北师版高数必修一第12讲：幂函数(教师版)——方庄陈帅
北师大版高中数学必修一教案简单幂函数的图象和性质 Word版含解析 (1)
第二章函数第4.2节简单幂函数的图像和性质教学设计y=及其他们的图像《简单的幂函数》是对学生学习了正、反比例函数和二次函数2x和性质的基础上来研究的，是这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征的推广，本节突出幂函数从特殊到一般的推广，同时要研究函数的另外一个重要的性质奇偶性，是继函数单调性之后的又一重要的性质，是函数性质的延续和深化，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触过的函数，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升，为后续学习做了铺垫。
一．教学目标：1．了解指数是整数的幂函数的概念;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法；3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力。
二. 核心素养1.数学抽象：幂函数概念的理解y=及其他们的图像和性质的基础上2. 逻辑推理：通过对正、反比例函数和二次函数2x来研究的，我把这些特殊函数等在解析式的形式上共有特征推理到一般的形式上。
3. 数学运算：求简单的幂函数解析式；4. 直观想象：通过幂函数的图像，可以直观的分析函数性质5. 数学建模:在具体情境问题中，运用数形结合思想，利用幂函数的性质，图像，解决实际问题教学重点幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法教学难点简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性PPT1．知识引入我们已经熟悉，y=x是正比例函数，1yx=是反比例函数,y=x2是一元二次函数，还有y x=,y=x3，它们都是简单的幂函数.2.幂函数的概念概述：一般地,形如y=x a(a为常数)的函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数。
这里的1yx=和y x=在今后的学习中可以分别写成y=x-1和y=x-2【知识点扩充】具体特点:①底数是自变量②指数是常量③xα的系数是13.动手实践1.将y=x;1yx=;y=x2,y x=,y=x3这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3.2 在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象,并说出画法的依据.【知识扩充】1、常见幂函数图像2、总结幂函数性质()0,+∞都有定义，⑴所有的幂函数在并且图象都过点(1 , 1)（原因：1x =1）；⑵a>0时，幂函数的图象都通过原点，且在)0,+∞⎡⎣上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.⑶a<0时，幂函数的图象在区间)0,+∞⎡⎣上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近x 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.题型一：判断下列那些是幂函数判一判：判断下列函数是否为幂函数. (1)m y ax = 2(2)y x x =+ 3n y x =（） 5(4)(2)y x =- 2(5)2y x = 21(6)y x =【答案】：（3），（6）题型二：幂函数图像问题2.如图所示，曲线是幂函数y=x a在第一象限内的图象，已知a分别取11,1,,22四个值，则相应图象依次为：答案：C4，C2，C3，C1题型三：根据幂函数性质，求解参数值3．幂函数在（0，+∞）时是减函数，则实数m的值为（）A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1【解析】解：由于幂函数在（0，+∞）时是减函数，故有，解得m＝﹣1，故选：B．题型四：比较大小4．a＝2，b＝3，c＝5则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解析】解：∵a＝2，b＝3，c＝5，很明显，a、b、c都是正实数，∵b6﹣a6＝9﹣8＝1＞0，∴b6＞a6，∴b＞a．∵a10﹣c10＝32﹣25＞0，a10＞c10，∴a＞c．综上可得：b＞a＞c，故选：C．5．已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．a＜b＜c【解析】解：∵a＝0.24＝0.042＝0.0016，b＝0.32＝0.09，c＝0.43＝0.064，∴b＞c＞a，故选：B．1.掌握幂函数的概念2.会画5种幂函数的图像3.结合图像了解幂函数图像的变化情况和简单性质。
简单幂函数的图象和性质+课件——2023-2024学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
是
（3） = 2
不是
（4） = 2 + 1
不是
（5） = − 3
不是
（1） =
幂函数
【例8】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
解：（1）可看作幂函数 = 1.4 的两个函数值。
