﹣2）（x2+4）的计算结果是（）A．x4+16B．﹣x4﹣16C．x4﹣16D．16﹣x4 16．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝．17．计算：20202﹣2019×2021＝．18．简便计算：101×99＝．19．计算：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）＝．20．计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（结果可用幂的形式表示）．21．若a+b＝2021，a﹣b＝1，则a2﹣b2＝22．用简便方法计算．（1）100.5×99.5．（2）2018×2020﹣20192．23．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分裁剪拼成一个长方形（如图2所示）．（1）如图1，阴影部分的面积为；（2）如图2，阴影部分（长方形）的宽为，长为，面积为；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式：；（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，求2m﹣n的值；②计算：5（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1．24．利用乘法公式简便计算．（1）2020×2022﹣20212．（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．参考答案1．解：A、（a+b）（b+a）不能用平方差公式计算，故选项A不符合题意；B、（﹣m+n）（m﹣n））＝﹣（m﹣n）（m﹣n），不能用平方差公式计算，故选项B不符合题意；C、（2x﹣y）（y+2x）＝4x2﹣y2，故选项C符合题意；D、（x2﹣y）（x+y2）不符合平方差公式，故选项D不符合题意，故选：C．2．解：A．（﹣a﹣b）（a﹣b）＝（﹣b）2﹣a2，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；B．（﹣x﹣2y）（x+2y），两项均互为相反数，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；C．（2x2﹣y2）（2x2+y2）＝（2x2）2﹣（y2）2，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；D．（2a+b﹣c）（2a﹣b﹣c）＝（2a﹣c）2﹣b2，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意，故选：B．3．解：根据平方差公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，即同号平方减去异号平方．A：因为x与x为同号，﹣y与﹣y为同号，所以A不能用平方差公式计算；B：因为﹣x与﹣x为异号，y与﹣y为异号，所以B不能用平方差公式计算；C：因为（a+b）与（c﹣b）所含字母不相同，所以C不能用平方差公式计算；D：因为2x2与2x2为同号，﹣y2与y2为异号，所以D能用平方差公式计算；故选：D．4．解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．故选：C．5．解：A．不符合平方差公式，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B．不符合平方差公式，故本选项不符合题意；C．不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D．（b﹣2a）（﹣2a﹣b）＝（﹣2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，符合平方差公式，故本选项符合题意；故选：D．6．解：A、不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算，不符合题意；B、不存在相同的项，不能运用平方差公式进行计算，不符合题意；C、（a﹣3）（3﹣a）＝﹣（a﹣3）（a﹣3）不存在互为相反数的项，不能运用平方差公式进行计算，不符合题意；D、x是相同的项，互为相反项是2y与﹣2y，符合平方差公式的要求，符合题意；故选：D．7．解：A、原式＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，不符合题意；B、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；C、原式＝（x）2﹣y2＝x2﹣y2，符合题意；D、原式＝x3+x2y2﹣xy﹣y3，不符合题意．故选：C．8．解：选项A：（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（﹣x+y）（﹣x+y）＝﹣（﹣x+y）2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；选项B：（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y）＝﹣（x+y）2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；选项C：（﹣x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x+y）（x﹣y），能用平方差公式计算，符合题意；选项D：（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2，能用完全平方公式计算，故此选项不符合题意；故选：C．9．解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．故选：B．10．解：A、（x﹣y）（﹣x+y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；故选：A．11．解：3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…＝264﹣1+1＝264，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，∵64÷4＝16，∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．故选：C．12．解：（1﹣a）（1+a）（1+a2）＝（1﹣a2）（1+a2）＝1﹣a4．故选：A．13．解：∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．故选：C．14．解：∵a+b＝6，a﹣b＝5，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝30，故选：C．15．解：原式＝（x2﹣4）（x2+4）＝x4﹣16，故选：C．16．解：∵m2﹣n2＝40，∴（m+n）（m﹣n）＝40，∵m﹣n＝5，∴m+n＝8．故答案为：8．17．解：20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣20202+12＝1故答案为：1．18．解：101×99＝（100+1）×（100﹣1）＝1002﹣12＝10000﹣1＝9999，故答案为：9999．19．解：原式＝（5﹣1）（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）＝（52﹣1）（52+1）（54+1）（58+1）＝（54﹣1）（54+1）（58+1）＝（58﹣1）（58+1）＝（516﹣1），故答案为：（516﹣1）20．