空间向量与立体几何
空间向量与立体几何公式
空间向量与立体几何公式一、空间向量1、空间向量是一种简单的数学表达形式，表示一组相同类型数据成员之间的关系。
它可以描述空间中的每个点与另一个点之间的连接情况，而连接情况是由三个不同的坐标表示的。
换言之，空间向量就是描述空间中一个点到另一个点的方向及距离，作为一种数学实体而存在的。
2、空间向量可以用一个有向箭头来表示，并用数学记号标注出来。
通常来说，它的数学记号是表示坐标系中的另一个点在第一个点的坐标上的偏移量，如a→b表示b点在a点上的偏移量。
3、空间向量形式可以表示一条从原点到某个点的路径，通过它可以确定在x、y和z轴上的平移量，即偏移量，从而避免了我们有时在空间中运行物体时会误解运动方向的困难。
从更宏观的角度来说，空间向量可以用来表示以位置、速度和加速度等。
二、立体几何公式1、立体几何是几何学分支之一，它学习的内容是空间中的点、线、面和体的特性、关系及其变化规律，其中关于立体图形的内容被称为立体几何。
立体几何的定义是关于空间中的点、线、面和体的研究，以及它们之间的关系，其中主要考虑的就是位置、形状、大小以及一般的空间概念。
2、立体几何公式包括：立体几何定义、立体几何变换、立体几何性质、其他立体几何相关概念以及三角几何相关公式。
例如，立体几何定义涉及的公式有：空间中的点的位置关系（a-b=c），线的距离关系（L=1/2×Z1×Z2），面的面积关系（S=1/2×Z1×Z2×cosX），以及球体表面积（S=4×π×R2）等公式。
3、另外，立体几何公式还包括三角几何公式，它主要涉及到角度、正弦、余弦、正切、反正切等相关公式。
这些公式用来解决各种形状三角形以及其他更复杂的立体图形以及相关空间距离关系的问题。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
设向量为a=(a1,a2,a3)则其在x轴、y轴、z轴上的投影分别为a1、a2、a3即a=(a1,a2,a3)2）空间向量的模长：向量的模长是指其长度，即a|=√(a1²+a2²+a3²)3）向量的单位向量：一个向量的单位向量是指其方向相同、模长为1的向量。
设向量a的模长为a|则其单位向量为a/|a|4）向量的方向角：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角分别称为其方向角。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向角为α=cos⁻¹(a1/|a|)、β=cos⁻¹(a2/|a|)、γ=cos⁻¹(a3/|a|)5）向量的方向余弦：向量在空间直角坐标系中与三个坐标轴的夹角的余弦值分别称为其方向余弦。
设向量a=(a1,a2,a3)则其方向余弦为cosα=a1/|a|、cosβ=a2/|a|、cosγ=a3/|a|一、知识要点1.空间向量的概念：在空间中，向量是具有大小和方向的量。
向量通常用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
向量具有平移不变性。
2.空间向量的运算：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量运算相同。
运算法则包括三角形法则、平行四边形法则和平行六面体法则。
3.共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量。
共线向量定理指出，空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。
4.共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
5.空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p有唯一的有序实数组x、y、z，使p=xa+yb+zc。
若三向量a、b、c不共面，则{a,b,c}叫做空间的一个基底，a、b、c叫做基向量。
6.空间向量的直角坐标系：在空间直角坐标系中，一个向量可以用其在三个坐标轴上的投影来表示。
《空间向量和立体几何》复习教案
空间向量与立体几何一、教学目标1.利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.用向量方法求解线面的夹角、距离、证明平行或垂直关系；3.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题．二、教学重点培养向量方法解决立体几何的思维方法三、知识要点1.运用空间向量求空间角(1)求两异面直线所成角利用公式cos,a ba ba b⋅<>=⋅，但务必注意两异面直线所成角θ的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，故实质上应有：cos cos,a bθ=<>．(2)求线面角借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角ϕ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sin cos a u a uθϕ•==(3)求二面角方法1：是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；方法2：转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．2.运用空间向量求空间距离，求解步骤是：(1)求出该平面的一个法向量；(2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．||||AB n dn⋅=3.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.4.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.四、知识总结1.把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。
空间向量与立体几何：第2讲共线定理、共面定理的应用
共线定理、共面定理的应用【基础知识】(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a=λb .(2)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在唯一实数对x 、y ，使p xa yb =+ .(3)空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{x ，y ，z }，使p xa yb zc =++ .把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、y 、z ，使OP xOA yOB zOC =++ .其中x ＋y ＋z ＝1.【规律技巧】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2.中点向量公式1()2OM OA OB =+ ，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)PA PB λ= ；[来源:学科网](2)对空间任一点O ，OP OA t AB =+ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOA yOB x y =++= ．4．证明空间四点共面的方法对空间四点P ，M ，A ，B 可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)MP xMA yMB =+ ；(2)对空间任一点O ，OP OM xMA yMB =++ ；(3)对空间任一点O ，(1)OP xOM yOA zOB x y z =++++= ；(4)PM ∥AB (或PA ∥MB 或PB ∥AM )．