（1）1.51.4 ，1.61.4
该函数在 0 ， +∞ 上递增，
（2）1.50.4 ，1.60.4
0 , +∞ , 单调递增
（0，0）（1，1）
幂函数
解析式
当 < 0时
= −1
= −2
= −3
≠0
≠0
奇函数
≠0
>0
偶函数
≠0
≠0
奇函数
>0
>0
非奇非偶
减函数
减函数
=
1
−
2
图象
定义域
值域
奇偶性
单调性
定点
减函数
−∞ , 0 , 单调递增
0 , +∞ , 单调递减
幂函数
365
1 =1
365
1 =1
如果你
原地踏步
365
1 =1
一年之后
你还是 那个 1
1.01
=37.8
365
365
1.01 =37.8
如果你
每天进步 一点点
365
1.01 =37.8
一年之后
你的进步 远远大于1
0.99
=0.03
365
365
0.99 =0.03
可是如果你
每天退步哪怕一丢丢
解：考察函数 f(x)=
数学必修Ⅰ北师大版25简单的幂函数PPT课件
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
北师大版高中数学必修一教学案简单的幂函数
2.对任意的x，若f(-x)=-f(x)，则称为。奇函数的图像关于。
3.对任意的x，若f(-x)=f(x)，则称为。偶函数的图像关于。
4.所有的幂函数在（0，+ ）上都有定义，并且图像都经过点。
5.如果 >0，则幂函数图像通过，并且在区间 上是。
如果 <0，并且在区间（0，+ ）上是。
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知幂函数 ，当x∈(0，＋∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？
2.已知 是奇函数， 是偶函数，且 ，求 、 .
（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 .
练习.比大小：
（1） 与 ；（2） 与 ；
（3） 与
三巩固练习
1．函数f(x)＝|x|＋1是()
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
2．下列函数中，定义域为R的是()
A．y＝x－2B．
C．y＝x2D．y＝x－1
3．函数y＝(x＋2)(x－a)是偶函数，则a＝()
A．2 B．－2
C．1 D．－1
4．设α∈{－1,1， ，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
5．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＝________.
6．已知函数f(x)＝ ，已知f(a)＞1，则实数a的取值范围是________．
二师生互动
例1在同一坐标系作出下列函数的图象：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．
北师大版高中数学必修1：简单的幂函数_课件1
3．函数 y＝(x2－2x) －12 的定义域为
()
A．{x|x≠0，或 x≠2}
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．(0,2)
解析：x应满足x2－2x>0，解得x>2或x<0. 答案：B
4．关于 x 的函数 y＝(x－1)α(其中 α 的取值可以是 1,2,3， －1，12)的图像恒过定点________． 解析：因为幂函数y＝xα的图像恒过定点(1,1)，所 以函数y＝(x－1)α恒过定点(2,1)． 答案：(2,1)
1
③y＝x 5 ＋x4；④y＝xn；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；
⑧y＝1.
A．①②③⑧
B．①④
C．③④⑤⑥
D．②④⑦
[思路点拨] 解答本题可先考虑幂函数的定义，紧紧抓
住其形式特点再一一判断．
[精解详析] 由幂函数的定义：形如 y＝xα(α∈R)的 函数才是幂函数，则 y＝x13＝x－3，y＝xn 是幂函数．
(1)f(x)＝x23＋x 3； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x. 解：(1)f(x)的定义域是 R， 又 f(－x)＝－3x－2＋x 3＝－x23＋x 3＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数；
(2)f(x)的定义域是 R， 又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1| ＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数； (3)函数 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．
我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反 比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：
(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y； (2)如果正方形场地面积为x，其边长为y. 问题1：在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？ 提示：y＝x3.