解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1），＝（24﹣1）（24+1）（28+1），＝（28﹣1）（28+1），＝216﹣1．21．解：∵a+b＝2021，a﹣b＝1，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2021×1＝2021．故答案为：202122．解：（1）原式＝（100+0.5）×（100﹣0.5）＝1002﹣0.52＝10000﹣0.25＝9999.75；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．23．解：（1）∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，∴阴影部分的面积为a2﹣b2．故答案为：a2﹣b2；（2）阴影部分的宽为a﹣b，长为a+b，面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；（3）根据阴影部分面积相等得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①∵（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2＝12，2m+n＝4，∴2m﹣n＝3；②原式＝（6﹣1）（6+1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1＝（62﹣1）（62+1）（64+1）（68+1）（616+1）+1……＝632﹣1+1＝632．24．解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．＝20212﹣1﹣20212＝﹣1；（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328＝（2.672+6.328）2＝102＝100．。
平方差公式与完全平方公式提高训练
平方差公式与完全平方公式提高训练一、平方差公式1.1差的平方等于平方的差(a+b)*(a-b)=a^2-b^2其中，a和b是任意实数。
1.2和的差的平方等于平方的差(a - b) ^2 = a^2 - 2ab + b^2其中，a和b是任意实数。
应用：利用平方差公式可以进行因式分解，求解方程以及证明数学等式等。
1.3例题解析例题1：如果(a+2)*(a-3)=0,求a的值。
解：根据平方差公式(a+2)*(a-3)=(a^2-3a+2a-6)=(a^2-a-6)=0因为(a^2-a-6)=0，所以(a-3)(a+2)=0解得a=3或者a=-2，所以a的值为3或者-21.4思考题思考题1：用平方差公式计算99^2-98^2的值。
解：利用平方差公式计算可得：99^2-98^2=(99-98)(99+98)=197所以99^2-98^2的值为197二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次三项式可以通过加减一个常数，把它改写成一个平方的方式。
2.1完全平方公式的一般形式对于一般的二次三项式 f(x) = ax^2 + bx + c （其中a≠0），如果存在常数d，使得f(x) + d或f(x) - d是一个平方，那么f(x)就可以通过加减一个常数d改写成一个平方。
2.2完全平方公式的常见形式常见的完全平方公式有两个形式：二次完全平方公式和三次完全平方公式。
二次完全平方公式：(a + b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2三次完全平方公式：(a + b) ^ 3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3应用：利用完全平方公式可以简化计算过程，展开括号进行因式分解，求解方程以及证明数学等式等。
2.3例题解析例题2：将4x^2+12x+9改写成一个平方。
解：4x^2+12x+9=(2x+3)^2所以将4x^2+12x+9改写成一个平方为(2x+3)^22.4思考题思考题2：将x^2+10x+25改写成一个平方。
平方差公式和完全平方公式强化训练 变式 精品
平方差公式的变化：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z2+2zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-2xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz填空：1、(2x-1)( )=4x2-12、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2第一种情况：直接运用公式练习：1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)4.(-x+2)(-x-2)5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b)7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)第二种情况：运用公式使计算简便例2：计算19992-2000×19981、1998×2002 3、1.01×0.99 4、（100-13）×（99-23）1第三种情况：多次运用平方差公式例3：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）1、（a+b）(a-b)(a2+b2)2、(a+2)(a-2)(a2+4)3、(x-12)(x2+14)(x+12)4、(a+1)(a-1)(2a+1)(4a+1)(8a+1)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1) 5.(b+2a)(2a-b) 6.(a+b)(-b+a)第五种情况：每个多项式含三项例4：(3x+y-2)(3x-y+2)1.（a+2b+c）(a+2b-c) 2.(a+b-3)(a-b+3) 3.x-y+z)(x+y-z)4.(m-n+p)(m-n-p) 5、(a+4b-3c)(a-4b-3c)第六种情况：平方差逆用例2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----1、22222110099989721-+-++-完全平方公式公式变形1、a2+b2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)2234、(a+b)2 +（a-b ）2= 4、(a+b)2 ——（a-b ）2=5、(a+b+c ）2= 一、计算下列各题：1、2)(y x +2、2)23(y x --3、2)313(c ab -- 5、2)2332(y x +二、利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032三、计算：（1）22)3(x x -+ （2）22)(y x y +- （3）()()2()x y x y x y --+-五、计算：（1）)3)(3(-+++b a b a （2）)2)(2(-++-y x y x（3）)3)(3(+---b a b a （4）()()2323x y z x y z +-++六、拓展延伸 巩固提高例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
(完整版)平方差公式与完全平方公式提高训练
