三维坐标变换

第二章三维观察

1.三维观察坐标系

1.1观察坐标系

为了在不同的距离和角度上观察物体，需要在用户坐标系下建立观察坐标系x v,y v,z v(通常是右手坐标系)也称(View Reference Coordinate)。如下图所示，其中，点p0(x o, y o, z0)为观察参考点（View Reference Point），它是观察坐标系的原点。

图1.1 用户坐标系与观察坐标系

依据该坐标系定义垂直于观察坐标系z v轴的观察平面(view palne)，有时也称投影平面(projection plane)。

图1.2 沿z v轴的观察平面

1.2观察坐标系的建立

观察坐标系的建立如下图所示：

图1.3 法矢量的定义

观察平面的方向及z v轴可以定义为观察平面(view plane)N

法矢量N: 在用户坐标系中指定一个点为观察参考点，然后在此点指定法矢量N，即z v轴的正向。

法矢量V：确定了矢量N后，再定义观察正向矢量V，该矢量用来建立y v轴的正向。通常的方法是先选择任一不平行于N的矢量V'，然后由图形系统使该矢量V'投影到垂直于法矢量N的平面上，定义投影后的矢量为矢量V。

法矢量U：利用矢量N和V，可以计算第三个矢量U，对应于x z轴的正向。

的指定视图投影到显示设备表面上的过程来处理对象的描述。2.世界坐标系

在现实世界中，所有的物体都具有三维特征，但是计算机本身只能处理数字，显示二维的图形，将三维物体和二维数据联系到一起的唯一纽带就是坐标。为了使被显示的物体数字化，要在被显示的物体所在的空间中定义一个坐标系。该坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合被显示物体的描述。该坐标系被称为世界坐标系，世界坐标系是固定不变的。

OpenGL 中世界坐标用来描述场景的坐标，Z+轴垂直屏幕向外，

X+从左到右，Y+轴从下到上。世界坐标系是右手笛卡尔坐标系统。

我们用这个坐标系来描述物体及光源的位置。世界坐标系以屏幕中心

为原点(0,0,0)，长度单位这样来定： 窗口范围按此单位恰好是(-1,-1)

到(1,1)。

3. 世界坐标系到观察坐标系

在三维观察流水线中，场景构造完成后的第一步工作是将对象描

述变换到观察坐标系中。对象描述的转换等价于将观察坐标系叠加到

世界坐标系的一连串变换。

1. 平移观察坐标原点到世界坐标系原点。

2. 进行旋转，分别让x view 、y view 和z view 轴对应到世界坐标的x w 、

y w 、z w 轴。

如果指定世界坐标点P=(x 0,y 0,z 0)为观察坐标原点，则将观察坐标

系原点移到世界坐标系原点的变换是

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=T 1000100010001000z y x 将观察坐标系叠加到世界坐标系的组合旋转变换矩阵使用单位

向量u 、v 和n 来形成。该变换矩阵为

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎣⎡=1000000n n n v v v u u u z

y x

z y x

z y x R

这里，矩阵R 的元素是uvn 轴向量的分量。

将前面的平移和旋转矩阵乘起来获得坐标变换矩阵：

T ⋅=M R vc wc .=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅-⋅-⋅-1000000p n n n n p v v v v p u u u u z

y x z y x z y x

该矩阵中的平移因子按u 、v 、n 和P 0的向量点积计算而得，P 0

代表从世界坐标系原点到观察原点的向量。换句话说，平移因子实在

每一轴上的负投影(观察坐标系中的负分量P 0)。这些矩阵元素的取值

为

⋅-u u z u y u x z y x 0000---=P

v z v y v x u z y x 0000---=⋅-P

n z n y n x u z

y x 0000---=⋅-P 矩阵将世界坐标系中的对象描述变换到观察坐标系。

4. 投影变换

对象描述变换到观察坐标后，下一阶段是将其投影到观察平面

上。投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平

面图形。平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影

变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴视图以及透视图。 图形软件一般都支持平行投影和透视投影两种方式。

在平行投影中(parallel projection)中，坐标位置沿平行线变换到观

察平面上。图4.1给出了用端点坐标P1和P2描述的线段的平行投影。

平行投影保持对象的相关比例不变，这是三维对象计算机辅助绘图和设计中产生成比例工程图的方法。场景中的平行线在平行投影中显示成平行的。一般有两种获得对象平行视图的方法：沿垂直于观察平面的直线投影，或沿某倾斜角度投影到观察平面。

P2

P1

图4.1 线段到观察平面的平行投影

在透视投影(perspective projection)中，对象位置沿会聚到观察平面后一点的直线变换到投影坐标系。图4.2给出了用端点坐标P1和P2描述的线段的透视投影。与平行投影不同的是，透视投影不保持对象的相关比例。但场景的透视投影真实感教好，因为在透视显示中较远的对象减小了尺寸。

图4.2 线段到观察平面的透视投影

5.正投影

对象描述沿与投影平面法向量平行的方向到投影平面上的变换称

为正投影(orthogonal projection;或正交投影，orthographic projection)。这生成一个平行投影变换，其中投影线与投影平面垂直。正投影常常用来生成对象的前视图、侧视图和顶视图，如图

5.1所示，前、侧和后方向的正投影称为立面图，顶部正投影称为

平面图。工程和建筑绘图通常使用正投影，因为可以精确地绘出长度和角度，并能从图中测量出这些值。

图5.1 对象的正投影，显示了平面图和立面图

6.斜投影

斜投影是将三维形体向一个单一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面图形。常选用垂直于某个主轴的投影面，使得平行于投影面的形体表面可以进行距离和角度的测量。斜投影的特点：既可以进行测量又可以同时反映三维形体的多个面，具有立体效果。常用的斜轴测图有斜等测图和斜二测图，如下图所示。