北师版高数必修一第12讲：幂函数(教师版)
幂函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y = x ，y =x 2， y =x 3， y =x 12，的图像，了解它们的变化情况.2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.一、定义：一般地，我们把形如()ay xa R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。
特别提醒：幂函数的基本形式是 y = x a ，其中x是自变量，a是常数.要求掌握 y = x ，y =x 2， y =x 3，y =x 12， y =x −1 这五个常用幂函数的图象.二、幂函数性质：1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数令a qp=（p 、q 互质） a <0 0<a <1 a >1qpy x =（p 、q 互质）p 、q 是奇数p是奇数、q是偶数p是偶数、q是奇数y x=y x=（1）当a > 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,+¥ ) 上是增函数.（2）当a < 0 时，图象过定点(1,1)；在(0,+¥ ) 上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.三、如图,,,,,a b c d e f的大小关系为：a b c d e f<<<<<类型一幂函数的定义例1：在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：显然，根据幂函数定义可知，只有y＝1x2＝x－2是幂函数．答案：B练习1：有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝x23；⑥y＝2x.O xyO xy其中，是幂函数的有________(只填序号)． 答案：④⑤练习2：函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2 D ．k ≠3且k ≠－2答案: C类型二 幂函数的图象和性质例2：幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q的图象如图，则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．解析：过原点的指数α>0，不过原点的α<0， ∴n <0，当x >1时，在直线y ＝x 上方的α>1，下方的α<1， ∴p >1,0<m <1,0<q <1；x >1时，指数越大，图象越高，∴m >q ，综上所述n <q <m <p . 答案：n <q <m <p .练习1：(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2答案：C练习2：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6答案：B··类型三 函数值大小的比较例3：比较下列各组数的大小解析：(1)考察幂函数y ＝x 1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∵a ＋1>a ，∴(a ＋1)1.5>a 1.5.(2)考察幂函数y ＝x −23，在区间[0，＋∞)上是单调减函数． ∵2＋a 2≥2，∴(2+a 2)−23≤2−23.答案:(1) (a ＋1)1.5>a 1.5.（2）(2+a 2)−23≤2−23.练习1：下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13 B ．(12)23 <(12)13 <(15)23 C ．(15)23 <(12)13 <(12)23 D ．(15)23 <(12)23 <(12)13 答案: D练习2：比较下列三个值的大小 1.112，1.412，1.113； 答案：1.412>1.412>1.4121、如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案：B2、下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D3、函数y ＝|x |12的图象大致为( )答案：C4、设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案：C5、若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． 答案: -16、(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________.答案: x 3_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞1答案：B2．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称答案：D3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定答案：B4．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h 答案：C5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )答案: D能力提升6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．答案：1或27．如果幂函数y ＝x a 的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________． 答案：a <18. 已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．答案：(1)m ＝1.(2)m ＝－1.(3)m ＝－1±132.(4)m ＝－1±2.9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．答案：1.10. 已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。
北师大版高中数学必修第一册2.4.2简单幂函数的图象和性质课件
教材要点 要点一 幂函数的概念 一般地，形如___y＝__x_α__(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是 常数的函数称为幂函数．
要点二 幂函数的图象和性质
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
定义域
R
R
R
{_x_|_x_≥___0_}
{_x_|_x_≠___0_}
值域
R
6．(13分)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时f(x)： (1)是幂函数；
解析：∵f(x)是幂函数， 故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1.
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
解析：若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2， 即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
解析：过原点的指数α>0，不过原点的α<0，所以n<0， 当x>1时，在直线y＝x上方的α>1，下方的α<1，所以p>1，0<m<1，0<q<1；x>1 时，指数越大，图象越高，所以m>q.综上所述n<q<m<p.
答案：B
四
状元随笔 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同．若指 数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则 考虑用中间值法比较大小，中间值可以是“0”或“1”．
答案：B
3．[多选题]已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法错误的是( ) A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)的图象一定经过点(1，1) D．f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
高中数学北师大版必修1-幂函数教案教案
2.3 幂函数刘晓杰一．教学目的1．了解幂函数的概念2．理解幂函数的性质3．能从幂函数图象发现并理解幂函数的性质。
二．教学重点1．理解幂函数的性质三．教学难点1．从具体图象的性质推广到一般并概括出幂函数的性质四．教学过程1．复习前面2个基本初等函数，点明研究函数的基本内容。
2．创设情景，引入新课多媒体显示五个例子，引导学生观察，并归纳他们的共同特征。
幂函数的概念一般地，函数y=x a叫做幂函数(power function)，其中x是自变量，a是常数。
练习1：下列函数中，那些是幂函数？(1)，y=x4 (2), y=1/x2(3), y= -x2(4), y=x1/2(5), y=2x2 (6), y=x3+2 （归纳判断的原则）几个常见幂函数的图象和性质借助计算机利用《几何画板》软件画出函数y=x3和y=x1/2结合学生课前画好的y=x,y=x2,y=x-1三个图象，在同个坐标系内讨论完成课本的表格。
讨论归纳幂函数的性质五．例题例1：判断正误1.函数f(x)=x+1/x 为奇函数.2.函数f(x)=x 2,x ∈[-1,1)为偶函数.练习1.函数y=f(x)在定义域R 上是奇函数,且在(-∞,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ∞)上也是递增的.2.函数y=f(x)在定义域R 上是偶函数,且在(-∞,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ∞)上也是递减的.3.函数y=f(x)在实数集R 上是奇函数, 则f(0)=0.例2 比较下列各组数的大小；练习（3）证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数．六．课堂小结(1) 幂函数的定义；(2) 幂函数的性质；(3) 利用幂函数的单调性判别大小七．作业：复习参考题Ａ组 10题 ,B 组 3题高一（7）2005-10-21 87872525918 2133 1------)()(.)(和和x x f =)(32523283 14 2632 132-----..)()()()(和和π。
2.4.2简单幂函数的图象和性质课件高一数学北师大版必修一
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
2. 利用幂函数的性质，比较 (– 1.2)3 与 (– 1.1)3 的大小.