教学过程提高训练一、选择1.若（x＋a)(x＋b)＝x2－kx＋ab,则k的值为（ )A．a＋b B．－a－b C．a－b D．b－a2.计算（2x－3y）（4x2＋6xy＋9y2）的正确结果是（ )A．（2x－3y)2B．（2x＋3y)2C．8x3－27y3D．8x3＋27y3 3.(x2－px＋3）(x－q）的乘积中不含x2项，则( )A．p＝q B．p＝±q C．p＝－q D．无法确定4.若0＜x＜1,那么代数式(1－x）（2＋x)的值是( )A．一定为正B．一定为负C．一定为非负数D．不能确定5.计算(a2＋2）（a4－2a2＋4）＋(a2－2）(a4＋2a2＋4)的正确结果是( ) A．2（a2＋2）B．2（a2－2）C．2a3D．2a66.方程（x＋4）（x－5)＝x2－20的解是（）A．x＝0 B．x＝－4 C．x＝5 D．x＝407.若2x2＋5x＋1＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c，那么a,b,c应为（）A．a＝2,b＝－2，c＝－1 B．a＝2，b＝2，c＝－1C．a＝2，b＝1,c＝－2 D．a＝2，b＝－1,c＝21.（x3＋3x2＋4x－1）（x2－2x＋3)的展开式中,x4的系数是__________．2.若（x＋a)(x＋2）＝x2－5x＋b，则a＝__________，b＝__________．3.若a2＋a＋1＝2，则（5－a)（6＋a)＝__________．4.当k＝__________时,多项式x－1与2－kx的乘积不含一次项．5. 若(x 2＋ax ＋8）（x 2－3x ＋b ）的乘积中不含x 2和x 3项，则a ＝_______，b ＝_______．1、若(x 2＋ax －b ）(2x 2－3x ＋1）的积中，x 3的系数为5，x 2的系数为－6，求a ，b ．二、计算(1）（－21ab 2－32c ）2； （2）(x －3y －2）（x ＋3y －2)；（3）（a －2b ＋3c －1）(a ＋2b －3c －1）； (4）（s －2t ）(－s －2t ）－(s －2t ）2；（4）（5）（t －3)2（t ＋3）2（t 2＋9）2．例1、完全平方式1、若k x x ++22是完全平方式，则k =2、。
2021年七年级数学 平方差公式(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1．（2016•百色）分解因式：16﹣x 2=（）A ．（4﹣x ）（4+x ）B ．（x ﹣4）（x +4）C ．（8+x ）（8﹣x ）D ．（4﹣x ）22.（2015春•东平县校级期末）下列多项式相乘，不能用平方差公式的是（）A.（﹣2y﹣x）（x+2y）B.（x﹣2y）（﹣x﹣2y）C.（x﹣2y）（2y+x）D.（2y﹣x）（﹣x﹣2y）3.下列因式分解正确的是().A.()()2292323a b a b a b -+=+- B.()()5422228199a ab a a b a b -=+-C.()()2112121222a a a -=+- D.()()22436223x y x y x y x y ---=-+-4.下列各式，其中因式分解正确的是（）①22933422x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；②()()2933x x x -=-+③()()()()2212121m n m n m n +--+=+-④()()()()2294252a b a c a b c a b c +-+=+-++A.1个B.2个C.3个D.4个5.若4821-能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（）A．61，63B．61，65C．63，65D．63，676.乘积22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭应等于（）A．512B．12C．1120D．23二.填空题7.11_________m m a a +--=；()2211x x x --+=.8.若)2|4|50m -+=，将22mx ny -分解因式为__________.9.分解因式：2121()()=m m p q q p +--+-_________.10.若()()()216422n x x x x -=++-，则n 是_________.11.（2015春•深圳期末）若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，则A 的末位数字是．12.（2016•烟台）已知|x ﹣y +2|+=0，则x 2﹣y 2的值为．三.解答题13.用简便方法计算下列各式：（1）21999－1998×2000（2）2253566465⨯-⨯（3）222222221009998979695 (21)-+-+-++-14.（2014秋•蓟县期末）已知（2a+2b+3）（2a+2b ﹣3）=72，求a+b 的值．15.设22131a =-，22253a =-，……，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”.试找出1a ，2a ，……，n a 这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A；【解析】16﹣x 2=（4﹣x ）（4+x ）．2.【答案】A；【解析】解：A 、两项都是互为相反数，不符合平方差公式．B 、C 、D 中的两项都是一项完全相同，另一项互为相反数，符合平方差公式．故选：A ．3.【答案】C；【解析】()()22933a b b a b a -+=+-；()()()()()542222228199933a ab a a b a b a a b a b a b -=+-=++-；()()()()()224362232223x y x y x y x y x y x y x y ---=+--+=+--.4.【答案】C；【解析】①②③正确.()()()()229433223322a b a c a b a c a b a c +-+=++++--()()53232a b c a b c =+++-.5.【答案】C；【解析】()()()()()482424241212212121212121-=+-=++-()()()()()()24126624122121212*********=+++-=++⨯⨯6.【答案】C；【解析】22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111111111......11112233991010314253108119 (2233449910101111121020)⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=二.填空题7.【答案】()()111m a a a -+-；()()211x x -+【解析】()()()()()()()22222211111111x x x x x x x x x x --+=---=--=-+.8.【答案】()()2525x y x y +-；【解析】4,25,m n ==()()222525mx ny x y x y -=+-.9.【答案】21()(1)(1)m p q p q p q ---+--；【解析】原式＝()22121()1()(1)(1)m m p q p q p q p q p q --⎡⎤---=--+--⎣⎦.10.【答案】4；【解析】()()()()()22244224416xx x x x x ++-=+-=-.11.【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=216﹣1+1，=216因为216的末位数字是6，所以原式末位数字是6．12.【答案】-4；【解析】∵|x ﹣y +2|+=0，∴x ﹣y +2=0，x +y ﹣2=0，∴x ﹣y=﹣2，x +y=2，∴x 2﹣y 2=（x ﹣y ）（x +y ）=﹣4．三.解答题13.【解析】解：（1）21999－1998×2000＝()()222199919991199911999199911--+=-+=（2）()2222535664656535465⨯-⨯=-()()65354655354656100070420000=+-=⨯⨯=（3）222222221009998979695......21-+-+-++-()()()()()()100991009998979897......2121100999897 (21)5050=+-++-+++-=++++++=14.【解析】解：已知等式变形得：[2（a+b ）+3][2（a+b ）﹣3]=72，即4（a+b ）2﹣9=72，整理得：（a+b ）2=，开方得：a+b=±．15.【解析】解：（1）()()222121(2121)(2121)8n a n n n n n n n=+--=++-+-+=又n 为非零的自然数，∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数.（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数.。