【典例讲解】【例1】已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【变式探究】如图空间两个平行四边形共边AD ，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .【针对训练】1、已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .【答案】(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .2、有4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA→＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①正确，②中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立，③正确，④中若M ，A ，B共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不正确．故选B.3、】若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有，则P ，A ，B ，C 四点（）A ．不共面B ．共面C ．共线D．不共线4、若平面、的法向量分别为，则()A.B.C.、相交但不垂直 D.以上均不正确【答案】A 【练习巩固】1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ等于________．解析∵a ，b ，c 共面，且显然a ，b 不共线，∴c ＝x a ＋y b ，＝2x －y ，①＝－x ＋4y ，②＝3x －2y ，③＝337，＝177，代入③得λ＝657.答案6572．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．3．A ，B ，C ，D 是空间不共面四点，且AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．4.如图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心，(1)试证：A 1，G ，C 三点共线；(2)试证：A 1C ⊥平面BC 1D .5、如图，在长方体1111CD C D AB -A B 中，11AA =，D 2AB =A =，E 、F 分别是AB 、C B 的中点．证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11C F A E 所成的角的大小.6、若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，如果a 与b 为共线向量，则()A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32。
空间向量与立体几何复习课ppt课件
一、空间向量及其运算
（一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量． 2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模。即表示向量的有向线段的长度。 4. 单位向量：模是 1 的向量。
5. 零向量：模是 0 的向量。零向量的方向 是任意的。有向线段的起点与终点重合。
a b
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向 量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
3.空间向量基本定理:如果两个向量 a 、b、c 不共面, 则对空间中的任意向量 p ，存在唯一的有序实数对 (x, y , z) 使 p xa yb zc .
(二)、空间角的向量方法：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法பைடு நூலகம்量分别为 u, v ，则
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos cosa b ；
2
直线 l 与平面 所成角 ( 0 ≤ ≤ ), sin cosa u ；
2
二面角 ─l ─ 的为 ( 0≤ ≤ ), cos cosu v.
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理论知识点
一、空间向量及其运算
1、基本概念；
2、空间向量的运算；
3、三个定理；
4、坐标表示。
二、立体几何中的向量方法
1、判断直线、平面间的位置关系； 2、求解空间中的角度； 3、求解空间中的距离。
立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量知识梳理
立体几何与空间向量是数学中的两个重要分支，它们都涉及到三维空间的计算和处理。
下面是它们的知识梳理：
一、立体几何
1. 立体几何基本概念：点、线、面、立体、平行、垂直、角度、投影等。
2. 立体图形的性质：体积、表面积、对称性、切割等。
3. 立体几何基本公式：立方体、长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等的体积和表面积公式。
4. 立体几何运用：解决物体体积和表面积的计算问题，如容器的容积、房间的面积等。
二、空间向量
1. 空间向量定义及表示：三维空间中的有向线段，可以用起点坐标和终点坐标表示。
2. 空间向量的运算：加、减、数乘、点乘、叉乘等。
3. 空间向量的性质：模长、模长计算公式、向量方向，空间向量的平行性、垂直性等。
4. 空间向量的应用：用向量来表示物理量，如力、速度、加速
度等。
总结
立体几何和空间向量是数学中两个重要的分支，它们在三维空间中进行计算和处理。
在应用方面，立体几何可以解决物体的体积和表面积计算问题，而空间向量则可以用来表示和处理物理量。
在学习过程中，要注意掌握基本概念和公式，熟练掌握基本运算和性质，逐渐深入到应用层面。
空间向量与立体几何的知识点总结
空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。
第一章 空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .如果,2a b π<>= ,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <> 叫作,a b的数量积,记作a b ⋅ .即a b ⋅= cos ,a b a b <> .（3）数量积的性质：0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：()()a b a bλλ⋅=⋅ a b b a⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).推论：()2222a ba ab b +=+⋅+，()()22a b a b a b+⋅-=- .（5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b=<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a所在直线与平面α所成的角.5.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得p xa yb zc =++ .6.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k.以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.8.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .9.