解：由 y = x3 的定义域为 R，且在 R 上单调递增，
因为 –1.2 < – 1.1，所以 (– 1.2)3 < (– 1.1)3 .
方法小结：
（1）α 相同时，先判断函数的单调性；
（2）然后根据自变量的大小，直接比较函数值的大小.
新授课
2.4.2 简单幂函数的图象和性质
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 了解幂函数的概念和性质；
2. 结合函数图象理解简单幂函数的变化规律.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1：幂函数的概念及性质
视察：下列函数解析式有什么共同特征？
（1）以 1 元/kg的价格买了某种蔬菜w kg，需要支付 p = w 元，这里 p 是 w 的函数；
t
这里 v 是 t 的函数.
学习目标
课堂总结
新课讲授
把上述自变量全部用 x 来表示，函数值用 y 来表示，则它们的函数关系
式是：
y=x
y=
x2
y=
x3
y=
1
x2
y = x -1
共同特征：上述函数，都是形如 y = x α 的函数.
概念生成
一般地，形如 y = x α ( α 是常数) 的函数，即底数为自变量 x ，指数为常
数 α 的函数称为幂函数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
①⑤⑥
1. 下列函数中，是幂函数的有___________.
1
1
3
3
北师版高数必修一第12讲：幂函数(教师版)
北师版高中数学：幂函数__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y = x ，y =， y =， y =，的图像，了解它们的变化情况.2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解.一、定义：一般地，我们把形如()ay xa R =∈的函数叫做幂函数，其中a 为常数。
特别提醒：幂函数的基本形式是 y = ，其中x 是自变量，a 是常数. 要求掌握 y = x ，y = ， y = ，y =， y = 这五个常用幂函数的图象.二、幂函数性质：1、所有的幂函数在()0,+∞都有定义，并且图像都通过点()1,1；2、如果0a >，则幂函数的图像经过原点，并且在区间[)0,+∞上为增函数；如果0a <，则幂函数的图像不经过原点，并且在区间()0,+∞上为增函数是奇数（1）当a > 0 时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,+¥ ) 上是增函数.（2）当a < 0 时，图象过定点(1,1)；在(0,+¥ ) 上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.三、如图,,,,,a b c d e f的大小关系为：a b c d e f<<<<<类型一幂函数的定义例1：在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝3x中，幂函数的个数为( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：显然，根据幂函数定义可知，只有y＝1x2＝x－2是幂函数．答案：B练习1：有下列函数：①y＝3x2；②y＝x2＋1；③y＝－1x；④y＝1x；⑤y＝；⑥y＝2x.其中，是幂函数的有________(只填序号)． 答案：④⑤练习2：函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是( ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2 D ．k ≠3且k ≠－2答案: C类型二 幂函数的图象和性质例2：幂函数y ＝x m ，y ＝x n ，y ＝x p ，y ＝x q的图象如图，则将m 、n 、p 、q 的大小关系用“<”连接起来结果是________．解析：过原点的指数α>0，不过原点的α<0， ∴n <0，当x >1时，在直线y ＝x 上方的α>1，下方的α<1， ∴p >1,0<m <1,0<q <1；x >1时，指数越大，图象越高，∴m >q ，综上所述n <q <m <p . 答案：n <q <m <p .练习1：(2014～2015学年度江西鹰潭一中高一上学期月考)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k －α＝( ) A ．12B ．1C ．32D ．2答案：C练习2：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．6 D．－1或6答案：B··类型三 函数值大小的比较例3：比较下列各组数的大小解析：(1)考察幂函数y ＝x 1.5，在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∵a ＋1>a ，∴(a ＋1)1.5>a 1.5.(2)考察幂函数y ＝，在区间[0，＋∞)上是单调减函数． ∵2＋a 2≥2，∴≤.答案:(1) (a ＋1)1.5>a 1.5.（2）≤.练习1：下列关系中正确的是( )A ．(12)23 <(15)23 <(12)13B ．(12)23 <(12)13 <(15)23C ．(15)23 <(12)13 <(12)23D ．