平方差公式专项提升训练
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【北师大版】专题1.5平方差公式专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022•丹东模拟）下列运算正确的是（ ）A．（a2）3＝a5B．2x−1=1 2xC．a3⋅a4＝a12D．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2【分析】分别根据幂的乘方、负整数次幂、同底数幂的乘法，及平方差公式求解．【解答】解：A：（a2）3＝a6，故A是错误的；B：2x﹣1=2x，故B是错误的；C：a3•a4＝a7，故C是错误的；D：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，故D是正确的；故选：D．2．（2021秋•宁县期末）已知a2﹣b2＝8，b﹣a＝2，则a+b等于（ ）A．﹣8B．8C．﹣4D．4【分析】根据平方差公式得出结论即可．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8，b﹣a＝2，∴a+b＝﹣4，故选：C．3．（2021秋•平泉市期末）（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）等于（ ）A．a4﹣1B．﹣a4+1C．﹣a4+2a2﹣1D．1﹣a4【分析】将原式变形为﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1），再运用平方差公式和完全平方公式进行求解．【解答】解：（﹣a+1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a﹣1）（a+1）（a2﹣1）＝﹣（a2﹣1）2＝﹣（a4﹣2a2+1）故选：C．4．（2022秋•龙华区校级期中）下列多项式相乘，不能运用平方差公式计算的是（ ）A．（2m﹣n）（n+2m）B．（﹣m+n）（m+n）C．（2n﹣m）（2m﹣n）D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）【分析】利用平方差公式对各选项进行判断．【解答】解：A．（2m﹣n）（n+2m）＝（2m﹣n）（2m+n）＝4m2﹣n2，所以A选项不符合题意；B．（﹣m+n）（m+n）＝（n﹣m）（n+m）＝n2﹣m2，所以B选项不符合题意；C．（2n﹣m）（2m﹣n）不能运用平方差公式计算，所以C选项符合题意；D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）＝（﹣m）2﹣n2＝m2﹣n2，所以D选项不符合题意．故选：C．5．（2022秋•浚县期中）已知a﹣b＝2，则a2﹣b2﹣4b的值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】直接利用平方差公式分解因式，再把已知代入，进而得出答案．【解答】解：∵a﹣b＝2，∴a2﹣b2﹣4b＝（a+b）（a﹣b）﹣4b＝2（a+b）﹣4b＝2a+2b﹣4b＝2（a﹣b）＝2×2＝4．故选：A．6．（2022秋•思明区校级期中）若a=20220，b=2023×2021−20222，c=(−23)2022×(32)2023，则下列a，b，c的大小关系正确的是（ ）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【分析】分别求出a、b、c的值，再比较大小即可．【解答】解：∵a＝20220＝1，b＝（2022+1）×（2022﹣1）﹣20222＝﹣1，c＝（−23×32）2022×32＝（﹣1）2022×3 2=3 2，∴b＜a＜c，故选：A．7．（2022秋•安岳县校级月考）某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215=（ ）A．2−1216B．2+1216C．1D．2【分析】将原式配上因式2×（1−12）后，连续使用平方差公式进行计算即可．【解答】解：原式＝2×（1−12）×(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215＝2×（1−122）（1+122）(1+124)(1+128)+1215＝2×（1−124）（1+124）（1+128）+1215＝2×（1−128）（1+128）+1215＝2×（1−1216）+1215＝2−1215+1215＝2，故选：D．8．（2022春•顺德区校级月考）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（x＞y）．则①x﹣y＝n；②x+y＝m；③x2﹣y2＝mn；④x2+y2=m2−n22，错误的是（ ）A．①B．②C．③D．④【分析】利用大正方形的边长＝长方形的长+长方形的宽，小正方形的边长＝长方形的长一长方形的宽，大正方形的面积一小正方形的面积＝4个长方形的面积判定即可．【解答】解：∵x﹣y等于小正方形的边长，即x﹣y＝n，故①正确；∵x+y等于大正方形的边长，即x+y＝m，故②正确；∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝mn，故③正确；∵xy为小长方形的面积，∴4xy＝m2﹣n2，∴xy=m2−n24，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝m2﹣2×m2−n24=m2n22，故④错误．所以正确的有①②③．故选：D．9．（2021秋•绥棱县校级期末）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个阴影部分的面积，这个过程验证了公式（ ）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【分析】用代数式表示左图、右图阴影部分的面积即可．【解答】解：左图中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，右图中阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，因此面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．由于左图与右图阴影部分的面积相等，则有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），10．（2022秋•南岗区校级月考）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等，分别列式表示．【解答】解：根据两个图形中阴影部分的面积相等得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•越秀区校级期末）计算：（1）（a3）2＝ a6 ；（2）a8÷a2＝ a6 ；（3）（ab+1）（ab﹣1）＝ a2b2﹣1 ．