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P xy z ，则12PP =.12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a为平面的法向量.13.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ=.（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ=.14.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.15.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.<解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉求解.4.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).5.求点到平面的距离的四步骤6.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；7.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)典例1：多选题（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P，使得1A B⊥平面1AB P【详解】P在矩形11BCC B内部（含边界）典例2：如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则n BD n BC ⎧⋅⎨⋅⎩可取()0,1,1n =-r，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --的正弦值为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.典例3：已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==- 所以()012BF DE a ⋅=⨯-+ [方法三]：因为1BF A B ⊥(1BF ED BF EB BB B ⋅=⋅++ 1122BF BA BC BF ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2BF BC FBC =-⋅∠+作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =典例4：如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．。
第2讲 空间向量与立体几何(知识点串讲)(解析版)
第2讲空间向量与立体几何（知识点串讲）一、[体系构建]二、知识整合考点1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．例1、(2019·山东威海月考)若向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．c ∥d B ．c ⊥dC ．c 不平行于d ，c 也不垂直于dD ．以上三种情况均有可能【答案】B [由题意得，c 垂直于由a ，b 确定的平面．∵d ＝λa ＋μb ，∴d 与a ，b 共面．∴c ⊥d .] [跟踪训练]1、 (2019·河南新乡联考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则A ，B ，C ，P 四点( )A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．无法判断【答案】B [∵OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋18＝1. ∴P ，A ，B ，C 四点共面．]考点2．两个向量的数量积(1)非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ；③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 考点3．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).例2、（1111(1)化简A 1O →－12AB →－12AD →＝________.(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________.【答案】(1)A 1A → (2)12AB →＋12AD →＋AA 1→ [(1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1O →＋OA→＝A 1A →.(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.][跟踪训练]2、（2019·山西太原期末）已知P 为矩形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥平面ABCD ，点M 在线段PC 上，点N 在线段PD 上，且PM ＝2MC ，PN ＝ND ，若MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＋y ＋z ＝________.【答案】－23[如图，MN →＝PN →－PM →＝12PD →－23PC →＝12(AD →－AP →)－23(P A →＋AC →)＝12AD →－12AP →＋23AP →－23(AB →＋AD →)＝－23AB →－16AD →＋16AP →. 所以x ＋y ＋z ＝－23－16＋16＝－23.]考点4．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 考点5．空间位置关系的向量表示例3、( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对【答案】C [因为c ＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a ，所以a ∥c . 又a ·b ＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b .][跟踪训练]3、(2019·山西晋中联考)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2【答案】A [ ∵a ∥b ，∴b ＝k a ， 即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝kλ＋1，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.]考点6．异面直线所成角设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量．考点7．直线与平面所成角如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n |.考点8．二面角若AB ，CD 分别是二面角αl β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB →与CD →的夹角，如图(1)．平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α l β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|，如图(2)(3)．例4、(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A ．15B ．56 C ．55D ．