(15)23 <(12)23 <(12)13 答案: D练习2：比较下列三个值的大小，，； 答案：>>1、如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案：B2、下列命题中正确的是( ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案：D3、函数y ＝|x |12的图象大致为( )答案：C4、设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)答案：C5、若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． 答案: -16、(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2,8)，则f (x )＝______________.答案: x 3_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．如图所示为幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＜1D ．n ＜－1，m ＞1答案：B2．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象( )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称答案：D3．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x )，则下列结论中正确的是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确定答案：B4．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个繁殖成212个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h 答案：C5．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被面积可以增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )答案: D能力提升6．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，则m 是__________．答案：1或27．如果幂函数y ＝x a 的图象，当0<x <1时，在直线y ＝x 的上方，那么a 的取值范围是________． 答案：a <18. 已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是 (1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数； (4)幂函数．答案：(1)m ＝1.(2)m ＝－1.(3)m ＝－1±132.(4)m ＝－1±2.9．定义函数f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，求f(x)的最小值．答案：1.10. 已知幂函数y＝x m2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值。
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幂函数
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
)
)已知幂函数 y＝ (m2－ 5m－
A．1
B ．－ 1
C．6 答案： B
D．－ 1 或 6
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·· 类型三 函数值大小的比较
例 3： 比较下列各组数的大小
解析： (1) 考察幂函数 y＝ x1.5 ，在区间 [0 ，＋∞ ) 上是单调增函数，
∵ a＋ 1>a，∴ ( a＋ 1) 1.5 >a1.5 .
2 3
<(
1 5)
2 3
<(
1 2)
1 3
C
．
(
1 5)
2 3
<(
1 2)
1 3
<(
1 2
2
)3
答案 : D
练习 2： 比较下列三个值的大小
1
1
1
1.1 2， 1.42 ，1.13 ；
1
1
1
答案： 1.42 >1.4 2>1.4 2
B
．
1 (2)
2 3
<(
1 2)
1 3
<(
1 5
2
)3
D
．
1 (5)
2
(2) 考察幂函数 y＝??- 3 ，在区间 [0 ，＋∞ ) 上是单调减函数．
2
2
∵ 2＋ a2≥2，∴ (2 + ??2 ) - 3≤ 2- 3.
答案 : (1) (
a＋1) 1.5 >a1.5 . （ 2） (2
+
??2)
-
2 3
≤
2-
2
3.
练习 1： 下列关系中正确的是 ( )
A
．
1 (2)
D． 3
解析： 显然，根据幂函数定义可知，只有
y
＝
1 x 2＝
x
－2
是幂函数．
答案： B 练习 1： 有下列函数：
①
y＝
3 x 2；②
y＝
x2＋
1；③
y＝－
1 ；④
1 y＝ ；⑤
2
y＝??3 ；⑥
y
＝
2x
.
x
x
2
·· 其中，是幂函数的有 ________( 只填序号 ) ．
答案： ④⑤ 练习 2： 函数 y＝ ( k2－k－ 5)x2 是幂函数，则实数 k 的值是 ( )
过定点 (1,1) ；在 (0, +￥ ) 上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近
.