【分析】（1）利用幂的乘方运算计算；（2）利用同底数幂的除法运算计算；（3）利用平方差公式计算．【解答】解：（1）（a3）2＝a6；故答案为：a6；（2）a8÷a2＝a6；故答案为：a6；（3）（ab+1）（ab﹣1）＝a2b2﹣1．故答案为：a2b2﹣1．12．（2022秋•南关区校级期中）如果（x+y+1）（x+y﹣1）＝8，那么x+y的值为 ±3 ．【分析】把x+y看作整体，设x+y＝m，原方程变形为（m+1）（m﹣1）＝8，再解方程即可．【解答】解：设x+y＝m，原方程变形为（m+1）（m﹣1）＝8，m2＝9，m＝±3，x+y±3，故答案为：±3．13．（2022秋•长宁区校级期中）计算：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝ 1﹣16a4 ．【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，据此计算即可．【解答】解：（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）＝（1﹣4a2）（1+4a2）＝1﹣16a4．故答案为：1﹣16a4．14．（2022秋•栖霞市期中）若a+b＝4，a2﹣b2＝8，那么a﹣b的值是 2 ．【分析】先根据平方差公式分解，代入后计算，即可求出答案．【解答】解：因为a+b＝4，a2﹣b2＝8，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），所以8＝4（a﹣b），所以a﹣b＝2．故答案为：2．15．（2021秋•岚山区期末）如图，在边长为（m+4）的正方形纸片上剪出一个边长为m的小正方形后，将剩余部分剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若这个矩形的一边长为4，则另一边长是 （2m+4） ．【分析】设另一边长为x，然后根据分割前后面积不变列方程求解．【解答】解：设另一边长为x，根据题意得：4x+m2＝（m+4）2，解得：x＝2m+4，则另一边长为（2m+4），故答案为：（2m+4）．16．（2022秋•保定期中）如图，从边长为（a+b）的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣b）的正方形（a＞b ＞0），剩余部分又沿虚线剪开拼成一个长方形（无重叠无缝隙），则此长方形的周长为 4a+4b ．【分析】用代数式表示拼成的长方形的长、宽，再根据长方形周长公式进行计算即可．【解答】解：由拼图可知，所拼成的长方形的长为a+b+（a﹣b）＝2a，宽为a+b﹣（a﹣b）＝2b，所以长方形的周长为（2a+2b）×2＝4a+4b，故答案为：4a+4b．三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．用平方差公式计算：（1）30.8×29.2；（2）20172﹣2016×2018．【分析】（1）将30.8写成（30+0.8），将29.2写成（30﹣0.8），则可按照平方差公式计算；（2）将2016×2018写成（2017﹣1）（2017+1），再按照平方差公式计算，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）30.8×29.2＝（30+0.8）（30﹣0.8）＝302﹣0.82＝900﹣0.64＝899.36；（2）20172﹣2016×2018＝20172﹣（2017﹣1）（2017+1）＝20172﹣（20172﹣1）＝1．18．化简（1）（m3+5n）（5n﹣m3）（2）（1﹣xy）（﹣xy﹣1）【分析】（1）相同项是5n，相反项是m3；（2）相同项是﹣xy，相反项是1．【解答】解：（1）原式＝（5n）2﹣（m3）2＝25n2﹣m6；（2）原式＝（﹣xy）2﹣12＝x2y2﹣1．19．计算．（1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）；（2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）；（3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）；（4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）．【分析】原式各项利用平方差公式化简，即可得到结果．【解答】解：（1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）＝4x4﹣9y2；（2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）＝（﹣y）2﹣（2x）2＝y2﹣4x2；（3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）＝x2﹣y2+4x2﹣y2＝5x2﹣2y2；（4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）＝（a2﹣9）（a2+9）＝a4﹣81．20．运用平方差公式计算：（1）（3p+5）（3p﹣5）；（2）（m﹣n）（﹣n﹣m）；（3）（4n﹣3m）（3m+4n）；（4）（2m﹣3n）（3n+2m）；（5）（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x）；（6）9945×10015．【分析】原式各项利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：（1）（3p+5）（3p﹣5）＝9p2﹣25；（2）（m﹣n）（﹣n﹣m）＝n2﹣m2；（3）（4n﹣3m）（3m+4n）＝16n2﹣9m2；（4）（2m﹣3n）（3n+2m）＝4m2﹣9n2；（5）（﹣2x+3y）（﹣3y﹣2x）＝4x2﹣9y2；（6）9945×10015=（100−15）×（100+15）＝10000−125=99992425．21．（2022春•定远县月考）观察下列一组等式：（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1（a﹣2）（a2+2a+4）＝a3﹣8（a+3）（a2﹣3a+9）＝a3+27（1）以上这些等式中，你有何发现？利用你的发现填空．①（x﹣3）（x2+3x+9）＝ x3﹣27 ；②（2x+1） 4x2﹣2x+1 ＝8x3+1；③ x﹣y （x2+xy+y2）＝x3﹣y3．（2）利用你发现的规律来计算：（a+b）（a﹣b）（a2+ab+b2）（a2﹣ab+b2）．【分析】（1）根据上述等式归纳总结得到规律，即可得到结果；（2）把一三、二四因式分别结合，利用得出的规律，即可得到结果．【解答】解：（1）①（x−3）（x2+3x+9）＝x3−27；②（2x+1）（4x2−2x+1）＝8x3+1；③（x−y）（x2+xy+y2）＝x3−y3．故答案为：①x3﹣27；②4x2﹣2x+1；③x﹣y；（2）原式＝（a+b）（a﹣b）（a2﹣ab+b2）（a2+ab+b2）＝（a3+b3）（a3﹣b3）22．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值．解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，∴t＝±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9．上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）在（1）的条件下，若xy＝1，求（x+y）2和x﹣y的值．【分析】（1）设2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根据2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，进而求出x2+y2＝3；（2）根据完全平方公式解答即可．