22【答案】C [方法一 如图(1)，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA A 1′B 1′B 1A 1.图(1)连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′，即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55. 故选C ．方法二 如图(2)，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．图(2)由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)，D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)， ∴AD 1→＝(－1,0，3)，DB 1→＝(1,1，3)，∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5，∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→||DB 1→|＝225＝55.][跟踪训练]4、(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF .(1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明 由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD .(2)解 如图，作PH ⊥EF ，垂足为H .由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H xyz .由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1， 所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF . 所以PH ＝32，EH ＝32. 则H (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，－32，0， DP →＝⎝⎛⎭⎫1，32，32，HP →＝⎝⎛⎭⎫0，0，32.又HP →为平面ABFD 的法向量， 设DP 与平面ABFD 所成角为θ， 则sin θ＝|HP →·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34.。
高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何
高中数学知识点总结空间向量与立体几何一、考点概要：1、空间向量及其运算〔1〕空间向量的根本知识：①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量根本定理：ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，那么对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量〔平行向量〕：ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。
④共面向量：ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，那么说向量平行于平面α，记作。
平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，那么向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。
⑤空间两向量的夹角：两个非零向量、，在空间任取一点O，作，〔两个向量的起点一定要相同〕，那么叫做向量与的夹角，记作，且。
⑥两个向量的数量积：ⅰ定义：空间两个非零向量、，那么叫做向量、的数量积，记作，即：。
空间向量与立体几何知识点归纳总结
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
空间向量与立体几何(整章教案
空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示了解向量的概念，掌握向量的几何表示和代数表示。
学习向量的长度和方向，掌握向量的模和单位向量。
1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算。
掌握向量加法和减法的几何意义，理解数乘向量的意义。
1.3 向量的坐标表示学习空间直角坐标系，了解向量的坐标表示方法。
掌握向量坐标的加法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。
第二章：立体几何基础2.1 平面立体几何学习平面的基本性质，掌握平面方程和点到平面的距离公式。
学习直线与平面的位置关系，了解线面平行、线面相交和线面垂直的判定条件。
2.2 空间立体几何学习空间几何体的基本性质，包括点、线、面的位置关系。
掌握空间几何体的体积和表面积计算公式，了解空间几何体的对称性。
第三章：空间向量在立体几何中的应用3.1 空间向量与直线的位置关系学习利用空间向量判断直线与直线、直线与平面的位置关系。
掌握向量夹角的概念，学习利用向量夹角判断直线与直线的夹角。
3.2 空间向量与平面的位置关系学习利用空间向量判断平面与平面的位置关系。
掌握平面法向量的概念，学习利用平面法向量求解平面方程。
3.3 空间向量与空间几何体的位置关系学习利用空间向量判断空间几何体与空间几何体的位置关系。
掌握空间几何体的体积和表面积计算方法，学习利用空间向量求解空间几何体的体积和表面积。
第四章：空间向量的线性运算与立体几何4.1 空间向量的线性组合学习空间向量的线性组合，掌握线性组合的运算规律。
理解线性组合在立体几何中的应用，包括线性组合与空间几何体的关系。
4.2 空间向量的线性相关与线性无关学习空间向量的线性相关和线性无关的概念。
掌握判断空间向量线性相关和线性无关的方法，理解线性相关和线性无关在立体几何中的应用。
4.3 空间向量的基底与坐标表示学习空间向量的基底概念，掌握基底的选取方法。
学习空间向量的坐标表示方法，理解坐标表示在立体几何中的应用。
空间向量与立体几何
向量与坐标系
在三维坐标系中，空间向量的坐标表示 可以通过三维坐标系中的点来表示，反 之亦然。
VS
向量与几何变换
通过向量的线性组合和数乘，可以实现几 何变换，如平移、旋转和缩放等。
THANKS
感谢观看
影的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
性质
03
混合积满足交换律、结合律和分配律。
03
向量的应用
向量在物理中的应用
力与运动
向量在描述力和运动时非常有用，例如，速度和加速度是向量， 可以用它们来描述物体的运动状态和变化。
动量与冲量
动量和冲量是向量，它们在描述物体的相互作用和运动变化时具 有重要意义。
空间向量在解决实际问题中的应用
力的合成与分解
在物理和工程领域中，力的合成与分 解是常见的应用，通过空间向量的加 法、数乘和向量的模，可以表示力的 合成与分解。
速度和加速度
在运动学中，速度和加速度是重要的 物理量，通过空间向量的加法、数乘 和向量的模，可以表示物体的速度和 加速度。
空间向量与几何体的相互转化
04
立体几何的基本概念
点、直线和平面的基本性质
点
点是空间中最基本的元素，没有大小和形状，只 有位置。
直线
直线是无限长的，它通过两点或给定方向上所有 点。
平面
平面是无限大的，由直线和不在该直线上的一个 点确定。
空间几何体的表面积和体积
表面积
几何体的表面积是指其外部各面的总 面积。
体积
几何体的体积是指其内部空间所占的 区域大小。
几何意义
性质
向量积满足交换律和结合律，但不满 足分配律。
两个向量的向量积等于它们在垂直于 它们所在平面方向上的投影的模长的 乘积与它们夹角的正弦值的乘积。