三、如图 a,b,c,d , e, f 的大小关系为： abcde f
类型一 幂函数的定义
例 1： 在函数
y＝
1 x 2，
y＝
2x
2，
y
＝
x
2＋
x，
y＝
3x
中，幂函数的个数为
(
)
A． 0
B． 1
C． 2
)
2
答案： C
4、设函数
y＝
ax－
2－
1 2(
a>0
，且
a≠ 1)的图象恒过定点
A，若点 A 在幂函数 y＝ xα的图象上，则该
幂函数的单调递减区间是 ( )
A ． (－∞， 0)
B ．(0，＋∞ )
C． (－∞， 0)， (0，＋∞ )
D． (－∞，＋∞ )
答案： C
5、若函数 f(x)＝ (2m＋ 3)xm2－ 3 是幂函数，则 m 的值为 ________．
答案： n<q<m<p.
练习 1： (2014 ～ 2015 学年度江西鹰潭一中高一上学期月考 )已知幂函数 f(x)＝ kxα 的图象过点
12， 2 ，则 k－ α＝ (
)
1 A．2
B．1
3 C．2
D．2
答案： C
练习 2： (2014 ～ 2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试
5)x2m＋1 在 (0，＋∞ )上单调递减，则实数 m＝(
2 3
<(
1 2
2
)3
<(
1 2
1
)3
1、如图曲线是幂函数
y＝ xn 在第一象限内的图象，
已知 n 取±2，±1四个值， 相应于曲线 2
C1 、C2、
C3、C4 的 n 依次为 ( )
A
．－
2，－
1，1， 22
2
C．－ 12，－ 2,2，12
答案： B
B ．2， 1，－ 1，－ 2 22
D．
2，
12，－
答案 : -1
6、 (2014 ～ 2015 学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试 )已知幂函数 y＝ f(x)的图象过点 (2,8)，
则 f(x)＝ ______________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
y =??2， y =??-1 这五个常用幂函数的图象 .
二、幂函数性质：
1、所有的幂函数在 0, 都有定义，并且图像都通过点 1,1 ；
2、如果 a 0 ，则幂函数的图像经过原点，并且在区间
0,
上为增函数；如果 a 0，则幂
函数的图像不经过原点，并且在区间
0, 上为增函数
3、幂函数的图像及其奇偶性：
1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数
1
y = x ， y =??2， y =??3 ， y =??2 ，的图像，了解
它们的变化情况 .
2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解
.
一、定义：
一般地，我们把形如
y
a
xa
R 的函数叫做幂函数，其中
a 为常数。
特别提醒： 幂函数的基本形式是
y = ????，其中 x是自变量， a 是常数 . 要求掌握 y = x ， y =??2， y =??3 ，
令a
q （ p 、 q 互质）
p
q
y xp （ p 、q互
质）
p 、 q 是奇数
a0
0a1
a1
1
··
p 是奇数、 q 是偶数
p 是偶数、 q 是奇数
yx
y
O
x
y x0
y
O
x
特别提醒：
（ 1）当 a > 0 时，图象过定点 (0,0),(1,1) ；在 (0, +￥ ) 上是增函数 . （ 2）当 a < 0 时，图象
A ． k＝3
B ．k＝－ 2
C． k＝ 3 或 k＝－ 2
D． k≠ 3 且 k≠－ 2
答案 : C
类型二 幂函数的图象和性质 例 2： 幂函数 y＝ xm， y＝xn， y＝ xp， y＝ xq 的图象如图，则将 m、 n、p、 q 的大小关系用“ <”连
接起来结果是 ________．
解析： 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0， ∴ n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝ x 上方的 α>1，下方的 α <1， ∴ p>1,0< m<1,0< q<1； x>1 时，指数越大，图象越高，∴ m>q， 综上所述 n<q<m<p.
2，－
1 2
2、下列命题中正确的是 ( )
A ．幂函数的图象不经过点 (－ 1,1)
B ．幂函数的图象都经过点 (0,0)和点 (1,1)
4
·· C．若幂函数 f(x) ＝xa 是奇函数，则 f(x)是定义域上的增函数
D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案： D
3、函数 y＝ |x|1的图象大致为 (