【解答】解：（1）设2x2+2y2＝t，则原方程变形为（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：整理得t2﹣9＝27，∴t2＝36，解得t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）∵x2+y2＝3，xy＝1，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝3+2＝5，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝3﹣2＝1，∴x﹣y＝±1．23．（2022春•南海区校级月考）如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=12（上底+下底）×高）．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；（2）利用上述过程所揭示的乘法公式计算：a4+（1﹣a）（1+a）（1+a2）【分析】（1）用代数式分别表示图1、图2阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分面积为S1，可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，图2中阴影部分面积为S2，是上底为2b，下底为2a，高为（a﹣b）的梯形，因此S2=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）得，a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），所以a 4+（1﹣a ）（1+a ）（1+a 2）＝a 4+（1﹣a 2）（1+a 2）＝a 4+（1﹣a 4）＝a 4+1﹣a 4＝1．24．（2022秋•思明区校级期中）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）A ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2B ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x 2﹣4y 2＝12，x +2y ＝4，求x ﹣2y 的值；②计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120212)(1−120222)．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；（2）①根据平方差公式将x 2﹣4y 2＝12化为（x +2y ）（x ﹣2y ）＝12，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式化为（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1+14）……（1−12021）（1+12021）（1−12022）（1+12022），进而得出12×32×23×43×34×××54⋯⋯×20202021×20222021×20212022×20232022，进行计算即可．【解答】解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a 2﹣b 2，拼成的图2是长为（a +b ），宽为（a ﹣b ）的长方形，因此面积为（a +b ）（a ﹣b ），所以a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：B ；（2）①∵x2﹣4y2＝12，∴（x+2y）（x﹣2y）＝12，又∵x+2y＝4，∴x﹣2y＝12÷4＝3，答：x﹣2y的值为3；②原式＝（1−12）（1+12）（1−13）（1+13）（1−14）（1+14） (1)12021）（1+12021）（1−12022）（1+1 2022）=12×32×23×43×34×××54⋯⋯×20202021×20222021×20212022×20232022=12×20232022=2023 4044．。
初一数学平方差公式专题提高训练
初一数学平方差公式专题提高训练1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192= ．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）= ．（x﹣1）（x2+x+1）= ．（x﹣1）（x3+x2+x+1）= ．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）= ．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．15．（2010春•成都校级期末）16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）= ；（2）（2+1）（22+1）= ；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）18．（2000•内蒙古）计算：19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．28．用平方差公式速算：30×29．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【分析】（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（a﹣b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）先变式，再根据平方差公式计算．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），这个公式的名称叫平方差公式．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．（2）利用平方差公式简便计算．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192= 80 ．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明．【分析】（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．【分析】（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）= x2﹣1 ．（x﹣1）（x2+x+1）= x3﹣1 ．（x﹣1）（x3+x2+x+1）= x4﹣1 ．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）= x n+1﹣1 ．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．【分析】（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；（3）根据规律计算即可．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．【分析】根据式子得特点转化成（2007﹣1）（2007+1）﹣20072，用平方差公式展开即可求出答案．15．（2010春•成都校级期末）【分析】利用平方差公式即可求得（x﹣2）（x+2）与（﹣3+x）（﹣x﹣3）的值，再求和即可．16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）= 3 ；（2）（2+1）（22+1）= 15 ；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上2﹣1=1，根据平方差公式求出即可；（3）添加上（2﹣1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（4）求出（2+1）（22+1）、（2+1）（22+1）（23+1）、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）、…、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2进行计算即可．18．（2000•内蒙古）计算：【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．【分析】根据平方差公式把a2﹣b2=48化为（a+b）（a﹣b）=48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．【分析】本题是平方差公式的应用，﹣5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．【分析】把（x+y）2=4两边开平方得到x+y=±2，然后根据平方差公式把x2﹣y2=5变形为（x+y）（x﹣y）=5，再代入计算整理即可求解．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）【分析】直接利用平方差公式计算即可．23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可；（2）直接利用平方差公式进行计算即可；（3）直接利用平方差公式进行计算即可；（4）两次运用平方差公式进行计算即可；25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）【分析】（1）先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式先计算（x+2）（x﹣2），然后再次利用平方差公式计算即可．27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．【分析】所求算式前面乘（2﹣1），然后依据平方差公式计算即可．28．用平方差公式速算：30×29．【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算即可．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．【分析】首先将原式变形为20132﹣（2013﹣1）（2013+1）﹣（1000﹣1）2后，展开合并即可得出结论．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．。
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初一数学平方差公式专题提高训练1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=．（x﹣1）（x2+x+1）=．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．15．（2010春•成都校级期末）16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=；（2）（2+1）（22+1）=；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）18．（2000•内蒙古）计算：19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．28．用平方差公式速算：30×29．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．初一数学平方差公式专题提高训练参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【分析】（1）首先把124分成123+1，把122分成123﹣1，然后根据平方差公式计算即可．（2）根据乘法交换律和平方差公式，求出算式（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）的值是多少即可．2．（2015秋•宁津县校级月考）探索题：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1（1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）（2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1）=x7﹣1；（2）给等式乘以（2﹣1）从而可知22013+22012+…+22+2+1=22014﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案．3．（2014春•东海县校级期末）乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（a﹣b）（a+b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；（4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案可以由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）先变式，再根据平方差公式计算．4．（2014春•江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形．（1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），这个公式的名称叫平方差公式．（2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积﹣小正方形的面积=阴影面积；利用矩形公式即可求解；利用面积相等列出等式即可；是平方差公式．（2）利用平方差公式简便计算．5．（2014春•宝安区校级月考）观察下列式子．①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8；②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24；④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32．（1）求212﹣192=80．（2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是这两个数和的2倍，并给予证明．【分析】（1）将212﹣192写成（21+19）（21﹣19）利用平方差公式计算即可；（2）根据题目提供的规律进行证明后即可得到结论．6．（2014春•汕尾校级月考）看图解答（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（2）运用你所得到的公式，计算下题：①10.3×9.7②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）【分析】（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．7．（2014春•黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果；（2）求出它的末位数字．【分析】（1）将2转化为（3﹣1），与（3+1）配成平方差公式，其结果为（32﹣1），与（32+1）又配成平方差公式，依此类推，可得结果．（2）根据31=3，32=9，33=27，3，4=81，35=243发现四次一循环，利用这一规律即可确定答案．8．（2013秋•无为县期末）计算下列各题：（1）填空：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1．…（2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=x n+1﹣1．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299．【分析】（1）原式各项利用平方差公式及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果；（2）归纳总结得到一般性规律即可得到结果；（3）根据规律计算即可．9．（2013秋•安岳县期末）乘法公式的探究及应用：（1）如图1所示，阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）．（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．（4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．10．（2012春•阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）【分析】先交换位置，再根据平方差公式进行计算即可．11．（2011春•泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205．解：195×205=（200﹣5）（200+5）①=2002﹣52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是利用平方差公式（填乘法公式的名称）．（2）用简便方法计算：9×11×101×10001．【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．12．（2010秋•涵江区期末）计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．【分析】把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取﹣1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．13．（2010春•南岸区期末）运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1；（2）20102﹣2011×2009．【分析】（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值；（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000﹣1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值．14．（2010春•濮阳校级月考）应用乘法公式进行计算：2006×2008﹣20072．【分析】根据式子得特点转化成（2007﹣1）（2007+1）﹣20072，用平方差公式展开即可求出答案．15．（2010春•成都校级期末）【分析】利用平方差公式即可求得（x﹣2）（x+2）与（﹣3+x）（﹣x﹣3）的值，再求和即可．16．（2009春•青羊区校级期中）已知，（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，求（1）（2﹣1）（2+1）=3；（2）（2+1）（22+1）=15；（3）求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的值；（4）求（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）+7的个位数字．【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上2﹣1=1，根据平方差公式求出即可；（3）添加上（2﹣1），重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（4）求出（2+1）（22+1）、（2+1）（22+1）（23+1）、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）、…、（2+1）（22+1）（23+1）（24+1）…（230+1）的结果，根据结果得出规律（结果的个位数字是5），即可求出答案．17．（2009春•甘州区校级期中）（x﹣2y）（2y+x）【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2进行计算即可．18．（2000•内蒙古）计算：【分析】分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．19．已知a+b=8，且a2﹣b2=48，求a﹣3b的值．【分析】根据平方差公式把a2﹣b2=48化为（a+b）（a﹣b）=48，根据题意求出a、b的值，代入计算即可．20．计算：（3x﹣5y2）（﹣3x﹣5y2）．【分析】本题是平方差公式的应用，﹣5y2是相同的项，互为相反项是3x与5y2，对照平方差公式计算．21．若x2﹣y2=5，（x+y）2=4，求x﹣y的值．【分析】把（x+y）2=4两边开平方得到x+y=±2，然后根据平方差公式把x2﹣y2=5变形为（x+y）（x﹣y）=5，再代入计算整理即可求解．22．（a﹣b）（a+b）（a2+b2）【分析】直接利用平方差公式计算即可．23．如图，在边长为a的正方形的一角是一个边长为b的正方形，请用这个图形验证公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【分析】利用正方形的面积减去小正方形的面积，即为所剩部分的面积．24．利用平方差公式计算：（1）（3x﹣5）（3x+5）；（2）（﹣2a﹣b）（b﹣2a）；（3）（﹣7m+8n）（﹣8n﹣7m）；（4）（x﹣2）（x+2）（x2+4）．【分析】（1）直接利用平方差公式进行计算即可；（2）直接利用平方差公式进行计算即可；（3）直接利用平方差公式进行计算即可；（4）两次运用平方差公式进行计算即可；25．计算：（a﹣）（a+）（a2﹣a+）（a2+a+）【分析】首先利用立方和与立方差公式进行计算，最后再利用平方差公式计算．26．计算：（1）（﹣ab﹣2）（ab+2）（2）（x+2）（x﹣2）（x2+4）【分析】（1）先提取符号，然后利用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式先计算（x+2）（x﹣2），然后再次利用平方差公式计算即可．27．小明在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，得3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=44﹣1，仿照上式方法计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（2256+1）﹣2512的值．【分析】所求算式前面乘（2﹣1），然后依据平方差公式计算即可．28．用平方差公式速算：30×29．【分析】把原式化为平方差的形式，然后根据平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算即可．29．简便计算：20132﹣2012×2014﹣9992．【分析】首先将原式变形为20132﹣（2013﹣1）（2013+1）﹣（1000﹣1）2后，展开合并即可得出结论．30．（2006秋•简阳市期末）观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．【分析】从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．。